v3.04.154 SSLV154 – Fissure circulaire en mode mixte

Résumé:

Ce test a pour but de valider le calcul des facteurs d’intensité de contrainte (SIFs) le long du fond d’une fissure 3D en mode mixte, dans le cadre de l’élasticité linéaire.

Ce test met en jeu un cube avec une fissure circulaire centrale plane, soumise à une force inclinée par rapport au plan de la fissure.

Ce test contient 2 modélisations:

• Modélisation A: la fissure est maillée (FEM) avec maillage rayonnant en fond de fissure;

• Modélisation B: la fissure n’est pas maillée, elle est représentée par des level-sets (X-FEM)

• Modélisation C: la fissure est maillée (FEM)pour les éléments incompressibles (_INCO_UPG);

• Modélisation D: la fissure est maillée (FEM) avec maillage libre issu de Zcracks

Pour chaque modélisation, les SIFs sont évalués par les commandes POST_K1_K2_K3 et CALC_G.

Les valeurs numériques sont comparées aux valeurs analytiques.

Solution de référence

Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

(1) La solution de référence est une solution analytique issue de , pour une fissure circulaire de rayon \(a`dans un milieu infini, soumise à une force de surface uniforme :math:\)sigma`incliné d’un angle :math:`alpha`au plan de la fissure, les facteurs d’intensité de contrainte pour un point :math:`A`placé sur le front de fissure valent : ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

\({K}_{I}=\frac{2}{\pi}\sigma ({\sin}^{2}\alpha )\sqrt{\pi a}\)

\({K}_{\mathit{II}}=\frac{4}{\pi (2-\nu )}\sigma (\sin\alpha \cos\alpha )\cos\omega \sqrt{\pi a}\)

\({K}_{\mathit{III}}=\frac{4(1-\nu )}{\pi (2-\nu )}\sigma (\sin\alpha \cos\alpha )\sin\omega \sqrt{\pi a}\)

\(\omega\) étant l’angle caractérisant la position du point \(A\) sur le fond circulaire (voir ).

Résultats de référence

Pour le chargement considéré et \(a=\mathrm{2m}\) , le donne les valeurs analytiques des SIFs le long de la moitié du fond de fissure, pour \(\omega\) compris entre \(0°\) et \(180°\) . Ces valeurs sont aussi présentées sur la .

Figure 2.2-1: Valeurs de référence des SIFs

Angle \(\omega\) (°)	\({K}_{I}\) \((\mathit{Pa}.\sqrt{M})\)	\({K}_{\mathit{II}}\) \((\mathit{Pa}.\sqrt{M})\)	\({K}_{\mathit{III}}\) \((\mathit{Pa}.\sqrt{M})\)
0	7,978E+05	9,387E+05	0,0E+05
5	7,978E+05	9,351E+05	5,727E+04
10	7,978E+05	9,244E+05	1,141E+05
15	7,978E+05	9,067E+05	1,701E+05
20	7,978E+05	8,821E+05	2,247E+05
25	7,978E+05	8,507E+05	2,777E+05
30	7,978E+05	8,129E+05	3,285E+05
35	7,978E+05	7,689E+05	3,769E+05
40	7,978E+05	7,191E+05	4,224E+05
45	7,978E+05	6,638E+05	4,646E+05
50	7,978E+05	6,034E+05	5,034E+05
55	7,978E+05	5,384E+05	5,382E+05
60	7,978E+05	4,693E+05	5,690E+05
65	7,978E+05	3,967E+05	5,955E+05
70	7,978E+05	3,211E+05	6,175E+05
75	7,978E+05	2,430E+05	6,347E+05
80	7,978E+05	1,630E+05	6,471E+05
85	7,978E+05	8,181E+04	6,546E+05
90	7,978E+05	5,750E-11	6,571E+05
100	7,978E+05	-1,630E+05	6,471E+05
110	7,978E+05	-3,211E+05	6,175E+05
120	7,978E+05	-4,693E+05	5,690E+05
130	7,978E+05	-6,034E+05	5,034E+05
140	7,978E+05	-7,191E+05	4,224E+05
150	7,978E+05	-8,129E+05	3,285E+05
160	7,978E+05	-8,821E+05	2,247E+05
170	7,978E+05	-9,244E+05	1,141E+05
180	7,978E+05	-9,387E+05	8,050E-11

Tableau 2.2-1: Valeurs de référence

Références bibliographiques

1. TADA H., PARIS P., IRWIND G.: The stress analysis of cracks handbook, 3ème éd., 2000

2. LORENTZ E., Effet d’un maillage libre d’une structure tridimensionnelle fissurée sur la qualité du calcul du taux de restitution d’énergie, CR-I20-2010-11, 2010

Modélisation A

Caractéristiques de la modélisation

Dans cette modélisation, la fissure est maillée (cas FEM). Le maillage comporte un tore entourant le fond de fissure.

Figure 3.1-2: maillage de la structure

Figure 3.1-1: maillage rayonnant

Caractéristiques du maillage

Nombre de nœuds: 9967

Nombre de mailles et type: 864 PENTA15 et 1568 HEXA20

La longueur caractéristique d’un élément près du fond de fissure est de \(0,12m\) .

Les nœuds milieux des arêtes des éléments touchant le fond de fissure sont déplacés au quart de ces arêtes.

Grandeurs testées et résultats

Les couronnes d’intégration du champ thêta pour la commande CALC_G sont:

\(\text{RINF}=0,1m\) et \(\text{RSUP}=0,5m\) .

On teste le lissage de type LEGENDRE et le lissage de type LINEAIRE. Pour ce dernier, les résultats sont lissés par un traitement qui utilise une fonction chapeau aux nœuds sommets des segments du fond de fissure. Ce traitement est activé automatiquement dans le cas quadratique, pour éviter les oscillations des valeurs de G(s) dans ce cas (vopir référence (2)). On note alors G «chapeau» ( \(\widehat{G}\) ) cette composante lissée. Le même traitement est également appliqué aux valeurs des facteurs d’intensité des contraintes obtenus par l’option K de CALC_G.

Le paramètre ABS_CURV_MAXI de l’opérateur POST_K1_K2_K3 est choisi de manière à retenir 5 nœuds sur le segment d’extrapolation.

Pour tester la valeur de \({K}_{I}\) pour tous les points du fond de fissure, on teste le \(min\) et le \(max\) des valeurs le long du fond.

Le \({K}_{\mathit{II}}\) est testé uniquement au point tel que \(\omega =0°\) (où \({K}_{\mathit{II}}\) est normalement maximal).

Le \({K}_{\mathit{III}}\) est testé uniquement au point tel que \(\omega =90°\) (où \({K}_{\mathit{III}}\) est normalement maximal).

Théoriquement, il faudrait tester la valeur absolue de \({K}_{\mathit{II}}\) et \({K}_{\mathit{III}}\) car le signe est arbitraire.

Valeurs issues de CALC_G

Les valeurs sont en \(\mathit{Pa}.\sqrt{m}\) .

Identification	Type de référence	Valeur de référence	% Tolérance
\(max({K}_{I})\)	“ANALYTIQUE”	7,978 105	5,5%
\(min({K}_{I})\)	“ANALYTIQUE”	7,978 105	4, 0%
\({K}_{\mathit{II}}\) en \(\omega =0°\)	“ANALYTIQUE”	9,386 105	9, 0%
\({K}_{\mathit{III}}\) en \(\omega =90°\)	“ANALYTIQUE”	6,570 105	3, 0%
\(\widehat{G}\) en \(\omega =0°\)	“ANALYTIQUE”	6, 906	0,1%
\(\widehat{G}\) en \(\omega =90°\)	“ANALYTIQUE”	5,703	1, 0%
\(\widehat{{K}_{I}}\) en \(\omega =0°\)	“ANALYTIQUE”	7,978 105	4,5%
\(\widehat{{K}_{I}}\) en \(\omega =90°\)	“ANALYTIQUE”	7,978 105	5, 5%

Valeurs issues de POST_K1_K2_K3

Les valeurs sont en \(\mathit{Pa}.\sqrt{m}\) .

Identification	Type de référence	Valeur de référence	% Tolérance
\(max({K}_{I})\)	“ANALYTIQUE”	7,978 105	3%
\(min({K}_{I})\)	“ANALYTIQUE”	7,978 105	2%
\({K}_{\mathit{II}}\) en \(\omega =0°\)	“ANALYTIQUE”	9,386 105	2%
\({K}_{\mathit{III}}\) en \(\omega =90°\)	“ANALYTIQUE”	6,570 105	2%

Remarques

Les , , et montrent l’évolution de \(G\) , \({K}_{I}\) \({K}_{\mathit{II}}\) et \({K}_{\mathit{III}}\) le long du fond de fissure. On constate que le K3 n’est pas correct. Cela est dû à des incorrections de la base locale aux extrémités, qui sont propagées sur tout le front à cause des polynômes de LEGENDRE.

Figure 3.4-1: G le long du fond de fissure

Figure 3.4-2: K1 le long du fond de fissure

Figure 3.4-3: K2 le long du fond de fissure

Figure 3.4-4: K3 le long du fond de fissure

Pour information, la présente une comparaison des SIFs le long du fond de fissure avec un lissage de LINEAIRE brut et avec le lissage «chapeau». On constate que les valeurs brut du lissage de LINEAIRE oscillent le long du fond. Ceci est dû aux fonctions de formes des éléments quadratiques qui sont différentes entre les nœuds milieux et nœuds sommets et qui rendent non-physique l’interprétation du G(s) (et donc des Ki(s)), comme le serait une réaction nodale sur un élément quadratique. Le lissage «chapeau» est une méthode permettant de contourner cette difficulté comme proposé dans la référence (2).

On constate également qu’il y a une erreur plus importante sur les points aux extrémités du fond pour \({K}_{\mathit{II}}\) et \({K}_{\mathit{III}}\) issus de CALC_G. Cela est dû à un traitement particulier des points aux extrémités, qui ne fonctionne bien que si la solution est constante le long du fond. Cela explique pourquoi les valeurs de \({K}_{I}\) sont meilleures. Ce traitement particulier n’est réalisé que pour les résultats (\(G\) , \({K}_{I}\) \({K}_{\mathit{II}}\) et \({K}_{\mathit{III}}\) ) issus de l’option CALC_G OPTION K, lissage LINEAIRE.

Figure 3.4-5: SIFs le long du fond de fissure (FEM)

Figure 3.4-5: Comparaison des valeurs de K1, K2 et K3 pour le lissage de LINEAIRE avec les fonctions «chapeau»

Modélisation B

Caractéristiques de la modélisation

Dans cette modélisation, la fissure n’est pas maillée (cas X-FEM).

Afin d’obtenir une meilleur précision sur les résultats, le maillage initial libre a été raffiné au niveau du fond de fissure à l’aide de la commande MACR_ADAP_MAIL.

Figure 4.1-1: maillage de la structure raffiné

Caractéristiques du maillage

Nombre de nœuds: 1146

Nombre de mailles et type: 64573 TETRA4

La longueur caractéristique d’un élément près du fond de fissure est de \(0,07m\) .

Grandeurs testées et résultats

Le choix des paramètres numériques pour le post-traitement des SIFs est identique à celui fait pour la modélisation A.

De plus, afin de lisser les résultats de CALC_G_XFEM (inévitable sur un maillage libre), il est nécessaire de ne post-traiter les SIFs qu’en un nombre limité de points, répartis uniformément le long du fond de fissure. On choisit ici 21 points de post-traitement (initialement, il y a 289 points le long du fond de fissure). Cela permet aussi de réduire le temps CPU du post-traitement.

On choisit de la même manière 21 points de post-traitement pour POST_K1_K2_K3.

Valeurs issues de CALC_G

Les valeurs sont en \(\mathit{Pa}.\sqrt{m}\) .

Identification	Type de référence	Valeur de référence	% Tolérance
\(max({K}_{I})\)	“ANALYTIQUE”	7,978 105	6%
\(min({K}_{I})\)	“ANALYTIQUE”	7,978 105	3%
\({K}_{\mathit{II}}\) en \(\omega =0°\)	“ANALYTIQUE”	9,386 105	14%
\({K}_{\mathit{III}}\) en \(\omega =90°\)	“ANALYTIQUE”	6,570 105	10%

Valeurs issues de POST_K1_K2_K3

Les valeurs sont en \(\mathit{Pa}.\sqrt{m}\) .

Identification	Type de référence	Valeur de référence	% Tolérance
\(max({K}_{I})\)	“ANALYTIQUE”	7,978 105	1%
\(min({K}_{I})\)	“ANALYTIQUE”	7,978 105	3%
\({K}_{\mathit{II}}\) en \(\omega =0°\)	“ANALYTIQUE”	9,386 105	2%
\({K}_{\mathit{III}}\) en \(\omega =90°\)	“ANALYTIQUE”	6,570 105	2%

Remarques

On constate que, comme pour la modélisation A, CALC_K_G_XFEM donne des résultats moins précis que POST_K1_K2_K3. Pour les fronts courbes, il vaut mieux privilégier le post-traitement des SIF avec POST_K1_K2_K3, pour garder une erreur acceptable en propagation une fissure. Les résultats X-FEM sont aussi précis que les résultats avec une fissure maillée (modélisation A), ce qui renforce encore l’intérêt de l’utilisation X-FEM par rapport à la méthode FEM.

On obtient un très bon accord entre les valeurs de K2 et K3 calculées avec POST_K1_K2_K3 et les valeurs de la solution analytique (voir ).

De plus, on n’observe pas d’effet de parasitage aux bords comme c’est le cas dans la modélisation A. Avec une fissure maillée, on note en effet l’apparition d’un cisaillement aux points débouchants de la fissure difficile à expliquer (voir ).

Figure 4.4-1: mode 2 le long du front en fonction de l’abscisse curviligne

Figure 4.4-2: mode 3 le long du front en fonction de l’abscisse curviligne

Modélisation C

Caractéristiques de la modélisation

Identiques à la modélisation A sauf pour les éléments 3D_INCO_UPG.

Caractéristiques du maillage

Nombre de nœuds: 9967

Nombre de mailles et type: 864 PENTA15 et 1568 HEXA20

La longueur caractéristique d’un élément près du fond de fissure est de \(0,06m\) .

Les nœuds milieux des arêtes des éléments touchant le fond de fissure sont déplacés au quart de ces arêtes.

Grandeurs testées et résultats

Les couronnes d’intégration du champ thêta pour la commande CALC_G sont:

\(\text{RINF}=0,1m\) et \(\text{RSUP}=0,5m\) .

On choisit un lissage de type LINEAIRE.

Le paramètre ABS_CURV_MAXI de l’opérateur POST_K1_K2_K3 est choisi de manière à retenir 5 nœuds sur le segment d’extrapolation.

Pour tester la valeur de \({K}_{I}\) pour tous les points du fond de fissure, on teste le \(min\) et le \(max\) des valeurs le long du fond.

Le \({K}_{\mathit{II}}\) est testé uniquement au point tel que \(\omega =0°\) (où \({K}_{\mathit{II}}\) est normalement maximal).

Le \({K}_{\mathit{III}}\) est testé uniquement au point tel que \(\omega =90°\) (où \({K}_{\mathit{III}}\) est normalement maximal).

Théoriquement, il faudrait tester la valeur absolue de \({K}_{\mathit{II}}\) et \({K}_{\mathit{III}}\) car le signe est arbitraire.

Valeurs issues de CALC_G

Les valeurs sont en \(\mathit{Pa}.\sqrt{m}\) obtenues à partir du cas test SSLV154A.

Identification	Type de référence	Valeur de référence	% Tolérance
\(max({K}_{I})\)	“ANALYTIQUE”	8,361 105	3%
\(min({K}_{I})\)	“ANALYTIQUE”	8,361 105	1%
\({K}_{\mathit{II}}\) en \(\omega =0°\)	“ANALYTIQUE”	8,644 105	4.5%
\({K}_{\mathit{III}}\) en \(\omega =90°\)	“ANALYTIQUE”	6,747 105	3%

Modélisation D

Caractéristiques de la modélisation

Dans cette modélisation, la fissure est maillée avec Zcracks (cas FEM). Le maillage est libre.

Figure 6.1-1: maillage libre

Figure 6.1-2: maillage de la structure

Caractéristiques du maillage

Nombre de nœuds: 19666

Nombre de mailles et type: 13697 TETRA10

Nombre de nœuds en fond de fissure: 83

La longueur caractéristique d’un élément près du fond de fissure est de \(0,15m\) .

Les nœuds milieux des arêtes des éléments touchant le fond de fissure sont déplacés au quart de ces arêtes.

Grandeurs testées et résultats

Les couronnes d’intégration du champ thêta pour la commande CALC_G sont:

\(\text{RINF}=0,06m\) et \(\text{RSUP}=0,22m\) .

On choisit trois types de lissage:

• LEGENDREavec DEGRE=5(valeur par défaut)

• LINEAIREavec un nombre de points réduit en fond de fissure(NB_POINT_FOND = 21)

• LINEAIREavec le lissage «chapeau» appliqué à posteriori

Pour tester la valeur de \({K}_{I}\) pour tous les points du fond de fissure, on teste le \(min\) et le \(max\) des valeurs le long du fond.

Le \({K}_{\mathit{II}}\) est testé uniquement au point tel que \(\omega =0°\) (où \({K}_{\mathit{II}}\) est normalement maximal).

Le \({K}_{\mathit{III}}\) est testé uniquement au point tel que \(\omega =90°\) (où \({K}_{\mathit{III}}\) est normalement maximal).

Théoriquement, il faudrait tester la valeur absolue de \({K}_{\mathit{II}}\) et \({K}_{\mathit{III}}\) car le signe est arbitraire.

Valeurs issues de CALC_G option K avec un lissage de Legendre

Les valeurs sont en \(\mathit{Pa}.\sqrt{m}\) .

Identification	Type de référence	Valeur de référence	% Tolérance
\(max({K}_{I})\)	“ANALYTIQUE”	7,978 105	10, 0%
\(min({K}_{I})\)	“ANALYTIQUE”	7,978 105	10, 0%
\({K}_{\mathit{II}}\) en \(\omega =0°\)	“ANALYTIQUE”	9,386 105	10, 0%
\({K}_{\mathit{III}}\) en \(\omega =90°\)	“ANALYTIQUE”	6,570 105	10, 0%

Valeurs issues de CALC_G option K avec un lissage de LINEAIRE et un nombre de points réduit en fond de fissure

Les valeurs sont en \(\mathit{Pa}.\sqrt{m}\) .

Identification	Type de référence	Valeur de référence	% Tolérance
\(max({K}_{I})\)	“ANALYTIQUE”	7,978 105	10, 0%
\(min({K}_{I})\)	“ANALYTIQUE”	7,978 105	10, 0%
\({K}_{\mathit{II}}\) en \(\omega =0°\)	“ANALYTIQUE”	9,386 105	10, 0%
\({K}_{\mathit{III}}\) en \(\omega =90°\)	“ANALYTIQUE”	6,570 105	10, 0%

Valeurs issues de CALC_G option K avec un lissage de LINEAIRE et le lissage « chapeau »

Les valeurs sont en \(\mathit{Pa}.\sqrt{m}\) .

Identification	Type de référence	Valeur de référence	% Tolérance
\(\widehat{G}\) en \(\omega =0°\)	“ANALYTIQUE”	6, 906	70%
\(\widehat{G}\) en \(\omega =90°\)	“ANALYTIQUE”	5,703	6, 0%
\(\widehat{{K}_{I}}\) en \(\omega =0°\)	“ANALYTIQUE”	7,978 105	11, 0%
\(\widehat{{K}_{I}}\) en \(\omega =90°\)	“ANALYTIQUE”	7,978 105	7, 5%

Remarques

Les tolérances sont assez élevées avec l’utilisation d’un lissage de LINEAIRE et NB_POINT_FOND, cependant, raffiner le maillage permet d’améliorer les résultats.

Les , , et montrent l’évolution de \(G\) , \({K}_{I}\) \({K}_{\mathit{II}}\) et \({K}_{\mathit{III}}\) le long du fond de fissure. On constate que le K3 n’est pas correct. Cela est dû à des incorrections de la base locale aux extrémités, qui sont propagées sur tout le front à cause des polynômes de LEGENDRE.

Figure 6.4-1: G le long du fond de fissure

Figure 6.4-2: K1 le long du fond de fissure

Figure 6.4-3: K2 le long du fond de fissure

Figure 6.4-4: K3 le long du fond de fissure

Cette modélisation valide le calcul de G et des facteurs d’intensité de contrainte d’une fissure 3D en mode mixte avec l’utilisation de l’option NB_POINT_FOND qui permet de réduire le nombre de points en fond de fissure pour le lissage de LINEAIRE. L’utilisation de cette option est fortement préconisée pour un lissage de LINEAIRE avec un maillage libre et un nombre de nœuds important en fond de fissure; ainsi, le temps de calcul est significativement diminué ainsi que les oscillations présentes pour lissage de LINEAIRE est utilisé sans NB_POINT_FOND. De même, le lissage «chapeau» permet également de supprimer les oscillations des valeurs de G et K, comme montré en Figure , qui sont d’autant plus importantes pour un maillage libre.

Figure 6.4-5: Comparaison des valeurs de K1, K2 et K3 pour le lissage de LINEAIRE avec les fonctions «chapeau»

Synthèse des résultats

Ce cas-test valide la calcul des facteurs d’intensité de contrainte d’une fissure 3D en mode mixte. On constate pour la commande CALC_G (option K) des erreurs importantes aux points extrémités si le \(K\) n’est pas constant le long du fond de fissure.

Ce problème n’apparaît pas pour la commande POST_K1_K2_K3.