r5.05.01 Calcul d’un spectre de réponse d’oscillateur

Résumé :

Nous présentons dans ce document le calcul d’un spectre de réponse d’oscillateur (SRO).

Définition mathématique du spectre de réponse

Spectre de réponse en accélération

On appelle accélération spectrale la réponse maximale absolue d’un oscillateur à un degré de liberté de fréquence propre \(f\) excité à sa base par un accélérogramme. Le spectre de réponse d’oscillateur (SRO) est une fonction de la fréquence dont les ordonnées sont les accélérations spectrales.

L’équation du mouvement d’un oscillateur à un ddl excité à sa base par une accélération imposée, \(\alpha(t)\), s’écrit :

(2921)\[m \ddot{q}(t) + c \dot{q}(t) + k q(t) = -m \alpha(t)\]

où \(q(t)\) est le déplacement relatif de l’oscillateur. Ainsi on a

(2922)\[\ddot{q}(t) + 2 \xi \, \omega_0 \dot{q}(t) + \omega_0^2 q(t)=-\alpha(t)\]

où \(\omega_0=\sqrt{ \frac{k}{m}}\) et \(\xi=\frac{c}{2\sqrt {k m}}\).

Dans le domaine fréquentiel cette équation s’écrit:

(2923)\[-\omega^2 \hat{q}(\omega) + 2 \xi \, i\omega \, \omega_0 \hat{q}(\omega)+\omega_0^2 \hat{q}(\omega)=-\hat{\alpha}(\omega)\]

Les spectres de réponse sont généralement exprimés en pseudo-accélération spectrale \({PS_{a}}\). Elle correspond au produit du maximum du déplacement relatif absolu \(|q(t)|\) de l’oscillateur simple par le carré de sa fréquence propre \(f=\frac{\omega}{2 \pi}\):

(2924)\[PS_{a}(f)=(2\pi f)^2 \max_{T}|q(t)|\]

où la pseudo-accélération spectrale est notée \({PS_{a}}\) et \(T\) la durée de l’observation. La réponse \(q(t)\) dépend de la fréquence de l’oscillateur \(f\). Cette dépendance n’est pas mentionnée explicitement dans les expressions du SRO afin d’alléger les notations.

Il est d’usage de travailler avec les spectres de réponse en pseudo-accélération plutôt que de considérer l’accélération spectrale absolue. Pour une même fréquence, les accélérations spectrales absolues et la pseudo-accélération se confondent sur une large gamme d’amortissements. Pour des amortissements plus élevés au-delà de 20%, on peut observer des différences entre la pseudo-accélération et l’accélération absolue. L’accélération spectrale absolue \(S_{a}(f)\) s’obtient aisément comme la valeur maximale de la réponse en accélération absolue \(y(t) =\alpha(t) + \ddot{q}(t)\):

(2925)\[S_{a}(f) = \max_{T}|y(t)|\]

Les valeurs remarquables du spectre de réponse en accélération sont :

• la fréquence maximale \(f_{max}\), au-delà de laquelle le spectre atteint une valeur constante, on atteint l’asymptote du spectre. Il s’agit de la fréquence au-delà de laquelle le signal sismique ne contient plus de contenu fréquentiel. Un oscillateur dont la fréquence propre excède \(f_{max}\) suit le mouvement de son support.L’accélération associée à l’asymptote est appelée ZPA (Zero Period Acceleration), qui correspond à la valeur maximale de l’accélération d’entraînement. La ZPA correspond à la valeur de l’accélération absolue maximale du signal temporel (PGA) et ne dépend pas de l’amortissement de l’oscillateur.

• la pseudo-accélération au pic (il peut y avoir plusieurs pics) ou du plateau dans le cadre d’un spectre de réponse lissé et élargi;

• la pseudo-accélération à basse fréquence est reliée au déplacement d’entraînement maximal.

Spectres de réponse en vitesse et déplacement

Le spectre de réponse en déplacement \({S_{d}}(f)\) est défini comme:

(2926)\[S_{d}(f)= \max_{T}|q(t)|\]

Les spectres de réponse en pseudo-vitesse \(PS_{v}(f)\) correspondent au produit du maximum du déplacement relatif absolu \(|q(t)|\) de l’oscillateur simple par sa fréquence propre \(f= \frac{\omega}{2 \pi}\):

(2927)\[PS_{v}(f) = (2\pi f) \max_{T}|q(t)| = (2\pi f) S_{d}(f)\]

Le spectre de réponse en vitesse relative se calcule directement à partir de la réponse de l’oscillateur:

(2928)\[S_{v}(f)= \max_{T}|\dot{q}(t)|\]

Amortissement des spectres de réponse

Les spectres de réponse dépendent également de l’amortissement réduit de l’oscillateur (ici on a omis cette dépendance dans les équations pour simplifier les notations).

Méthode temporelle de Nigam

Solution analytique de la réponse d’un oscillateur à un degré de liberté

Lors du calcul du spectre d’oscillateur d’un accélérogramme [R4.05.03], on est amené à résoudre l’équation différentielle linéaire du second ordre suivante:

\[\ddot{q} + 2\xi \omega \dot{q} + {\omega}^{2}q = \alpha \left(t\right)\]

où \(q(t)\) est le déplacement relatif, \(\alpha (t)\) est l’accélération du mouvement imposé à la base, \(\omega\) est la pulsation de l’oscillateur et \(\xi\) est l’amortissement réduit de l’oscillateur.

Avec des conditions initiales sur \(q\) et \(\dot{q}\) . La solution de cette équation s’écrit sous la forme:

\[q\left(t\right) = {\int}_{0}^{t} { h \left(t-\tau \right) \, \alpha \left(\tau \right) d\tau } + q\left(0\right)g\left(t\right) + \dot{q}\left(0\right)h\left(t\right)\]

où \(q(0)\) et \(\dot{q}(0)\) sont le déplacement et la vitesse à l’instant initial.

Nous nous intéressons aux expressions de \(h(t)\) et de \(g(t)\) selon la valeur de l’amortissement réduit \(\xi\) .

Si \(\xi <1\) (amortissement sous critique), alors:

\[h \left(t\right) = \frac{{e}^{-\xi \omega t}}{\omega \sqrt{1-{\xi}^{2}}} \, \sin\left(\omega t\sqrt{1-{\xi}^{2}}\right)\]

et

\[g\left(t\right) = {e}^{-\xi \omega t} \left[ \cos \left(\omega t\sqrt{1-{\xi}^{2}} \right) + \frac{\xi}{\sqrt{1-{\xi}^{2}}} \, \sin \left(\omega t\sqrt{1-{\xi}^{2}} \right) \right]\]

Si \(\xi =1\) (amortissement critique), alors:

\[h\left(t\right) = t \, {e}^{-\omega t}\]

et

\[g\left(t\right) = \left(1-\omega \right){e}^{\omega t}\]

Si \(\xi >1\) (amortissement sur-critique):

\[h\left(t\right) = \frac{{e}^{-\xi \omega t}}{\omega \sqrt{{\xi}^{2}-1}} \, \sinh \left(\omega t\sqrt{{\xi}^{2}-1}\right)\]

et:

\[g\left(t\right) = {e}^{-\xi \omega t} \left[ \cosh \left( \omega t\sqrt{{\xi}^{2}-1}\right) + \frac{\xi}{\sqrt{{\xi}^{2}-1}} \, \sinh \left(\omega t\sqrt{{\xi}^{2}-1}\right) \right]\]

Résolution numérique

La méthode numérique temporelle implantée a été proposée par Nigam et Jennings [bib2], qui est plus efficace que la méthode de Newmark (voir [Bib3]) dans le cas de l” amortissement sous-critique qui correspond à notre problème sismique initial [R4.05.03].

On est donc conduit à résoudre l’équation différentielle:

\[\ddot{q}\left(t\right) + 2 \xi \omega \dot{q}\left(t\right) + {\omega}^{2}q\left(t\right) = \alpha \left(t\right)\]

avec des conditions initiales nulles et un amortissement sous-critique, dont la solution s’écrit:

\[q\left(t\right) = - \frac{1}{{\omega}_{d}} {\int}_{0}^{t} { {e}^{-\xi \omega \left(t-\tau \right)} \, \sin\left[{\omega}_{d} \left(t-\tau \right)\right]\alpha \left(\tau \right) d\tau }\]

Avec \({\omega}_{d}=\omega \sqrt{1-{\xi}^{2}}\). En supposant que \(\alpha (t)\) varie linéairement à l’intérieur de chaque intervalle \(\Delta (t)\) comme sur la figure Approximation linéaire de la fonction, on peut écrire:

\[\alpha \left(\tau \right) = \alpha \left(t-\Delta t\right) + \frac{\tau}{\Delta t} \left[ \alpha \left(t\right) - \alpha \left(t-\Delta t\right) \right] \text{ pour } \tau \in \left[0,\Delta t\right]\]

Fig. 196 Approximation linéaire de la fonction

Remarque

Le pas de temps \(\Delta t\) n’est pas forcément constant.

D’où l’équation à résoudre (exprimée dans la nouvelle variable \(\tau\) ):

\[\ddot{q}\left(\tau \right) + 2\xi \omega \dot{q}\left(\tau \right) + {\omega}^{2}q\left(\tau \right) = a+b\tau \text{ pour } \tau \in \left[0,\Delta t\right]\]

Où \(a=\alpha (t-\Delta t )\) et \(b=\left[\alpha (t)-\alpha (t-\Delta t )\right]/\Delta t\) . Avec les conditions initiales:

\[\begin{split}\left \lbrace \begin{array}{c} q\left(0\right)=q\left(t-\Delta t\right)\\ \dot{q}\left(0\right)=\dot{q}\left(t-\Delta t\right) \end{array} \right .\end{split}\]

La solution de cette équation est la superposition d’une solution particulière:

\[{q}_{p}(t) = - \frac{a}{{\omega}^{2}} + \frac{2 \xi b }{{\omega}^{3}} - \frac{b}{{\omega}^{2}}\tau\]

et des solutions du problème homogène:

\[{q}_{h}(t) = {e}^{-\xi \omega \tau } \left[ {C}_{1} \, \sin({\omega}_{d}\tau ) + {C}_{2} \, \cos({\omega}_{d}\tau ) \right]\]

Par suite:

(2929)\[q(\tau) = {e}^{-\xi \omega \tau } \left[ {C}_{1} \, \sin({\omega}_{d}\tau ) + {C}_{2} \, \cos({\omega}_{d}\tau ) \right] - \frac{a}{{\omega}^{2}} + \frac{2 \xi b}{{\omega}^{3}} - \frac{b}{{w}^{2}} \tau\]

En dérivant \(q\) (par rapport à \(\tau\)) on a:

(2930)\[\begin{split}\begin{array}{c} \dot{q}\left(\tau \right) = -\xi \omega {e}^{-\xi \omega \tau } \left({C}_{1} \, \sin{\omega}_{d}\tau + {C}_{2} \, \cos{\omega}_{d}\tau \right) +\\ {e}^{-\xi \omega \tau } \left( {C}_{1} \, {\omega}_{d}\cos{\omega}_{d}\tau - {C}_{2} \, {\omega}_{d}\sin{\omega}_{d}\tau \right) - \frac{b}{{\omega}^{2}} \end{array}\end{split}\]

Les coefficients \({C}_{1}\) et \({C}_{2}\) sont alors déterminés par les conditions initiales au début de l’intervalle (c’est-à-dire pour \(\tau =0\)):

\[{C}_{2} = q\left( t-\Delta t\right) + \frac{a}{{\omega}^{2}} - \frac{2\xi b}{{\omega}^{3}}\]

et:

\[{C}_{1} = \frac{1}{{\omega}_{d}}\left[ \dot{q} \left(t-\Delta t\right) + \xi \omega q \left(t-\Delta t\right) + \frac{\xi a}{\omega} - \frac{2{\xi}^{2}-1}{{\omega}^{2}}b \right]\]

En reportant \({C}_{1}\) et \({C}_{2}\) dans les expressions de \(q\) et \(\dot{q}\) on obtient l’égalité matricielle pour \(\tau =\Delta t\) :

\[\begin{split}\left\lbrace \begin{array} q(t) \\ \dot{q}(t) \end{array} \right\rbrace = A(\xi ,\omega ,\Delta t) \, \left\lbrace \begin{array} q(t-\Delta t)\\ \dot{q}(t-\Delta t) \end{array} \right\rbrace + B(\xi ,\omega ,\Delta t) \, \left\lbrace \begin{array} \alpha (t-\Delta t)\\ \alpha (t) \end{array}\right\rbrace\end{split}\]

Coefficients des matrices du système à résoudre

Coefficients pour la matrice \(A\) :

\[{a}_{11} = {e}^{-\xi \omega \Delta t} \left[ \frac{\xi}{\sqrt{1-{\xi}^{2}}} \, \sin\left({\omega}_{d}\Delta t\right) + \cos\left({\omega}_{d}\Delta t\right) \right]\]

\[{a}_{12} = \frac{{e}^{-\xi \omega \Delta t}}{{\omega}_{d}} \, \sin\left({\omega}_{d}\Delta t\right)\]

\[{a}_{21} = -\frac{\omega}{\sqrt{1-{\xi}^{2}}}{e}^{-\xi \omega \Delta t}\sin\left({\omega}_{d}\Delta t\right)\]

\[{a}_{22} = {e}^{-\xi \omega \Delta t}\left[ \cos\left({\omega}_{d}\Delta t\right) - \frac{\xi}{\sqrt{1-{\xi}^{2}}}\sin\left({\omega}_{d}\Delta t\right) \right]\]

Coefficients pour la matrice \(B\) :

\[{b}_{11} = {e}^{-\xi \omega \Delta t} \left[ \left( \frac{2{\xi}^{2}-1}{{\omega}^{2}\Delta t} + \frac{\xi}{\omega} \right) \, \frac{\sin\left({\omega}_{d}\Delta t\right)}{{\omega}_{d}} + \left( \frac{2\xi }{{\omega}^{3}\Delta t} + \frac{1}{{\omega}^{2}} \right) \cos\left( {\omega}_{d}\Delta t \right) \right] - \frac{2\xi}{{\omega}^{3}\Delta t}\]

\[{b}_{12} = -{e}^{-\xi \omega \Delta t} \left[ \frac{2{\xi}^{2}-1} {{\omega}^{2}\Delta t} \, \frac{\sin\left({\omega}_{d}\Delta t\right)}{{\omega}_{d}} + \frac{2\xi}{{\omega}^{3}\Delta t} \, \cos \left({\omega}_{d}\Delta t\right) \right] - \frac{1}{{\omega}^{2}} + \frac{2\xi}{{\omega}^{3}\Delta t}\]

\[\begin{split}\begin{array}{c} {b}_{21} = {e}^{-\xi \omega \Delta t} \left( \frac{2{\xi}^{2}-1}{{\omega}^{2}\Delta t} + \frac{\xi}{\omega} \right) \, \left( \cos\left({\omega}_{d}\Delta t\right) - \frac{\xi}{\sqrt{1-{\xi}^{2}}} \sin\left({\omega}_{d}\Delta t\right) \right) -\\ {e}^{-\xi \omega \Delta t} \left( \frac{2\xi}{{\omega}^{3}\Delta t} + \frac{1}{{\omega}^{2}}\right) \, \left({\omega}_{d}\sin\left({\omega}_{d}\Delta t\right) + \xi \omega \cos\left({\omega}_{d}\Delta t\right) \right)+\\ \frac{1}{{\omega}^{2}\Delta t} \end{array}\end{split}\]

\[\begin{split}\begin{array}{c} {b}_{22} = -{e}^{-\xi \omega \Delta t} \left( \frac{2{\xi}^{2}-1} {{\omega}^{2}\Delta t} \right) \, \left( \cos\left({\omega}_{d}\Delta t\right) - \frac{\xi}{\sqrt{1-{\xi}^{2}}}\sin\left({\omega}_{d}\Delta t\right) \right) +\\ {e}^{-\xi \omega \Delta t} \left( \frac{2\xi }{{\omega}^{3}\Delta t} \right) \, \left( {\omega}_{d}\sin\left({\omega}_{d}\Delta t\right) + \xi \omega \cos\left({\omega}_{d}\Delta t\right) \right)-\\ \frac{1}{{\omega}^{2}\Delta t} \end{array}\end{split}\]

avec \({\omega}_{d}=\omega \sqrt{1-{\xi}^{2}}\) .

Calcul de l’accélération

Connaissant \(q(\tau)\) et \(\dot{q}(\tau)\), il est dès lors possible de donner l’expression de l’accélération \(\ddot{q}(\tau)\)

\[\ddot{q}(\tau) = - \left( 2 \xi \omega \dot{q}(\tau) + \omega^2 q(\tau) \right) + \alpha(\tau)\]

avec les expressions données par (2929) et (2930).

Méthode harmonique

Calcul de la réponse en déplacement

On applique la transformée de Fourier au signal sismique et à l’équation du mouvement. La fonction de transfert ainsi obtenue s’écrit

(2931)\[h(\omega) = \frac{1}{(\omega_0^2 - \omega^2 + 2 \xi \, \omega_0 \, i \omega)}\]

L’équation (2931) exprime la fonction de transfert entre un accélérogramme et la réponse relative en déplacement de l’oscillateur forcé à sa base. La réponse dans le domaine des fréquences s’écrit ainsi :

(2932)\[\hat{q}(\omega) = h(\omega) \hat{\alpha}(\omega)\]

La réponse temporelle \(q(t)\) est obtenue par transformée de Fourier inverse de \(\hat{q}(\omega)\).

Calcul de la réponse en accélération absolue

Il faut remplacer la fonction de transfert de l’équation (2931) par la fonction de transfert entre un accélérogramme et la réponse en accélération absolue de l’oscillateur :

(2933)\[h(\omega) = \frac{\omega_0^2+2 \xi \,i\omega \,\omega_0}{\omega_0^2-\omega^2+2 \xi \,\omega_0 \, i \omega}\]

La réponse dans le domaine des fréquences s’écrit ainsi :

(2934)\[\hat{y}(\omega) = h(\omega) \hat{\alpha}(\omega)\]

La réponse temporelle en accélération absolue \(y(t) = \alpha(t) + \ddot{q}(t)\) est obtenue par transformée de Fourier inverse de \(\hat{y}(\omega)\).

C’est la méthode HARMO dans [CALC_FONCTION], mot clé facteur SPEC_OSCI.

Bibliographie

[bib1]

Gibert R.-J. - Vibrations des structures, Collection de la Direction des Études et Recherches d’Électricité de France, n°69, Eyrolles 1988.

[bib2]

Nigam, N.C, Jennings, P.C. - Calculation of Response spectra from motion earthquake - Bull. of the Seismological society of America, Vol.59 n°2 pp 909 - 922 April 1969.

[bib3]

Preumont, A. - Frequency domain analysis of time integration operators, Earthq. Eng. Struct. Dyna. 10, p. 691-697, 1982.