v3.04.139 SSLV139 - Flambement d’une plaque circulaire soumise à une force de compression uniformément répartie sur son contour#

Résumé:

Ce test représente un calcul de stabilité d’une plaque circulaire soumise à une force de compression uniformément répartie sur son contour. Nous déterminons la charge critique conduisant au flambement élastique d’Euler ainsi que la déformée modale associée.

Ce test valide la modélisation AXIS_FOURIER pour le flambement linéaire avec des mailles QUAD8 et TRIA6 (mode circonférentiel égal à zéro), et la modélisation AXIS avec des mailles QUAD8.

La charge critique obtenue est comparée à une solution de référence analytique.

Solution de référence#

Méthode de calcul#

La valeur de la charge critique est donnée en [bib1] par l’expression suivante:

\({F}_{\mathrm{cr}}=\frac{14.68D}{{R}^{2}}\)

avec: \(D\) la rigidité à la flexion de la plaque (en \(\mathrm{N.m}\) ) définie par l’expression suivante:

\(D=\frac{E{h}^{3}}{12(1-{\nu}^{2})}\)

Cette charge critique est associée à un mode circonférentiel égal à 0.

Grandeurs et résultats de référence#

Pour les caractéristiques données, la charge critique vaut:

\({F}_{\mathrm{cr}}=2668.315N/m\)

Incertitudes sur la solution#

Solution analytique

Références bibliographiques#

  1. S.P. TIMOSHENKO, J.M. GERE: Théorie de la stabilité élastique, deuxième édition, DUNOD (1966)

Modélisation A#

Caractéristiques de la modélisation#

Modélisation AXIS_FOURIER (QUAD8): 3 degrés de liberté par nœud \((\mathrm{DX},\mathrm{DY},\mathrm{DZ})\)

Conditions limites:

  • groupe de mailles \(\mathrm{AD}\) : \(\mathrm{DX}=0,\mathrm{DZ}=0\)

  • groupe de mailles \(\mathrm{BC}\) : \(\mathrm{DY}=0,\mathrm{DZ}=0\)

Caractéristiques de la discrétisation

  • Côtés \(\mathrm{AB}\) et \(\mathrm{CD}\) : 460 éléments

  • Côtés \(\mathrm{AD}\) et \(\mathrm{BC}\) : 4 éléments

Caractéristiques du maillage#

Nombre de nœuds: 6449

Nombre de mailles: 1840 (QUAD8)

Grandeurs testées et résultats#

Identification

Référence

Pression critique (\(n=0\) )

\(8.4935{10}^{5}\mathrm{Pa}\)

Déplacement \(\mathrm{DY}\) au nœud \(D\)

1

Remarques#

  • La pression critique \({P}_{\mathrm{cr}}\) de référence, utilisée dans le fichier de commande, a été obtenue à partir de la charge critique référencée au paragraphe [§ 2.2 ]:

\({P}_{\mathrm{cr}}=\frac{{F}_{\mathrm{cr}}}{2\pi h}=849350.94N/{m}^{2}\)

  • La normalisation du mode propre pour la plus grande des composantes de translation implique une valeur de référence égale à 1 pour le déplacement \(\mathrm{DY}\) au nœud \(D\) .

Modélisation B#

Caractéristiques de la modélisation#

Modélisation AXIS (QUAD8): 2 degrés de liberté par nœud \((\mathrm{DX},\mathrm{DY})\)

Conditions limites:

  • groupe de mailles \(\mathrm{AD}\) : \(\mathrm{DX}=0\)

  • groupe de mailles \(\mathrm{BC}\) : \(\mathrm{DY}=0\)

Caractéristiques de la discrétisation

  • Côtés \(\mathrm{AB}\) et \(\mathrm{CD}\) : 460 éléments

  • Côtés \(\mathrm{AD}\) et \(\mathrm{BC}\) : 4 éléments

Caractéristiques du maillage#

Nombre de nœuds: 6449

Nombre de mailles: 1840 (QUAD8)

Grandeurs testées et résultats#

Identification

Référence

Pression critique (\(n=0\) )

\(8.4935{10}^{5}\mathrm{Pa}\)

Déplacement \(\mathrm{DY}\) au nœud \(D\)

1

Remarques#

  • La pression critique \({P}_{\mathrm{cr}}\) de référence, utilisée dans le fichier de commande, a été obtenue à partir de la charge critique référencée au paragraphe [§ 2.2 ]:

\({P}_{\mathrm{cr}}=\frac{{F}_{\mathrm{cr}}}{2\pi h}=849350.94N/{m}^{2}\)

  • La normalisation du mode propre pour la plus grande des composantes de translation implique une valeur de référence égale à 1 pour le déplacement \(\mathrm{DY}\) au nœud \(D\) .

Modélisation C#

Caractéristiques de la modélisation#

Modélisation AXIS_FOURIER (TRIA6): 3 degrés de liberté par nœud \((\mathrm{DX},\mathrm{DY},\mathrm{DZ})\)

Conditions limites:

  • groupe de mailles \(\mathrm{AD}\) : \(\mathrm{DX}=0\) , \(\mathrm{DZ}=0.\)

  • groupe de mailles \(\mathrm{BC}\) : \(\mathrm{DY}=0\) , \(\mathrm{DZ}=0.\)

Caractéristique de la discrétisation

  • Côtés \(\mathrm{AB}\) et \(\mathrm{CD}\) : 690 éléments

  • Côtés \(\mathrm{AD}\) et \(\mathrm{BC}\) : 6 éléments

Caractéristiques du maillage#

Nombre de nœuds: 17 964

Nombre de mailles: 8 280 (TRIA6)

Grandeurs testées et résultats#

Identification

Référence

Pression critique (\(n=0\) )

\(8.4935{10}^{5}\mathrm{Pa}\)

Déplacement \(\mathrm{DY}\) au nœud \(D\)

1

Remarques#

  • La pression critique \({P}_{\mathrm{cr}}\) de référence, utilisée dans le fichier de commande, a été obtenue à partir de la charge critique référencée au paragraphe [§ 2.2 ]:

\({P}_{\mathrm{cr}}=\frac{{F}_{\mathrm{cr}}}{2\pi h}=849350.94N/{m}^{2}\)

  • La normalisation du mode propre pour la plus grande des composantes de translation implique une valeur de référence égale à 1 pour le déplacement \(\mathrm{DY}\) au nœud \(D\) .

Synthèse des résultats#

Les résultats obtenus sont très satisfaisantspour les mailles QUAD8 indépendamment de la modélisation utilisée (AXIS ou AXIS_FOURIER) : les incertitudes sur la pression critique ne dépassent pas 0.104 %.

Toutefois, on notera que la modélisation AXIS_FOURIER est nettement moins précise avec des mailles TRIA6 qu’avec des mailles QUAD8.

Ce test à permis de tester et comparer les modélisations AXIS et AXIS_FOURIER en flambement linéaire d’Euler d’une structure mince circulaire soumise à une force externe de compression uniformément répartie sur son contour.