r7.01.11 Modèles de comportement THHM#

Résumé:

Cette note présente une famille de lois de comportement THM pour les milieux saturés et non saturés. On y décrit les relations permettant de calculer les quantités hydrauliques et thermiques, en tenant compte de couplages forts entre ces phénomènes et aussi avec les déformations mécaniques. Les relations présentées ici peuvent être couplées avec n’importe quelle loi de comportement mécanique, sous réserve de faire l’hypothèse dite des contraintes effectives de Bishop et que la loi de comportement mécanique définisse des constantes élastiques (utiles pour les termes couplés). La partie purement mécanique des lois n’est pas présentée.

Présentation du problème : Hypothèses, Notations#

Dans le présent chapitre, on s’attache principalement à présenter le milieu poreux et ses caractéristiques.

Description du milieu poreux#

Le milieu poreux considéré est un volume constitué d’une matrice solide plus ou moins homogène, plus ou moins cohérente (très cohérente dans le cas du béton, peu dans le cas du sable). Entre les éléments solides, on trouve des pores. On distingue les pores fermés qui n’échangent rien avec leurs voisins et les pores connectés dans lesquels les échanges sont nombreux. Lorsque l’on parle de porosité, c’est bien de ces pores connectés dont on parle.

A l’intérieur de ces pores se trouvent un certain nombre de fluides (on exclut la solidification de ces fluides), présents éventuellement sous plusieurs phases (liquide ou gazeuse exclusivement), et présentant une interface avec les autres constituants. Pour simplifier le problème et prendre en compte l’importance relative des phénomènes physiques, la seule interface considérée est celle entre le liquide et le gaz, les interfaces fluide/solide étant négligées.

Notations#

Nous supposons que les pores du solide sont occupés par au plus deux constituants, chacun coexistant dans deux phases au maximum, l’une liquide et l’autre gazeuse. Les grandeurs \(X\) associées à la phase \(j\) (\(j=1,2\) ) du fluide \(i\) seront notées: \({X}_{ij}\) . Quand il y a deux constituants en plus du solide, ce sont un liquide (typiquement l’eau) et un gaz (typiquement l’air sec) , sachant que le liquide peut être présent sous forme gazeuse (vapeur) dans le mélange gazeux et que l’air peut être présent sous forme dissous dans l’eau. Quand il n’y a qu’un seul constituant en plus du solide, cela peut être un liquide ou un gaz. Par la suite on parlera d’air pour le composant gazeux, mais il peut s’agir de n’importe quel autre composant (hydrogène, \({\text{CO}}_{2}\) etc.).

Le milieu poreux à l’instant actuel est noté \(\Omega\) , sa frontière \(\partial \Omega\) . Il est noté \({\Omega}_{0},\partial {\Omega}_{0}\) à l’instant initial.

Le milieu est défini par:

des paramètres (vecteur position \(x\) , temps \(t\) ),
des variables (déplacements, pressions, température),
des grandeurs intrinsèques (contraintes et déformations, apports massiques, chaleur, enthalpies, flux hydrauliques, thermiques…).

Les hypothèses générales effectuées sont les suivantes :

hypothèse des petits déplacements,
évolutions thermodynamiques réversibles (pas nécessairement pour la mécanique),
comportement isotrope, isotrope transverse (3D), orthotrope (2D),
les gaz sont des gaz parfaits,
mélange idéal de gaz parfaits (pression totale = somme des pressions partielles),
équilibre thermodynamique entre les phases d’un même constituant.

Les différentes notations sont explicitées ci-après.

Variables descriptives du milieu#

Ce sont les variables dont la connaissance en fonction du temps et du lieu permettent de connaître complètement l’état du milieu. Ces variables se décomposent en deux catégories:

variables géométriques,
variables d’état thermodynamique.

Variables géométriques#

Dans tout ce qui suit, on adopte une représentation lagrangienne par rapport au squelette (au sens de [bib1] ) et les coordonnées \(\mathrm{x}={\mathrm{x}}_{\mathrm{s}}(t)\) sont celles d’un point matériel attaché au squelette. Tous les opérateurs de dérivation spatiaux sont définis par rapport à ces coordonnées.

Les déplacements du squelette sont notés \(\mathrm{u}(\mathrm{x},t)=(\begin{array}{c}{u}_{x}\\ {u}_{y}\\ {u}_{z}\end{array})\) .

Variables d’état thermodynamique#

De façon générale, on utilise les indices suivants:

\(w\) pour l’eau liquide,

\(\text{ad}\) pour l’air dissous,

\(\text{as}\) pour l’air sec,

\(\text{vp}\) pour la vapeur d’eau.

Les variables thermodynamiques sont:

les pressions des constituants: \({p}_{w}(x,t)\) , \({p}_{\text{ad}}(x,t)\) , \({p}_{\text{vp}}(x,t)\) , \({p}_{\text{as}}(x,t)\) ,
la température du milieu: \(T(x,t)\) .

Ces différentes variables ne sont pas totalement indépendantes. En effet, si l’on considère un seul constituant, l’équilibre thermodynamique entre ses phases impose une relation entre la pression de la vapeur et la pression du liquide de ce constituant. Finalement, il n’y a qu’une seule pression indépendante par constituant, de même qu’il n’y a qu’une seule équation de conservation de la masse. Le nombre de pressions indépendantes est donc égal au nombre de constituants indépendants. Le choix de ces pressions est libre (combinaisons des pressions des constituants) à condition que les pressions choisies, associées à la température, forment un système de variables indépendantes.

Pour le cas dit saturé (un seul constituant air ou eau) nous avons choisi la pression de cet unique constituant.

Pour le cas dit non saturé (présence d’air et d’eau), nous avons choisi comme variables indépendantes:

la pression totale du gaz: \({p}_{\text{gz}}(x,t)={p}_{\text{vp}}+{p}_{\text{as}}\) ,
la pression capillaire: \({p}_{c}(x,t)={p}_{\text{gz}}-{p}_{\text{lq}}={p}_{\text{gz}}-{p}_{w}-{p}_{\text{ad}}\) .

Ces pressions ont une interprétation physique très forte, la pression de gaz totale pour des raisons évidentes, et la pression capillaire, également appelée succion, parce que les phénomènes capillaires sont très importants dans la modélisation présentée ici. Il aurait été possible également de choisir la pression de vapeur ou le degré d’humidité relative (rapport entre la pression de vapeur et la pression de vapeur saturante à la même température) physiquement accessible. La modélisation devient alors plus complexe et de toute façon, pression capillaire, pression de gaz et degré d’humidité relative (rapport entre la pression de vapeur et la pression de vapeur saturante) HR sont reliés par la loi de Kelvin.

Pour le cas particulier du comportement dit ‘LIQU_GAZ_ATM’ on fait l’hypothèse dite de Richards: les pores ne sont pas saturés par le liquide, mais la pression du gaz est supposée constante et la seule variable de pression est la pression de liquide.

Champs descriptifs du milieu#

Les inconnues principales, qui sont aussi les inconnues nodales (notées \(U(x,t)\) dans ce document) sont:

2 ou 3 (selon la dimension d’espace) déplacements \({u}_{x}(x,t),{u}_{y}(x,t),{u}_{z}(x,t)\) pour les modélisations KIT_HM, KIT_HHM, KIT_THM, KIT_THHM,
la température \(T(x,t)\) pour les modélisations KIT_THH, KIT_THM, KIT_THHM,
deux pressions \({p}_{1}(\mathrm{x},t),{p}_{2}(\mathrm{x},t)\) (qui sont \({p}_{c}(x,t)\) , \({p}_{\text{gz}}(x,t)\) dans le cas étudié) pour les modélisations KIT_HHM, KIT_THH, KIT_THHM,
une pression \({p}_{1}(x,t)\) (qui est \({p}_{w}(x,t)\) ou \({p}_{\text{gz}}(x,t)\) selon que le milieu est saturé par un liquide ou un gaz) pour les modélisations KIT_H, KIT_HM, KIT_THM.

Dérivées particulaires#

Ce paragraphe reprend en partie le paragraphe « dérivées particulaires, densités volumiques et massiques» du document [R7.01.10]. La description que nous faisons du milieu est lagrangienne par rapport au squelette.

Soit \(a\) un champ quelconque sur \(\Omega\) , soit \({x}_{s}(t)\) la coordonnée d’un point attaché au squelette que nous suivons dans son mouvement et soit \({x}_{\mathrm{fl}}(t)\) la coordonnée d’un point attaché au fluide. On note \(\dot{a}=\frac{{d}^{S}a}{\mathrm{dt}}\) la dérivée temporelle dans le mouvement du squelette:

\(\dot{a}=\frac{{d}^{S}a}{\mathrm{dt}}=\underset{\Delta t\to 0}{\lim}\frac{a(x(t+\Delta t),(t+\Delta t)-a(x(t),t))}{\Delta t}\)

\(\dot{a}\) est appelée dérivée particulaire et souvent notée \(\frac{\mathrm{da}}{\mathrm{dt}}\) . Nous préférons utiliser une notation qui rappelle que la configuration utilisée pour repérer une particule est celle du squelette par rapport auquel une particule de fluide a une vitesse relative. Pour une particule de fluide le repérage \({x}_{s}(t)\) est quelconque, c’est à dire que la particule de fluide qui occupe la position \({x}_{s}(t)\) à l’instant \(t\) n’est pas la même que celle qui occupe la position \({\Omega}^{0}(1+{\varepsilon}_{V})(1-\varphi )={\Omega}^{0}(1-{\varphi}^{0})(1+{\varepsilon}_{\text{Vs}})\) à un autre instant \(t'\) .

Grandeurs#

Les équations d’équilibre sont:

la conservation de la quantité de mouvement pour la mécanique,
la conservation des masses de fluide pour l’hydraulique,
la conservation de l’énergie pour la thermique.

L’écriture de ces équations est donnée dans le document [R7.01.10] , lequel définit aussi ce que nous appelons de façon générale une loi de comportement THM et donne les définitions des contraintes et déformations généralisées. Le présent document utilise ces définitions. Les équations d’équilibre font intervenir directement les contraintes généralisées.

Les contraintes généralisées sont reliées aux déformations généralisées par les lois de comportement. Les déformations généralisées se calculent directement à partir des variables d’état et de leurs gradients spatiaux temporels.

Les lois de comportements peuvent utiliser des quantités annexes, souvent rangées dans les variables internes. Nous regroupons ici sous le vocable de grandeur à la fois les contraintes, les déformations et des grandeurs annexes.

Grandeurs caractéristiques du milieu hétérogène#

La porosité eulérienne: \(\phi\) .

Si on note \({\Omega}_{(\phi )}\) la partie du volume \(\Omega\) occupé par les vides dans la configuration courante, on a:

\(\varphi =\frac{{\Omega}_{(\varphi )}}{\Omega}\)

La définition de la porosité est donc celle de la porosité eulérienne.

La saturation en liquide: \({S}_{\text{lq}}\)

Si on note \({\Omega}_{\text{lq}}\) le volume total occupé par le liquide, dans la configuration courante, on a par définition:

\({S}_{\text{lq}}=\frac{{\Omega}_{\text{lq}}}{{\Omega}_{\phi }}\)

Cette saturation est donc finalement une proportion variant entre 0 et 1.

Les masses volumiques eulériennes de l’eau \({\rho}_{w}\) , de l’air dissous \({\rho}_{\text{ad}}\) , de l’air sec \({\rho}_{\text{as}}\) , de la vapeur \({\rho}_{\text{vp}}\) , du gaz \({\rho}_{\text{gz}}\) .

Si on note \({\gamma}_{w}\) (resp \({\gamma}_{\text{ad}}\) , \({\gamma}_{\text{as}}\) , \({\gamma}_{\text{vp}}\) ) les masses d’eau (resp d’air dissous, d’air sec et de vapeur) contenus dans un volume du \(\Omega\) squelette dans la configuration courante, on a par définition:

\(\begin{array}{}{\gamma}_{w}={\int}_{\Omega}{\rho}_{w}{S}_{\text{lq}}\varphi d\Omega {\gamma}_{\text{ad}}={\int}_{\Omega}{\rho}_{\text{ad}}{S}_{\text{lq}}\varphi d\Omega \\ {\gamma}_{\text{as}}={\int}_{\Omega}{\rho}_{\text{as}}(1-{S}_{\text{lq}})\varphi d\Omega {\gamma}_{\text{vp}}={\int}_{\Omega}{\rho}_{\text{vp}}(1-{S}_{\text{lq}})\varphi d\Omega \end{array}\)

La masse volumique du mélange gazeux est simplement la somme des masses volumiques de l’air sec et de la vapeur:

\({\rho}_{\mathrm{gz}}={\rho}_{\mathrm{as}}+{\rho}_{\mathrm{vp}}\)

De même pour le mélange liquide:

\({\rho}_{\text{lq}}={\rho}_{w}+{\rho}_{\text{ad}}\)

On note \({\rho}_{w}^{0},{\rho}_{\text{ad}}^{0},{\rho}_{\text{vp}}^{0},{\rho}_{\text{as}}^{0}\) les valeurs initiales des masses volumiques.

La masse volumique homogénéisée lagrangienne: \(r\) .

À l’instant courant la masse du volume \(\Omega\) , \({M}_{\Omega}\) , est donnée par: \({M}_{\Omega}={\int}_{{\Omega}_{0}}\text{rd}{\Omega}_{0}\) .

Grandeurs mécaniques#

Le tenseur des déformations \(\varepsilon (u)(x,t)=\frac{1}{2}(\nabla u+{}^{T}\text{}\nabla u)\) .

On notera \({\epsilon}_{V}=\text{tr}(\varepsilon )\) .

Le tenseur des contraintes qui s’exercent sur le milieu poreux: \(\sigma\) .

Ce tenseur se décompose en un tenseur des contraintes effectives plus un tenseur de contraintes de pression, \(\sigma =\sigma '+{\sigma}_{p}\) et \({\sigma}_{p}\) sont des composantes des contraintes généralisées. Ce découpage est finalement assez arbitraire, mais correspond tout de même à une hypothèse assez communément admise, au moins pour les milieux saturés en liquide.

Grandeurs hydrauliques#

Les apports massiques en constituants \({m}_{w},{m}_{\text{ad}},{m}_{\text{vp}},{m}_{\text{as}}\) (unité: kilogramme par mètre cube).

Ils représentent la masse de fluide apportée entre les instants initiaux et actuels. Ils font partie des contraintes généralisées.

Les flux hydrauliques \({M}_{w},{M}_{\text{ad}},{M}_{\text{vp}},{M}_{\text{as}}\) (unité: kilogramme/seconde/mètre carré).

On pourrait très bien ne donner aucune définition plus précise des apports de masse et des flux, considérant que leur définition se résume à vérifier les équations d’équilibre hydraulique:

\(\lbrace \begin{array}{}\dot{{m}_{w}}+{\dot{m}}_{\text{vp}}+\text{Div}({M}_{w}+{M}_{\text{vp}})=0\\ \dot{{m}_{\text{as}}}+{\dot{m}}_{\text{ad}}+\text{Div}({M}_{\text{as}}+{M}_{\text{ad}})=0\end{array}\) éq 2.2.3.3-1

Nous allons néanmoins préciser le sens physique des ces grandeurs, sachant que ce que nous écrivons maintenant est déjà une loi de comportement.

Les vitesses des constituants sont mesurées dans un référentiel fixe en espace et en temps.

On note \({v}_{w}\) la vitesse de l’eau, \({v}_{\mathrm{ad}}\) celle de l’air dissous, \({v}_{\mathrm{vp}}\) celle de la vapeur, \({v}_{\mathrm{as}}\) celle de l’air sec, et \({v}_{S}=\frac{du}{\mathrm{dt}}\) celle du squelette.

Les apports massiques sont définis par:

\(\begin{array}{}{m}_{w}={\rho}_{w}(1+{\varepsilon}_{V})\phi {S}_{\text{lq}}-{\rho}_{w}^{0}{\phi }^{0}{S}_{\text{lq}}^{0}\\ {m}_{\text{ad}}={\rho}_{\text{ad}}(1+{\varepsilon}_{V})\phi {S}_{\text{lq}}-{\rho}_{\text{ad}}^{0}{\phi }^{0}{S}_{\text{lq}}^{0}\\ {m}_{\text{as}}={\rho}_{\text{as}}(1+{\varepsilon}_{V})\phi (1-{S}_{\text{lq}})-{\rho}_{\text{as}}^{0}{\phi }^{0}(1-{S}_{\text{lq}}^{0})\\ {m}_{\text{vp}}={\rho}_{\text{vp}}(1+{\varepsilon}_{V})\phi (1-{S}_{\text{lq}})-{\rho}_{\text{vp}}^{0}{\phi }^{0}(1-{S}_{\text{lq}}^{0})\end{array}\) éq 2.2.3.3-2

Les flux massiques sont définis par:

\(\begin{array}{}{M}_{w}={\rho}_{w}\varphi {S}_{l}({v}_{w}-{v}_{s})\\ {M}_{\text{ad}}={\rho}_{\text{ad}}\varphi {S}_{l}({v}_{\text{ad}}-{v}_{s})\\ {M}_{\text{as}}={\rho}_{\text{as}}\varphi (1-{S}_{l})({v}_{\text{as}}-{v}_{s})\\ {M}_{\text{vp}}={\rho}_{\text{vp}}\varphi (1-{S}_{l})({v}_{\text{vp}}-{v}_{s})\end{array}\) éq 2.2.3.3-3

Les apports massiques permettent de définir la masse volumique globale vue par rapport à la configuration de référence:

\(r={r}_{0}+{m}_{w}+{m}_{\text{ad}}+{m}_{\text{vp}}+{m}_{\text{as}}\) éq 2.2.3.3-4

où \({r}_{0}\) désigne la masse volumique homogénéisée à l’instant initial.

On introduit d’autres grandeurs hydrauliques intermédiaires:

concentration de la densité de vapeur dans le gaz: \({C}_{\text{vp}}=\frac{{\rho}_{\text{vp}}}{{\rho}_{\text{gz}}}\) ,
la densité de vapeur \({\rho}_{\text{vp}}\) .
la pression de vapeur \({p}_{\text{vp}}\) .

Grandeurs thermiques#

la chaleur non convectée \({Q}^{'}\) (voir plus loin) (unité: Joule),
les enthalpies massiques des constituants \({h}_{ij}^{m}\) (\({h}_{w}^{m},{h}_{\text{ad}}^{m},{h}_{\text{vp}}^{m},{h}_{\text{as}}^{m}\) ) (unité: Joule/Kelvin),
le flux de chaleur: \(q\) (unité: \(J/s/{m}^{2}\) ).

Toutes ces grandeurs appartiennent aux contraintes généralisées au sens du document [[R7.01.10] .

Données extérieures#

la force massique \({F}^{m}\) (en pratique la gravité),
les sources de chaleur \(\Theta\) ,
les conditions aux limites portant soit sur des variables imposées, soit sur des flux imposés.

Équations constitutives#

Équations de conservation#

Il ne s’agit ici que d’un rappel, la façon de les établir est présentée dans [R7.01.10] .

Équilibre mécanique#

En notant \(\sigma\) le tenseur des contraintes mécaniques totales et \(r\) la masse volumique homogénéisée du milieu, l’équilibre mécanique s’écrit:

\(\text{Div}(\sigma )+r{F}^{m}=0\) éq 3.1.1-1

Nous rappelons que \(r\) est reliée aux variations de masse fluide par la relation:

\(r={r}_{0}+{m}_{w}+{m}_{\text{ad}}+{m}_{\text{vp}}+{m}_{\text{as}}\) éq 3.1.1-2

Conservation des masses fluides#

Pour le fluide la dérivée \(\dot{a}=\frac{{d}^{s}a}{\text{dt}}\) est en fait une dérivée eulérienne et les équations que nous écrivons pour le fluide comportent des termes de transport, même s’ils peuvent être cachés par le choix des inconnues. Les équations de conservation des masses fluides s’écrivent alors:

\(\lbrace \begin{array}{}\dot{{m}_{w}}+{\dot{m}}_{\text{vp}}+\text{Div}({M}_{w}+{M}_{\text{vp}})=0\\ \dot{{m}_{\text{as}}}+{\dot{m}}_{\text{ad}}+\text{Div}({M}_{\text{as}}+{M}_{\text{ad}})=0\end{array}\) éq 3.1.2-1

Conservation de l’énergie : équation thermique#

\(\begin{array}{c}{h}_{w}^{m}\dot{{m}_{w}}+{h}_{\text{ad}}^{m}{\dot{m}}_{\text{ad}}+{h}_{\text{vp}}^{m}{\dot{m}}_{\text{vp}}+{h}_{\text{as}}^{m}{\dot{m}}_{\text{as}}+\dot{Q}'+\text{Div}({h}_{w}^{m}{\mathrm{M}}_{\mathrm{w}}+{h}_{\text{ad}}^{m}{\mathrm{M}}_{\text{ad}}+{h}_{\text{vp}}^{m}{\mathrm{M}}_{\text{vp}}+{h}_{\text{as}}^{m}{\mathrm{M}}_{\text{as}})+\text{Div}(\mathrm{q})=\\ ({\mathrm{M}}_{\mathrm{w}}+{\mathrm{M}}_{\text{ad}}+{\mathrm{M}}_{\text{vp}}+{\mathrm{M}}_{\text{as}}){F}^{m}+\Theta \end{array}\) éq 3.1.3-1

Équations de comportement#

Évolution de la porosité#

Cas général isotrope#

\(d\varphi =\left(b-\varphi \right)\left(d{\epsilon}_{V}-3{\alpha}_{0}\text{dT}+\frac{{\text{dp}}_{\text{gz}}-{S}_{\text{lq}}{\text{dp}}_{c}}{{K}_{s}}\right)\) éq 3.2.1-1

Dans cette équation, on voit apparaître les coefficients \(b\) et \({K}_{s}\) . \(b\) est le coefficient de Biot et \({K}_{s}\) est le module de compressibilité des grains solides. Si \({K}_{0}\) désigne le module de compressibilité «drainé» du milieu poreux, on a la relation:

\(b=1-\frac{{K}_{0}}{{K}_{s}}\) éq 3.2.1-2

Remarque :

L’expression 3.2.1-1 peut paraître inhabituelle compte tenu de la définition standard du coefficient de Biot. Cela est dû au fait que nous utilisons la porosité eulérienne \(\phi\) alors que la définition habituelle du coefficient de Biot se base sur la définition lagrangienne \(\Phi\) de cette quantité.

Les deux définitions sont reliées par la relation:

:math:`Phi =left(1+{epsilon}_{V}right)varphi ` éq 3.2.1-3

Dans le cas d’une évolution isotherme pour un milieu saturé, la variation de porosité lagrangienne est simplement proportionnelle à la variation de volume:

\(d\Phi =b\,d{\varepsilon}_{V}\) éq 3.2.1-4

Reportant éq 3.2.1-4 dans éq 3.2.1-3, on trouve:

\(\left(1+{\epsilon}_{V}\right)d\varphi =\left(b-\varphi \right)d{\epsilon}_{V}\)

Pour \({\varepsilon}_{V}\) petit ( hypothèse retenue dans les modélisations THM ), on obtient \(d\varphi =(b-\varphi )d{\varepsilon}_{V}\) , qui correspond bien à [éq 3.2.1-1] pour le cas examiné.

Cas isotrope transverse#

\(d\phi =B:d\epsilon -\phi d{\epsilon}_{V}-3{\alpha}_{\phi }\text{dT}+\frac{{\text{dp}}_{\text{gz}}-{S}_{\text{lq}}{\text{dp}}_{c}}{{M}_{\phi }}\) éq 3.2.1-5

Dans cette équation, on voit apparaître le tenseur de Biot \(B\) , le module de Biot de la matrice solide \(\frac{1}{{M}_{\phi }}\) et \({\alpha}_{\phi }\) le coefficient de dilatation différentiel.

L’expression du coefficient de dilatation différentiel est donnée par la relation:

\({\alpha}_{\phi }=\frac{(B-\phi \delta ):{\alpha}_{0}}{3}\) éq 3.2.1-6

\(\delta\) la matrice identité ,
\(B=({b}_{L}({e}_{L}\otimes {e}_{L}+{e}_{T}\otimes {e}_{T})+{b}_{N}({e}_{N}\otimes {e}_{N}))\) le tenseur de Biot fonction des coefficients moyens de Biot \({b}_{L}\) et \({b}_{N}\) selon les directions N et L du repère local d’orthotropie (L,T,N). Dans le cas isotrope \({b}_{L}={b}_{N}=b\) ,
\({\alpha}_{0}=({\alpha}_{L}({e}_{L}\boldsymbol{\otimes}{e}_{L}+{e}_{T}\boldsymbol{\otimes}{e}_{T})+{\alpha}_{N}({e}_{N}\boldsymbol{\otimes}{e}_{N}))\) le tenseur de dilatation thermique fonction de \({\alpha}_{N}\) et \({\alpha}_{L}\) les coefficients moyens de dilatation du milieux poreux et des grains solides selon les directions N et L du repère local d’orthotropie (L,T,N).Dans le cas isotrope \({\alpha}_{L}\boldsymbol{=}{\alpha}_{N}\boldsymbol{=}{\alpha}_{0}\) .

Remarque:

Dans le cas isotrope l’expression du coefficient de dilatation différentiel est donnée par:

\({\alpha}_{\varphi}=(b-\varphi ){\alpha}_{0}\)

L’expression du module de Biot de la matrice solide est donnée par la relationsuivante ( [bib11] et [bib13] ) :

\(\frac{1}{{M}_{\varphi}}=(B-\varphi \delta )\boldsymbol{:}{S}_{0}^{S}\boldsymbol{:}\delta\) éq 3.2.1-7

Remarque:

Dans le cas isotrope l’expression du module de Biot de la matrice solide est donnée par:

\(\frac{1}{{M}_{\varphi}}=3(b-\varphi )(\frac{1\boldsymbol{-}2{\nu}^{S}}{{E}^{S}})\)

\({S}_{0}^{S}\) la matrice de souplesse du squelette, fonction du module de Young de la matrice solide \({E}^{S}\) et du coefficient de Poisson de la matrice solide \({\nu}^{S}\) . En supposant que microscopiquement le squelette est isotrope homogène [bib12] , l’expression de la matrice de souplesse est donnée par:

\({S}_{0}^{S}=(\begin{array}{cccccc}\frac{1}{{E}^{S}}& -\frac{{\nu}^{S}}{{E}^{S}}& -\frac{{\nu}^{S}}{{E}^{S}}& 0& 0& 0\\ -\frac{{\nu}^{S}}{{E}^{S}}& \frac{1}{{E}^{S}}& -\frac{{\nu}^{S}}{{E}^{S}}& 0& 0& 0\\ -\frac{{\nu}^{S}}{{E}^{S}}& -\frac{{\nu}^{S}}{{E}^{S}}& \frac{1}{{E}^{S}}& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 2\frac{(1+{\nu}^{S})}{{E}^{S}}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 2\frac{(1+{\nu}^{S})}{{E}^{S}}& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 2\frac{(1+{\nu}^{S})}{{E}^{S}}\end{array})\) éq 3.2.1-8

En pratique il est très difficile d’avoir accès aux paramètres microscopiques \({E}^{S}\) et \({\nu}^{S}\) caractérisant la matrice solide. Nous pouvons cependant nous affranchir de la connaissance de ces deux paramètres par déduction du coefficients de compressibilité des grains solides à partir des paramètres élastiques du milieu poreux.

Compte tenu de ce qui a été dit précédemment, nous avons choisis de fixer arbitrairement dans la programmation la valeur de \({\nu}^{S}\boldsymbol{=}\boldsymbol{0,3}\) (cf. [bib12] ). On adopte ensuite la démarche suivante afin de déterminer le tenseur de souplesse de la matrice solide:

on suppose qu’à l’échelle microscopique, la matrice solide est homogène. En outre on considère que la déformation volumique de la matrice solide entre l’instant initial et l’instant final (après chargement mécanique) est négligeable. Ainsi la définition du module de compressibilité des grains solides est données par:

\({K}_{S}=\frac{{E}^{S}}{3\left(1-2{\nu}^{S}\right)}\)

les expressions des composantes du tenseur de Biot, selon les axes \(L\) et \(N\) du repère local d’orthotropie sontdonnéespar [bib12] :

\(\boldsymbol{\{}\begin{array}{c}{b}_{L}\boldsymbol{=}1\boldsymbol{-}\frac{{M}_{11}+{M}_{12}+{M}_{13}}{3{K}_{S}}\\ {b}_{N}\boldsymbol{=}1\boldsymbol{-}\frac{2{M}_{13}+{M}_{33}}{3{K}_{S}}\end{array}\)

avec:

\({M}_{11}\boldsymbol{=}\frac{{E}_{L}({E}_{N}\boldsymbol{-}{E}_{L}{\nu}_{\text{LN}}^{2})}{(1+{\nu}_{\text{LT}})({E}_{N}\boldsymbol{-}{E}_{N}{\nu}_{\text{LT}}\boldsymbol{-}2{E}_{L}{\nu}_{\text{LN}}^{2})}\)

\({M}_{12}=\frac{{E}_{L}({E}_{N}{\nu}_{\text{LT}}+{E}_{N}{\nu}_{\text{LN}}{\nu}_{\text{LT}}+{E}_{L}{\nu}_{\text{LN}}^{2})}{(1+{\nu}_{\text{LT}})({E}_{N}-{E}_{N}{\nu}_{\text{LT}}-2{E}_{L}{\nu}_{\text{LN}}^{2})}\)

\({M}_{13}\boldsymbol{=}\frac{{E}_{L}{E}_{N}{\nu}_{\text{LN}}}{(1+{\nu}_{\text{LT}})({E}_{N}\boldsymbol{-}{E}_{N}{\nu}_{\text{LT}}\boldsymbol{-}2{E}_{L}{\nu}_{\text{LN}}^{2})}\)

\({M}_{33}\boldsymbol{=}\frac{{E}_{L}^{2}(1\boldsymbol{-}{\nu}_{\text{LT}})}{{E}_{N}\boldsymbol{-}{E}_{N}{\nu}_{\text{LT}}\boldsymbol{-}2{E}_{L}{\nu}_{\text{LN}}^{2}}\)

En considérant l’une ou l’autre des deux expressions ci-dessus (compte tenu de l’hypothèse d’isotropie effectuée sur \({K}_{S}\) ), nous sommes alors en mesure d’isoler \({K}_{S}\) .

à partir de l’expression de \({K}_{S}\) déterminée précédemment, on peut avoir accès au module de Young \({E}^{S}\) de la matrice solide sachant que:

\(\{\begin{array}{c}{\nu}_{S}=\boldsymbol{0,3}\\ {E}_{S}=3\left(1-2{\nu}^{S}\right){K}^{S}\end{array}\) éq 3.2.1-9

Cas sans couplage mécanique#

Pour les modélisations purement hydrauliques ou thermo-hydrauliques sans couplage mécanique, il est toutefois possible de faire varier la porosité via un coefficient d’emmagasinement \({E}_{m}\) . Ce dernier relie alors la variation de porosité à la variation de pression de liquide tel que :

\(d\varphi ={E}_{\boldsymbol{m.}}{\boldsymbol{dp}}_{\text{lq}}\)

Ce coefficient n’est pas pris en compte dans le cas des modélisations avec mécanique (* HM* )

Évolution des apports de masse fluide#

En utilisant la définition des apports de masse fluide et en faisant valoir des arguments purement géométriques, on trouve:

\(\begin{array}{}{m}_{\text{w}}={\rho}_{\text{w}}(1+{\varepsilon}_{V})\varphi {S}_{\text{lq}}-{\rho}_{\text{w}}^{0}{\varphi}^{0}{S}_{\text{lq}}^{0}\\ {m}_{\text{ad}}={\rho}_{\text{ad}}(1+{\varepsilon}_{V})\varphi {S}_{\text{lq}}-{\rho}_{\text{ad}}^{0}{\varphi}^{0}{S}_{\text{lq}}^{0}\\ {m}_{\text{as}}={\rho}_{\text{as}}(1+{\varepsilon}_{V})\varphi (1-{S}_{\text{lq}})-{\rho}_{\text{as}}^{0}{\varphi}^{0}(1-{S}_{\text{lq}}^{0})\\ {m}_{\text{vp}}={\rho}_{\text{vp}}(1+{\varepsilon}_{V})\varphi (1-{S}_{\text{lq}})-{\rho}_{\text{vp}}^{0}{\varphi}^{0}(1-{S}_{\text{lq}}^{0})\end{array}\) éq 3.2.2-1

**Remarque:*

Si nous utilisions la porosité lagrangienne, les apports massique s’écriraient:

\(\begin{array}{}{m}_{\text{w}}={\rho}_{\text{w}}\varphi {S}_{\text{lq}}-{\rho}_{\text{w}}^{0}{\varphi}^{0}{S}_{\text{lq}}^{0}\\ {m}_{\text{ad}}={\rho}_{\text{ad}}\varphi {S}_{\text{lq}}-{\rho}_{\text{ad}}^{0}{\varphi}^{0}{S}_{\text{lq}}^{0}\\ {m}_{\text{as}}={\rho}_{\text{as}}\varphi (1-{S}_{\text{lq}})-{\rho}_{\text{as}}^{0}{\varphi}^{0}(1-{S}_{\text{lq}}^{0})\\ {m}_{\text{vp}}={\rho}_{\text{vp}}\varphi (1-{S}_{\text{lq}})-{\rho}_{\text{vp}}^{0}{\varphi}^{0}(1-{S}_{\text{lq}}^{0})\end{array}\)

A titre d’exemple, nous démontrons la première relation dans le cas saturé \({S}_{\text{lq}}=1\) (avec \({\boldsymbol{\rho}}_{\text{lq}}={\boldsymbol{\rho}}_{\text{w}}\) ).

Soit un domaine élémentaire de milieu poreux de volume \(O\) . On note \({O}_{s}\) le volume occupé par les grains solides et \({O}_{l}\) le volume occupé par le liquide et le gaz. On note \({O}^{0}\) , \({O}_{{}_{s}}^{0}\) , \({O}_{{}_{l}}^{0}\) les mêmes volumes à l’état initial. Nous rappelons que \({\boldsymbol{\varepsilon}}_{V}\) note la variation de volume du milieu poreux et nous notons \({\boldsymbol{\varepsilon}}_{{V}_{s}}\) la variation volumique des grains solides.

On a par définition: \(\phi =\frac{{\Omega}_{l}}{\Omega}\)

\({\Omega}_{s}=\Omega -{\Omega}_{l}=\Omega (1-\varphi )={\Omega}_{s}^{0}(1+{\epsilon}_{\text{Vs}})\)

Mais \(\Omega (1-\varphi )={\Omega}^{0}(1+{\epsilon}_{V})(1-\varphi )\) .

On en déduit:

\({\Omega}^{0}(1+{\varepsilon}_{V})(1-\varphi )={\Omega}_{s}^{0}(1+{\varepsilon}_{\text{Vs}})\)

Il suffit d’écrire alors \({\Omega}_{s}^{0}={\Omega}^{0}(1-{\varphi}^{0})\) pour obtenir:

\({\Omega}^{0}(1+{\varepsilon}_{V})(1-\varphi )={\Omega}^{0}(1-{\varphi}^{0})(1+{\varepsilon}_{\text{Vs}})\)

D’où l’on déduit:

\({\varepsilon}_{\text{Vs}}(1-{\varphi}^{0})={\varepsilon}_{V}(1-\varphi )-(\varphi -{\varphi}^{0})\)

On utilise la définition eulérienne de la masse volumique homogénéisée \(r'\) (à ne pas confondre avec la définition lagrangienne de l’équation [éq 3.1.1-2]):

\(r'={\rho}_{(s)}(1-\varphi )+{\rho}_{(\boldsymbol{lq})}\varphi\)

et la définition de l’apport massique en liquide:

\({r}^{'}\Omega =({r}_{0}+{m}_{\text{lq}}){\Omega}^{0}\)

On obtient:

\({\rho}_{s}(1-\varphi )\Omega +{\rho}_{\text{lq}}\varphi \Omega ={\rho}_{s}^{0}(1-{\varphi}^{0}){\Omega}^{0}+{\rho}_{\text{lq}}^{0}{\varphi}^{0}{\Omega}^{0}+{m}_{\text{lq}}{\Omega}^{0}\)

soit encore:

\({\rho}_{s}{\Omega}_{s}+{\rho}_{\text{lq}}\varphi (1+{e}_{V}){\Omega}^{0}={\rho}_{{}_{s}}^{0}{\Omega}_{s}^{0}+{\rho}_{{}_{\text{lq}}}^{0}{\varphi}^{0}{\Omega}^{0}+{m}_{\text{lq}}{\Omega}^{0}\)

Utilisant la conservation de la masse des grains solides: \({\rho}_{s}{\Omega}_{s}={\rho}_{s}^{0}{\Omega}_{s}^{0}\) on obtient finalement:

\({\rho}_{\text{lq}}\varphi (1+{\varepsilon}_{V})={\rho}_{{}_{\text{lq}}}^{0}{\varphi}^{0}+{m}_{\text{lq}}\)

Lois de comportement des fluides#

Liquide#

\(\frac{d{\rho}_{\text{w}}}{{\rho}_{\text{w}}}=\frac{{\text{dp}}_{\text{w}}}{{K}_{\text{w}}}-3{\alpha}_{\text{w}}\text{dT}\) éq 3.2.3.1-1

On voit apparaître le module de compressibilité de l’eau \({K}_{\text{w}}\) et son module de dilatation \({\alpha}_{\text{w}}\) .

Gaz#

Pour les équations de comportement des gaz, on prend la loi des gaz parfaits:

\(\frac{{p}_{\text{vp}}}{{\boldsymbol{\rho}}_{\text{vp}}}=\frac{R}{{M}_{\text{vp}}^{\text{ol}}}T\) éq 3.2.3.2-1

\(\frac{{p}_{\text{as}}}{{\boldsymbol{\rho}}_{\text{as}}}=\frac{R}{{M}_{\text{as}}^{\text{ol}}}T\) éq 3.2.3.2-2

On voit apparaître la masse molaire de la vapeur, \({M}_{\text{vp}}^{\text{ol}}\) , et celle de l’air sec, \({M}_{\text{as}}^{\text{ol}}\) .

Évolution des enthalpies#

Enthalpie liquide#

\({\text{dh}}_{\text{w}}^{m}={C}_{\text{w}}^{p}\text{dT}+(1-3{\alpha}_{\text{w}}T)\frac{{\text{dp}}_{\text{w}}}{{\rho}_{\text{w}}}\) éq 3.2.4.1-1

On voit apparaître la chaleur massique à pression constante de l’eau: \({C}_{\text{w}}^{p}\) .

En remplaçant dans cette expression la pression du liquide par sa valeur en fonction de la pression capillaire et de la pression du gaz, on a:

\({\text{dh}}_{\text{w}}^{m}=(1-3{\alpha}_{\text{w}}T)\frac{{\text{dp}}_{\text{gz}}-{\text{dp}}_{c}-{\text{dp}}_{\text{ad}}}{{\rho}_{\text{w}}}+{C}_{\text{w}}^{p}\text{dT}\) éq 3.2.4.1-2

En notant \({C}_{\text{ad}}^{p}\) la chaleur massique à pression constante de l’air dissous, on a:

\({\text{dh}}_{\text{ad}}^{m}={C}_{\text{ad}}^{p}\text{dT}\) éq 3.2.4.1-3

Enthalpie des gaz#

\({\text{dh}}_{\text{vp}}^{m}={C}_{\text{vp}}^{p}\text{dT}\) éq 3.2.4.2-1

\({\text{dh}}_{\text{as}}^{m}={C}_{\text{as}}^{p}\text{dT}\) éq 3.2.4.2-2

On voit apparaître la chaleur massique à pression constante de l’air sec \({C}_{\text{as}}^{p}\) et celle de la vapeur \({C}_{\text{vp}}^{p}\) .

Apport de chaleur hors fluides#

C’est la quantité \(\boldsymbol{\delta}{Q}^{'}\) qui représente la chaleur reçue par le système hors apport enthalpique des fluides.

\(\delta {Q}^{'}=({C}_{0}\boldsymbol{:}{\alpha}_{0}\boldsymbol{:}\text{d}\epsilon )T+3{\alpha}_{\text{lq}}^{m}{\text{Tdp}}_{c}-\left(3{\alpha}_{\text{gz}}^{m}+3{\alpha}_{\text{lq}}^{m}\right){\text{Tdp}}_{\text{gz}}+{C}_{\epsilon}^{0}\text{dT}\) Éq 3.2.4.3-1

On voit apparaître plusieurs coefficients de dilatation: \({\alpha}_{\text{lq}}^{m},{\alpha}_{\text{gz}}^{m}\) . Les composantes du tenseur \({\alpha}_{0}\) sont des données matériaux. Dans le cas isotrope, les composantes du tenseur sont égales \(({\alpha}_{L}={\alpha}_{N}={\alpha}_{0})\) et correspondent à la fois aux coefficients de dilatation du milieu poreux et à ceux des grains solides (qui se trouvent être forcément égaux dans la théorie que nous présentons ici).

On voit également apparaître le tenseur \({C}_{0}\) , correspondant à la matrice de Hooke du squelette. Ce tenseur est fonction des paramètres mécaniques du milieu poreux \(({E}_{L},{E}_{N},{\nu}_{\text{LT}},{\nu}_{\text{LN}},{G}_{\text{LN}})\) dans le cas isotrope transverse ou \((E,\nu )\) dans le cas isotrope.

Remarque:

Dans le cas isotrope l’expression de l’apport de chaleur hors fluide est donnée par:

\(\delta {Q}^{'}=(3{K}_{0}{\alpha}_{0}\text{d}{\epsilon}_{V})T+3{\alpha}_{\text{lq}}^{m}{\text{Tdp}}_{c}-\left(3{\alpha}_{\text{gz}}^{m}+3{\alpha}_{\text{lq}}^{m}\right){\text{Tdp}}_{\text{gz}}+{C}_{\epsilon}^{0}\text{dT}\)

avec \({K}_{0}\) le coefficient de compressibilité du milieu poreux, fonction des paramètres élastique du milieu poreux \((E,\nu )\)

\({\boldsymbol{\alpha}}_{\text{lq}}^{m},{\boldsymbol{\alpha}}_{\text{gz}}^{m}\) sont donnés par les relations:

\({\alpha}_{\text{gz}}^{m}=(1-{S}_{\text{lq}}){\alpha}_{\varphi}+\frac{\varphi (1-{S}_{\text{lq}})}{\boldsymbol{3T}}\) éq 3.2.4.3-2

\({\alpha}_{\text{lq}}^{m}={S}_{\text{lq}}{\alpha}_{\phi }+{\alpha}_{\text{lq}}\phi {S}_{\text{lq}}\) éq 3.2.4.3-3

On voit également apparaître dans [éq 3.2.4.3-1] la chaleur spécifique à déformation constante du milieu poreux \({C}_{\varepsilon}^{0}\) , qui dépend de la chaleur spécifique à contrainte constante du milieu poreux \({C}_{\sigma}^{0}\) par la relation:

\({C}_{\epsilon}^{0}={C}_{\sigma}^{0}-T({C}_{0}\boldsymbol{:}{\alpha}_{0})\boldsymbol{:}{\alpha}_{0}\) éq 3.2.4.3-4

Remarque:

Dans le cas isotrope l’expression de la chaleur spécifique à déformation constante du milieu poreux est donnée par:

\({C}_{\epsilon}^{0}={C}_{\sigma}^{0}-9T{K}_{0}{\alpha}_{0}^{2}\)

\({C}_{\sigma}^{0}\) est donnée par une loi de mélange:

\({C}_{\sigma}^{0}=(1-\varphi ){\rho}_{s}{C}_{\sigma}^{s}+{S}_{\text{lq}}\varphi ({\rho}_{\text{w}}{C}_{\text{w}}^{p}+{\rho}_{\text{ad}}{C}_{\text{ad}}^{p})+(1-{S}_{\text{lq}})\varphi ({\rho}_{\text{vp}}{C}_{\text{vp}}^{p}+{\rho}_{\text{as}}{C}_{\text{as}}^{p})\) éq 3.2.4.3-5

où \({C}_{\sigma}^{s}\) représente la chaleur spécifique à contrainte constante des grains solides et \({\rho}_{s}\) la masse volumique des grains solides. Pour le calcul de \({\rho}_{s}\) , on néglige la déformation des grains solides, on confond donc \({\rho}_{s}\) avec sa valeur initiale \({\rho}_{s}^{0}\) , laquelle se calcule en fait à partir de la masse spécifique initiale du milieu poreux \({r}_{0}\) par la formule suivante des mélanges:

\((1-{\varphi}^{0}){\rho}_{{}_{s}}^{0}={r}_{0}-({\rho}_{\text{w}}^{0}+{\rho}_{\text{ad}}^{0}){S}_{\text{lq}}^{0}{\varphi}^{0}-(1-{S}_{\text{lq}}^{0}){\varphi}^{0}({\rho}_{\text{vp}}^{0}+{\rho}_{\text{as}}^{0})\) éq 3.2.4.3-6

Lois de diffusion (lois complémentaires)#

Diffusion de la chaleur#

On prend la loi classique de Fourrier:

\(q=-{\tensTwo{\lambda}}^{T}\,\nabla T\) éq 3.2.5.1-1

où l’on voit apparaître le tenseur de conductivité thermique \({\tensTwo{\lambda}}^{T}\) .

Le tenseur de conductivité est fonction de la porosité, de la saturation et de la température et est donnée sous la forme du produit de trois fonctionsplus une constante:

\({\tensTwo{\lambda}}^{T}\boldsymbol{=}{\tensTwo{\lambda}}_{\varphi}^{T}(\phi )\,{\tensTwo{\lambda}}_{S}^{T}({S}_{\text{lq}})\,{\tensTwo{\lambda}}_{T}^{T}(T)+{\tensTwo{\lambda}}_{\text{cte}}^{T}\) éq 3.2.5.1-2

Dans le cas isotrope, on a \({\tensTwo{\lambda}}^{T}={\tensTwo{\lambda}}^{T}\,1\) , \({\tensTwo{\lambda}}_{T}^{T}(T)={\tensTwo{\lambda}}_{T}^{T}(T)\,1\) et \({\tensTwo{\lambda}}_{\mathit{cte}}^{T}={\tensTwo{\lambda}}_{\mathit{cte}}^{T}\,1\) .

Diffusion des fluides#

Ce sont les lois de Darcy, auxquelles on rajoute la loi de Fick dans les mélanges dans un même fluide.

Les lois de Darcy sont écrites pour le liquide:

\[\frac{{\boldsymbol{M}}_{\text{lq}}}{{\rho}_{\text{lq}}} = \tensTwo{\lambda}_{\text{lq}}^{H} \left( - \boldsymbol{\nabla} {p}_{\text{lq}} + {\rho}_{\text{lq}}{\boldsymbol{F}}^{m} \right)\]

et pour le gaz

\[\frac{{\boldsymbol{M}}_{\text{gz}}}{{\rho}_{\text{gz}}} = \tensTwo{\lambda}_{\text{gz}}^{H} \left( - \boldsymbol{\nabla} {p}_{\text{gz}} + {\rho}_{\text{gz}}{\boldsymbol{F}}^{m} \right)\]

où nous voyons apparaître les tenseurs de conductivité hydraulique \(\tensTwo{\lambda}_{\text{lq}}^{H}\) et \(\tensTwo{\lambda}_{\text{gz}}^{H}\) pour le liquide et le gaz respectivement. Dans les cas isotrope, \(\tensTwo{\lambda}_{\text{lq}}^{H}={\tensTwo{\lambda}}_{\text{lq}}^{H} \, \tensTwoUnit\) et \({\tensTwo{\lambda}}_{\text{gz}}^{H}={\tensTwo{\lambda}}_{\text{gz}}^{H}\, \tensTwoUnit\) .

Remarque:: Dans cette expression de la loi de Darcy, on néglige l’accélération différentielle de l’eau. Dans le cas de milieux très perméables et très poreux soumis à un chargement sismique, cela peut constituer une limite.

La diffusion dans les mélanges au sein d’un fluide est donnée par la loi de Fick.

L’écriture de la loi de Fick est ici réalisée à partir des concentrations massiques. On définit dans ce qui suit ces concentrations et leur utilisation pour les deux types de mélanges.

Pour le mélange gazeux, en air sec:

\[{C}_{\text{as}} = \frac{{\rho}_{\text{as}}}{{\rho}_{\text{gz}}}\]

en vapeur:

\[{C}_{\text{vp}} = \frac{{\rho}_{\text{vp}}}{{\rho}_{\text{gz}}}\]

Les flux des composants gazeux s’écrivent alors :

\[{\boldsymbol{M}}_{\text{as}} = {\rho}_{\text{as}} \, {\tensTwo{\lambda}}_{\text{gz}}^{H} \left( - \boldsymbol{\nabla} {p}_{\text{gz}} + {\rho}_{\text{gz}}{\boldsymbol{F}}^{m} \right) + {F}_{\text{vp}}{\rho}_{\text{gz}}\boldsymbol{\nabla}{C}_{\text{as}}\]

et

\[{\boldsymbol{M}}_{\text{vp}} = {\rho}_{\text{vp}} \, {\tensTwo{\lambda}}_{\text{gz}}^{H} \left( - \boldsymbol{\nabla} {p}_{\text{gz}} + {\rho}_{\text{gz}}{\boldsymbol{F}}^{m} \right) - {F}_{\text{vp}}{\rho}_{\text{gz}}\boldsymbol{\nabla}{C}_{\text{vp}}\]

où \({F}_{\text{vp}}\) est le coefficient de diffusion de Fick du mélange gazeux (de dimension \(L^2.T^{-1}\))

De plus, on rappelle que :

\[{\rho}_{\text{gz}} = {\rho}_{\text{vp}} + {\rho}_{\text{as}}\]

ce qui conduit à

\[{C}_{\text{as}} = 1-{C}_{\text{vp}}\]

On remarque alors que :

\[\frac{{\boldsymbol{M}}_{\text{vp}}}{{\rho}_{\text{vp}}} - \frac{{\boldsymbol{M}}_{\text{as}}}{{\rho}_{\text{as}}} = - {F}_{\text{vp}} \, \frac{{C}_{\text{vp}} + {C}_{\text{as}}}{{C}_{\text{vp}} \, {{C}_{\text{as}}} } \boldsymbol{\nabla} {C}_{\text{vp}}\]

Pour le mélange liquide, de la même manière

\[{C}_{\text{w}} = \frac{{\rho}_{\text{w}}}{{\rho}_{\text{lq}}} \text{ et } {C}_{\text{ad}} = \frac{{\rho}_{\text{ad}}}{{\rho}_{\text{lq}}} \text{ et } {C}_{\text{w}} = 1-{C}_{\text{ad}}\]

On peut raisonnablement estimer que \({C}_{\text{w}} \approx 1\) donc on peut négliger le terme en \(\boldsymbol{\nabla}{C}_{\text{w}}\) et les flux dans le mélange liquide deviennent :

\[\frac{{\boldsymbol{M}}_{\text{w}} }{{\rho}_{\text{w}}} = {\lambda}_{\text{lq}}^{H} \left( - \boldsymbol{\nabla} {p}_{\text{lq}} + {\rho}_{\text{lq}}{\boldsymbol{F}}^{m} \right)\]

et pour l’air dissous

\[{\boldsymbol{M}}_{\text{ad}} = {\rho}_{\text{ad}} \, {\tensTwo{\lambda}}_{{\text{lq}}_{}}^{H} \left( -\boldsymbol{\nabla} {p}_{\text{lq}} + {\rho}_{\text{lq}}{\boldsymbol{F}}^{m} \right) - {F}_{\text{ad}}{\rho}_{\text{lq}}\boldsymbol{\nabla}{C}_{\text{ad}}\]

où \({F}_{\text{ad}}\) est le coefficient de diffusion de Fick du mélange liquide (de dimension \(L^2.T^{-1}\)).

Le liquide étant faiblement compressible, on peut en outre écrire que :

\[{\rho}_{\text{lq}} \, {F}_{\text{ad}} \, \boldsymbol{\nabla}{C}_{\text{ad}} = {\rho}_{\text{lq}} \, {F}_{\text{ad}} \, \boldsymbol{\nabla}{\frac{{\rho}_{\text{ad}}}{{\rho}_{\text{lq}}}} = {F}_{\text{ad}}\, \boldsymbol{\nabla}{{\rho}_{\text{ad}}}\]

Avec ces hypothèses, on aura alors :

\[\frac{ {\boldsymbol{M}}_{\text{ad}} }{ {\rho}_{\text{ad}} } - \frac{ {\boldsymbol{M}}_{\text{w}} } { {\rho}_{\text{w}} } = - \frac{{F}_{\text{ad}}}{\rho_{ad}} \, \boldsymbol{\nabla}{\rho}_{\text{ad}}\]

En combinant ces relations, on peux finalement écrire les flux hydrauliques sous la forme suivante :

\[\begin{split}\left \{ \begin{array}{ll} {\boldsymbol{M}}_\text{as} = {\rho}_\text{as} \, {\tensTwo{\lambda}}_{\text{gz}}^{H}(-\boldsymbol{\nabla}{p}_{\text{gz}} + {\rho}_\text{gz} {\boldsymbol{F}}^{m}) + {F}_\text{vp}{\rho}_{\text{gz}}\boldsymbol{\nabla}{C}_{\text{vp}} \\ {\boldsymbol{M}}_\text{vp} = {\rho}_\text{vp} \, {\tensTwo{\lambda}}_{\text{gz}}^{H}(-\boldsymbol{\nabla}{p}_{\text{gz}} + {\rho}\text{gz} {\boldsymbol{F}}^{m}) - {F}_\text{vp}{\rho}_{\text{gz}}\boldsymbol{\nabla}{C}_{\text{vp}} \\ {\boldsymbol{M}}_\text{w} = {\rho}_\text{w} \, {\tensTwo{\lambda}}_{\text{lq}}^{H}(-\boldsymbol{\nabla}{p}_{\text{lq}} + {\rho}_\text{lq}{\boldsymbol{F}}^{m}) \\ {\boldsymbol{M}}_\text{ad} = {\rho}_\text{ad} \, {\tensTwo{\lambda}}_{\text{lq}}^{H}(-\boldsymbol{\nabla}{p}_{\text{lq}} + {\rho}_\text{lq} {\boldsymbol{F}}^{m}) - {F}_{\text{ad}}\boldsymbol{\nabla}{\rho}_{\text{ad}} \\ \end{array} \right.\end{split}\]

Les tenseurs de conductivités hydrauliques \({\tensTwo{\lambda}}_{\text{lq}}^{H}\) et \({\tensTwo{\lambda}}_{{\text{gz}}_{}}^{H}\) ne sont pas directement des données et leurs valeurs sont connues à partir des formules:

\[{\tensTwo{\lambda}}_{\text{lq}}^{H} = \frac{\tensTwo{K}^{int}(\varphi)\,{k}_{\text{lq}}^{\text{rel}}({S}_{\text{lq}})}{{\mu}_{\text{w}}(T)}\]

\[{\tensTwo{\lambda}}_{\text{gz}}^{H} = \frac{\tensTwo{K}^{int}(\varphi)\,{k}_{\text{gz}}^{\text{rel}}({S}_{\text{lq}},{p}_{\text{gz}})}{{\mu}_{\text{gz}}(T)}\]

Avec les données suivantes: * \(\tensTwo{K}^{int}\) est le tenseur de perméabilité intrinsèque, caractéristique du milieu poreux et donnée utilisateur, fonction quelconque de la porosité. Dans le cas isotrope, \(\tensTwo{K}^{int}={K}^{int} \, \tensTwoUnit\);

\({\mu}_{\text{w}}\) est la viscosité dynamique de l’eau, caractéristique du l’eau et donnée utilisateur, fonction quelconque de la température;
\({\mu}_{\text{gz}}\) est la viscosité dynamique du gaz, caractéristique du gaz et donnée utilisateur, fonction quelconque de la température;
\({k}_{\text{lq}}^{\text{rel}}\) est la perméabilité relative au liquide, caractéristique du milieu poreux et donnée utilisateur, fonction quelconque de la saturation en liquide;
\(\tensTwo{k}_{\text{gz}}^{\text{rel}}\) est la perméabilité relative au gaz, caractéristique du milieu poreux et donnée utilisateur, fonction quelconque de la saturation en liquide et de la pression de gaz.

Remarques

Les conductivités hydrauliques définies ici ne sont pas forcément très familières pour les mécaniciens des sols, qui utilisent couramment pour les milieux saturés le tenseur de perméabilité \(\tensTwo{k}\), dont les composantes sont homogènes à une vitesse.
La relation entre les tenseurs \(\tensTwo{k}`et* :math:`{\tensTwo{\lambda}}_{\text{lq}}^{H}\) est ainsi: \({\tensTwo{\lambda}}_{\text{lq}}^{H}=\frac{\tensTwo{k}}{{\rho}_{\text{w}} \, g}\) où :math:`g`est l’accélération de la pesanteur.

Par ailleurs, le coefficient de diffusion de Fick du mélange gazeux \({F}_{\text{vp}}\) est une caractéristique du milieu poreux, donnée utilisateur fonction quelconque de la pression de vapeur, de la pression de gaz, de la saturation et de la température que l’on écrira comme un produit de fonction de chacune de ces variables

\[{F}_{\text{vp}}({P}_{\text{vp}},{P}_{\text{gz}},T,S) = {f}_{\text{vp}}^{\text{vp}}({P}_{\text{vp}}) \, {f}_{\text{vp}}^{\text{gz}}({P}_{\text{gz}}) \, {f}_{\text{vp}}^{T}(T) \, {f}_{\text{vp}}^{S}(S)\]

On négligera les dérivées par rapport à la pression de vapeur et à la saturation. De la même manière pour le coefficient de diffusion de Fick du milieu liquide

\[{F}_{\text{ad}}({P}_{\text{ad}},{P}_{\text{lq}},T,S) = {f}_{\text{ad}}^{\text{ad}}({P}_{\text{ad}}) \, {f}_{\text{ad}}^{\text{lq}}({P}_{\text{lq}}) \, {f}_{\text{ad}}^{T}(T) \, {f}_{\text{ad}}^{S}(S)\]

On ne prend en compte que la dérivée en fonction de la température.

Équilibre eau-vapeur#

Cette relation est essentielle et elle a pour conséquence de réduire le nombre d’inconnues de pression.

On note \({h}_{\text{w}}^{m}\) l’enthalpie massique de l’eau, \({s}_{\text{w}}^{m}\) son entropie et \({g}_{\text{w}}^{m}={h}_{\text{w}}^{m}-{\text{Ts}}_{\text{w}}^{m}\) son enthalpie libre.

On note \({h}_{\text{vp}}^{m}\) l’enthalpie massique de la vapeur, \({s}_{\text{vp}}^{m}\) son entropie et \({g}_{\text{vp}}^{m}={h}_{\text{vp}}^{m}-{\text{Ts}}_{\text{vp}}^{m}\) son enthalpie libre.

L’équilibre eau vapeur s’écrit:

\({g}_{\text{vp}}^{m}={g}_{\text{w}}^{m}\) éq 3.2.6-1

Qui donne:

\({h}_{\text{vp}}^{m}-{h}_{\text{w}}^{m}=T({s}_{\text{vp}}^{m}-{s}_{\text{w}}^{m})\) éq 3.2.6-2

Par ailleurs, la définition de l’enthalpie libre nous apprend que: \(\text{dg}=\frac{\text{dp}}{\rho}-\text{sdT}\) , ce qui, appliqué à la vapeur et à l’eau, combiné à la relation \({\text{dg}}_{{}_{\text{vp}}}^{m}={\text{dg}}_{{}_{\text{w}}}^{m}\) et en utilisant [éq 3.2.6-2] donne:

\(\frac{{\text{dp}}_{\text{vp}}}{{\rho}_{\text{vp}}}=\frac{{\text{dp}}_{\text{w}}}{{\rho}_{\text{w}}}+({h}_{\text{vp}}^{m}-{h}_{\text{w}}^{m})\frac{\text{dT}}{T}\) éq 3.2.6-3

Cette relation peut être exprimée en fonction de la pression capillaire et de la pression de gaz:

\({\text{dp}}_{\text{vp}}=\frac{{\rho}_{\text{vp}}}{{\rho}_{\text{w}}}({\text{dp}}_{\text{gz}}-{\text{dp}}_{c}-{\text{dp}}_{\text{ad}})+{\rho}_{\text{vp}}({h}_{\text{vp}}^{m}-{h}_{\text{w}}^{m})\frac{\text{dT}}{T}\) éq 3.2.6-4

Équilibre air sec-air dissous#

L’air dissous se définit via la constante de Henry \({K}_{H}\) , qui relie la concentration molaire d’air dissous \({C}_{\text{ad}}^{\text{ol}}\) (\(\mathit{moles}\boldsymbol{/}{m}^{3}\) ) à la pression d’air sec:

\({C}_{\text{ad}}^{\text{ol}}=\frac{{p}_{\text{as}}}{{K}_{H}}\) éq 3.2.7-1

avec \({C}_{\text{ad}}^{\text{ol}}=\frac{{\rho}_{\text{ad}}}{{M}_{\text{ad}}^{\text{ol}}}\) éq 3.2.7-2

La masse molaire de l’air dissous, \({M}_{\text{ad}}^{\text{ol}}\) est logiquement la même que celle de l’air sec \({M}_{\text{as}}^{\text{ol}}\) . Pour l’air dissous, on prend la loi des gaz parfait:

\(\frac{{p}_{\text{ad}}}{{\boldsymbol{\rho}}_{\text{ad}}}=\frac{R}{{M}_{\text{as}}^{\text{ol}}}T\) éq 3.2.7-3

La pression d’air dissous est donc reliée à celle d’air sec par:

\({p}_{\text{ad}}=\frac{{p}_{\text{as}}}{{K}_{H}}\text{RT}\) éq 3.2.7-4

Le comportement mécanique#

On l’écrira sous forme différentielle:

\(d\sigma =d\sigma '+d{\sigma}_{p}\) éq 3.2.8-1

Dans le cas général (hors loi ‘HYDR_TABBAL’), en utilisant une formulation de Bishop [bib10] élargie aux milieux non saturés on écrit:

\(d{\boldsymbol{\sigma}}_{p}=-B({\mathit{dp}}_{\text{gz}}-{S}_{\text{lq}}{\mathit{dp}}_{c})\) éq 3.2.8-2

(qui correspond bien dans le cas saturé à la formulation classique de Biot \(d{\boldsymbol{\sigma}}_{p}=-B{\mathit{dp}}_{\text{lq}}\) ).

On voit donc apparaître dans la formule [éq 3.2.8-2], le tenseur de Biot. Dans le cas isotrope \(B=b\,1\) et \({\boldsymbol{\sigma}}_{p}={\boldsymbol{\sigma}}_{p}\,1\) .

Cette formulation est valable pour des gammes de séchage «raisonnables», à savoir des humidités relatives (ou degré d’hygrométrie) HR comprises entre 50% et 100%. On rappelle que l’humidité relative HR et la pression capillaire sont reliées par la loi de Kelvin (cf. section 3.3 ).

Pour des gammes d’humidités relatives descendant au dessous de 50%, le modèle issu de la thèse de Ginger El Tabbal [bib14] est préconisé. Ce modèle est appelé par le mot clé HYDR_TABBAL sous RELATION_KIT. En plus des effet capillaires utilisés dans la formulation ci-dessus, l’effet de l’adsorption est ici pris en compte. Dans ce cas, la contrainte hydraulique s’écrit sous la forme \(d{\boldsymbol{\sigma}}_{p}=-Bd\boldsymbol{\pi}\) avec:

\(\begin{array}{c}d\boldsymbol{\pi}={\mathit{dp}}_{\text{gz}}-{S}_{\mathit{BJH}}{\mathit{dp}}_{\text{c}}-\frac{1}{3}{p}_{\text{c}}({S}_{\mathit{BJH}}){\mathit{dS}}_{\mathit{BJH}}\\ +\frac{2}{3}({A}_{0}/{\boldsymbol{\phi }}^{0})(-({\boldsymbol{\omega}}_{\mathit{BJH}}({S}_{\mathit{BJH}})\mathit{dt}(\mathit{HR})+t(\mathit{HR})d{\boldsymbol{\omega}}_{\mathit{BJH}}({S}_{\mathit{BJH}}))\boldsymbol{.}{\mathit{dp}}_{\text{c}}-{\left(\frac{\partial \gamma }{\partial {\epsilon}_{s}}\right)|}_{\mu}d{\boldsymbol{\omega}}_{\mathit{BJH}}({S}_{\mathit{BJH}}))\end{array}\) éq 3.2.8-3

Avec \({S}_{\mathit{BJH}}\) , \({A}_{0}\) , \({\boldsymbol{\omega}}_{\mathit{BJH}}\) , \(t(\mathit{HR})\) et \({\left(\frac{\partial \gamma }{\partial {\epsilon}_{s}}\right)|}_{\mu}\) les données d’entrée du modèle calculées au préalable. On en donne ici la définition:

\({S}_{\mathit{BJH}}\) Fraction volumique d’eau liquide fonction de HR (eau non adsorbée). Cette fonction est calculée par la méthode BJH [bib16] .

\({A}_{0}\) Surface totale des pores (ou surface spécifique du matériaux)par unité de volume m²/m3. Il s’agit du produit de la densité sèche (g/m3) du matériau par la surface spécifique (m²/g) déterminée par méthode BET [bib17] ou BJH [bib16] .

\({\boldsymbol{\omega}}_{\mathit{BJH}}\) Fraction surfacique des pores non saturés fonction de l’humidité relative HR. Il s’agit du rapport entre la surface des pores insaturés (par unité de volume) déterminée par la méthode BJH (à une humidité relative donnée) et la surface totale des pores \({A}_{0}\) .

\(t(\mathit{HR})\) Épaisseur de la couche d’eau adsorbée. Cette épaisseur est évaluée par une relation empirique dite de Badmann [bib15] .

\({\left(\frac{\partial \gamma }{\partial {\epsilon}_{s}}\right)|}_{\mu}\) Terme de Shuttleworth, fortement dépendant de l’orientation et de la morphologie de la surface solide. Ce terme est recalé à partir d’expérience de retrait de séchage.

\({S}_{\mathit{BJH}}\) , \({A}_{0}\) , \({\boldsymbol{\omega}}_{\mathit{BJH}}\) , sont donc calculés à partir de données expérimentales par des méthodes numériques dites BET ou BJH. La méthodologie pour obtenir ces paramètres ainsi que l’épaisseur de la couche adsorbée et le paramètre de Shuttleworth est décrite en détail dansla doc U2.04.05.

Dans la relation [éq 3.2.8-1] l’évolution du tenseur de contrainte effective \({\sigma}^{'}\) est supposée ne dépendre que du déplacement du squelette et des variables internes \(\alpha\) . Les termes habituels liés à la déformation thermique sont intégrés au calcul de la contrainte effective:

\(d\sigma '=f(d\varepsilon -{\alpha}_{0}\text{dT}I,d\alpha )\) éq 3.2.8-4

La raison de ce choix est de pouvoir utiliser n’importe quelle loi de thermomécanique classique pour le calcul des contraintes effectives, lois qui, dans la plus part des écritures sont conformes à [éq 3.2.8-3].

En pratique, la déformation thermique s’évalue par la formule suivante:

(3162)#\[{\boldsymbol{\epsilon}}^{\mathit{th}}\left(T\right)={\boldsymbol{\alpha}}_{0}\left(T-{T}_{\mathit{ini}}\right)\]

La température de référence est donnée par THM_INIT/TEMP dans DEFI_MATERIAU.

Précisions sur les termes de transferts diphasiques#

L’isotherme de sorption#

Pour fermer le système, il reste encore une relation à écrire, reliant la saturation et les pressions. Nous avons choisi de considérer que la saturation en liquide était une fonction quelconque de la pression capillaire, que cette fonction était une caractéristique du milieu poreux et fournie en donnée par l’utilisateur.

Etant donné que l’utilisateur peut très bien fournir une fonction \({S}_{\text{lq}}({p}_{c})\) affine par morceaux, et étant donné que la dérivée de cette fonction, \(\frac{\partial {S}_{\text{lq}}}{\partial {p}_{c}}\) , joue un rôle physique essentiel, nous avons choisi de demander à l’utilisateur de fournir également cette courbe, restant à sa charge de s’assurer de la cohérence des données ainsi spécifiées. Il existe cependant pour l’utilisateur la possibilité de faire appel à un modèle analytique de saturation et sa dérivée codé «en dur» dans le source: le modèle de Mualem-Van Genuchten (voir section suivante).

On remarque que dans l’approche présente, on parle d’un relation biunivoque entre saturation et pression capillaire. On sait que pour la plupart des milieux poreux, ce n’est pas la même relation qui doit être utilisée pour les chemins de séchage et pour les chemins d’hydratation. C’est une des limites de l’approche présente.

Le modèle Mualem - Van Genuchten#

Concernant le comportement hydraulique, l’utilisateur dispose actuellement de deux choix: rentrer manuellement, et sous forme tabulée, perméabilités relatives, lois de saturation et leur dérivées en s’assurant de leur cohérence (mot clé HYDR_UTIL ou HYDR_TABBAL sous RELATION_KIT), soit de faire appel à un modèle connuet programmé sous forme analytique: le modèle Mualem – Van Genuchten (mot clé HYDR_VGM ou HYDR_VGC sous RELATION_KIT).

Remarque:

Il existe bien sur d’autres modèles classiques pour décrire le comportement hydraulique (Brook Corey par exemple) mais il ne sont actuellement pas disponibles dans Aster. C’est alors à l’utilisateur de les rentrer sous forme tabulée dans le fichier de commande. Le modèle Mualem- Van Genuchten est un modèle classique pour la description des matériaux argileux typiques des problèmes de stockage sous terrain. Pour la perméabilité relative au gaz, il est courant d’utiliser soit une version Van Genuchten, soit une version cubique.

Le modèle Mualem-Van Genuchten se traduit par une loi saturation/pression capillaire (Van Genuchten à laquelle on rajoute une pression d’entrée) telle que:

\({S}_{\text{we}}=\frac{1}{{\left[1+{\left(\frac{{P}_{c}-{P}_{e}}{{P}_{r}}\right)}^{n}\right]}^{m}}\)

avec \({S}_{\text{we}}=\frac{S-{S}_{\text{wr}}}{1-{S}_{\text{wr}}}\) et \(m=1-\frac{1}{n}\)

\(n\) , \({S}_{\text{wr}}\) (saturation résiduelle en eau) et \({P}_{r}\) sont des paramètres du modèles renseignés par l’utilisateur dans son fichier de commande. \({P}_{e}\) est également un paramètre (par défaut pris égal à 0) correspondant à une pression d’entrée (le milieu ne se désature que si la pression capillaire est supérieure à cette pression.

La perméabilité relative à l’eau s’exprime alors en intégrant le modèle de prédiction proposé par Mualem (1976) dans le modèle de capillarité de Van Genuchten:

\({k}_{r}^{w}=\sqrt{{S}_{\text{we}}}{(1-{(1-{S}_{{\text{we}}^{1/m}})}^{m})}^{2}\)

La perméabilité au gaz est formulée de façon similaire dans le cas du modèle HYDR_VGM:

\({k}_{r}^{\text{gz}}=\sqrt{(1-{S}_{\text{we}})}{(1-{S}_{{\text{we}}^{1/m}})}^{2m}\)

ou bien par une simple loi cubique dans le cas du HYDR_VGC:

\({k}_{r}^{\text{gz}}={(1-S)}^{3}\)

Dans code_aster , nous faisons un traitement numérique de ce modèle dans les zones «limites» (\(S\boldsymbol{=}1\) ou \(S\boldsymbol{=}0\) ). Pour cela nous utilisons deux paramètres supplémentaires correspondant à un traitement que l’on effectue sur ces courbes, \(\mathit{Smax}\) et \(\mathit{CSAT}\) :

Pour \(S>\mathit{Smax}\) , ces courbes sont interpolées par un polynôme de degré 2 \(\mathit{C1}\) en \(\mathit{Smax}\) , de manière à éviter d’avoir à traiter des dérivées de valeurs infinies. En effet, pour \(S\boldsymbol{=}1\) :

\(\frac{\partial {k}_{r}^{w}(S)}{\partial S}=\infty\)

et pour le cas HYDR_VGM \(\frac{\partial {k}_{r}^{\text{gz}}(S)}{\partial S}=\infty\)

Pour éviter d’avoir alors à traiter ce problème (qui n’a a priori pas de signification physique) on remplace ces fonctions à partir d’une saturation \(\mathit{Smax}\) par un polynôme du second ordre \({C}^{1}\) en ce point.

Ce qui donne pour la fonction \({k}_{r}^{w}(S)\) :

Pour \(S\boldsymbol{=}\mathit{Smax}\) , on détermine le polynôme \(\mathit{PL}(S)\) tel que:

\(\{\begin{array}{}\text{PL}(Smax)={k}_{r}^{w}(Smax)\\ P{L}^{'}(Smax)=\frac{\partial {k}_{r}^{w}}{\partial S}(Smax)\end{array}\) et \(\mathit{PL}(1)\boldsymbol{=}0\)

Pour \(S>\mathit{Smax}\) , \({k}_{r}^{w}(S)\) est remplacé par \(\mathit{PL}(S)\) .

Et pour \({k}_{r}^{\text{gz}}(S)\) dans le cas HYDR_VGM:

Pour \(S\boldsymbol{=}\mathit{Smax}\) , on détermine le polynôme \(\mathit{PG}(S)\) tel que:

\(\{\begin{array}{}\text{PG}(Smax)={k}_{r}^{\boldsymbol{gz}}(Smax)\\ P{G}^{'}(Smax)=\frac{\partial {k}_{r}^{\boldsymbol{gz}}}{\partial S}(Smax)\end{array}\) et \(\mathit{PG}(0)\boldsymbol{=}1\)

Pour \(S>\mathit{Smax}\) , \({k}_{r}^{\text{gz}}(S)\) est remplacé par \(\mathit{PG}(S)\) .

Pour la succion \(S(\mathit{Pc})\) et pour \(\mathit{Pc}<\mathit{Pcmin}\) (avec \(S(\mathit{Pcmin})\boldsymbol{=}\mathit{Smax}\) ) on prolonge la courbe \(S(\mathit{Pc})\) par une hyperbole telle que la courbe soit \({C}^{1}\) en ce point:

Pour \(S>\mathit{Smax}\) :

\(S(\text{Pc})=1-\frac{A}{B-\text{Pc}}\)

avec \(A\) et \(B\) tels que la courbe soit \(\mathit{C1}\) en \(\mathit{Smax}\) .

On a donc bien une courbe décroissante qui tend vers 1 quand \(\mathit{Pc}\) tend vers \(\boldsymbol{-}\boldsymbol{\infty}\) . Ce traitement nous permet de gérer des pressions capillaires négatives (dans ces zones là le termes de pression capillaire est abusif, il s’agit implicitement d’un changement de variable permettant de traiter un problème quasi-saturé).

\(S(\mathit{Pc})\) est ensuite multipliée par un coefficient «de sécurité» \(\mathit{CSAT}\) de manière à ce que la saturation n’atteigne jamais 1 (problème que l’on ne sait pas traiter). On conseille de prendre une valeur de \(\mathit{CSAT}\) très proche de 1 (0,999999 par exemple).

Récapitulatif des caractéristiques du matériau et des données utilisateur#

les modules d’Young drainés \({E}_{L}\) et \({E}_{N}\) ainsi que les coefficients de Poisson drainés \({\nu}_{\text{LT}}\)

et \({\nu}_{\text{LN}}\) qui permettent le calcul de la matrice de souplesse du milieu poreux. (cas isotrope transverse),

le module d’Young drainé \(E\) , et le coefficient de Poisson drainé \(\nu\) qui permettent le calcul de la matrice de souplesse du milieu poreux. (cas isotrope),
les coefficients de Biot moyens \({b}_{L}\) et \({b}_{N}\) qui permettent le calcul du module de Biot de la matrice solide \(\frac{1}{{M}_{\phi }}\) (cas isotrope transverse),
le coefficient de Biot \(b=1-\frac{{K}_{0}}{{K}_{S}}\) permet de calculer le module de compressibilité des grains solides \({K}_{S}\) , utile dans le calcul de la porosité pour le cas isotrope,
le module de compressibilité de l’eau \({K}_{\text{w}}\) ,
le coefficient de dilatation de l’eau \({\alpha}_{\text{w}}\) ,
la constante des gaz parfaits \(R\) ,
la masse molaire de la vapeur \({M}_{\text{vp}}^{\text{ol}}\) ,
la masse molaire de l’air sec \({M}_{\text{as}}^{\text{ol}}\) ,(= \({M}_{\text{ad}}^{\text{ol}}\) )
la chaleur massique à pression constante de l’eau \({C}_{\text{w}}^{p}\) ,
la chaleur massique à pression constante de l’air dissous \({C}_{\text{ad}}^{p}\)
la chaleur massique à pression constante de l’air sec \({C}_{\text{as}}^{p}\) ,
la chaleur massique à pression constante de la vapeur \({C}_{\text{vp}}^{p}\) ,
les coefficients de dilatation moyens du milieu poreux \({\alpha}_{L}\) et \({\alpha}_{N}\) , qui sont aussi ceux des grains solides. Ils permettent le calcul de \({\alpha}_{\phi }\) (cas isotrope transverse),
le coefficient de dilatation du milieu poreux \({\alpha}_{0}\) , qui est aussi celui des grains solides. Il permet le calcul de \({\alpha}_{\phi }=(b-\phi ){\alpha}_{0}\) (cas isotrope),
la chaleur massique à contrainte constante des grains solides \({C}_{\sigma}^{s}\) ,
le tenseur de conductivité thermique des grains solides seuls, \({\tensTwo{\lambda}}_{s}^{T}\) , fonction quelconque de la température,
le tenseur de conductivité thermique du liquide, \({\tensTwo{\lambda}}_{\text{lq}}^{T}\) , fonction quelconque de la température,
le tenseur de conductivité thermique de l’air sec, \({\tensTwo{\lambda}}_{\text{as}}^{T}\) , fonction quelconque de la température,
le coefficient de diffusion de Fick pour le mélange gazeux, \({F}_{\text{vp}}\) , fonction quelconque de la température, de la pression de gaz, de la pression de vapeur et de la saturation
le coefficient de diffusion de Fick pour le mélange liquide, \({F}_{\text{ad}}\) , fonction quelconque de la température et de la pression de liquide, de la pression de l’air dissous et de la saturation.
La constante de Henry \({K}_{H}\) fonction quelconque de la température,
le tenseur de perméabilité intrinsèque, \({K}^{int}\) , fonction quelconque de la porosité,
la viscosité dynamique de l’eau, \({\mu}_{\text{w}}\) , fonction quelconque de la température,
la viscosité dynamique du gaz, \({\mu}_{\text{gz}}\) , fonction quelconque de la température,
la perméabilité relative au liquide, \({k}_{\text{lq}}^{\text{rel}}\) , fonction quelconque de la saturation en liquide,
la perméabilité relative au gaz, \({k}_{\text{gz}}^{\text{rel}}\) , fonction quelconque de la saturation en liquide et de la pression de gaz,
la relation saturation/pression capillaire, \({S}_{\boldsymbol{lq}}({p}_{c})\) , fonction quelconque de la pression capillaire,
de façon générale l’état initial est caractérisé par:
la température initiale,
les pressions initiales d’où l’on déduit la saturation initiale \({S}_{{}_{\text{lq}}}^{0}({p}_{{}_{c}}^{0})\) ,
la masse spécifique initiale de l’eau \({\rho}_{\text{w}}^{0}\) ,
la porosité initiale \({\boldsymbol{\phi }}^{0}\) ,
la pression initiale de la vapeur \({p}_{\text{vp}}^{0}\) d’où l’on déduit la masse volumique initiale de la vapeur \({\rho}_{\text{vp}}^{0}\) ,
la pression initiale de l’air sec \({p}_{\text{as}}^{0}\) d’où l’on déduit la masse volumique initiale de l‘air sec \({\rho}_{\text{as}}^{0}\) .
la masse volumique initiale homogénéisée du milieu poreux \({r}_{0}\) ,
les enthalpies initiales du l’eau, de l’air dissous, de la vapeur et de l’air sec.

L’état de référence et l’état initial#

L’introduction des conditions initiales est très importante, notamment pour les enthalpies.

En pratique, on peut raisonner en considérant que l’on a trois états pour les fluides:

l’état courant,
l’état de référence: c’est celui des fluides à l’état libre. Bien souvent on prendra pour les pressions d’eau et d’air la pression atmosphérique. Dans cet état de référence, on peut considérer que les enthalpies sont nulles,
l’état initial: il est important de noter que, à l’état initial du milieu poreux, l’eau est dans un état hygroscopique différent de celui de l’eau libre. Pour les enthalpies de l’eau et de la vapeur on devra prendre:

\(\begin{array}{c}{}^{\text{init}}{h}_{\text{w}}^{m}=\frac{{p}_{\text{w}}^{\text{init}}-{p}_{l}^{\text{ref}}}{{\rho}_{\text{w}}}=\frac{{p}_{\text{w}}^{\text{init}}-{p}_{\text{atm}}}{{\rho}_{\text{w}}}\\ {}^{\text{init}}{h}_{\text{vp}}^{m}=L({T}^{\text{init}})=\text{chaleur latente de vaporisation}\\ \begin{array}{}{}^{\text{init}}{h}_{\text{as}}^{m}=0\\ {}^{\text{init}}{h}_{\text{ad}}^{m}=0\end{array}\end{array}\)

Remarques:

La pression initiale de vapeur doit être prise en cohérence avec les autres données. Bien souvent, on part de la connaissance d’un état initial d’hygrométrie. Le degré hygrométrique est le rapport entre la pression de vapeur et la pression de vapeur saturante à la température considérée. On utilise alors la loi de Kelvin qui donne la pression du liquide en fonction de la pression de vapeur, de la température et de la pression de vapeur saturante: \(\frac{{p}_{\text{w}}-{p}_{\text{w}}^{\text{ref}}}{{\rho}_{\text{w}}}=\frac{R}{{M}_{\text{vp}}^{\text{ol}}}Tln(\frac{{p}_{\text{vp}}}{{p}_{\text{vp}}^{\text{sat}}(T)})\) *. Cette relation n’est valable que pour des évolutions isothermes. On souligne que* \({p}_{\text{w}}^{\text{ref}}\) correspond à un état d’’équilibre auquel correspond \({p}_{\text{vp}}^{\text{sat}}\) , cet état d’équilibre correspond en fait à \({p}_{\text{w}}^{0}={p}_{\text{gz}}^{0}=1\) atm.Pour des évolutions avec variation de température, connaissant une loi donnant la pression de vapeur saturante à la température \({T}_{0}\) , par exemple: \({p}_{\text{vp}}^{\text{sat}}({T}_{0})={10}^{(2\,7858+\frac{{T}_{0}-273\,5}{31\,559+\,1354({T}_{0}-273\,5)})}\) , et un degré d’hygrométrie \(\text{HR}\) , on en déduit la pression de vapeur grâce à \({p}_{\text{vp}}({T}_{0})=\text{HR}{p}_{\text{vp}}^{\text{sat}}({T}_{0})\) .

Inconnues nodales, valeurs initiales et valeurs de référence#

Nous abordons ici un point qui tient plus à des choix de programmation qu’à de véritables aspects de formulation. Néanmoins, nous l’exposons parce qu’il a des conséquences pratiques importantes. Les inconnues principales qui sont aussi les valeurs des degrés de liberté, sont notées:

\({\left\{u\right\}}^{\text{ddl}}=\left\{\begin{array}{c}{u}_{x}\\ {u}_{y}\\ {u}_{z}\\ \text{PRE}{1}^{\text{ddl}}\\ \text{PRE}{2}^{\text{ddl}}\\ {T}^{\text{ddl}}\end{array}\right\}\)

Selon la modélisation, elles peuvent avoir des significations différentes:

	LIQU_SATU	LIQU_VAPE	LIQU_GAZ_ATM	GAZ	LIQU_VAPE_GAZ
PRE1	\({p}_{\text{w}}\)	\({p}_{\text{w}}\)	\({p}_{c}=-{p}_{\text{w}}\)	\({p}_{\text{gz}}\)	\({p}_{c}={p}_{\text{gz}}-{p}_{\text{w}}\)
PRE2					\({p}_{\text{gz}}\)

	LIQU_GAZ	LIQU_AD_GAZ_VAPE	LIQU_AD_GAZ
PRE1	\({p}_{c}={p}_{\text{gz}}-{p}_{\text{w}}\)	\({p}_{c}={p}_{\text{gz}}-{p}_{\text{w}}-{p}_{\text{ad}}\)	\({p}_{c}={p}_{\text{gz}}-{p}_{\text{w}}-{p}_{\text{ad}}\)
PRE2	\({p}_{\text{gz}}\)	\({p}_{\text{gz}}\)	\({p}_{\text{gz}}\)

	LIQU_GAZ	LIQU_AD_GAZ_VAPE	LIQU_AD_GAZ
PRE1	\({p}_{c}={p}_{\text{gz}}-{p}_{\text{w}}\)	\({p}_{c}={p}_{\text{gz}}-{p}_{\text{w}}-{p}_{\text{ad}}\)	\({p}_{c}={p}_{\text{gz}}-{p}_{\text{w}}-{p}_{\text{ad}}\)
PRE2	\({p}_{\text{gz}}\)	\({p}_{\text{gz}}\)	\({p}_{\text{gz}}\)

On définira alors les pressions réelles et la température réelle par:

\(p={p}^{\text{ddl}}+{p}^{\text{init}}\) pour les pressions PRE1 et PRE2 et \(T={T}^{\text{ddl}}+{T}^{\text{init}}\) pour les températures, où \({p}^{\text{init}}\) et \({T}^{\text{init}}\) sont définis sous le mot clé THM_INIT de la commande DEFI_MATERIAU.

Les valeurs écrites par IMPR_RESU sont les valeurs de \({\left\{u\right\}}^{\text{ddl}}\) . Les conditions aux limites sont définies pour \({\left\{u\right\}}^{\text{ddl}}\) . Le mot clé DEPL du mot clé facteur ETAT_INIT de la commande [STAT_NON_LINE] définit les valeurs initiales de \({\left\{u\right\}}^{\text{ddl}}\) . Les valeurs initiales des enthalpies, qui appartiennent aux contraintes généralisées sont définies à partir du mot clé SIGM du mot clé facteur ETAT_INIT de la commande [STAT_NON_LINE]. Les pressions réelles et la température réelle sont utilisées dans les lois de comportement, notamment les lois du type \({S}_{\boldsymbol{lq}}=f({p}_{c})\) ou \(\frac{\text{dp}}{p}=\frac{d\rho }{\rho}+\frac{\text{dT}}{T}\) . Les valeurs initiales des masses volumiques de la vapeur et de l’air sec sont définies à partir des valeurs initiales des pressions de gaz et de vapeur (valeurs lues sous le mot clé THM_INIT de la commande DEFI_MATERIAU). On remarque que, pour les déplacements, la décomposition \(u={u}^{\text{ddl}}+{u}^{\text{init}}\) n’est pas faite: le mot clé THM_INIT de la commande DEFI_MATERIAU ne permet donc pas de définir des déplacements initiaux. La seule façon d’initialiser les déplacements est donc de leur donner une valeur initiale par le mot clé facteur ETAT_INIT de la commande [STAT_NON_LINE].

Contraintes effectives et contraintes totales. Conditions aux limites de contrainteLa partition des contraintes en contraintes totale et effective s’écrit :#

\(\sigma =\sigma '+{\sigma}_{p}\)

\(\sigma\) est la contrainte totale, c.a.d celle qui vérifie: \(\text{Div}(\sigma )+r{F}^{m}=0\)

\({\sigma}^{'}\) est la contrainte effective. Pour les lois de contraintes effectives, elle vérifie: \(d{\sigma}^{'}=f(d\varepsilon -{\alpha}_{0}\text{dT},\alpha )\) , où \(\varepsilon =1/2(\nabla u+{}^{T}\nabla u)\) et \(\alpha\) représente les variables internes. Le tenseur \({\sigma}_{p}\) se calcule en fonction des pressions hydrauliques. L’écriture adoptée est incrémentale et, si l’on veut que la valeur de \({\sigma}_{p}\) soit cohérente avec la valeur \({p}^{\text{init}}\) définie sous le mot clé THM_INIT, il faut initialiser les composantes de \({\sigma}_{p}\) par le mot clé SIGM du mot clé facteur ETAT_INIT de la commande [STAT_NON_LINE].

Dans les fichiers résultats, on trouve les contraintes effectives \({\sigma}^{'}\) sous les noms de composantes SIXX … et \({\sigma}_{p}\) sous le nom SIPXX … . Les conditions aux limites en contraintes sont écrites en contraintes totales.

Quelques valeurs numériques#

Nous donnons ici quelques valeurs raisonnables pour certains coefficients. Ces valeurs ne sont pas programmées dans Code_Aster , elles sont fournies ici à titre indicatif:

Pour les gaz parfaits, on retient les valeurs suivantes:

\(R=8\,3144J\,{K}^{-1}\)

\({M}_{\text{vp}}^{\text{ol}}=18\,{10}^{-3}\text{kg}\,{\text{mole}}^{-1}\)

\({M}_{\text{as}}^{\text{ol}}=28\,96{10}^{-3}\text{kg}\,{\text{mole}}^{-1}\)

Pour le CO2, la valeur de la constante de Henry à \(20°C\) est de:

\({K}_{H}=3162\text{Pa}\,{m}^{3}{\text{mole}}^{-1}\)

Pour l’eau liquide, on a:

\({\rho}_{\text{w}}=1000\text{kg}/{m}^{3}\)

\({K}_{\text{w}}=2000\text{MPa}\)

Le coefficient de dilatation thermique de l’eau est correctement approché par la formule:

\({\alpha}_{\text{w}}=9\,52{10}^{-5}ln(T-273)-2\,19{10}^{-4}\) (\({K}^{-1}\) )

Les capacités calorifiques ont pour valeurs:

\(\begin{array}{}{C}_{\sigma}^{s}=800{\text{J.kg}}^{-1}{K}^{-1}\\ {C}_{\text{lq}}^{p}=4180{\text{J.kg}}^{-1}{K}^{-1}\\ {C}_{\text{vp}}^{p}=1870{\text{J.kg}}^{-1}{K}^{-1}\\ {C}_{\text{as}}^{p}=1000{\text{J.kg}}^{-1}{K}^{-1}\end{array}\)

On donne également une loi d’évolution de la chaleur latente de changement de phase liquide vapeur:

\(L(T)=2500800-2443(T-273\,15)J/\text{kg}\)

Calcul des contraintes généralisées#

Dans ce chapitre, nous précisons comment sont intégrées les relations décrites au chapitre 3. Plus précisément encore, nous donnons les expressions des contraintes généralisées au sens du document [R7.01.10] quand les lois de comportements THM sont appelées pour l’option RAPH_MECA au sens du document [R5.03.01] . Afin que ce document suive de plus prêt l’ordre de programmation, nous allons considérer deux cas: le cas sans air dissous et celui avec.

Les contraintes généralisées sont:

\({\sigma}^{'},{\sigma}_{p};{m}_{{w}_{}},{\mathrm{M}}_{{\mathrm{w}}_{}},{h}_{w}^{m};{m}_{{\text{vp}}_{}},{\mathrm{M}}_{\text{vp}},{h}_{\text{vp}}^{m};{m}_{{\text{as}}_{}},{\mathrm{M}}_{{\text{as}}_{}},{h}_{\text{as}}^{m};{m}_{\text{ad}},{\mathrm{M}}_{\text{ad}},{h}_{\text{ad}}^{m};Q',\mathrm{q}\)

Les déformations généralisées, à partir desquelles on calcule les contraintes généralisées sont:

\(u,\varepsilon (u);{p}_{c},\nabla {p}_{c};{p}_{\text{gz}},\nabla {p}_{\text{gz}};T,\nabla T\)

Les variables internes que nous avons retenues sont:

Dans le cas sans vapeur:

\(\phi ,{\rho}_{w},{S}_{\text{lq}}\)

Dans le cas avec vapeuret sans air dissous :

\(\varphi ,{\rho}_{w},{p}_{\text{vp}},{S}_{\text{lq}}\)

Dans le cas avec vapeuret air dissous:

\(\phi ,{\rho}_{w},{p}_{\text{vp}},{p}_{\text{ad}},{S}_{\text{lq}}\)

Dans ce chapitre, nous adoptons les notations habituelles Aster, à savoir les indices + pour les valeurs des quantités en fin de pas de temps et les indices - pour les quantités au début du pas de temps.

Ainsi, les quantités connues sont:

les contraintes, déformations généralisées et variables internes au début du pas de temps:
\({\sigma '}^{-},{\sigma}_{p}^{-};{m}_{w}^{-},{\mathrm{M}}_{\mathrm{w}}^{-},{h}_{w}^{{m}^{-}};{m}_{\text{vp}}^{-},{\mathrm{M}}_{\text{vp}}^{-},{h}_{\text{vp}}^{{m}^{-}};{m}_{\text{as}}^{-},{\mathrm{M}}_{\text{as}}^{-},{h}_{\text{as}}^{{m}^{-}};{m}_{\text{ad}}^{-},{\mathrm{M}}_{\text{ad}}^{-},{h}_{\text{ad}}^{{m}^{-}};Q{'}^{-},{\mathrm{q}}^{-}\)
\({u}^{-},\varepsilon ({u}^{-});{p}_{c}^{-},\nabla {p}_{c}^{-};{p}_{\text{gz}}^{-},\nabla {p}_{\text{gz}}^{-};{T}^{-},\nabla {T}^{-}\)
\({\phi }^{-},{\rho}_{w}^{-},{p}_{\text{vp}}^{-},{p}_{\text{ad}}^{-}\)
les déformations généralisées à la fin du pas de temps:
\({\mathrm{u}}^{+},\varepsilon ({\mathrm{u}}^{+});{p}_{c}^{+},\nabla{p}_{c}^{+};{p}_{\text{gz}}^{+},\nabla{p}_{\text{gz}}^{+};{T}^{+},\nabla{T}^{+}\)
Les quantités inconnues sontles contraintes, et variables internes à la fin du pas de temps:
\({\sigma '}^{+},{\sigma}_{p}^{+};{m}_{w}^{+},{\mathrm{M}}_{\mathrm{w}}^{+},{h}_{w}^{{m}^{+}};{m}_{\text{vp}}^{+},{\mathrm{M}}_{\text{vp}}^{+},{h}_{\text{vp}}^{{m}^{+}};{m}_{\text{as}}^{+},{\mathrm{M}}_{\text{as}}^{+},{h}_{\text{as}}^{{m}^{+}};{m}_{\text{ad}}^{+},{\mathrm{M}}_{\text{ad}}^{+},{h}_{\text{ad}}^{{m}^{+}};Q{'}^{+},{\mathrm{q}}^{+}\)
\({\phi }^{+},{\rho}_{w}^{+},{p}_{\text{vp}}^{+},{p}_{\text{ad}}^{+}\)

Cas sans air dissous#

Calcul de la porosité et le la masse volumique du fluide#

Calcul de la porosité: cas isotrope#

La première chose à faire est bien sûr de calculer la saturation à la fin du pas de temps \({S}_{\text{lq}}^{+}={S}_{\text{lq}}({p}_{c}^{+})\) . La porosité se trouve en intégrant sur le pas de temps l’équation [éq 3.2.1-1].

On obtient alors:

\(\ln\left\lbrace \frac{b-{\varphi}^{+}}{b-{\varphi}^{-}}\right\rbrace =\left\lbrace -({\varepsilon}_{v}^{+}-{\varepsilon}_{v}^{-})+3{\alpha}_{0}({T}^{+}-{T}^{-})-\frac{({p}_{\mathrm{gz}}^{+}-{p}_{\mathrm{gz}}^{-})-{S}_{\mathrm{lq}}^{+}({p}_{c}^{+}-{p}_{c}^{-})}{{K}_{S}}\right\rbrace\) éq 4.1.1-1

Calcul de la porosité: cas isotrope transverse#

La première chose à faire est bien sûr de calculer la saturation à la fin du pas de temps \({S}_{\text{lq}}^{+}={S}_{\text{lq}}({p}_{c}^{+})\) . La porosité se trouve en intégrant sur le pas de temps l’équation [éq 3.2.1-3]. L’intégration est donc ici explicite contrairement au cas isotrope.

On obtient alors:

\(({\varphi}^{+}-{\varphi}^{-})=B:({\varepsilon}^{+}-{\varepsilon}^{-})-{\varphi}^{-}({\varepsilon}_{\text{v}}^{+}-{\varepsilon}_{\text{v}}^{-})-3{\alpha}_{\varphi}({T}^{+}-{T}^{-})+\frac{({p}_{\text{gz}}^{+}-{p}_{\text{gz}}^{-})-{S}_{\text{lq}}^{+}({p}_{\text{c}}^{+}-{p}_{\text{c}}^{-})}{{M}_{\varphi}}\) éq 4.1.1-2

Calcul de la masse volumique du fluide#

La masse volumique du liquide se trouve en intégrant sur le pas de temps l’équation [éq 3.2.3.1-1].

Ce qui donne:

\(\ln\left(\frac{{\rho}_{w}^{+}}{{\rho}_{w}^{-}}\right)=\frac{{p}_{\text{gz}}^{+}-{p}_{\text{gz}}^{-}-{p}_{c}^{+}+{p}_{c}^{-}}{{K}_{w}}-3{\alpha}_{w}\left({T}^{+}-{T}^{-}\right)\) éq 4.1.1-3

Calcul des coefficients de dilatation#

Il est important de remarquer que le coefficient de dilatation thermique différentiel est recalculé à partir de la porosité évaluée en fin de pas de temps. Compte tenu de cela on pose :

\({\alpha}_{\phi }^{+}=\frac{(B-{\phi }^{+}\delta ):{\alpha}_{0}}{3}\) éq 4.1.2-1

Remarque:

Dans le cas isotrope [éq 4.1.2-1] devient:

\({\alpha}_{\phi }^{+}=(b-{\phi }^{+}){\alpha}_{0}\)

Il s’agit ensuite d’une simple application des formules [éq 3.2.4.3-2] et [éq 3.2.4.3-3], lesquelles sont évaluées en fin de pas de temps:

\({\alpha}_{\mathit{vp}}^{{m}^{+}}={\alpha}_{\mathit{as}}^{{m}^{+}}={\alpha}_{\mathit{gz}}^{{m}^{+}}=(1-{S}_{\mathit{lq}}^{+}){\alpha}_{\phi }^{+}+\frac{{\phi }^{+}(1-{S}_{\mathit{lq}}^{+})}{3{T}^{+}}\) éq 4.1.2-2

\({\alpha}_{w}^{{m}^{+}}={S}_{\text{lq}}^{+}{\alpha}_{\phi }^{+}+{\alpha}_{\text{lq}}{\phi }^{+}{S}_{\text{lq}}^{+}\) éq 4.1.2-3

Calcul des enthalpies fluides#

Les enthalpies fluides sont calculées par intégration des équations [éq 3.2.4.1-1], [éq 3.2.4.2-1], [éq3.2.4.2-2].

\({h}_{w}^{{m}^{+}}={h}_{w}^{{m}^{-}}+{C}_{w}^{p}({T}^{+}-{T}^{-})+\frac{(1-3{\alpha}_{w}{T}^{+})}{{\rho}_{w}^{+}}({p}_{\text{gz}}^{+}-{p}_{\text{gz}}^{-}-{p}_{c}^{+}+{p}_{c}^{-})\) éq 4.1.3-1

\({h}_{\text{vp}}^{{m}^{+}}={h}_{\text{vp}}^{{m}^{-}}+{C}_{\text{vp}}^{p}({T}^{+}-{T}^{-})\) éq 4.1.3-2

\({h}_{\text{as}}^{{m}^{+}}={h}_{\text{as}}^{{m}^{-}}+{C}_{\text{as}}^{p}({T}^{+}-{T}^{-})\) éq 4.1.3-3

Pressions de vapeur et d’air#

Partant de la relation [éq 3.2.6-4] dans laquelle on porte la loi de comportement des gaz parfaits [éq3.2.3.2-1], on trouve \(\frac{{\text{dp}}_{\text{vp}}}{{p}_{\text{vp}}}=\frac{{M}_{\text{vp}}^{\text{ol}}}{\text{RT}}(\frac{1}{{\rho}_{w}}{\text{dp}}_{\text{gz}}-\frac{1}{{\rho}_{w}}{\text{dp}}_{c}+({h}_{\text{vp}}^{m}-{h}_{w}^{m})\frac{\text{dT}}{T})\) que l’on intègre par un chemin d’abord à température constante (on considère alors la masse volumique de l’eau constante), puis de \({T}^{-}\) à \({T}^{+}\) à pressions constantes.

\(\ln(\frac{{p}_{\text{vp}}^{+}}{{p}_{\text{vp}}^{-}})=\frac{{M}_{\text{vp}}^{\text{ol}}}{{\text{RT}}^{+}}\frac{1}{{\rho}_{w}^{+}}\left[({p}_{{\text{gz}}^{+}}-{p}_{\text{gz}}^{-})-({p}_{{c}^{+}}-{p}_{c}^{-})\right]+\frac{{M}_{\text{vp}}^{\text{ol}}}{R}{\int}_{{T}^{-}}^{{T}^{+}}({h}_{\text{vp}}^{m}-{h}_{w}^{m})\frac{\text{dT}}{{T}^{2}}\)

Le premier terme correspond au chemin à température constante, le second au chemin à pressions constantes. En utilisant les définitions [éq 3.2.4.1-1] et [éq 3.2.4.2-1] des enthalpies, on voit que pour une évolution à pressions constantes:

\(\frac{{h}_{\text{vp}}^{m}-{h}_{w}^{m}}{{T}^{2}}=\frac{{h}_{\text{vp}}^{{m}^{-}}-{h}_{w}^{{m}^{-}}}{{T}^{2}}+\frac{({C}_{\text{vp}}^{p}-{C}_{w}^{p})(T-{T}^{-})}{{T}^{2}}\)

On a donc pour un tel chemin:

\({\int}_{{T}^{-}}^{{T}^{+}}({h}_{\text{vp}}^{m}-{h}_{w}^{m})\frac{\text{dT}}{{T}^{2}}=({h}_{\text{vp}}^{{m}^{-}}-{h}_{w}^{{m}^{-}})(\frac{1}{{T}^{-}}-\frac{1}{{T}^{+}})+({C}_{\text{vp}}^{p}-{C}_{w}^{p})(\ln(\frac{{T}^{+}}{{T}^{-}})+{T}^{-}(\frac{1}{{T}^{+}}-\frac{1}{{T}^{-}}))\)

Soit finalement:

\(\begin{array}{}\ln(\frac{{p}_{\text{vp}}^{+}}{{p}_{\text{vp}}^{-}})=\frac{{M}_{\text{vp}}^{\text{ol}}}{{\text{RT}}^{+}}\frac{1}{{\rho}_{w}^{+}}\left[({p}_{{\text{gz}}^{+}}-{p}_{\text{gz}}^{-})-({p}_{{c}^{+}}-{p}_{c}^{-})\right]+\\ \frac{{M}_{\text{vp}}^{\text{ol}}}{R}({h}_{\text{vp}}^{{m}^{-}}-{h}_{w}^{{m}^{-}})(\frac{1}{{T}^{-}}-\frac{1}{{T}^{+}})+\frac{{M}_{\text{vp}}^{\text{ol}}}{R}({C}_{\text{vp}}^{p}-{C}_{w}^{p})(\ln(\frac{{T}^{+}}{{T}^{-}})+\frac{{T}^{-}}{{T}^{+}}-1)\end{array}\) éq 4.1.4-1

On peut alors calculer les masses volumiques de la vapeur et de l’air par les relations [éq3.2.3.2-1] et [éq3.2.3.2-2]:

\({\rho}_{\text{vp}}^{+}=\frac{{M}_{\text{vp}}^{\text{ol}}}{R}\frac{{p}_{\text{vp}}^{+}}{{T}^{+}}\) éq 4.1.4-2

\({\rho}_{\text{as}}^{+}=\frac{{M}_{\text{as}}^{\text{ol}}}{R}\frac{({p}_{\text{gz}}^{+}-{p}_{\text{vp}}^{+})}{{T}^{+}}\) éq 4.1.4-3

Calcul des apports massiques#

Les équations [éq 3.2.2-1] donnent des apports massiques nuls à l’instant 0. On écrit de façon incrémentale les équations [éq 3.2.2-1]:

\(\begin{array}{}{m}_{w}^{+}={m}_{w}^{-}+{\rho}_{w}^{+}(1+{\varepsilon}_{V}^{+}){\varphi}^{+}{S}_{\text{lq}}^{+}-{\rho}_{w}^{-}(1+{\varepsilon}_{V}^{-}){\varphi}^{-}{S}_{\text{lq}}^{-}\\ {m}_{\text{as}}^{+}={m}_{\text{as}}^{-}+{\rho}_{\text{as}}^{+}(1+{\varepsilon}_{V}^{+}){\varphi}^{+}(1-{S}_{\text{lq}}^{+})-{\rho}_{\text{as}}^{-}(1+{\varepsilon}_{V}^{-}){\varphi}^{-}(1-{S}_{\text{lq}}^{-})\\ {m}_{\text{vp}}^{+}={m}_{\text{vp}}^{-}+{\rho}_{\text{vp}}^{+}(1+{\varepsilon}_{V}^{+}){\varphi}^{+}(1-{S}_{\text{lq}}^{+})-{\rho}_{\text{vp}}^{-}(1+{\varepsilon}_{V}^{-}){\varphi}^{-}(1-{S}_{\text{lq}}^{-})\end{array}\) éq 4.1.5-1

Calcul de la capacité calorifique et de la chaleur Q’#

On a maintenant tous les éléments pour appliquer à la fin du pas de temps la formule [éq 3.2.4.3-5]:

\({C}_{\sigma}^{{0}^{+}}=(1-{\phi }^{+}){\rho}_{s}{C}_{\sigma}^{s}+{S}_{\text{lq}}^{+}{\phi }^{+}{\rho}_{w}^{+}{C}_{w}^{p}+(1-{S}_{\text{lq}}^{+}){\phi }^{+}({\rho}_{\text{vp}}^{+}{C}_{\text{vp}}^{p}+{\rho}_{\text{as}}^{+}{C}_{\text{as}}^{p})\) éq 4.1.6-1

On utilise bien sûr [éq 3.2.4.3-4] qui donne:

\({C}_{\varepsilon}^{0+}={C}_{\sigma}^{0+}-{T}^{+}({C}_{0}:{\alpha}_{0}):{\alpha}_{0}\) éq 4.1.6-2

Remarque:

Dans le cas isotrope [éq 4.1.6-2] devient:

\({C}_{\varepsilon}^{0+}={C}_{\sigma}^{0+}-9{T}^{+}{K}_{0}{\alpha}_{0}^{2}\)

Bien que la variation de chaleur \(\delta {Q}^{'}\) ne soit pas une différentielle totale, il est néanmoins licite de l’intégrer sur le pas de temps et on obtient en intégrant [éq 3.2.4.3-1].

\(Q{'}^{+}=Q{'}^{-}+({C}_{0}:{\alpha}_{0}):({\varepsilon}^{+}-{\varepsilon}^{-}){T}^{}+3{\alpha}_{\text{lq}}^{{m}^{+}}{T}^{}({p}_{c}^{+}-{p}_{{c}_{}}^{-})-(3{\alpha}_{\text{gz}}^{{m}^{+}}+3{\alpha}_{\text{lq}}^{{m}^{+}}){T}^{}({p}_{{\text{gz}}_{}}^{+}-{p}_{{\text{gz}}_{}}^{-})+{C}_{\varepsilon}^{{0}^{+}}({T}^{+}-{T}^{-})\) éq 4.1.6-3

où nous avons noté: \({T}^{}=\frac{{T}^{+}+{T}^{-}}{2}\) . Nous avons choisi ici une formule de «point milieu» pour la variable température.

Remarque:

Dans le cas isotrope [éq 4.1.6-3] devient:

\(Q{'}^{+}=Q{'}^{-}+(3{K}_{0}{\alpha}_{0})({\varepsilon}_{V}^{+}-{\varepsilon}_{V}^{-}){T}^{}+3{\alpha}_{\text{lq}}^{{m}^{+}}{T}^{}({p}_{c}^{+}-{p}_{{c}_{}}^{-})-(3{\alpha}_{\text{gz}}^{{m}^{+}}+3{\alpha}_{\text{lq}}^{{m}^{+}}){T}^{}({p}_{{\text{gz}}_{}}^{+}-{p}_{{\text{gz}}_{}}^{-})+{C}_{\varepsilon}^{{0}^{+}}({T}^{+}-{T}^{-})\)

Calcul des contraintes mécaniques#

Le calcul des contraintes effectives se fait en invoquant les lois incrémentales de mécanique choisies par l’utilisateur. On intègre sur le pas de temps [éq 3.2.8-2] et on a:

\({\sigma}_{p}^{+}={\sigma}_{p}^{-}-B({p}_{\mathit{gz}}^{+}-{p}_{\mathit{gz}}^{-})+B{S}_{\mathit{lq}}^{+}({p}_{c}^{+}-{p}_{c}^{-})\) éq 4.1.7-1

Dans le cas isotrope on a \(B=b.1\) , \({\sigma}_{p}^{+}={\sigma}_{p}^{+}.1\) et \({\sigma}_{p}^{-}={\sigma}_{p}^{-}.1\)

Calcul des flux hydriques et thermiques#

Il faut bien sûr calculer tous les coefficients de diffusion:

Le coefficient de Fick \({F}^{+}=F({T}^{+},{p}_{c}^{+},{p}_{\text{gz}}^{+})\)

Le tenseur de diffusivité thermique \({\lambda}^{T+}={\lambda}_{\phi }^{T}({\varphi}^{+}).{\lambda}_{S}^{T}({S}_{\text{lq}}^{+}).{\lambda}_{T}^{T}({T}^{+})+{\lambda}_{\text{cte}}^{T}\)

Les tenseurs de perméabilité et de conductivité hydraulique: \({\lambda}_{\text{lq}}^{{H}^{+}}=\frac{{K}^{int}({\varphi}^{+}).{k}_{w}^{\text{rel}}({S}_{\text{lq}}^{+})}{{\mu}_{w}({T}^{+})}{\lambda}_{\text{gz}}^{{H}^{+}}=\frac{{K}^{int}({\varphi}^{+}).{k}_{\text{gz}}^{\text{rel}}({S}_{\text{lq}}^{+},{p}_{\text{gz}}^{+})}{{\mu}_{\text{gz}}({T}^{+})}\)

Dans le cas isotrope, \({K}^{int}={K}^{int}.1\) , \({\lambda}^{T}={\lambda}^{T}.1\) , \({\lambda}_{T}^{T}(T)={\lambda}_{T}^{T}(T).1\) et \({\lambda}_{\mathit{cte}}^{T}={\lambda}_{\mathit{cte}}^{T}.1\)

La concentration en densité de vapeur: \({C}_{\text{vp}}^{+}=\frac{{\rho}_{\text{vp}}^{+}}{{\rho}_{\text{gz}}^{+}}\)

Il ne reste plus alors qu’à appliquer les formules [éq 3.2.5.1-1], [éq 3.2.5.2-15], [éq 3.2.5.2-16] et [éq3.2.5.2-17] pour trouver:

\({\mathrm{q}}^{+}=-{\lambda}^{{T}^{+}}\nabla{T}^{+}\) éq 4.1.8-1

\(\frac{{\mathrm{M}}_{\text{as}}^{+}}{{\rho}_{\text{as}}^{+}}={\lambda}_{\text{gz}}^{{H}^{+}}\left[-\nabla{p}_{\text{gz}}^{+}+({\rho}_{{\text{as}}_{}}^{+}+{\rho}_{\text{vp}}^{+}){\mathrm{F}}^{\mathrm{m}}\right]+{F}_{\text{vp}}^{+}{\rho}_{\text{gz}}^{+}\nabla{C}_{\text{vp}}^{+}\) éq 4.1.8-2

\(\frac{{\mathrm{M}}_{\text{vp}}^{+}}{{\rho}_{\text{vp}}^{+}}={\lambda}_{\text{gz}}^{{H}^{+}}\left[-\nabla{p}_{\text{gz}}^{+}+({\rho}_{\text{as}}^{+}+{\rho}_{\text{vp}}^{+}){\mathrm{F}}^{\mathrm{m}}\right]-{F}_{\text{vp}}^{+}{\rho}_{\text{gz}}^{+}\nabla{C}_{\text{vp}}^{+}\) éq 4.1.8-3

\(\frac{{\mathrm{M}}_{w}^{+}}{{\rho}_{w}^{+}}={\lambda}_{\text{lq}}^{{H}^{+}}\left[-\nabla{p}_{\text{lq}}^{+}+{\rho}_{w}^{+}{F}^{m}\right]\) éq 4.1.8-4

Dans les cas isotrope, \({\lambda}_{{\text{lq}}_{}}^{H}={\lambda}_{{\text{lq}}_{}}^{H}.1\) et \({\lambda}_{{\text{gz}}_{}}^{H}={\lambda}_{{\text{gz}}_{}}^{H}.1\) .

Cas avec air dissous#

Calcul de la porosité#

Calcul de la porosité: cas isotrope#

De la même manière, la première chose à faire est de calculer la saturation à la fin du pas de temps \({S}_{\text{lq}}^{+}={S}_{\text{lq}}\left({p}_{c}^{+}\right)\) . La porosité se trouve en intégrant sur le pas de temps l’équation [éq 3.2.1-1]. On rappelle donc que:

\(\ln\left\lbrace \frac{b-{\phi }^{+}}{b-{\phi }^{-}}\right\rbrace =\left\lbrace -({\varepsilon}_{v}^{+}-{\varepsilon}_{v}^{-})+3{\alpha}_{0}({T}^{+}-{T}^{-})-\frac{({p}_{\mathrm{gz}}^{+}-{p}_{\mathrm{gz}}^{-})-{S}_{\mathrm{lq}}^{+}({p}_{c}^{+}-{p}_{c}^{-})}{{K}_{S}}\right\rbrace\)

Calcul de la porosité: cas isotrope transverse#

De la même manière, la première chose à faire est de calculer la saturation à la fin du pas de temps \({S}_{\text{lq}}^{+}={S}_{\text{lq}}({p}_{c}^{+})\) . La porosité se trouve en intégrant sur le pas de temps l’équation [éq 3.2.1-1]. On rappelle donc que:

\(({\varphi}^{+}-{\varphi}^{-})=B:({\varepsilon}^{+}-{\varepsilon}^{-})-{\varphi}^{-}({\varepsilon}_{\text{v}}^{+}-{\varepsilon}_{\text{v}}^{-})-3{\alpha}_{\varphi}({T}^{+}-{T}^{-})+\frac{({p}_{\text{gz}}^{+}-{p}_{\text{gz}}^{-})-{S}_{\text{lq}}^{+}({p}_{\text{c}}^{+}-{p}_{\text{c}}^{-})}{{M}_{\varphi}}\)

Calcul des coefficients de dilatation#

De la même manière, le coefficient de dilatation thermique différentiel est recalculé à partir de la porosité évaluée en fin de pas de temps. Compte tenu de cela on pose :

\({\alpha}_{\varphi}^{+}=\frac{(B-{\varphi}^{+}\delta ):{\alpha}_{0}}{3}\) éq 4.2.2-1

Remarque:

Dans le cas isotrope [éq 4.2.2-1] devient:

\({\alpha}_{\varphi}^{+}=(b-{\varphi}^{+}){\alpha}_{0}\)

Il s’agit ensuite d’une simple application des formules [éq 3.2.4.3-2] et [éq 3.2.4.3-3], lesquelles sont évaluées en fin de pas de temps:

\({\alpha}_{\text{vp}}^{{m}^{+}}={a}_{\text{as}}^{m+}={a}_{\text{gz}}^{m+}=\left(1-{S}_{\text{lq}}^{+}\right){\alpha}_{\phi }^{+}+\frac{{\phi }^{+}\left(1-{S}_{\text{lq}}^{+}\right)}{{\mathrm{3T}}^{+}}\) éq 4.2.2-2

\({\alpha}_{w}^{{m}^{+}}={S}_{\text{lq}}^{+}{\alpha}_{\phi }^{+}+{\alpha}_{\text{lq}}{\phi }^{+}{S}_{\text{lq}}^{+}\) éq 4.2.2-3

\({\alpha}_{\text{ad}}^{{m}^{+}}={S}_{\text{lq}}^{+}{\alpha}_{\phi }^{+}+\frac{{\phi }^{+}{S}_{\text{lq}}^{+}}{{\mathrm{3T}}^{+}}\) éq 4.2.2-4

Calcul des pressions de vapeur, d’air dissous et sec et des masses volumiques#

Partant de la relation [éq 3.2.6-4] dans laquelle on porte la loi de comportement des gaz parfaits [éq3.2.3.2-1], on trouve:

\(\frac{{\text{dp}}_{\text{vp}}}{{p}_{\text{vp}}}=\frac{{M}_{\text{vp}}^{\text{ol}}}{\text{RT}}(\frac{1}{{\rho}_{w}}{\text{dp}}_{w}+({h}_{\text{vp}}^{m}-{h}_{w}^{m})\frac{\text{dT}}{T})\) éq 4.2.3-1

Contrairement au cas sans air dissous \({p}_{w}\) n’est maintenant plus connu:

\({p}_{w}={p}_{\text{lq}}-{p}_{\text{ad}}={p}_{\text{gz}}-{p}_{c}-\frac{\text{RT}}{{K}_{H}}{p}_{\text{as}}={p}_{\text{gz}}-{p}_{c}-\frac{\text{RT}}{{K}_{H}}({p}_{\text{gz}}-{p}_{\text{vp}})\)

donc:

\({\text{dp}}_{w}={\text{dp}}_{\text{gz}}-{\text{dp}}_{c}-\frac{\text{RT}}{{K}_{H}}({\text{dp}}_{\text{gz}}-{\text{dp}}_{\text{vp}})-\frac{R}{{K}_{H}}({p}_{\text{gz}}-{p}_{\text{vp}})\text{dT}\) éq 4.2.3-2

On intègre [éq 4.2.3.1] en y incluant [éq 4.2.3.2] par un chemin d’abord à température constante (on considère alors la masse volumique de l’eau constante), puis de \({T}^{-}\) à \({T}^{+}\) à pressions constantes. Au final on obtient:

\(\begin{array}{}\ln(\frac{{p}_{\text{vp}}^{+}}{{p}_{\text{vp}}^{-}})=\frac{{M}_{\text{vp}}^{\text{ol}}}{{\rho}_{w}^{-}}(\frac{1}{{\text{RT}}^{+}}-\frac{1}{{K}_{H}})({p}_{{\text{gz}}^{+}}-{p}_{\text{gz}}^{-})+\frac{{M}_{\text{vp}}^{\text{ol}}}{{\rho}_{w}^{-}{K}_{H}}({p}_{{\text{vp}}^{+}}-{p}_{\text{vp}}^{-})-\frac{{M}_{\text{vp}}^{\text{ol}}}{{\rho}_{w}^{-}{\text{RT}}^{+}}({p}_{{c}^{+}}-{p}_{c}^{-})+\\ \frac{{M}_{\text{vp}}^{\text{ol}}R}{{\rho}_{w}^{-}{K}_{H}}({p}_{{\text{vp}}^{+}}-{p}_{\text{gz}}^{+})\ln(\frac{{T}^{+}}{{T}^{-}})+\frac{{M}_{\text{vp}}^{\text{ol}}}{R}{\int}_{{T}^{-}}^{{T}^{+}}({h}_{\text{vp}}^{m}\text{}-{h}_{w}^{m})\frac{\text{dT}}{{T}^{2}}\end{array}\) éq 4.2.3-3

Contrairement au cas précédent, on a ici une équation non linéaire à résoudre. On va faire pour ça une méthode de type correcteur-prédicteur. On pose \({\tilde{p}}_{\text{vp}}\) tel que:

\(\begin{array}{}\ln(\frac{{\tilde{p}}_{\text{vp}}}{{p}_{\text{vp}}^{-}})=\frac{{M}_{\text{vp}}^{\text{ol}}}{{\rho}_{w}^{-}}(\frac{1}{{\text{RT}}^{+}}-\frac{1}{{K}_{H}})({p}_{{\text{gz}}^{+}}-{p}_{\text{gz}}^{-})-\frac{{M}_{\text{vp}}^{\text{ol}}}{{\rho}_{w}^{-}{\text{RT}}^{+}}({p}_{{c}^{+}}-{p}_{c}^{-})\\ +\frac{{M}_{\text{vp}}^{\text{ol}}}{R}{\int}_{{T}^{-}}^{{T}^{+}}({h}_{\text{vp}}^{m}-{h}_{w}^{m})\frac{\text{dT}}{{T}^{2}}\end{array}\) éq 4.2.3-4

et donc

\({\tilde{p}}_{\text{vp}}={p}_{\text{vp}}^{-}.\exp(\frac{{M}_{\text{vp}}^{\text{ol}}}{{\rho}_{{}_{w}}^{-}}(\frac{1}{{\text{RT}}^{+}}-\frac{1}{{K}_{H}})({p}_{{\text{gz}}^{+}}-{p}_{\text{gz}}^{-})-\frac{{M}_{\text{vp}}^{\text{ol}}}{{\rho}_{{}_{w}}^{-}{\text{RT}}^{+}}({p}_{{c}^{+}}-{p}_{c}^{-})+{\int}_{{T}^{-}}^{{T}^{+}}({h}_{\text{vp}}^{m}-{h}_{w}^{m})\frac{\text{dT}}{{T}^{2}})\) éq 4.2.3-5

En outre, comme dans la section [§4.1.4], on rappelle que:

\({\int}_{{T}^{-}}^{{T}^{+}}({h}_{\text{vp}}^{m}-{h}_{w}^{m})\frac{\text{dT}}{{T}^{2}}=({h}_{\text{vp}}^{{m}^{-}}-{h}_{w}^{{m}^{-}})(\frac{1}{{T}^{-}}-\frac{1}{{T}^{+}})+({C}_{\text{vp}}^{p}-{C}_{w}^{p})(\ln(\frac{{T}^{+}}{{T}^{-}})+{T}^{-}(\frac{1}{{T}^{+}}-\frac{1}{{T}^{-}}))\)

Comme \(\ln(\frac{{p}_{\text{vp}}^{+}}{{p}_{\text{vp}}^{-}})=\ln(\frac{{\tilde{p}}_{\text{vp}}}{{p}_{\text{vp}}^{-}})+\ln(\frac{{p}_{\text{vp}}^{+}}{{\tilde{p}}_{\text{vp}}})\) et que par D.L \(\ln(\frac{{p}_{\text{vp}}^{+}}{{\tilde{p}}_{\text{vp}}})=\ln(1+\frac{{p}_{\text{vp}}^{+}-{\tilde{p}}_{\text{vp}}}{{\tilde{p}}_{\text{vp}}})\approx \frac{{p}_{\text{vp}}^{+}}{{\tilde{p}}_{\text{vp}}}-1\) ,

\({p}_{\text{vp}}^{+}\) sera donc donné par l’expression linéaire suivante:

\(\frac{{p}_{\text{vp}}^{+}}{{\tilde{p}}_{\text{vp}}}=1+\frac{{M}_{\text{vp}}^{\text{ol}}}{{\rho}_{w}^{-}{K}_{H}}({p}_{\text{vp}}^{+}-{p}_{\text{vp}}^{-})+\frac{{M}_{\text{vp}}^{\text{ol}}R}{{\rho}_{w}^{-}{K}_{H}}({p}_{\text{vp}}^{+}-{p}_{\text{gz}}^{-})\ln(\frac{{T}^{+}}{{T}^{-}})\) éq 4.2.3-6

d’où

\({p}_{\text{vp}}^{+}=\frac{({\rho}_{w}^{-}{K}_{H}-{M}_{\text{vp}}^{\text{ol}}({p}_{\text{vp}}^{-}+{p}_{\text{gz}}^{-}R\ln(\frac{{T}^{+}}{{T}^{-}})))}{(\frac{{\rho}_{w}^{-}{K}_{H}}{{\tilde{p}}_{\text{vp}}}-{M}_{\text{vp}}^{\text{ol}}(1+R\ln(\frac{{T}^{+}}{{T}^{-}})))}\) éq 4.2.3-7

A partir de là les autres pressions se calculent facilement:

\({p}_{\text{as}}^{+}={p}_{\text{gz}}^{+}-{p}_{\text{vp}}^{+}\)

\({p}_{\text{ad}}^{+}=\frac{{p}_{\text{as}}^{+}}{{K}_{H}}{\text{RT}}^{+}\)

\({p}_{w}^{+}={p}_{\text{gz}}^{+}-{p}_{c}^{+}-{p}_{\text{ad}}^{+}\)

On peut alors calculer les masses volumiques de la vapeur et de l’air par les relations [éq3.2.3.2-1], [éq3.2.3.2-2] et [éq 3.2.7-3]:

\({\rho}_{\text{vp}}^{+}=\frac{{M}_{\text{vp}}^{\text{ol}}}{R}\frac{{p}_{\text{vp}}^{+}}{{T}^{+}}\) éq 4.2.3-8

\({\rho}_{\text{as}}^{+}=\frac{{M}_{\text{as}}^{\text{ol}}}{R}\frac{({p}_{\text{gz}}^{+}-{p}_{\text{vp}}^{+})}{{T}^{+}}\) éq 4.2.3-9

\({\rho}_{\text{ad}}^{+}=\frac{{p}_{\text{ad}}^{+}{M}_{\text{as}}^{\text{ol}}}{{\text{RT}}^{+}}\) éq 4.2.3-10

La masse volumique de l’eau se trouve en intégrant sur le pas de temps l’équation [éq 3.2.3.1-1].

Ce qui donne:

\(\ln(\frac{{\rho}_{w}^{+}}{{\rho}_{w}^{-}})=\frac{{p}_{\text{gz}}^{+}-{p}_{\text{gz}}^{-}-{p}_{c}^{+}+{p}_{c}^{-}-{p}_{\text{ad}}^{+}+{p}_{\text{ad}}^{-}}{{K}_{w}}-3{\alpha}_{w}({T}^{+}-{T}^{-})\) éq 4.2.3-11

Calcul des enthalpies fluides#

Les enthalpies fluides sont calculées par intégration des équations [éq 3.2.4.1-1], [éq 3.2.4.1-3], [éq3.2.4.2-1], [éq3.2.4.2-2].

\({h}_{w}^{{m}^{+}}={h}_{w}^{{m}^{-}}+{C}_{w}^{p}({T}^{+}-{T}^{-})+\frac{(1-3{\alpha}_{w}{T}^{+})}{{\rho}_{w}^{+}}({p}_{\text{gz}}^{+}-{p}_{\text{gz}}^{-}-{p}_{c}^{+}+{p}_{c}^{-}\text{}-{p}_{\text{ad}}^{+}+{p}_{\text{ad}}^{-})\) éq 4.2.4-1

\({h}_{\text{ad}}^{{m}^{+}}={h}_{\text{ad}}^{{m}^{-}}+{C}_{\text{ad}}^{p}({T}^{+}-{T}^{-})\) éq 4.2.4-2

\({h}_{\text{vp}}^{{m}^{+}}={h}_{\text{vp}}^{{m}^{-}}+{C}_{\text{vp}}^{p}({T}^{+}-{T}^{-})\) éq 4.2.4-3

\({h}_{\text{as}}^{{m}^{+}}={h}_{\text{as}}^{{m}^{-}}+{C}_{\text{as}}^{p}({T}^{+}-{T}^{-})\) éq 4.2.4-4

Calcul des apports massiques#

Les équations [éq 3.2.2-1] donnent des apports massiques nuls à l’instant 0. On écrit de façon incrémentale les équations [éq 3.2.2-1]:

\(\begin{array}{}{m}_{w}^{+}={m}_{w}^{-}+{\rho}_{w}^{+}(1+{\varepsilon}_{V}^{+}){\phi }^{+}{S}_{\text{lq}}^{+}-{\rho}_{w}^{-}(1+{\varepsilon}_{V}^{-}){\phi }^{-}{S}_{\text{lq}}^{-}\\ {m}_{\text{ad}}^{+}={m}_{\text{ad}}^{-}+{\rho}_{\text{ad}}^{+}(1+{\varepsilon}_{V}^{+}){\phi }^{+}{S}_{\text{lq}}^{+}-{\rho}_{\text{ad}}^{-}(1+{\varepsilon}_{V}^{-}){\phi }^{-}{S}_{\text{lq}}^{-}\\ {m}_{\text{as}}^{+}={m}_{\text{as}}^{-}+{\rho}_{\text{as}}^{+}(1+{\varepsilon}_{V}^{+}){\phi }^{+}(1-{S}_{\text{lq}}^{+})-{\rho}_{\text{as}}^{-}(1+{\varepsilon}_{V}^{-}){\phi }^{-}(1-{S}_{\text{lq}}^{-})\\ {m}_{\text{vp}}^{+}={m}_{\text{vp}}^{-}+{\rho}_{\text{vp}}^{+}(1+{\varepsilon}_{V}^{+}){\phi }^{+}(1-{S}_{\text{lq}}^{+})-{\rho}_{\text{vp}}^{-}(1+{\varepsilon}_{V}^{-}){\phi }^{-}(1-{S}_{\text{lq}}^{-})\end{array}\) éq 4.2.5-1

Calcul de la capacité calorifique et de la chaleur Q’#

On a maintenant tous les éléments pour appliquer à la fin du pas de temps la formule [éq 3.2.4.3-5]:

\({C}_{\sigma}^{{0}^{+}}=(1-{\phi }^{+}){\rho}_{s}{C}_{\sigma}^{s}+{S}_{\text{lq}}^{+}{\phi }^{+}({\rho}_{w}^{+}{C}_{w}^{p}+{\rho}_{\text{ad}}^{+}{C}_{\text{ad}}^{p})+(1-{S}_{\text{lq}}^{+}){\phi }^{+}({\rho}_{\text{vp}}^{+}{C}_{\text{vp}}^{p}+{\rho}_{\text{as}}^{+}{C}_{\text{as}}^{p})\) éq 4.2.6-1

On utilise bien sûr [éq 3.2.4.3-4] qui donne:

\({C}_{\varepsilon}^{0+}={C}_{\sigma}^{0+}-{T}^{+}({C}_{0}:{\alpha}_{0}):{\alpha}_{0}\) éq 4.2.6-2

Remarque:

Dans le cas isotrope [éq 4.2.6-2] devient:

\({C}_{\varepsilon}^{0+}={C}_{\sigma}^{0+}-9{T}^{+}{K}_{0}{\alpha}_{0}^{2}\)

Bien que la variation de chaleur \(\delta {Q}^{'}\) ne soit pas une différentielle totale, il est néanmoins licite de l’intégrer sur le pas de temps et on obtient en intégrant [éq 3.2.4.3-1].

\(Q{'}^{+}=Q{'}^{-}+({C}_{0}:{\alpha}_{0}):({\varepsilon}^{+}-{\varepsilon}^{-}){T}^{}+3{\alpha}_{\text{lq}}^{{m}^{+}}{T}^{}({p}_{c}^{+}-{p}_{{c}_{}}^{-})-(3{\alpha}_{\text{gz}}^{{m}^{+}}+3{\alpha}_{\text{lq}}^{{m}^{+}}){T}^{}({p}_{{\text{gz}}_{}}^{+}-{p}_{{\text{gz}}_{}}^{-})+{C}_{\varepsilon}^{{0}^{+}}({T}^{+}-{T}^{-})\) éq 4.2.6-3

où nous avons noté: \({T}^{}=\frac{{T}^{+}+{T}^{-}}{2}\) . Nous avons choisi ici une formule de «point milieu» pour la variable température.

Remarque:

Dans le cas isotrope [éq 4.2.6-3] devient:

\(Q{'}^{+}=Q{'}^{-}+(3{K}_{0}{\alpha}_{0})({\varepsilon}_{V}^{+}-{\varepsilon}_{V}^{-}){T}^{}+3{\alpha}_{\text{lq}}^{{m}^{+}}{T}^{}({p}_{c}^{+}-{p}_{{c}_{}}^{-})-(3{\alpha}_{\text{gz}}^{{m}^{+}}+3{\alpha}_{\text{lq}}^{{m}^{+}}){T}^{}({p}_{{\text{gz}}_{}}^{+}-{p}_{{\text{gz}}_{}}^{-})+{C}_{\varepsilon}^{{0}^{+}}({T}^{+}-{T}^{-})\)

Calcul des contraintes mécaniques#

Le calcul des contraintes effectives se fait en invoquant les lois incrémentales de mécanique choisies par l’utilisateur. On intègre sur le pas de temps [éq 3.2.8-2] et on a:

\({\sigma}_{p}^{+}={\sigma}_{p}^{-}-B({p}_{\mathit{gz}}^{+}-{p}_{\mathit{gz}}^{-})+B{S}_{\mathit{lq}}^{+}({p}_{c}^{+}-{p}_{c}^{-})\) éq 4.2.7-1

Dans le cas isotrope on a \(B=b.1\) , \({\sigma}_{p}^{+}={\sigma}_{p}^{+}.1\) et \({\sigma}_{p}^{-}={\sigma}_{p}^{-}.1\)

Calcul des flux hydriques et thermiques#

Il faut bien sûr calculer tous les coefficients de diffusion:

Les coefficients de Fick \({F}_{\text{vp}}^{+}({P}_{\text{vp}}^{+},{P}_{\text{gz}}^{+},{T}^{+},{S}^{+})\) et \({F}_{\text{ad}}^{+}({P}_{\text{ad}}^{+},{P}_{\text{lq}}^{+},{T}^{+},{S}^{+})\)

Le tenseur de diffusivité thermique \({\lambda}^{T+}={\lambda}_{\varphi}^{T}({\varphi}^{+}).{\lambda}_{S}^{T}({S}_{\text{lq}}^{+}).{\lambda}_{T}^{T}({T}^{+})+{\lambda}_{\text{cte}}^{T}\)

Les tenseurs de perméabilité et conductivité hydraulique:

\({\lambda}_{\text{lq}}^{{H}^{+}}=\frac{{K}^{int}({\varphi}^{+}\text{}).{k}_{w}^{\text{rel}}({S}_{\text{lq}}^{+})}{{\mu}_{w}\text{}({T}^{+})}{\lambda}_{\text{gz}}^{{H}^{+}}=\frac{{K}^{int}({\varphi}^{+}\text{}).{k}_{\text{gz}}^{\text{rel}}({S}_{\text{lq}}^{+},{p}_{{\text{gz}}_{}}^{+})}{{\mu}_{\text{gz}}\text{}({T}^{+})}\)

Dans le cas isotrope, \({K}^{int}={K}^{int}.1\) , \({\lambda}^{T}={\lambda}^{T}.1\) , \({\lambda}_{T}^{T}(T)={\lambda}_{T}^{T}(T).1\) et \({\lambda}_{\mathit{cte}}^{T}={\lambda}_{\mathit{cte}}^{T}.1\) .

La concentration en vapeur \({C}_{\text{vp}}^{+}=\frac{{\rho}_{\text{vp}}^{+}}{{\rho}_{\text{gz}}^{+}}\)

Il ne reste plus alors qu’à appliquer les formules [éq 3.2.5.1-1], [éq 3.2.5.2-9], [éq 3.2.5.2-10], [éq3.2.5.2-11] et [éq3.2.5.2-12] pour trouver:

\({\mathrm{q}}^{+}=-{\lambda}^{{T}^{+}}\nabla{T}^{+}\) éq 4.2.8-1

\({\mathrm{M}}_{\text{as}}^{+}={\rho}_{\text{as}}^{+}{\lambda}_{\text{gz}}^{{H}^{+}}\left[-\nabla{p}_{{\text{gz}}_{}}^{+}+({\rho}_{{\text{as}}_{}}^{+}+{\rho}_{{\text{vp}}_{}}^{+}){F}^{m}\right]+{F}_{\text{vp}}^{+}{\rho}_{\text{gz}}^{+}\nabla{C}_{\text{vp}}^{+}\) éq 4.2.8-2

\({\mathrm{M}}_{\text{vp}}^{+}={\rho}_{\text{vp}}^{+}{\lambda}_{\text{gz}}^{{H}^{+}}\left[-\nabla{p}_{{\text{gz}}_{}}^{+}+({\rho}_{{\text{as}}_{}}^{+}+{\rho}_{{\text{vp}}_{}}^{+}){\mathrm{F}}^{m}\right]-{F}_{\text{vp}}^{+}{\rho}_{\text{gz}}^{+}\nabla{C}_{\text{vp}}^{+}\) éq 4.2.8-3

\({\mathrm{M}}_{\text{w}}^{+}={\rho}_{\text{w}}^{+}{\lambda}_{\text{lq}}^{{H}^{+}}\left[-\nabla{p}_{\text{lq}}^{+}+({\rho}_{w}^{+}+{\rho}_{\text{ad}}^{+}){\mathrm{F}}^{m}\right]\) éq 4.2.8-4

\({\mathrm{M}}_{\text{ad}}^{+}={\rho}_{\text{ad}}^{+}{\lambda}_{\text{lq}}^{H}\left[-\nabla{p}_{\text{lq}}+({\rho}_{w}^{+}+{\rho}_{\text{ad}}^{+}){\mathrm{F}}^{m}\right]-{F}_{\text{ad}}^{+}\nabla{\rho}_{\text{ad}}^{+}\) éq 4.2.8-5

Dans les cas isotrope, \({\lambda}_{{\text{lq}}_{}}^{H}={\lambda}_{{\text{lq}}_{}}^{H}.1\) et \({\lambda}_{{\text{gz}}_{}}^{H}={\lambda}_{{\text{gz}}_{}}^{H}.1\)

Calcul des dérivées des contraintes généralisées#

Dans ce chapitre, nous donnons les expressions des dérivées des contraintes généralisées par rapport aux déformations généralisées au sens du document [R7.01.10], c‘est-à-dire les termes qui sont calculés quand les lois de comportements THM sont appelées pour l’option RIGI_MECA_TANG au sens du document [R5.03.01] .

Afin de ne pas alourdir l’exposé, nous donnons l’expression des différentielles des contraintes généralisées, sachant que les dérivées partielles s’en déduisent directement.

Dérivées des contraintes#

Le calcul de la différentielle des contraintes effectives est laissé à la charge de la loi de comportement purement mécanique, que nous ne décrivons pas dans ce document. La différentielle de la contrainte \({\sigma}_{p}\) est donnée directement par l’expression [éq 3.2.8-2].

Dérivées des apports massiques#

En différenciant [éq 3.2.2-1], on a:

\(\begin{array}{}\frac{{\text{dm}}_{w}}{{\rho}_{w}}=\frac{d{\rho}_{w}}{{\rho}_{w}}(1+{\varepsilon}_{V})\phi {S}_{\text{lq}}+d{\varepsilon}_{V}\phi {S}_{\text{lq}}+(1+{\varepsilon}_{V})d\phi {S}_{\text{lq}}+(1+{\varepsilon}_{V})\phi {\text{dS}}_{\text{lq}}\\ \frac{{\text{dm}}_{\text{ad}}}{{\rho}_{\text{ad}}}=\frac{d{\rho}_{\text{ad}}}{{\rho}_{\text{ad}}}(1+{\varepsilon}_{V})\phi {S}_{\text{lq}}+d{\varepsilon}_{V}\phi {S}_{\text{lq}}+(1+{\varepsilon}_{V})d\phi {S}_{\text{lq}}+(1+{\varepsilon}_{V})\phi {\text{dS}}_{\text{lq}}\\ \frac{{\text{dm}}_{\text{as}}}{{\rho}_{\text{as}}}=\frac{d{\rho}_{\text{as}}}{{\rho}_{\text{as}}}(1+{\varepsilon}_{V})\phi (1-{S}_{\text{lq}})+d{\varepsilon}_{V}\phi (1-{S}_{\text{lq}})+(1+{\varepsilon}_{V})d\phi (1-{S}_{\text{lq}})-(1+{\varepsilon}_{V})\phi {\text{dS}}_{\text{lq}}\\ \frac{{\text{dm}}_{\text{vp}}}{{\rho}_{\text{vp}}}=\frac{d{\rho}_{\text{vp}}}{{\rho}_{\text{vp}}}(1+{\varepsilon}_{V})\phi (1-{S}_{\text{lq}})+d{\varepsilon}_{V}\phi (1-{S}_{\text{lq}})+(1+{\varepsilon}_{V})d\phi (1-{S}_{\text{lq}})-(1+{\varepsilon}_{V})\phi {\text{dS}}_{\text{lq}}\end{array}\) éq 5.2-1

Cas sans air dissous#

En tenant compte de [éq 3.2.1-1] et de [éq 3.2.3.1-1], [éq 3.2.3.2-1], [éq 3.2.3.2-2] et en supposant \(1+{\varepsilon}_{V}\approx 1\) on trouve:

\(\begin{array}{c}\frac{{\text{dm}}_{w}}{{\rho}_{w}}={S}_{\text{lq}}B:d\epsilon +\left(\phi \frac{\partial {S}_{\text{lq}}}{\partial {P}_{c}}-\frac{{S}_{\text{lq}}\phi }{{K}_{w}}-\frac{{S}_{\text{lq}}^{2}}{{M}_{\phi}}\right){\text{dp}}_{c}+{S}_{\text{lq}}\left(\frac{\phi}{{K}_{w}}+\frac{1}{{M}_{\phi}}\right){\text{dp}}_{\text{gz}}-3{\alpha}_{w}^{m}\text{dT}\\ \frac{{\text{dm}}_{\text{vp}}}{{\rho}_{\text{vp}}}=(1-{S}_{\text{lq}})B:d\epsilon +\left(-\phi \frac{\partial {S}_{\text{lq}}}{\partial {P}_{c}}-\frac{(1-{S}_{\text{lq}}){S}_{\text{lq}}}{{M}_{\phi}}\right){\text{dp}}_{c}+\left(\frac{(1-{S}_{\text{lq}})}{{M}_{\phi}}\right){\text{dp}}_{\text{gz}}+\phi (1-{S}_{\text{lq}})\frac{{\text{dp}}_{\text{vp}}}{{p}_{\text{vp}}}-3{\alpha}_{\text{vp}}^{m}\text{dT}\\ \frac{{\text{dm}}_{\text{as}}}{{\rho}_{\text{as}}}=(1-{S}_{\text{lq}})B:d\epsilon +\left(-\phi \frac{\partial {S}_{\text{lq}}}{\partial {P}_{c}}-\frac{(1-{S}_{\text{lq}}){S}_{\text{lq}}}{{M}_{\phi}}\right){\text{dp}}_{c}+\left(\frac{(1-{S}_{\text{lq}})}{{M}_{\phi}}\right){\text{dp}}_{\text{gz}}+\phi (1-{S}_{\text{lq}})\frac{{\text{dp}}_{\text{as}}}{{p}_{\text{as}}}-3{\alpha}_{\text{as}}^{m}\text{dT}\end{array}\rbrace\) éq 5.2.1-1

On voit apparaître la dérivée de la saturation en liquide par rapport à la pression capillaire, quantité qui joue un rôle essentiel.

L’expression [éq 3.2.6-4] de la différentielle de la pression de vapeur permet aussi de calculer la pression d’air sec:

\({\text{dp}}_{\text{as}}=(1-\frac{{M}_{\text{vp}}^{\text{ol}}{p}_{\text{vp}}}{\text{RT}{\rho}_{w}}){\text{dp}}_{\text{gz}}+\frac{{M}_{\text{vp}}^{\text{ol}}{p}_{\mathit{vp}}}{\text{RT}{\rho}_{w}}{\text{dp}}_{c}-\frac{{M}_{\text{vp}}^{\text{ol}}{p}_{\mathit{vp}}}{\text{RT}}({h}_{\text{vp}}^{m}-{h}_{w}^{m})\frac{\text{dT}}{T}\) éq 5.2.1-2

On reporte [éq 5.2.1-2] et [éq 3.2.6-4] dans [éq 5.2.1-1] et on trouve:

\(\frac{{\text{dm}}_{w}}{{\rho}_{w}}={\text{S}}_{\text{lq}}B:d\epsilon +\left(\phi \frac{\partial {S}_{\text{lq}}}{\partial {P}_{c}}-\frac{{S}_{\text{lq}}\phi }{{K}_{w}}-\frac{{S}_{\text{lq}}^{2}}{{M}_{\phi}}\right){\text{dp}}_{c}+{S}_{\text{lq}}\left(\frac{\phi}{{K}_{w}}+\frac{1}{{M}_{\phi}}\right){\text{dp}}_{\text{gz}}-3{\alpha}_{w}^{m}\text{dT}\) éq 5.2.1-3

\(\begin{array}{c}\frac{{\mathit{dm}}_{\mathit{vp}}}{{\rho}_{\mathit{vp}}}=(1-{S}_{\mathit{lq}})B:d\epsilon +\left(-\phi \frac{\partial {S}_{\mathit{lq}}}{\partial {p}_{c}}-\frac{(1-{S}_{\mathit{lq}}){S}_{\mathit{lq}}}{{M}_{\phi}}-\frac{\phi (1-{S}_{\mathit{lq}})}{{p}_{\mathit{vp}}}\frac{{\rho}_{\mathit{vp}}}{{\rho}_{\mathit{lq}}}\right){\mathit{dp}}_{c}\\ +\left(\frac{(1-{S}_{\mathit{lq}})}{{M}_{\phi}}-\frac{\phi (1-{S}_{\mathit{lq}})}{{p}_{\mathit{vp}}}\frac{{\rho}_{\mathit{vp}}}{{\rho}_{\mathit{lq}}}\right){\mathit{dp}}_{\mathit{gz}}\\ +\left(-3{\alpha}_{\mathit{vp}}^{m}+\frac{{\rho}_{\mathit{vp}}\phi (1-{S}_{\mathit{lq}})({h}_{\mathit{vp}}^{m}-{h}_{\mathit{lq}}^{m})}{{p}_{\mathit{vp}}T}\right)\mathit{dT}\end{array}\) éq 5.2.1-4

\(\begin{array}{c}\frac{{\mathit{dm}}_{\mathit{as}}}{{\rho}_{\mathit{as}}}=(1-{S}_{\mathit{lq}})B:d\epsilon +\left(-\phi \frac{\partial {S}_{\mathit{lq}}}{\partial {p}_{c}}-\frac{(1-{S}_{\mathit{lq}}){S}_{\mathit{lq}}}{{M}_{\phi}}-\frac{\phi (1-{S}_{\mathit{lq}})}{{p}_{\mathit{as}}}\frac{{\rho}_{\mathit{vp}}}{{\rho}_{\mathit{lq}}}\right){\mathit{dp}}_{c}\\ +\left(\frac{(1-{S}_{\mathit{lq}})}{{M}_{\phi}}-\frac{\phi (1-{S}_{\mathit{lq}})}{{p}_{\mathit{as}}}\frac{{\rho}_{\mathit{lq}}-{\rho}_{\mathit{vp}}}{{\rho}_{\mathit{lq}}}\right){\mathit{dp}}_{\mathit{gz}}+\left(-3{\alpha}_{\mathit{as}}^{m}+\frac{{\rho}_{\mathit{vp}}\phi (1-{S}_{\mathit{lq}})({h}_{\mathit{vp}}^{m}-{h}_{\mathit{lq}}^{m})}{{p}_{\mathit{as}}T}\right)\mathit{dT}\end{array}\) éq 5.2.1-5

Cas avec air dissous#

Comme précédemment, en tenant compte de [éq 3.2.1-1] et de [éq 3.2.3.1-1], [éq 3.2.3.2-1], [éq3.2.3.2-2], [éq3.2.7.3] et en supposant \(1+{\varepsilon}_{V}\approx 1\) on trouve:

\(\begin{array}{}\frac{{\text{dm}}_{w}}{{\rho}_{w}}={\text{bS}}_{\text{lq}}d{\varepsilon}_{V}+(\frac{{S}_{\text{lq}}\varphi }{{K}_{w}}\frac{\partial {p}_{w}}{\partial {P}_{c}}-\frac{{S}_{{\text{lq}}^{2}}(b-\varphi )}{{K}_{s}}+\varphi \frac{\partial {S}_{\text{lq}}}{\partial {P}_{c}}){\text{dp}}_{c}+{S}_{\text{lq}}(\frac{\varphi}{{K}_{w}}\frac{\partial {p}_{w}}{\partial {P}_{\text{gz}}}+\frac{(b-\varphi )}{{K}_{s}}){\text{dp}}_{\text{gz}}+\\ (\frac{\varphi {S}_{\text{lq}}}{{K}_{w}}\frac{\partial {p}_{w}}{\partial T}-3{\alpha}_{w}^{m})\text{dT}\end{array}\) éq 5.2.2-1

\(\begin{array}{}\frac{{\text{dm}}_{\text{ad}}}{{\rho}_{\text{ad}}}={\text{bS}}_{\text{lq}}d{\varepsilon}_{V}+(\frac{{S}_{\text{lq}}\varphi {M}_{\text{as}}^{\text{ol}}}{{\rho}_{\text{ad}}{K}_{H}}\frac{\partial {p}_{\text{as}}}{\partial {P}_{c}}-\frac{{S}_{{\text{lq}}^{2}}(b-\varphi )}{{K}_{s}}+\varphi \frac{\partial {S}_{\text{lq}}}{\partial {P}_{c}}){\text{dp}}_{c}+\\ {S}_{\text{lq}}(\frac{\varphi {M}_{\text{as}}^{\text{ol}}}{{\rho}_{\text{ad}}{K}_{H}}\frac{\partial {p}_{\text{as}}}{\partial {P}_{\text{gz}}}+\frac{(b-\varphi )}{{K}_{s}}){\text{dp}}_{\text{gz}}+{S}_{\text{lq}}(\frac{\varphi {M}_{\text{as}}^{\text{ol}}}{{\rho}_{\text{ad}}{K}_{H}}\frac{\partial {p}_{\text{as}}}{\partial T}-3{\alpha}_{0}(b-\varphi ))\text{dT}\end{array}\) éq 5.2.2-2

\(\begin{array}{}\frac{{\text{dm}}_{\text{vp}}}{{\rho}_{\text{vp}}}=b(1-{S}_{\text{lq}})d{\varepsilon}_{V}+(-\varphi \frac{\partial {S}_{\text{lq}}}{\partial {P}_{c}}-\frac{(1-{S}_{\text{lq}}){S}_{\text{lq}}(b-\varphi )}{{K}_{s}}-\frac{\varphi (1-{S}_{\text{lq}})}{{p}_{\text{vp}}}\frac{{\rho}_{\text{vp}}}{{\rho}_{\text{lq}}}){\text{dp}}_{c}+\\ (\frac{(b-\varphi )(1-{S}_{\text{lq}})}{{K}_{s}}+\frac{\varphi (1-{S}_{\text{lq}})}{{p}_{\text{vp}}}\frac{{\rho}_{\text{vp}}}{{\rho}_{\text{lq}}}){\text{dp}}_{\text{gz}}+(-3{\alpha}_{\text{vp}}^{m}+\frac{\varphi {\rho}_{\text{vp}}(1-{S}_{\text{lq}})({h}_{\text{vp}}^{m}-{h}_{\text{lq}}^{m})}{{p}_{\text{vp}}T})\text{dT}\end{array}\) éq 5.2.2-3

\(\begin{array}{}\frac{{\text{dm}}_{\text{as}}}{{\rho}_{\text{as}}}=b(1-{S}_{\text{lq}})d{\varepsilon}_{V}+(-\varphi \frac{\partial {S}_{\text{lq}}}{\partial {P}_{c}}-\frac{(1-{S}_{\text{lq}}){S}_{\text{lq}}(b-\varphi )}{{K}_{s}}+\frac{\varphi (1-{S}_{\text{lq}})}{{p}_{\text{as}}}\frac{{\rho}_{\text{vp}}}{{\rho}_{\text{lq}}}){\text{dp}}_{c}+\\ (\frac{(b-\varphi )(1-{S}_{\text{lq}})}{{K}_{s}}+\frac{\varphi (1-{S}_{\text{lq}})}{{p}_{\text{as}}}\frac{{\rho}_{\text{lq}}-{\rho}_{\text{vp}}}{{\rho}_{\text{lq}}}){\text{dp}}_{\text{gz}}+(-3{\alpha}_{\text{vp}}^{m}-\frac{\varphi {\rho}_{\text{vp}}(1-{S}_{\text{lq}})({h}_{\text{vp}}^{m}-{h}_{\text{lq}}^{m})}{{p}_{\text{as}}T})\text{dT}\end{array}\) éq 5.2.2-4

Les dérivées partielles sont données en [§ Annexe 3].

Dérivées des enthalpies et de la chaleur Q’#

Là encore, nous ne faisons que rappeler des expressions déjà fournies au chapitre 2:

Cas sans air dissous#

\({\text{dh}}_{w}^{m}=(1-3{\alpha}_{w}T)\frac{{\text{dp}}_{\text{gz}}-{\text{dp}}_{c}}{{\rho}_{w}}+{C}_{w}^{p}\text{dT}\)

\({\text{dh}}_{\text{vp}}^{m}={C}_{\text{vp}}^{p}\text{dT}\)

\({\text{dh}}_{\text{as}}^{m}={C}_{\text{as}}^{p}\text{dT}\)

\(\delta Q'=3{\alpha}_{0}{K}_{0}\text{Td}{\varepsilon}_{V}+3{\alpha}_{\text{lq}}^{m}{\text{Tdp}}_{c}-(3{\alpha}_{\text{gz}}^{m}+3{\alpha}_{\text{lq}}^{m}){\text{Tdp}}_{\text{gz}}+{C}_{\varepsilon}^{0}\text{dT}\)

Cas avec air dissous#

Comme précédemment, en tenant compte de [éq 3.2.1-1] et de [éq 3.2.3.1-1], [éq 3.2.3.2-1], [éq3.2.3.2-2], [éq3.2.7.3] et en supposant \(1+{\varepsilon}_{V}\approx 1\) on trouve:

\(\begin{array}{c}\frac{{\text{dm}}_{w}}{{\rho}_{w}}={\text{S}}_{\text{lq}}B:d\epsilon +\left(\frac{{S}_{\text{lq}}\phi }{{K}_{w}}\frac{\partial {p}_{w}}{\partial {P}_{c}}-\frac{{S}_{\text{lq}}^{2}}{{M}_{\phi}}+\phi \frac{\partial {S}_{\text{lq}}}{\partial {P}_{c}}\right){\text{dp}}_{c}+{S}_{\text{lq}}\left(\frac{\phi}{{K}_{w}}\frac{\partial {p}_{w}}{\partial {P}_{\text{gz}}}+\frac{1}{{M}_{\phi}}\right){\text{dp}}_{\text{gz}}+\\ \left(\frac{\phi {S}_{\text{lq}}}{{K}_{w}}\frac{\partial {p}_{w}}{\partial T}-3{\alpha}_{w}^{m}\right)\text{dT}\end{array}\) éq 5.2.2-1

\(\begin{array}{c}\frac{{\text{dm}}_{\text{ad}}}{{\rho}_{\text{ad}}}={\text{S}}_{\text{lq}}B:d\epsilon +\left(\frac{{S}_{\text{lq}}\phi {M}_{\text{as}}^{\text{ol}}}{{\rho}_{\text{ad}}{K}_{H}}\frac{\partial {p}_{\text{as}}}{\partial {P}_{c}}-\frac{{S}_{\text{lq}}^{2}}{{M}_{\phi}}+\phi \frac{\partial {S}_{\text{lq}}}{\partial {P}_{c}}\right){\text{dp}}_{c}+{S}_{\text{lq}}\left(\frac{\phi {M}_{\text{as}}^{\text{ol}}}{{\rho}_{\text{ad}}{K}_{H}}\frac{\partial {p}_{\text{as}}}{\partial {P}_{\text{gz}}}+\frac{1}{{M}_{\phi}}\right){\text{dp}}_{\text{gz}}\\ +{S}_{\text{lq}}\left(\frac{\phi {M}_{\text{as}}^{\text{ol}}}{{\rho}_{\text{ad}}{K}_{H}}\frac{\partial {p}_{\text{as}}}{\partial T}-3{\alpha}_{\phi}\right)\text{dT}\end{array}\) éq 5.2.2-2

\(\begin{array}{c}\frac{{\text{dm}}_{\text{vp}}}{{\rho}_{\text{vp}}}=(1-{S}_{\text{lq}})B:d\epsilon +\left(-\phi \frac{\partial {S}_{\text{lq}}}{\partial {P}_{c}}-\frac{(1-{S}_{\text{lq}}){S}_{\text{lq}}}{{M}_{\phi}}-\frac{\phi (1-{S}_{\text{lq}})}{{p}_{\text{vp}}}\frac{{\rho}_{\text{vp}}}{{\rho}_{\text{lq}}}\right){\text{dp}}_{c}+\left(\frac{(1-{S}_{\text{lq}})}{{M}_{\phi}}+\frac{\phi (1-{S}_{\text{lq}})}{{p}_{\text{vp}}}\frac{{\rho}_{\text{vp}}}{{\rho}_{\text{lq}}}\right){\text{dp}}_{\text{gz}}+\\ +\left(-3{\alpha}_{\text{vp}}^{m}+\frac{\phi {\rho}_{\text{vp}}(1-{S}_{\text{lq}})({h}_{\text{vp}}^{m}-{h}_{\text{lq}}^{m})}{{p}_{\text{vp}}T}\right)\text{dT}\end{array}\)

éq 5.2.2-3

\(\begin{array}{c}\frac{{\text{dm}}_{\text{as}}}{{\rho}_{\text{as}}}=(1-{S}_{\text{lq}})B:d\epsilon +\left(-\phi \frac{\partial {S}_{\text{lq}}}{\partial {P}_{c}}-\frac{(1-{S}_{\text{lq}}){S}_{\text{lq}}}{{M}_{\phi}}+\frac{\phi (1-{S}_{\text{lq}})}{{p}_{\text{as}}}\frac{{\rho}_{\text{vp}}}{{\rho}_{\text{lq}}}\right){\text{dp}}_{c}+\\ \left(\frac{((1-{S}_{\text{lq}})}{{M}_{\phi}}+\frac{\phi (1-{S}_{\text{lq}})}{{p}_{\text{as}}}\frac{{\rho}_{\text{lq}}-{\rho}_{\text{vp}}}{{\rho}_{\text{lq}}}\right){\text{dp}}_{\text{gz}}+\left(-3{\alpha}_{\text{vp}}^{m}-\frac{\phi {\rho}_{\text{vp}}(1-{S}_{\text{lq}})({h}_{\text{vp}}^{m}-{h}_{\text{lq}}^{m})}{{p}_{\text{as}}T}\right)\text{dT}\end{array}\) éq 5.2.2-4

Les dérivées partielles sont données en [§Annexe 3].

Dérivées des enthalpies et de la chaleur Q’#

Là encore, nous ne faisons que rappeler des expressions déjà fournies au chapitre 2:

Cas sans air dissous#

\({\text{dh}}_{w}^{m}=(1-3{\alpha}_{w}T)\frac{{\text{dp}}_{\text{gz}}-{\text{dp}}_{c}}{{\rho}_{w}}+{C}_{w}^{p}\text{dT}\)

\({\text{dh}}_{\text{vp}}^{m}={C}_{\text{vp}}^{p}\text{dT}\)

\({\text{dh}}_{\text{as}}^{m}={C}_{\text{as}}^{p}\text{dT}\)

\(\delta Q'=({C}_{0}:{\alpha}_{0}:d\epsilon )\text{T}+3{\alpha}_{\text{lq}}^{m}{\text{Tdp}}_{c}-\left(3{\alpha}_{\text{gz}}^{m}+3{\alpha}_{\text{lq}}^{m}\right){\text{Tdp}}_{\text{gz}}+{C}_{\epsilon}^{0}\text{dT}\)

Cas avec air dissous#

\(\begin{array}{}{\text{dh}}_{w}^{m}=(1-3{\alpha}_{w}T)\frac{{\text{dp}}_{\text{gz}}-{\text{dp}}_{c}-{\text{dp}}_{\text{ad}}}{{\rho}_{w}}+{C}_{w}^{p}\text{dT}\\ =(\frac{1-3{\alpha}_{w}T}{{\rho}_{w}})\left[(1-\frac{\partial {p}_{\text{ad}}}{\partial {p}_{\text{gz}}}){\text{dp}}_{\text{gz}}-(1+\frac{\partial {p}_{\text{ad}}}{\partial {p}_{c}}){\text{dp}}_{c}\right]+({C}_{w}^{p}-\frac{1-3{\alpha}_{w}T}{{\rho}_{w}}\frac{\partial {p}_{\text{ad}}}{\partial T})\text{dT}\end{array}\)

\({\text{dh}}_{\text{ad}}^{m}={C}_{\text{ad}}^{p}\text{dT}\)

\({\text{dh}}_{\text{vp}}^{m}={C}_{\text{vp}}^{p}\text{dT}\)

\({\text{dh}}_{\text{as}}^{m}={C}_{\text{as}}^{p}\text{dT}\)

\(\delta Q'=({C}_{0}:{\alpha}_{0}:d\epsilon )\text{T}+3{\alpha}_{\text{lq}}^{m}{\text{Tdp}}_{c}-\left(3{\alpha}_{\text{gz}}^{m}+3{\alpha}_{\text{lq}}^{m}\right){\text{Tdp}}_{\text{gz}}+{C}_{\epsilon}^{0}\text{dT}\)

Dérivées du flux de chaleur#

On part de [éq 3.2.5.1-1] et de [éq 3.2.5.1-2].

En différenciant [éq 3.2.5.1-2] et en utilisant [éq 3.2.1-1], on trouve:

\[\begin{split}\begin{array}{c} d{\lambda}^{T} = {{\lambda}_{\phi}^{T}}^{\prime} (\phi).{\lambda}_{S}^{T}({S}_{\text{lq}}).{\lambda}_{T}^{T}(T).B : d\epsilon \\ + \frac{1}{{M}_{\phi}}{{\lambda}_{\phi}^{T}}^{\prime}(\phi).{\lambda}_{S}^{T}({S}_{\text{lq}}).{\lambda}_{T}^{T}(T){\text{dp}}_{\text{gz}}\\ + \left({\lambda}_{\phi}^{T}(\phi).{{\lambda}_{S}^{T}}^{\prime} ({S}_{\text{lq}}).{\lambda}_{T}^{T}(T).\frac{\partial {S}_{\text{lq}}}{\partial {p}_{c}}-{S}_{\text{lq}}\frac{\text{}1}{{M}_{\phi}} {{\lambda}_{\phi}^{T}}^{\prime} (\phi).{\lambda}_{S}^{T}({S}_{\text{lq}}).{\lambda}_{T}^{T}(T)\right){\text{dp}}_{c}\\ + \left({\lambda}_{\phi}^{T}(\phi).{\lambda}_{S}^{T}({S}_{\text{lq}}).{{\lambda}_{T}^{T}}^{\prime} (T) - 3{\alpha}_{\phi}{{\lambda}_{\phi}^{T}}^{\prime}(\phi).{\lambda}_{S}^{T}({S}_{\text{lq}}).{\lambda}_{T}^{T}(T)\right)\text{dT} \end{array}\end{split}\]

Soit finalement:

\[\begin{split}\begin{array}{c} \mathit{dq} = - {{\lambda}_{\phi}^{T}}^{\prime}(\phi).{\lambda}_{S}^{T}({S}_{\text{lq}}).{\lambda}_{T}^{T}(T).B:d\epsilon .\nabla \text{T}\\ -\frac{\text{}1}{{M}_{\phi}}{{\lambda}_{\phi}^{T}}^{\prime}(\phi).{\lambda}_{S}^{T}({S}_{\text{lq}}).{\lambda}_{T}^{T}(T).\nabla \text{T}{\text{dp}}_{\text{gz}}\\ -\left({\lambda}_{\phi}^{T}(\phi).{{\lambda}_{S}^{T}}^{\prime}({S}_{\text{lq}}).{\lambda}_{T}^{T}(T).\frac{\partial {S}_{\text{lq}}}{\partial {p}_{c}}-{S}_{\text{lq}}\frac{\text{}1}{{M}_{\phi}}{{\lambda}_{\phi}^{T}}^{\prime}(\phi).{\lambda}_{S}^{T}({S}_{\text{lq}}).{\lambda}_{T}^{T}(T)\right).\nabla \text{T}{\text{dp}}_{c}\\ -\left({\lambda}_{\phi}^{T}(\phi).{\lambda}_{S}^{T}({S}_{\text{lq}}).{{\lambda}_{T}^{T}}^{\prime}(T)-3{\alpha}_{\phi}{{\lambda}_{\phi}^{T}}^{\prime}(\phi).{\lambda}_{S}^{T}({S}_{\text{lq}}).{\lambda}_{T}^{T}(T)\right).\nabla \text{T}\text{dT} \end{array}\end{split}\]

Dérivée des flux hydriques#

Il faut bien sûr repartir des équations [éq 3.2.5.2-9], [éq 3.2.5.2-10], [éq 3.2.5.2-11] et [éq 3.2.5.2-12] que l’on différencie. On écrira les dérivées dans le cas le plus général (avec 2 constituants par phase). Pour le cas sans air dissous, il suffira de simplifier les termes correspondants.

\(\begin{array}{c}d{\boldsymbol{M}}_{\text{as}}\boldsymbol{=}(\frac{{\boldsymbol{M}}_{\text{as}}}{{\rho}_{\text{as}}}+{\rho}_{\text{as}}{\lambda}_{\text{gz}}^{H}.{F}^{\boldsymbol{m}})d{\rho}_{\text{as}}+({\boldsymbol{M}}_{\text{as}}-{\rho}_{\text{as}}{\rho}_{\text{g}}{F}_{\text{vp}}\boldsymbol{\nabla}{C}_{\text{vp}}).{\boldsymbol{[}{\lambda}_{\text{lq}}^{H}\boldsymbol{]}}^{\text{-1}}d{\lambda}_{\text{gz}}^{H}\\ +{\rho}_{\text{as}}{\lambda}_{\text{gz}}^{H}(-d\boldsymbol{\nabla}{p}_{\text{gz}}+d{\rho}_{\text{vp}}{\boldsymbol{F}}^{\boldsymbol{m}})\\ +{\rho}_{\text{as}}{\rho}_{\text{gz}} (d{F}_{\text{vp}})\boldsymbol{\nabla}{C}_{\text{vp}}+{\rho}_{\text{as}}d{\rho}_{\text{gz}}{F}_{\text{vp}}\boldsymbol{\nabla}{C}_{\text{vp}}+{\rho}_{\text{as}}{\rho}_{\text{gz}}{F}_{\text{vp}}d\boldsymbol{\nabla}{C}_{\text{vp}}\end{array}\) éq 5.6-1

\(\begin{array}{c}d{\boldsymbol{M}}_{\text{vp}}=\left(\frac{{\boldsymbol{M}}_{\text{vp}}}{{\rho}_{\text{vp}}}+{\rho}_{\text{vp}}{\lambda}_{\text{gz}}^{H}.{F}^{m}\right)d{\rho}_{\text{vp}}+({\boldsymbol{M}}_{\text{vp}}+{\rho}_{\text{vp}}{\rho}_{\text{gz}}{F}_{\text{vp}}\nabla {C}_{\text{vp}}).{[{\lambda}_{\text{gz}}^{H}]}^{\text{-1}}.d{\lambda}_{\text{gz}}^{H}\\ +{\rho}_{\text{vp}}{\lambda}_{\text{gz}}^{H}\left(-d\nabla {p}_{\text{gz}}+d{\rho}_{\text{as}}{\boldsymbol{F}}^{m}\right)\\ -{\rho}_{\text{gz}}{\rho}_{\text{vp}}\left(d{F}_{\text{vp}} \right)\nabla {C}_{\text{vp}}-{\rho}_{\text{vp}}d{\rho}_{\text{gz}}{F}_{\text{vp}}\nabla {C}_{\text{vp}}-{\rho}_{\text{vp}}{\rho}_{\text{gz}}{F}_{\text{vp}}d\nabla {C}_{\text{vp}}\end{array}\) éq 5.6-2

\(d{\boldsymbol{M}}_{w}=(\frac{{\boldsymbol{M}}_{w}}{{\rho}_{w}}+{\rho}_{w}{\lambda}_{\text{lq}}^{H}.{\boldsymbol{F}}^{m})d{\rho}_{w}+{\boldsymbol{M}}_{w}.{\boldsymbol{[}{\lambda}_{\text{lq}}^{H}\boldsymbol{]}}^{\text{-1}}.d{\lambda}_{\text{lq}}^{H}+{\rho}_{w}{\lambda}_{\text{lq}}^{H}(-d\boldsymbol{\nabla}{p}_{\text{lq}}+d{\rho}_{\text{ad}}{\boldsymbol{F}}^{m})\) éq 5.6-3

\(\begin{array}{c}d{\boldsymbol{M}}_{\text{ad}}=(-{\lambda}_{\text{lq}}^{H}.\boldsymbol{\nabla}{p}_{\text{lq}}+{\rho}_{\text{lq}}{\lambda}_{\text{lq}}^{H}.{\boldsymbol{F}}^{m})d{\rho}_{\text{ad}}+{\rho}_{\text{ad}}(-{\lambda}_{\text{lq}}^{H}.(\boldsymbol{\nabla}{p}_{\text{lq}}+{\rho}_{\text{lq}}{\boldsymbol{F}}^{m})).d{\lambda}_{\text{lq}}^{H}\\ +{\rho}_{\text{ad}}{\lambda}_{\text{lq}}^{H}.(-d\boldsymbol{\nabla}{p}_{\text{lq}}+d{\rho}_{w}{\boldsymbol{F}}^{m})\\ -(d{F}_{\text{ad}})\boldsymbol{\nabla}{\rho}_{\text{ad}}-{F}_{\text{ad}}d\boldsymbol{\nabla}{\rho}_{\text{ad}}\end{array}\) éq 5.6-4

Il faut connaître les différentielles des masses volumiques des fluides, ainsi que les différentielles des gradients de \({C}_{\text{vp}}=\frac{{\rho}_{\text{vp}}}{{\rho}_{\text{gz}}}\) et \({\rho}_{\text{ad}}\) . On va tout d’abord calculer les différentielles des masses volumiques en utilisant les dérivées partielles de pressions données dans [§Annexe 3].

En dérivant la relation des gaz parfaits on a : \(\frac{d{\rho}_{\text{as}}}{{\rho}_{\text{as}}}=\frac{{\text{dp}}_{\text{as}}}{{p}_{\text{as}}}-\frac{\text{dT}}{T}\) et \(\frac{d{\rho}_{\text{vp}}}{{\rho}_{\text{vp}}}=\frac{{\text{dp}}_{\text{vp}}}{{p}_{\text{vp}}}-\frac{\text{dT}}{T}\) , que l’on peut exprimer sous la forme :

\(d{\rho}_{\text{as}}=\frac{{\rho}_{\text{as}}}{{p}_{\text{as}}}(\frac{\boldsymbol{\partial}{p}_{\text{as}}}{\boldsymbol{\partial}{p}_{c}}{\text{dp}}_{c}+\frac{\boldsymbol{\partial}{p}_{\text{as}}}{\boldsymbol{\partial}{p}_{\text{gz}}}{\text{dp}}_{\text{gz}})+(\frac{{\rho}_{\text{as}}}{{p}_{\text{as}}}\frac{\boldsymbol{\partial}{p}_{\text{as}}}{\boldsymbol{\partial}T}-\frac{{\rho}_{\text{as}}}{T})\text{dT}\) éq 5.6-5

\(d{\rho}_{\text{vp}}=\frac{{\rho}_{\text{vp}}}{{p}_{\text{vp}}}(\frac{\boldsymbol{\partial}{p}_{\text{vp}}}{\boldsymbol{\partial}{p}_{c}}{\text{dp}}_{c}+\frac{\boldsymbol{\partial}{p}_{\text{vp}}}{\boldsymbol{\partial}{p}_{\text{gz}}}{\text{dp}}_{\text{gz}})+(\frac{{\rho}_{\text{vp}}}{{p}_{\text{vp}}}\frac{\boldsymbol{\partial}{p}_{\text{vp}}}{\boldsymbol{\partial}T}-\frac{{\rho}_{\text{vp}}}{T})\text{dT}\) éq 5.6-6

En utilisant la relation [éq 3.2.3.1-1], on obtient:

\(d{\rho}_{w}=\frac{{\rho}_{w}}{{K}_{w}}(\frac{\boldsymbol{\partial}{p}_{w}}{\boldsymbol{\partial}{p}_{c}}{\text{dp}}_{c}+\frac{\boldsymbol{\partial}{p}_{w}}{\boldsymbol{\partial}{p}_{\text{gz}}}{\text{dp}}_{\text{gz}})+(\frac{{\rho}_{w}}{{K}_{w}}\frac{\boldsymbol{\partial}{p}_{w}}{\boldsymbol{\partial}T}-3{\rho}_{w}{\alpha}_{w})\text{dT}\) éq 5.6-7

Et comme \(d{\rho}_{\text{ad}}=\frac{{M}_{\text{as}}^{\text{ol}}}{{K}_{H}}{\text{dp}}_{\text{as}}\) ,

\(d{\rho}_{\text{ad}}=\frac{{M}_{\text{as}}^{\text{ol}}}{{K}_{H}}(\frac{\partial {p}_{\text{as}}}{\partial {p}_{c}}{\text{dp}}_{c}+\frac{\partial {p}_{\text{as}}}{\partial {p}_{\text{gz}}}{\text{dp}}_{\text{gz}}+\frac{\partial {p}_{\text{as}}}{\partial T}\text{dT})\) éq 5.6-8

On utilise ensuite l’ expression du gradient de concentration :

\(\boldsymbol{\nabla}{C}_{\text{vp}}=\frac{\boldsymbol{\nabla}{\rho}_{\text{vp}}}{{\rho}_{\text{gz}}}-\frac{{\rho}_{\text{vp}}}{{\rho}_{\text{gz}}^{2}}\boldsymbol{\nabla}{\rho}_{\text{gz}}\) éq 5.6-9

et que l’on différencie en:

\(d\boldsymbol{\nabla}{C}_{\text{vp}}=d\left[\frac{\boldsymbol{\nabla}{\rho}_{\text{vp}}}{{\rho}_{\text{gz}}}-\frac{{\rho}_{\text{vp}}}{{\rho}_{\text{gz}}^{2}}\boldsymbol{\nabla}{\rho}_{\text{gz}}\right]=\frac{d\boldsymbol{\nabla}{\rho}_{\text{vp}}}{{\rho}_{\text{gz}}}-\frac{\boldsymbol{\nabla}{\rho}_{\text{gz}}}{{\rho}_{\text{gz}}^{2}}{\mathit{d{\rho}}}_{\mathit{vp}}+(2\frac{{\rho}_{\text{vp}}}{{\rho}_{\text{gz}}^{3}}\boldsymbol{\nabla}{p}_{\mathit{gz}}-\frac{\boldsymbol{\nabla}{\rho}_{\text{vp}}}{{\rho}_{\text{gz}}^{2}}){\mathit{d{\rho}}}_{\mathit{gz}}-\frac{{\rho}_{\text{vp}}}{{\rho}_{\text{gz}}^{2}}d\boldsymbol{\nabla}{\rho}_{\text{gz}}\)

éq 5.6-10

avec

\(\boldsymbol{\nabla}{\rho}_{\text{vp}}=\frac{{M}_{\text{vp}}^{\text{ol}}}{RT}\boldsymbol{\nabla}{p}_{\text{vp}} - {p}_{\text{vp}}.\frac{{M}_{\text{vp}}^{\text{ol}}}{RT^2}\boldsymbol{\nabla}{T}\) éq 5.5.6-11a

\(\boldsymbol{\nabla}{\rho}_{\text{as}}=\frac{{M}_{\text{as}}^{\text{ol}}}{RT}\boldsymbol{\nabla}{p}_{\text{as}} - {p}_{\text{as}}\frac{{M}_{\text{as}}^{\text{ol}}}{RT^2}\boldsymbol{\nabla}{T}\) éq 5.5.6-11b

\(\boldsymbol{\nabla}{\rho}_{\text{gz}}=\boldsymbol{\nabla}{\rho}_{\text{vp}}+\boldsymbol{\nabla}{\rho}_{\text{as}}\)

et en se ramenant in fine aux pressions partielles :

\(\boldsymbol{\nabla}{p}_{\text{vp}}=\frac{\boldsymbol{\partial}{p}_{\text{vp}}}{\boldsymbol{\partial}{p}_{\text{gz}}}\boldsymbol{\nabla}{p}_{\text{gz}}+\frac{\boldsymbol{\partial}{p}_{\text{vp}}}{\boldsymbol{\partial}{p}_{c}}\boldsymbol{\nabla}{p}_{c}+\frac{\boldsymbol{\partial}{p}_{\text{vp}}}{\boldsymbol{\partial}T}\boldsymbol{\nabla}T\) éq 5.6-12a

\(\boldsymbol{\nabla}{p}_{\text{as}}=\frac{\boldsymbol{\partial}{p}_{\text{as}}}{\boldsymbol{\partial}{p}_{\text{gz}}}\boldsymbol{\nabla}{p}_{\text{gz}}+\frac{\boldsymbol{\partial}{p}_{\text{as}}}{\boldsymbol{\partial}{p}_{c}}\boldsymbol{\nabla}{p}_{c}+\frac{\boldsymbol{\partial}{p}_{\text{as}}}{\boldsymbol{\partial}T}\boldsymbol{\nabla}T\) éq 5.6-12b

\(\boldsymbol{\nabla}{p}_{\text{gz}}=\boldsymbol{\nabla}{p}_{\text{vp}}+\boldsymbol{\nabla}{p}_{\text{as}}\)

\(d\boldsymbol{\nabla}{\rho}_{\text{vp}}=\frac{{M}_{\text{vp}}^{\text{ol}}}{RT}d\nabla {p}_{\text{vp}} -\frac{{M}_{\text{vp}}^{\text{ol}}}{RT^2}\nabla{p}_{\text{vp}} dT -\frac{\boldsymbol{\nabla} {T}}{T}d{\rho}_{\text{vp}} +\frac{{\rho}_{\text{vp}}}{T^2}\boldsymbol{\nabla}T dT -\frac{{\rho}_{\text{vp}}}{T}d(\boldsymbol{\nabla}T)\) éq 5.6-13

et \(d\boldsymbol{\nabla} {p}_{\text{vp}}\) que l’on différencie de la manière suivante:

\(\begin{array}{c}d\boldsymbol{\nabla}{p}_{\text{vp}}=d\frac{\boldsymbol{\partial}{p}_{\text{vp}}}{\boldsymbol{\partial}{p}_{\text{gz}}}\boldsymbol{\nabla}{p}_{\text{gz}}+d\frac{\boldsymbol{\partial}{p}_{\text{vp}}}{\boldsymbol{\partial}{p}_{c}}\boldsymbol{\nabla}{p}_{c}+d\frac{\boldsymbol{\partial}{p}_{\text{vp}}}{\boldsymbol{\partial}T}\boldsymbol{\nabla}T+\frac{\boldsymbol{\partial}{p}_{\text{vp}}}{\boldsymbol{\partial}{p}_{\text{gz}}}d\boldsymbol{\nabla}{p}_{\text{gz}}+\frac{\boldsymbol{\partial}{p}_{\text{vp}}}{\boldsymbol{\partial}{p}_{c}}d\boldsymbol{\nabla}{p}_{c}+\frac{\boldsymbol{\partial}{p}_{\text{vp}}}{\boldsymbol{\partial}T}d\boldsymbol{\nabla}T\\ =(\frac{\boldsymbol{\partial}}{\boldsymbol{\partial}{p}_{c}}\frac{\boldsymbol{\partial}{p}_{\text{vp}}}{\boldsymbol{\partial}{p}_{\text{gz}}}\boldsymbol{\nabla}{p}_{\text{gz}}+\frac{\boldsymbol{\partial}}{\boldsymbol{\partial}{p}_{c}}\frac{\boldsymbol{\partial}{p}_{\text{vp}}}{\boldsymbol{\partial}{p}_{c}}\boldsymbol{\nabla}{p}_{c}+\frac{\boldsymbol{\partial}}{\boldsymbol{\partial}{p}_{c}}\frac{\boldsymbol{\partial}{p}_{\text{vp}}}{\boldsymbol{\partial}T}\boldsymbol{\nabla}T){\text{dp}}_{c}\\ +(\frac{\boldsymbol{\partial}}{\boldsymbol{\partial}{p}_{\text{gz}}}\frac{\boldsymbol{\partial}{p}_{\text{vp}}}{\boldsymbol{\partial}{p}_{\text{gz}}}\boldsymbol{\nabla}{p}_{\text{gz}}+\frac{\boldsymbol{\partial}}{\boldsymbol{\partial}{p}_{\text{gz}}}\frac{\boldsymbol{\partial}{p}_{\text{vp}}}{\boldsymbol{\partial}{p}_{c}}\boldsymbol{\nabla}{p}_{c}+\frac{\boldsymbol{\partial}}{\boldsymbol{\partial}{p}_{\text{gz}}}\frac{\boldsymbol{\partial}{p}_{\text{vp}}}{\boldsymbol{\partial}T}\boldsymbol{\nabla}T){\text{dp}}_{\text{gz}}\\ +(\frac{\boldsymbol{\partial}}{\boldsymbol{\partial}T}\frac{\boldsymbol{\partial}{p}_{\text{vp}}}{\boldsymbol{\partial}{p}_{\text{gz}}}\boldsymbol{\nabla}{p}_{\text{gz}}+\frac{\boldsymbol{\partial}}{\boldsymbol{\partial}T}\frac{\boldsymbol{\partial}{p}_{\text{vp}}}{\boldsymbol{\partial}{p}_{c}}\boldsymbol{\nabla}{p}_{c}+\frac{\boldsymbol{\partial}}{\boldsymbol{\partial}T}\frac{\boldsymbol{\partial}{p}_{\text{vp}}}{\boldsymbol{\partial}T}\boldsymbol{\nabla}T)\text{dT}\\ +\frac{\boldsymbol{\partial}{p}_{\text{vp}}}{\boldsymbol{\partial}{p}_{\text{gz}}}d\boldsymbol{\nabla}{p}_{\text{gz}}+\frac{\boldsymbol{\partial}{p}_{\text{vp}}}{\boldsymbol{\partial}{p}_{c}}d\boldsymbol{\nabla}{p}_{c}+\frac{\boldsymbol{\partial}{p}_{\text{vp}}}{\boldsymbol{\partial}T}d\boldsymbol{\nabla}T\end{array}\)

éq 5.6-14

On procède de même pour l’air sec. Les dérivées partielles du second ordre sont développées dans l’[§Annexe 4].

Pour l’air dissous, on procède avec les mêmes étapes:

\({\rho}_{\text{ad}}\) \(={M}_{\text{ad}}^{\text{ol}}.\frac{{p}_{\text{ad}}}{\text{RT}}\)

donc

\(d{\rho}_{\text{ad}}={M}_{\text{ad}}^{\text{ol}}.(\frac{{\text{dp}}_{\text{ad}}}{\text{RT}}-\frac{{p}_{\text{ad}}}{{\text{RT}}^{2}}\text{dT})\) qui donne

\(d{\rho}_{\text{ad}}=\begin{array}{}{M}_{\text{ad}}^{\text{ol}}.\left[(\frac{1}{\text{RT}}\frac{\partial {p}_{\text{ad}}}{\partial {p}_{c}}){\text{dp}}_{c}+(\frac{1}{\text{RT}}\frac{\partial {p}_{\text{ad}}}{\partial {p}_{\text{gz}}}){\text{dp}}_{\text{gz}}+(\frac{\partial {p}_{\text{ad}}}{\partial T}-\frac{{P}_{\text{ad}}}{{\text{RT}}^{2}})\frac{1}{{p}_{\text{lq}}}\text{dT}\right]\end{array}\) éq 5.6-15

et \(\nabla {\rho}_{\text{ad}}={M}_{\text{ad}}^{\text{ol}}.\left(\frac{\nabla {p}_{\text{ad}}}{\text{RT}}-\frac{{p}_{\text{ad}}}{{\text{RT}}^{2}}\nabla T\right)\) et que l’on différencie en :

\(d\nabla{\rho}_{\text{ad}}={M}_{\text{ad}}^{\text{ol}}\left[\frac{1}{\text{RT}}d\nabla {p}_{\text{ad}}-\frac{\nabla T}{{\text{RT}}^{2}}{\text{dp}}_{\text{ad}}+\left(2\frac{{p}_{\text{ad}}}{{\text{RT}}^{3}}\nabla T-\frac{\nabla {p}_{\text{ad}}}{{\text{RT}}^{2}}\right)\text{dT}-\left(\frac{{p}_{\text{ad}}}{{\text{RT}}^{2}}\right)d\nabla T\right]\) éq 5.6-16

avec

\(\nabla {p}_{\text{ad}}=\frac{\partial {p}_{\text{ad}}}{\partial {p}_{\text{gz}}}\nabla {p}_{\text{gz}}+\frac{\partial {p}_{\text{ad}}}{\partial {p}_{c}}\nabla {p}_{c}+\frac{\partial {p}_{\text{ad}}}{\partial T}\nabla T\) éq 5.6-17

et \(d\nabla {p}_{\text{ad}}\) que l’on différencie de la manière suivante:

\(\begin{array}{c}=(\frac{\boldsymbol{\partial}}{\boldsymbol{\partial}{p}_{c}}\frac{\boldsymbol{\partial}{p}_{\text{ad}}}{\boldsymbol{\partial}{p}_{\text{gz}}}\boldsymbol{\nabla}{p}_{\text{gz}}+\frac{\boldsymbol{\partial}}{\boldsymbol{\partial}{p}_{c}}\frac{\boldsymbol{\partial}{p}_{\text{ad}}}{\boldsymbol{\partial}{p}_{c}}\boldsymbol{\nabla}{p}_{c}+\frac{\boldsymbol{\partial}}{\boldsymbol{\partial}{p}_{c}}\frac{\boldsymbol{\partial}{p}_{\text{ad}}}{\boldsymbol{\partial}T}\boldsymbol{\nabla}T){\text{dp}}_{c}\\ +(\frac{\boldsymbol{\partial}}{\boldsymbol{\partial}{p}_{\text{gz}}}\frac{\boldsymbol{\partial}{p}_{\text{ad}}}{\boldsymbol{\partial}{p}_{\text{gz}}}\boldsymbol{\nabla}{p}_{\text{gz}}+\frac{\boldsymbol{\partial}}{\boldsymbol{\partial}{p}_{\text{gz}}}\frac{\boldsymbol{\partial}{p}_{\text{ad}}}{\boldsymbol{\partial}{p}_{c}}\boldsymbol{\nabla}{p}_{c}+\frac{\boldsymbol{\partial}}{\boldsymbol{\partial}{p}_{\text{gz}}}\frac{\boldsymbol{\partial}{p}_{\text{ad}}}{\boldsymbol{\partial}T}\boldsymbol{\nabla}T){\text{dp}}_{\text{gz}}\\ +(\frac{\boldsymbol{\partial}}{\boldsymbol{\partial}T}\frac{\boldsymbol{\partial}{p}_{\text{ad}}}{\boldsymbol{\partial}{p}_{\text{gz}}}\boldsymbol{\nabla}{p}_{\text{gz}}+\frac{\boldsymbol{\partial}}{\boldsymbol{\partial}T}\frac{\boldsymbol{\partial}{p}_{\text{ad}}}{\boldsymbol{\partial}{p}_{c}}\boldsymbol{\nabla}{p}_{c}+\frac{\boldsymbol{\partial}}{\boldsymbol{\partial}T}\frac{\boldsymbol{\partial}{p}_{\text{ad}}}{\boldsymbol{\partial}T}\boldsymbol{\nabla}T)\text{dT}\\ +\frac{\boldsymbol{\partial}{p}_{\text{ad}}}{\boldsymbol{\partial}{p}_{\text{gz}}}d\boldsymbol{\nabla}{p}_{\text{gz}}+\frac{\boldsymbol{\partial}{p}_{\text{ad}}}{\boldsymbol{\partial}{p}_{c}}d\boldsymbol{\nabla}{p}_{c}+\frac{\boldsymbol{\partial}{p}_{\text{ad}}}{\boldsymbol{\partial}T}d\boldsymbol{\nabla}T\end{array}\) éq 5.6-18

Les dérivées partielles du second ordre sont développées dans l’[§Annexe 4].

Bibliographie#

[bib1]

COUSSY: «Mécanique des milieux poreux». éditions TECHNIP.

[bib2]

CHAVANT, P. CHARLES, Th. DUFORESTEL, F. VOLDOIRE: «Thermo-hydro-mécanique des milieux poreux non saturés dans le Code_Aster ». Note HI-74/99/011/A.

[bib4]

«Modélisations THHM généralités et algorithmes». Document Aster [R7.01.10].

[bib5]

GIRAUD: «Adaptation au modèle poroélastique non linéaire de Lassabatère-Coussy à la modélisation milieu poreux non saturé». (ENSG).

[bib6]

WABINSKI, F. VOLDOIRE: Thermohydromécanique en milieu saturé. Note EDF/DER HI/74/96/010, de septembre 1996.

[bib7]

LASSABATERE: «Couplages hydromécaniques en milieu poreux non saturé avec changement de phase: application au retrait de dessiccation du béton». Thèse ENPC.

[bib8]

Ph. MESTAT, M. PRAT: «Ouvrages en interaction». Hermes.

[bib9]

1. THILUS et al: «Poro-mechanics», Biot Conférence 1998.

[bib10]

1. BISHOP & G. E. BLIGHT: «Somme Aspects of Effective Stress in Saturated and Partly Saturated Soils », Géotechnique n° 3 vol. XIII, pp. 177-197. 1963.

[bib11]

GIRAUD «Relation between macroscopic and microscopic properties of constituants in the ansiotropic case». ENSG

[bib12] (1,2,3)

GIOT, A. GIRAUD, T. GUILLON «Three-dimensional poromechanical back aalysis of the pulse test accounting for transverse isotropy.» Acta Geotechnica 2012 7:151-165

[bib13]

DORMIEUX, E. BOURGEOIS «Introduction à la micromécanique des milieux poreux». Presse de l’École Nationale des Ponts et Chaussées, Paris, ISBN 2 85978 364, 4 (2002)

[bib14]

El TABBAL «Drying behavior of concrete: Application to nuclear waste packages». Thèse Université Paris-Est. (2020)

[bib15]

Badmann, N. Stockausen, M.J. Setzer. «The statistical thickness and the chemical potential of adsorbed water films». J. Colloid Interface Sci 82, 534-543. 1981

[bib16] (1,2)

Barrett, L. Joyner, P. Halenda. «The determination of pore volume and area distributions in porous substances.» . Computations from Nitrogen Isotherms. 1896 . 1951

[bib17]

Brunauer, P.H. Emett, E. Teller. «Adsorption of gases in multimolecular layers.» J. Am. Chem. Soc 60, 309-319 (1938)

Annexes#

Contraintes généralisées et variables internes#

Les contraintes:

Numéro	Nom de composante Aster	Contenu
1	SIXX	\({\sigma}_{xx}^{'}\)
2	SIYY	\({\sigma}_{yy}^{'}\)
3	SIZZ	\({\sigma}_{zz}^{'}\)
4	SIXY	\({\sigma}_{xy}^{'}\)
5	SIXZ	\({\sigma}_{xz}^{'}\)
6	SIYZ	\({\sigma}_{yz}^{'}\)
7	SIPXX	\({\sigma}_{{\mathrm{p}}_{xx}}\)
8	SIPYY	\({\sigma}_{{\mathrm{p}}_{yy}}\)
9	SIPZZ	\({\sigma}_{{\mathrm{p}}_{zz}}\)
10	SIPXY	\({\sigma}_{{\mathrm{p}}_{xy}}\)
11	SIPXZ	\({\sigma}_{{\mathrm{p}}_{xz}}\)
12	SIPYZ	\({\sigma}_{{\mathrm{p}}_{yz}}\)
13	M11	\({m}_{w}\)
14	FH11X	\({M}_{{w}_{x}}\)
15	FH11Y	\({M}_{{w}_{y}}\)
16	FH11Z	\({M}_{{w}_{z}}\)
17	ENT11	\({h}_{w}^{m}\)
18	M12	\({m}_{{}_{\text{vp}}}\)
19	FH12X	\({M}_{{\text{vp}}_{x}}\)
20	FH12Y	\({M}_{{\text{vp}}_{y}}\)
21	FH12Z	\({M}_{{\text{vp}}_{z}}\)
22	ENT12	\({h}_{\text{vp}}^{m}\)
23	M21	\({m}_{{}_{\text{as}}}\)
24	FH21X	\({M}_{{\text{as}}_{x}}\)
25	FH21Y	\({\mathrm{M}}_{{\text{as}}_{y}}\)
26	FH21Z	\({M}_{{\text{as}}_{z}}\)
27	ENT21	\({h}_{\text{as}}^{m}\)
28	M22	\({m}_{{}_{\text{ad}}}\)
29	FH22X	\({M}_{{\text{ad}}_{x}}\)
30	FH22Y	\({M}_{{\text{ad}}_{y}}\)
31	FH22Z	\({M}_{{\text{ad}}_{z}}\)
32	ENT22	\({h}_{\text{ad}}^{m}\)
33	QPRIM	\(Q'\)
34	FHTX	\({q}_{x}\)
35	FHTY	\({q}_{y}\)
36	FHTZ	\({q}_{z}\)

Dans le cas sans mécanique, et pour les lois de comportements (LIQU_VAPE_GAZ,LIQU_VAPE, LIQU_AD_GAZ_VAPE et LIQU_AD_GAZ) les variables internessont :

Numéro	Nom se composante Aster	Contenu
1	V1	\({\rho}_{\text{lq}}-{\rho}_{{}_{\text{lq}}}^{0}\)
2	V2	\(\varphi -{\varphi}^{0}\)
3	V3	\({p}_{\text{vp}}-{p}_{\text{vp}}^{0}\)
4	V4	\({S}_{\text{lq}}\)

Dans le cas sans mécanique, et pour les lois de comportements (LIQU_GAZ,LIQU_GAZ_ATM,) les variables internessont :

Numéro	Nom se composante Aster	Contenu
1	V1	\({\rho}_{\text{lq}}-{\rho}_{{}_{\text{lq}}}^{0}\)
2	V2	\(\varphi -{\varphi}^{0}\)
3	V3	\({S}_{\text{lq}}\)

Dans le cas sans mécanique, et pour les lois de comportements (LIQU_SATU,) les variables internessont :

Numéro	Nom se composante Aster	Contenu
1	V1	\({\rho}_{\text{lq}}-{\rho}_{{}_{\text{lq}}}^{0}\)
2	V2	\(\varphi -{\varphi}^{0}\)

Dans le cas avec mécanique les premiers numéros seront ceux correspondant à la mécanique (V1 dans le cas élastique, V1 et suivantes pour des modèles plastiques). Le numéro des variables internes ci-dessus devra alors être incrémenté d’autant.

Données matériau#

On donne ici la correspondance entre le vocabulaire des commandes Aster et les notations utilisées dans la présente note pour les différentes grandeurs caractéristiques des matériaux.

Mot-clef facteur THM_LIQU#

♦	RHO	\({\rho}_{\mathrm{lq}}^{0}\)
◊	UN_SUR_K	\(\frac{1}{{K}_{\mathrm{lq}}}\)
◊	ALPHA	\({\alpha}_{\mathrm{lq}}\)
◊	CP	\({C}_{\mathrm{lq}}^{p}\)
◊	VISC	\({\mu}_{\mathrm{lq}}(T)\)
◊	D_VISC_TEMP	\(\frac{\partial {\mu}_{\mathrm{lq}}}{\partial T}(T)\)

Mot-clef facteur THM_GAZ#

◊	MASS_MOL	\({M}_{\mathrm{as}}^{\mathrm{ol}}\)
◊	CP	\({C}_{\mathrm{lq}}^{P}\)
◊	VISC	\({\mu}_{\text{as}}(T)\)
◊	D_VISC_TEMP	\(\frac{\partial {\mu}_{\text{as}}}{\partial T}(T)\)

Mot-clef facteur THM_VAPE_GAZ#

◊	MASS_MOL	\({M}_{\text{VP}}^{\text{ol}}\)
◊	CP	\({C}_{\text{vp}}^{p}\)
◊	VISC	\({\mu}_{\text{vp}}(T)\)
◊	D_VISC_TEMP	\(\frac{\partial {\mu}_{\text{vp}}}{\partial T}(T)\)

Mot-clef facteur THM_AIR_DISS#

◊	CP	\({C}_{\text{ad}}^{p}\)
◊	COEF_HENRY	\({K}_{H}\)

Mot-clef facteur THM_INIT#

♦	TEMP	\({}^{\mathrm{init}}T\)
♦	PRE1	\({P}_{1}\)
♦	PRE2	\({}^{\mathrm{init}}{P}_{2}\)
♦	PORO	\({\phi }^{0}\)
♦	PRES_VAPE	\({P}_{\mathrm{vp}}^{0}\)

On rappelle que, selon la modélisation, les deux pressions et représentent:

	LIQU_SATU	LIQU_VAPE	LIQU_GAZ_ATM	GAZ	LIQU_VAPE_GAZ
\({P}_{1}\)	\({p}_{w}\)	\({p}_{w}\)	\({p}_{c}=-{p}_{w}\)	\({p}_{\text{gz}}\)	\({p}_{c}={p}_{\text{gz}}-{p}_{w}\)
\({P}_{2}\)					\({p}_{\text{gz}}\)

	LIQU_GAZ	LIQU_AD_GAZ_VAPE	LIQU_AD_GAZ
\({P}_{1}\)	\({p}_{c}={p}_{\text{gz}}-{p}_{w}\)	\({p}_{c}={p}_{\text{gz}}-{p}_{w}-{p}_{\text{ad}}\)	\({p}_{c}={p}_{\text{gz}}-{p}_{w}-{p}_{\text{ad}}\)
\({P}_{2}\)	\({p}_{\text{gz}}\)	\({p}_{\text{gz}}\)	\({p}_{\text{gz}}\)

Mot-clef facteur THM_DIFFU#

♦	R_GAZ	\(R\)
◊	RHO	\({r}_{0}\)
◊	CP	\({C}_{\sigma}^{S}\)
◊	BIOT_COEF	\(b\)
◊	BIOT_L	\({b}_{L}\)
◊	BIOT_N	\({b}_{N}\)
◊	BIOT_T	\({b}_{T}\) (cas 2D)
◊	SATU_PRES	\({S}_{\mathrm{lq}}({p}_{c})\)
◊	D_SATU_PRES	\(\frac{\partial {S}_{\mathrm{lq}}}{\partial {p}_{c}}({p}_{c})\)
◊	PESA_X	\({F}_{x}^{m}\)
◊	PESA_Y	\({F}_{y}^{m}\)
◊	PESA_Z	\({F}_{z}^{m}\)
◊	PERM_IN	\({K}^{int}(\phi )\)
◊	PERMIN_L	\({K}_{L}^{int}(\varphi )\)
◊	PERMIN_N	\({K}_{N}^{int}(\varphi )\)
◊	PERMIN_T	\({K}_{T}^{int}(\varphi )\) (cas 2D)
◊	PERM_LIQU	\({K}_{\mathrm{lq}}^{\mathrm{rel}}({S}_{\mathrm{lq}})\)
◊	D_PERM_LIQU_SATU	\(\frac{\partial {k}_{\mathrm{lq}}^{\mathrm{rel}}}{\partial {S}_{\mathrm{lq}}}({S}_{\mathrm{lq}})\)
◊	PERM_GAZ	\({k}_{\mathrm{gz}}^{\mathrm{rel}}({S}_{\mathrm{lq}},{p}_{\mathrm{gz}})\)
◊	D_PERM_SATU_GAZ	\(\frac{\partial {k}_{\mathrm{gz}}^{\mathrm{rel}}}{\partial {S}_{\mathrm{lq}}}({S}_{\mathrm{lq}},{p}_{\mathrm{gz}})\)
◊	D_PERM_PRES_GAZ	\(\frac{\partial {k}_{\mathrm{gz}}^{\mathrm{rel}}}{\partial {p}_{\mathrm{gz}}}({S}_{\mathrm{lq}},{p}_{\mathrm{gz}})\)
◊	FICKV_T	\({f}_{\text{vp}}^{T}(T)\)
◊	FICKV_S	\({f}_{\text{vp}}^{S}(S)\)
◊	FICKV_PG	\({f}_{\text{vp}}^{\text{gz}}({P}_{g})\)
◊	FICKV_PV	\({f}_{\text{vp}}^{\text{vp}}({P}_{\text{vp}})\)
◊	D_FV_T	\(\frac{\partial {f}_{\text{vp}}^{T}}{\partial T}(T)\)
◊	D_FV_PG	\(\frac{\partial {f}_{\text{vp}}^{\text{gz}}}{\partial {P}_{\text{gz}}}({P}_{\text{gz}})\)
◊	FICKA_T	\({f}_{\text{ad}}^{T}(T)\)
◊	FICKA_S	\({f}_{\text{ad}}^{S}(S)\)
◊	FICKA_PA	\({f}_{\text{ad}}^{\text{ad}}({P}_{\text{ad}})\)
◊	FICKA_PL	\({f}_{\text{ad}}^{\text{lq}}({P}_{\text{lq}})\)
◊	D_FA_T	\(\frac{\partial {f}_{\text{vp}}^{T}}{\partial T}(T)\)
◊	LAMB_T	\({\lambda}_{T}^{T}(T)\)
◊	LAMB_T_L	\({\lambda}_{T}^{T}(T)\) selon L
◊	LAMB_T_N	\({\lambda}_{T}^{T}(T)\) selon N
◊	LAMB_T_T	\({\lambda}_{T}^{T}(T)\) selon T (2D)
◊	D_LB_T	\(\frac{\partial {\lambda}_{T}^{T}(T)}{\partial T}\)
◊	D_LB_T_L	\(\frac{\partial {\lambda}_{T}^{T}(T)}{\partial T}\) selon L
◊	D_LB_T_N	\(\frac{\partial {\lambda}_{T}^{T}(T)}{\partial T}\) selon N
◊	D_LB_T_T	\(\frac{\partial {\lambda}_{T}^{T}(T)}{\partial T}\) selon T
◊	LAMB_PHI	\({\lambda}_{\varphi}^{T}(\varphi )\)
◊	D_LB_PHI	\(\frac{\partial {\lambda}_{\varphi}^{T}(\varphi )}{\partial \varphi }\)
◊	LAMB_S	\({\lambda}_{S}^{T}(S)\)
◊	DLAMBS	\(\frac{\partial {\lambda}_{S}^{T}(S)}{\partial S}\)
◊	LAMB_CT	\({\lambda}_{\text{CT}}^{T}\)
◊	LAMB_CL	\({\lambda}_{\text{CT}}^{T}\) selon L
◊	LAMB_CN	\({\lambda}_{\text{CT}}^{T}\) selon N
◊	LAMB_CT	\({\lambda}_{\text{CT}}^{T}\) selon T

Remarque: Pour les modélisations faisant intervenir la thermique, et pour le calcul de la chaleur spécifique homogénéisée, on utilise la relation \({C}_{\sigma}^{0}=(1-\varphi ){\rho}_{s}{C}_{\sigma}^{s}+{\rho}_{\text{lq}}{S}_{\text{lq}}\varphi {C}_{\text{lq}}^{p}+(1-{S}_{\text{lq}})\varphi ({\rho}_{\text{vp}}{C}_{\text{vp}}^{p}+{\rho}_{\text{as}}{C}_{\text{as}}^{p})\). Dans cette formule, on confond \({\rho}_{s}\) avec sa valeur initiale \({\rho}_{S}^{0}\) dont la valeur est lue sous le mot clé RHO du mot clé facteur ELAS.

Calcul des dérivées#

Dérivées des pressions en fonction des déformations généralisées#

On détaille ici le calcul des dérivées de pression en fonction des déformations généralisées. On rappelle que l’équation [éq 3.2.6.3] est \(\frac{{\text{dp}}_{\text{vp}}}{{\rho}_{\text{vp}}}=\frac{{\text{dp}}_{w}}{{\rho}_{w}}+L\frac{\text{dT}}{T}\) avec \(L={h}_{\text{vp}}^{m}-{h}_{w}^{m}\) . En outre \({\text{dp}}_{\text{ad}}={\text{dp}}_{\text{lq}}-{\text{dp}}_{w}=\frac{R}{{K}_{H}}{p}_{\text{as}}\text{dT}+\frac{\text{RT}}{{K}_{H}}{\text{dp}}_{\text{as}}\) et \({\text{dp}}_{\text{as}}={\text{dp}}_{\text{gz}}-{\text{dp}}_{\text{vp}}\) . En combinant ces équations on obtient:

\(\lbrace \begin{array}{c}{\text{dp}}_{\text{vp}}\left[\frac{\text{RT}}{{K}_{H}}-\frac{{\rho}_{w}}{{\rho}_{\text{vp}}}\right]=(-L{\rho}_{w}+{p}_{\text{ad}})\frac{\text{dT}}{T}+(\frac{\text{RT}}{{K}_{H}}-1){\text{dp}}_{\text{gz}}+{\text{dp}}_{c}\\ {\text{dp}}_{w}\left[\frac{{\rho}_{\text{vp}}}{{\rho}_{w}}\frac{\text{RT}}{{K}_{H}}-1\right]=(-\text{LR}\frac{{\rho}_{\text{vp}}}{{K}_{H}}+\frac{{p}_{\text{ad}}}{T})\text{dT}+(\frac{\text{RT}}{{K}_{H}}-1){\text{dp}}_{\text{gz}}+{\text{dp}}_{c}\end{array}\)

On peut donc écrire les dérivées partielles de l’eau et de la vapeur en fonction des déformations généralisées:

\(\frac{\partial {p}_{w}}{\partial T}=\frac{-\text{LR}\frac{{\rho}_{\text{vp}}}{{K}_{H}}+\frac{{p}_{\text{ad}}}{T}}{\frac{{\rho}_{\text{vp}}}{{\rho}_{w}}\frac{\text{RT}}{{K}_{H}}-1};\frac{\partial {p}_{w}}{\partial {p}_{\text{gz}}}=\frac{\frac{\text{RT}}{{K}_{H}}-1}{\frac{{\rho}_{\text{vp}}}{{\rho}_{w}}\frac{\text{RT}}{{K}_{H}}-1};\frac{\partial {p}_{w}}{\partial {p}_{c}}=\frac{1}{\frac{{\rho}_{\text{vp}}}{{\rho}_{w}}\frac{\text{RT}}{{K}_{H}}-1}\)

\(\frac{\partial {p}_{\text{vp}}}{\partial T}\frac{(-L{\rho}_{w}+{p}_{\text{ad}})}{\frac{\text{RT}}{{K}_{H}}-\frac{{\rho}_{w}}{{\rho}_{\text{vp}}}}.\frac{1}{T};\frac{\partial {p}_{\text{vp}}}{\partial {p}_{\text{gz}}}\frac{\frac{\text{RT}}{{K}_{H}}-1}{\frac{\text{RT}}{{K}_{H}}-\frac{{\rho}_{w}}{{\rho}_{\text{vp}}}};\frac{\partial {p}_{\text{vp}}}{\partial {p}_{c}}\frac{1}{\frac{\text{RT}}{{K}_{H}}-\frac{{\rho}_{w}}{{\rho}_{\text{vp}}}}\)

Les relations \({\text{dp}}_{\text{as}}={\text{dp}}_{\text{gz}}-{\text{dp}}_{\text{vp}}\) et \({\text{dp}}_{\text{ad}}={\text{dp}}_{\text{gz}}-{\text{dp}}_{c}-{\text{dp}}_{w}\) permettent de dériver toutes les pressions, puisqu’on aura:

\(\frac{\partial {p}_{\text{as}}}{\partial T}=-\frac{\partial {p}_{\text{vp}}}{\partial T};\frac{\partial {p}_{\text{as}}}{\partial {p}_{\text{gz}}}=1-\frac{\partial {p}_{\text{vp}}}{\partial {p}_{\text{gz}}};\frac{\partial {p}_{\text{as}}}{\partial {p}_{c}}=-\frac{\partial {p}_{\text{vp}}}{\partial {p}_{c}}\)

et

\(\frac{\partial {p}_{\text{ad}}}{\partial T}=-\frac{\partial {p}_{w}}{\partial T};\frac{\partial {p}_{\text{ad}}}{\partial {p}_{\text{gz}}}=1-\frac{\partial {p}_{w}}{\partial {p}_{\text{gz}}};\frac{\partial {p}_{\text{ad}}}{\partial {p}_{c}}=-1-\frac{\partial {p}_{w}}{\partial {p}_{c}}\)

Dérivées secondes des pressions de vapeur et d’air dissous en fonction des déformations généralisées#

On calcule ici les dérivées partielles du second ordre de la pression de vapeur nécessaires à la section [§5.5.2]. On notera par la suite:

\(\mathrm{A1}=\frac{\text{RT}}{{K}_{H}}-\frac{{\rho}_{w}}{{\rho}_{\text{vp}}}\) et \(\mathrm{A2}=\frac{{\rho}_{w}}{{\rho}_{\text{vp}}}(\frac{\mathrm{RT}}{{K}_{H}}-1)\)

\(\mathrm{A3}=\frac{1}{{p}_{\text{vp}}}\frac{\partial {p}_{\text{vp}}}{\partial T}-\frac{1}{T}-\frac{1}{{K}_{w}}\frac{\partial {p}_{w}}{\partial T}-3{\alpha}_{w}\)

\(\mathrm{A4}=-\frac{1}{{p}_{\text{vp}}}\frac{\partial {p}_{\text{vp}}}{\partial T}+\frac{1}{T}+\frac{1}{{K}_{w}}\frac{\partial {p}_{w}}{\partial T}-3{\alpha}_{w}\)

Dérivées secondes de la pression de vapeur#

\(\frac{\partial}{\partial {p}_{c}}\frac{\partial {p}_{\text{vp}}}{\partial {p}_{\text{gz}}}=\frac{\mathrm{A2}}{{\mathrm{A1}}^{2}}(\frac{1}{{K}_{w}}\frac{\partial {p}_{w}}{\partial {p}_{c}}-\frac{1}{{p}_{\text{vp}}}\frac{\partial {p}_{\text{vp}}}{\partial {p}_{c}})\)

\(\frac{\partial}{\partial {p}_{\text{gz}}}\frac{\partial {p}_{\text{vp}}}{\partial {p}_{\text{gz}}}=\frac{\mathrm{A2}}{{\mathrm{A1}}^{2}}(\frac{1}{{K}_{w}}\frac{\partial {p}_{w}}{\partial {p}_{\text{gz}}}-\frac{1}{{p}_{\text{vp}}}\frac{\partial {p}_{\text{vp}}}{\partial {p}_{\text{gz}}})\)

\(\frac{\partial}{\partial T}\frac{\partial {p}_{\text{vp}}}{\partial {p}_{\text{gz}}}=\frac{R}{{K}_{H}\mathrm{A1}}-\frac{1}{{\mathrm{A1}}^{2}}(\frac{\text{RT}}{{K}_{H}}-1)(\frac{R}{{K}_{H}}-\frac{{\rho}_{w}}{{\rho}_{\text{vp}}}\mathrm{A4})\)

\(\frac{\partial}{\partial {p}_{c}}\frac{\partial {p}_{\text{vp}}}{\partial {p}_{c}}=-\frac{{\rho}_{w}}{{\rho}_{\text{vp}}}\frac{1}{{\mathrm{A1}}^{2}}(\frac{1}{{p}_{\text{vp}}}\frac{\partial {p}_{\text{vp}}}{\partial {p}_{c}}-\frac{1}{{K}_{w}}\frac{\partial {p}_{w}}{\partial {p}_{c}})\)

\(\frac{\partial}{\partial {p}_{\text{gz}}}\frac{\partial {p}_{\text{vp}}}{\partial {p}_{c}}=-\frac{{\rho}_{w}}{{\rho}_{\text{vp}}}\frac{1}{{\mathrm{A1}}^{2}}(\frac{1}{{p}_{\text{vp}}}\frac{\partial {p}_{\text{vp}}}{\partial {p}_{\text{gz}}}-\frac{1}{{K}_{w}}\frac{\partial {p}_{w}}{\partial {p}_{\text{gz}}})\)

\(\frac{\partial}{\partial T}\frac{\partial {p}_{\text{vp}}}{\partial {p}_{c}}=-\frac{1}{{\mathrm{A1}}^{2}}(\frac{R}{{K}_{H}}-\frac{{\rho}_{w}}{{\rho}_{\text{vp}}}\mathrm{A4})\)

\(\frac{\partial}{\partial {p}_{c}}\frac{\partial {p}_{\text{vp}}}{\partial T}=-\frac{1}{T}\frac{1}{{\mathrm{A1}}^{2}}(\mathrm{A1}(1-\frac{\partial {p}_{w}}{\partial {p}_{c}}(1+L\frac{{\rho}_{w}}{{K}_{W}}))+({p}_{\text{ad}}-L{\rho}_{w})\frac{{\rho}_{w}}{{\rho}_{\text{vp}}}(\frac{1}{{K}_{w}}\frac{\partial {p}_{w}}{\partial {p}_{c}}-\frac{1}{{p}_{\text{vp}}}\frac{\partial {p}_{\text{vp}}}{\partial {p}_{c}}))\)

\(\frac{\partial}{\partial {p}_{\text{gz}}}\frac{\partial {p}_{\text{vp}}}{\partial T}=-\frac{1}{T}\frac{1}{{\mathrm{A1}}^{2}}(\mathrm{A1}(1-\frac{\partial {p}_{w}}{\partial {p}_{\text{gz}}}(1+L\frac{{\rho}_{w}}{{K}_{W}}))+({p}_{\text{ad}}-L{\rho}_{w})\frac{{\rho}_{w}}{{\rho}_{\text{vp}}}(\frac{1}{{K}_{w}}\frac{\partial {p}_{w}}{\partial {p}_{\text{gz}}}-\frac{1}{{p}_{\text{vp}}}\frac{\partial {p}_{\text{vp}}}{\partial {p}_{\text{gz}}}))\)

\(\frac{\partial}{\partial T}\frac{\partial {p}_{\text{vp}}}{\partial T}=\frac{1}{T.\mathrm{A1}}(\frac{\partial {p}_{\text{ad}}}{\partial T}-L(\frac{{\rho}_{w}}{{K}_{W}}\frac{\partial {p}_{w}}{\partial T}-3{\alpha}_{w}{\rho}_{w}))-\frac{1}{{T}^{2}.{\mathrm{A1}}^{2}}(\frac{\text{RT}}{{K}_{H}}-\frac{{\rho}_{w}}{{\rho}_{\text{vp}}}+T(\frac{R}{{K}_{H}}-\frac{{\rho}_{w}}{{\rho}_{\text{vp}}}\mathrm{A4}))({p}_{\text{ad}}-L{\rho}_{w})\)

Dérivées secondes de la pression d’air dissous#

\(\frac{\partial}{\partial {p}_{c}}\frac{\partial {p}_{\text{ad}}}{\partial {p}_{\text{gz}}}=\frac{\text{RT}}{{K}_{H}}\frac{\mathrm{A2}}{{\mathrm{A1}}^{2}}(\frac{1}{{p}_{\text{vp}}}\frac{\partial {p}_{\text{vp}}}{\partial {p}_{c}}-\frac{1}{{K}_{w}}\frac{\partial {p}_{w}}{\partial {p}_{c}})\)

\(\frac{\partial}{\partial {p}_{\text{gz}}}\frac{\partial {p}_{\text{ad}}}{\partial {p}_{\text{gz}}}=\frac{\text{RT}}{{K}_{H}}\frac{\mathrm{A2}}{{\mathrm{A1}}^{2}}(\frac{1}{{p}_{\text{vp}}}\frac{\partial {p}_{\text{vp}}}{\partial {p}_{\text{gz}}}-\frac{1}{{K}_{w}}\frac{\partial {p}_{w}}{\partial {p}_{\text{gz}}})\)

\(\frac{\partial}{\partial T}\frac{\partial {p}_{\text{ad}}}{\partial {p}_{\text{gz}}}=-{R}_{{K}_{H}}\frac{{\rho}_{w}}{{\rho}_{\text{vp}}}\frac{1}{\mathrm{A1}}+{(\frac{{\rho}_{w}}{{\rho}_{\text{vp}}})}^{2}\frac{R}{{K}_{H}}\frac{\mathrm{A2}}{{\mathrm{A1}}^{2}}(1+\mathrm{A3}.T)\)

\(\frac{\partial}{\partial {p}_{c}}\frac{\partial {p}_{\text{ad}}}{\partial {p}_{c}}=\frac{\text{RT}}{{K}_{H}}\frac{{\rho}_{w}}{{\rho}_{\text{vp}}}\frac{1}{{\mathrm{A1}}^{2}}(\frac{1}{{p}_{\text{vp}}}\frac{\partial {p}_{\text{vp}}}{\partial {p}_{c}}-\frac{1}{{K}_{w}}\frac{\partial {p}_{w}}{\partial {p}_{c}})\)

\(\frac{\partial}{\partial {p}_{\text{gz}}}\frac{\partial {p}_{\text{ad}}}{\partial {p}_{c}}=\frac{\text{RT}}{{K}_{H}}\frac{{\rho}_{w}}{{\rho}_{\text{vp}}}\frac{1}{{\mathrm{A1}}^{2}}(\frac{1}{{p}_{\text{vp}}}\frac{\partial {p}_{\text{vp}}}{\partial {p}_{\text{gz}}}-\frac{1}{{K}_{w}}\frac{\partial {p}_{w}}{\partial {p}_{\text{gz}}})\)

\(\frac{\partial}{\partial T}\frac{\partial {p}_{\text{ad}}}{\partial {p}_{c}}=\frac{R}{{K}_{H}}\frac{{\rho}_{w}}{{\rho}_{\text{vp}}}\frac{1}{{\mathrm{A1}}^{2}}(1+\mathrm{A3}.T)\)

\(\frac{\partial}{\partial {p}_{c}}\frac{\partial {p}_{\text{ad}}}{\partial T}=\frac{1}{\mathrm{A1}}\frac{{\rho}_{w}}{{\rho}_{\text{vp}}}(\frac{\text{LR}}{{K}_{H}}\frac{{\rho}_{\text{vp}}}{{p}_{\text{vp}}}\frac{\partial {p}_{\text{vp}}}{\partial {p}_{c}}-\frac{1}{T}\frac{\partial {p}_{\text{ad}}}{\partial {p}_{c}})-\frac{\text{RT}}{{K}_{H}}\frac{{\rho}_{w}}{{\rho}_{\text{vp}}}\frac{1}{{\mathrm{A1}}^{2}}(\frac{\text{LR}}{{K}_{H}}{\rho}_{\text{vp}}-\frac{{p}_{\text{ad}}}{T}).\mathrm{A3}\)

\(\frac{\partial}{\partial {p}_{\text{gz}}}\frac{\partial {p}_{\text{ad}}}{\partial T}=\frac{1}{\mathrm{A1}}\frac{{\rho}_{w}}{{\rho}_{\text{vp}}}(\frac{\text{LR}}{{K}_{H}}\frac{{\rho}_{\text{vp}}}{{p}_{\text{vp}}}\frac{\partial {p}_{\text{vp}}}{\partial {p}_{\text{gz}}}-\frac{1}{T}\frac{\partial {p}_{\text{ad}}}{\partial {p}_{\text{gz}}})-\frac{\text{RT}}{{K}_{H}}\frac{{\rho}_{w}}{{\rho}_{\text{vp}}}\frac{1}{{\mathrm{A1}}^{2}}(\frac{\text{LR}}{{K}_{H}}{\rho}_{\text{vp}}-\frac{{p}_{\text{ad}}}{T}).\mathrm{A3}\)

\(\frac{\partial}{\partial T}\frac{\partial {p}_{\text{ad}}}{\partial T}=\frac{1}{\mathrm{A1}}\frac{{\rho}_{w}}{{\rho}_{\text{vp}}}(\frac{\text{LR}{\rho}_{\text{vp}}}{{K}_{H}}(\frac{1}{{p}_{\text{vp}}}\frac{\partial {p}_{\text{vp}}}{\partial T}-\frac{1}{T})+\frac{{p}_{\text{ad}}}{{T}^{2}}-\frac{1}{T}\frac{\partial {p}_{\text{ad}}}{\partial T})-\frac{\text{RT}}{{K}_{H}}\frac{{\rho}_{w}}{{\rho}_{\text{vp}}}\frac{1}{{\mathrm{A1}}^{2}}(\frac{\text{LR}}{{K}_{H}}{\rho}_{\text{vp}}-\frac{{p}_{\text{ad}}}{T}).(\mathrm{A3}+\frac{1}{T})\)

Équivalence avec les formulations ANDRA#

Afin de pouvoir s’insérer dans la plate-forme ALLIANCE, il est nécessaire d’être cohérent avec les formulations posées par l’ANDRA. Nous proposons ici une équivalence entre les notations qui seraient dissemblables. Ces différences concernent uniquementl’écriture de:

L’équation d’énergie
La loi de Henry
La diffusion dans le liquide
La diffusion dans le gaz

Remarque concernant les enthalpies:: Il est nécessaire pour avoir cohérence entre les deux modèles que l’utilisateur prenne \({h}_{\text{lq}}^{{m}_{0}}=0\) et \({h}_{\text{vp}}^{{m}_{0}}={L}_{0}\).

Équation d’énergie#

Le tableau ci-dessus rappelle les deux formulations:

Notations Code_Aster	Notations ANDRA
\({h}_{\text{lq}}^{m}\)	\(=\frac{{\varphi}_{w}}{{\rho}_{w}{S}_{w}n}\)
\({h}_{\text{vp}}^{m}\)	\(=\frac{{\varphi}_{v}}{{\rho}_{v}(1-{S}_{w})n}\)
\({h}_{\text{as}}^{m}\)	\(=\frac{{\varphi}_{\text{as}}}{{\rho}_{\text{as}}(1-{S}_{w})n}\)
\({M}_{\text{lq}}\)	\(={\rho}_{w}{f}_{w}\)
\({M}_{\text{as}}\)	\(={\rho}_{\text{as}}{f}_{\text{as}}\)
\({M}_{\text{vp}}\)	\(={\rho}_{v}{f}_{v}\)

En réécrivant l’équation de l’énergie de Code_Aster avec ces notations, on trouve:

\(\begin{array}{}\frac{d\phi }{\text{dt}}+\text{Div}({\phi }_{w}\frac{{f}_{w}}{{S}_{w}n}+{\phi }_{\text{as}}\frac{{f}_{\text{as}}}{(1-{S}_{w})n}+{\phi }_{v}\frac{{f}_{v}}{(1-{S}_{w})n})+\text{Div}(q)-(T-{T}^{0})\frac{d}{\text{dt}}\left[(1-n){\rho}_{s}{C}_{s}\right]\\ +3{\alpha}_{0}{K}_{0}T\frac{d{\varepsilon}_{v}}{\text{dt}}+3{\alpha}_{\text{lq}}^{m}T\frac{{\text{dp}}_{c}}{\text{dt}}-3({\alpha}_{\text{lq}}^{m}+{\alpha}_{\text{gz}}^{m})T\frac{{\text{dp}}_{\text{gz}}}{\text{dt}}-9{\text{TK}}_{0}{\alpha}_{{0}^{2}}\frac{\text{dT}}{\text{dt}}\\ =({\rho}_{w}{f}_{w}+{\rho}_{v}{f}_{v}+{\rho}_{\text{as}}{f}_{\text{as}})g+\Theta \end{array}\)

La première ligne étant celle de l’ANDRA et les autres étant a priori négligeables.

Loi de Henry#

Dans la formulation de l’ANDRA, la formulation de Henry est donnée par \({\omega}_{l}^{a}=\frac{{P}_{\text{as}}}{H}\frac{{M}_{\text{as}}^{\text{ol}}}{{M}_{w}}{\rho}_{w}\) avec la concentration d’air dans l’eau que l’ont peut ramener à une masse volumique telle que \({\omega}_{l}^{a}={\rho}_{\text{ad}}\) . \(H\) s’exprime en \(\mathit{Pa}\) .

Dans la formulation de Code_Aster , on rappelle que la loi de Henry est exprimée sous la forme: \({C}_{\text{ad}}^{\text{ol}}=\frac{{\rho}_{\text{ad}}}{{M}_{\text{ad}}^{\text{ol}}}\) avec \({C}_{\text{ad}}^{\text{ol}}=\frac{{p}_{\text{as}}}{{K}_{H}}\) . \({K}_{H}\) s’exprime en \(\mathit{Pa.}{m}^{3}.{\mathit{mol}}^{-1}\) .

On a donc l’équivalence:

\({K}_{H}=H\frac{{M}_{w}}{{\rho}_{w}}\)

Diffusion de la vapeur dans l’air#

Dans la formulation ANDRA le flux de vapeur d’eau dans l’air en fonction de la concentration de vapeur d’eau dans l’airou de l’humidité relative est noté :

\({f}_{{\text{Diff}}_{v}}=-{D}_{v}.\nabla {\omega}_{g}^{e}\)

avec la concentration définie comme le rapport molaire dans le gaz: \({\omega}_{g}^{e}=\frac{{n}_{\nu}}{{n}_{g}}\) .

Dans Code_Aster , ce même flux s’écrit: \({f}_{{\text{Diff}}_{v}}={F}_{\text{vp}}\nabla {C}_{\text{vp}}\) avec le coefficient de Fick vapeur \({F}_{\text{vp}}=\frac{{D}_{\text{vp}}}{{C}_{\text{vp}}(1-{C}_{\text{vp}})}\) et \({D}_{\mathit{vp}}\) le coefficient de diffusion de Fick du mélange gazeux. \({C}_{\mathit{vp}}\) est défini comme le rapport des pressions tel que: \({C}_{\text{vp}}=\frac{{p}_{\text{vp}}}{{p}_{\text{gz}}}\) .

La loi des gaz parfaits permet d’écrire que \({C}_{\text{vp}}={\omega}_{g}^{e}\) donc \(\nabla {\omega}_{g}^{e}=\nabla {C}_{\text{vp}}\) et \({f}_{{\text{Diff}}_{v}}={D}_{v}.\nabla {C}_{\text{vp}}\) .

Donc l’équivalence s’écrit simplement:

\({F}_{\text{vp}}={D}_{v}\) .

Diffusion de l’air dissous dans l’eau#

Dans la formulation ANDRA le flux d’air dissous dans l’eau s’exprime

\({f}_{{a}_{{\text{ds}}_{e}}}={D}_{a}.\nabla {\omega}_{l}^{a}\)

avec \({\omega}_{l}^{a}=\frac{{\rho}_{\text{ad}}}{{M}_{\text{ad}}^{\text{ol}}}\) .

Dans Code_Aster, ce même flux s’écrit : \({f}_{{a}_{{\text{ds}}_{v}}}={F}_{\text{ad}}\nabla {C}_{\text{ad}}\) avec le coefficient de Fick air-dissous \({F}_{\text{ad}}=\frac{{D}_{\text{ad}}}{{C}_{\text{ad}}(1-{C}_{\text{ad}})}\) et \({D}_{\mathit{ad}}\) le coefficient de diffusion de Fick du mélange liquide. \({C}_{\mathit{ad}}\) est défini tel que: \({C}_{\text{ad}}={w}_{l}^{a}\) . Donc:

\({F}_{\text{ad}}={D}_{a}\) .