v3.01.404 SSLL404 - Flambement d’une arche#

Résumé

Le domaine d’application de ce test est l’analyse de stabilité des structures. La structure étudiée est une arche fléchie par des moments appliqués aux deux extrémités; elle est modélisée par des éléments de poutres droites. Le but est de calculer les valeurs critiques des moments.

L’intérêt de ce test réside dans les aspects suivants:

calcul d’une matrice de rigidité géométrique pour les éléments POU_D_E.
test des méthodes modales de CALC_MODES en stabilité
présence de valeurs propres voisines

Les charges propres calculées sont comparées à des valeurs obtenues analytiquement pour un modèle de poutre d’Euler-Bernoulli.

Dans ce test, on valide également l’option OPTION_INV=”RAYLEIGH” (sous SOLVEUR_MODAL) de la commande CALC_MODES.

Solution de référence#

Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#

La solution de référence est obtenue analytiquement pour une poutre d’Euler-Bernoulli. Les aspects théoriques sont développés dans la référence [bib1].

En utilisant les notations du paragraphe [§1], les valeurs critiques sont données par l’expression :

\({M}_{\mathrm{CR}}=-\frac{{\mathrm{EI}}_{x}+\mathrm{GJ}}{\mathrm{2R}}\pm \sqrt{{(\frac{{\mathrm{EI}}_{x}-\mathrm{GJ}}{\mathrm{2R}})}^{2}+{\mathrm{4n}}^{2}\frac{{\mathrm{EI}}_{x}\mathrm{GJ}}{{R}^{2}}}n=1,2,3,\mathrm{...}\)

Le signe plus correspond à des moments positifs tels qu’ils sont indiqués sur la figure du [§1.1].

Résultats de référence#

Les 5 premières charges critiques sont classées par ordre de module croissant.

Mode	Moment critique ( \(\mathit{Nm}\) )
1	2.86074
2	8.63207
3	–8.78382
4	14.4147
5	–14.5551

Incertitude sur la solution#

Solution analytique

Références bibliographiques#

[1] TIMOSHENKO Stephen P., GERE James M., Theory of Elastic Stability, McGraw-Hill, International Edition, 1963, pp. 313-318.

Modélisation A#

Caractéristiques de la modélisation#

L’arche est maillée au moyen d’éléments de poutre droite de type POU_D_E.

Conditions aux limites :

Au point \(A\) tel que \(X=R\) , \(Y=0\) : \(\mathit{DX}=\mathit{DY}=\mathit{DZ}=0\) et \(\mathit{RY}=0\)
Au point \(B\) tel que \(X=0\) , \(Y=R\) : \(\mathit{DY}=\mathit{DZ}=0\) et \(\mathit{RX}=0\)

Pour l’analyse statique, des moments unitaires autour de \(Z\) sont définis aux noeuds 1 et 19.

Caractéristiques du maillage#

Nombre de nœuds : 19

Nombre de mailles : 18 POU_D_E

Grandeurs testées et résultats#

Charge critique

CALC_MODES avecOPTION = “PROCHE”#

Identification N° charge critique	Référence	Code_Aster	\(\text{\%}\) différence
1	2.86074	2.75137	3.823
2	8.63207	8.30613	3.776
3	-8.78382	-8.39554	4.420
4	14.4147	13.93216	3.348
5	-14.5551	-14.01104	3.738

CALC_MODES avecOPTION = “SEPARE”#

Identification N° charge critique	Référence	Code_Aster	\(\text{\%}\) différence
1	2.86074	2.75137	3.823
2	8.63207	8.30613	3.776
3	-8.78382	-8.39554	4.420
4	14.4147	13.93216	3.348
5	-14.5551	-14.01104	3.738

CALC_MODES avecOPTION = “AJUSTE”#

Identification N° charge critique	Référence	Code_Aster	\(\text{\%}\) différence
1	2.86074	2.75137	3.823
2	8.63207	8.30613	3.776
3	-8.78382	-8.39554	4.420
4	14.4147	13.93216	3.348
5	-14.5551	-14.01104	3.738

Synthèse des résultats#

Les méthodes de Sorensen et des itérations inverses (OPTION=”PROCHE” ou “SEPARE” ou “AJUSTE”) donnent des résultats identiques et satisfaisants puisque l’écart maximum avec la solution analytique est inférieur à \(\text{4.5\%}\) . On rappelle que la solution analytique prend en compte la courbure de la structure.

Les éléments MEPOUCT n’ont pu être utilisés dans ce test car le calcul de la matrice de rigidité géométrique n’est pas disponible pour ce type d’élément.