v3.04.134 SSLV134 - Fissure circulaire en milieu infini#
Résumé
Ce test permet, après obtention du champ de déplacement par MECA_STATIQUE, le calcul du taux de restitution de l’énergie local pour une fissure circulaire plongée dans un milieu supposé infini.
Pour la première modélisation, seul un demi-espace défini par le plan de la fissure est représenté. Le fond de fissure est alors une courbe fermée (un cercle) et est défini en tant que tel dans DEFI_FOND_FISS. Le taux de restitution local est comparé à la solution analytique de référence.
Les sept modélisations suivantes permettent de calculer les facteurs d’intensité de contraintes \(\mathrm{K1}\) et \(\mathrm{K3}\) , en \(\mathrm{3D}\) et axisymétrique, calculés par POST_K1_K2_K3 et/ou CALC_G (modélisations FEM) / CALC_G_XEM (modélisations X-FEM).
La modélisation A teste \(G\) pour un maillage \(\mathrm{3D}\) avec la fissure fermée,
La modélisation B teste \(\mathit{K1}\) pour un maillage \(\mathrm{3D}\) ,
La modélisation C teste \(\mathit{K1}\) pour un maillage axi-symétrique,
La modélisation D teste la combinaison de \(\mathrm{K1}\) et \(\mathrm{K3}\) pour un maillage \(\mathrm{3D}\) .
La modélisation H teste \(\mathrm{K1}\) pour une fissure non maillée (méthode \(\text{X-FEM}\) )
La modélisation I teste \(\mathrm{K1}\) pour une fissure axi-symétrique non maillée (méthode \(\text{X-FEM}\) )
La modélisation J teste \(G\) pour un maillage \(\mathrm{3D}\) avec la fissure fermée pour les éléments incompressibles,
La modélisation K teste \(\mathrm{K1}\) pour un maillage axi-symétrique pour les éléments incompressibles,
La modélisation L teste \(G\) pour un maillage \(\mathrm{3D}\) avec la fissure fermée (méthode \(\text{X-FEM}\) ).
La modélisation M teste \(G\) pour un maillage \(\mathrm{3D}\) avec la fissure fermée en grandes transformations.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
Pour une fissure circulaire de rayon \(a\) dans un milieu infini, soumise à une traction uniforme \(\sigma ` suivant la normale au plan des lèvres, le taux de restitution d'énergie local :math:`G(s)\) est indépendant de l’abscisse curviligne \(s\) et vaut [bib1]:
\(G(s)=\frac{(1-{\nu}^{2})}{\pi E}4{\sigma}^{2}a\)
alors le coefficient d’intensité de contrainte \(\mathrm{K1}\) est donné par la formule d’Irwin:
soit \({K}_{I}=\frac{2\sigma \sqrt{a}}{\sqrt{\pi}}\)
Si cette fissure est soumise à un cisaillement réparti sur les lèvres: \({\sigma}_{\theta z}=\tau \frac{r}{a}\)
(ce qui équivaut à une torsion à l’infini), alors on est en mode 3 pur et le facteur d’intensité de contraintes correspondant vaut:
\({K}_{3}=\frac{4\tau \sqrt{a}}{3\sqrt{\pi}}\) donc par la formule d’Irwin \(G(s)=\frac{(1+\nu )}{E}{K}_{3}^{2}\)
En présence des deux modes combinés, on aura:
\(G(s)=\frac{(1-{\nu}^{2})}{E}{K}_{1}^{2}+\frac{(1+\nu )}{E}{K}_{3}^{2}\)
Résultats de référence#
Application Numérique (cas avec chargement de traction uniquement) :
Pour le chargement considéré et \(a=2m\) , on obtient alors:
\(G(s)=11.586J/{m}^{2}\) |
\(\mathit{K1}=1.5958E6J/{m}^{2}\) |
Pour la modélisation \(G\) (3 fonds de fissure différents) avec le même chargement, on obtient:
pour \(a=2m\)
\(G(s)=10.586J/{m}^{2}\) |
\(\mathrm{K1}=1.5958E6J/{m}^{2}\) |
pour \(a=1.88m\)
\(G(s)=10.891J/{m}^{2}\) |
\(\mathrm{K1}=1.5472E6J/{m}^{2}\) |
pour \(a=1.76m\)
\(G(s)=10.196J/{m}^{2}\) |
\(\mathrm{K1}=1.4969E6J/{m}^{2}\) |
Application Numérique (cas avec chargement de torsion uniquement) :
\(G(s)=7.3565J/{m}^{2}\) |
\(\mathrm{K1}=1.0638E6J/{m}^{2}\) |
Référencesbibliographiques#
Solution de Sneddon (1946) dans G.C. SIH : Handbook of stress-intensity factors Institute of Fracture and Solid Mechanics - Lehigh University Bethlehem, Pennsylvannie
Modélisation A#
Le fond de fissure est fermé. On calcule \(G\) .
Caractéristiques de la modélisation#
L’intérêt de cette modélisation est de représenter l’intégralité du fond de fissure qui est une courbe fermée, sans tirer parti des symétries du problème.
Seul le chargement de traction est pris en compte.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 11114
Nombre de mailles et type : 2432 PENTA15
Les nœuds milieux des arêtes des éléments touchant le fond de fissure sont déplacés au quart de ces arêtes.
Remarque#
Les valeurs de \(G\) sont testées pour des champs :math:`theta ` définis en fonction du rayon (R_INF etR_SUP)
et du nombre de couches (NB_COUCHE_INFet NB_COUCHE_SUP).
On utilise le mot clé SYME dans l’opérateur CALC_G pour multiplier automatiquement par deux le taux de restitution d’énergie calculé sur une seule lèvre de la fissure, lorsque l’opérande FOND_FISS est absent. Quand FOND_FISS est présent, l’information sur la symétrie est récupérée directement dans le concept fond_fiss créé via DEFI_FOND_FISS.
Le principe est le même pour POST_K1_K2_K3. L’indication de la symétrie induit le calcul des facteurs d’intensité des contraintes et du taux de restitution de l’énergie G_IRWIN par interpolation des déplacements d’une lèvre unique de la fissure. Le déplacement des nœuds milieux des arêtes des éléments touchant le fond de fissure au quart de ces arêtes permettrait d’améliorer la précision du calcul.
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Référence |
Type de référence |
\(\text{\%}\) tolérance |
G local Nœud \(N403\) - Discrétisation LINEAIRE, R_INF et R_SUP |
11.586 |
ANALYTIQUE |
3.0 |
G local Nœud \(N2862\) - Discrétisation LINEAIRE, R_INF et R_SUP |
11.586 |
ANALYTIQUE |
2.0 |
G local Nœud \(N375\) - Discrétisation LINEAIRE, R_INF et R_SUP |
11.586 |
ANALYTIQUE |
3.0 |
G local Nœud \(N292\) - Discrétisation LINEAIRE, R_INF et R_SUP |
11.586 |
ANALYTIQUE |
2,4 |
\(max(G\mathit{local})\) - Discrétisation LINEAIRE, R_INF R_SUP |
11.59 |
ANALYTIQUE |
2,5 |
\(min(G\mathit{local})\) - Discrétisation LINEAIRE, R_INF R_SUP |
11.59 |
ANALYTIQUE |
2.0 |
G local point \(1\) DiscrétisationLINEAIRE/ NB_POINT_FOND=33, R_INF et R_SUP |
11.586 |
ANALYTIQUE |
1.0 |
G local point \(13\) DiscrétisationLINEAIRE/ NB_POINT_FOND=33, R_INF et R_SUP |
11.586 |
ANALYTIQUE |
1.0 |
G local point \(21\) DiscrétisationLINEAIRE/ NB_POINT_FOND=33, R_INF et R_SUP |
11.586 |
ANALYTIQUE |
1.0 |
G local point \(33\) DiscrétisationLINEAIRE/ NB_POINT_FOND=33, R_INF et R_SUP |
11.586 |
ANALYTIQUE |
1.0 |
G local Nœud \(N403\) - Discrétisation LINEAIRE, NB_COUCHE_INF etNB_COUCHE_SUP |
11.586 |
ANALYTIQUE |
3.0 |
G local Nœud \(N2862\) - Discrétisation LINEAIRE, NB_COUCHE_INF etNB_COUCHE_SUP |
11.586 |
ANALYTIQUE |
2.0 |
G local Nœud \(N375\) - Discrétisation LINEAIRE, NB_COUCHE_INF etNB_COUCHE_SUP |
11.586 |
ANALYTIQUE |
3.0 |
G local Nœud \(N292\) - Discrétisation LINEAIRE, NB_COUCHE_INF etNB_COUCHE_SUP |
11.586 |
ANALYTIQUE |
2,4 |
\(max(G\mathit{local})\) - Discrétisation LINEAIRE, NB_COUCHE_INF etNB_COUCHE_SUP |
11.59 |
ANALYTIQUE |
2,5 |
\(min(G\mathit{local})\) - Discrétisation LINEAIRE, NB_COUCHE_INF etNB_COUCHE_SUP |
11.59 |
ANALYTIQUE |
2.0 |
G local point \(1\) DiscrétisationLINEAIRE/ NB_POINT_FOND=33, NB_COUCHE_INF etNB_COUCHE_SUP |
11.586 |
ANALYTIQUE |
1.0 |
G local point \(13\) DiscrétisationLINEAIRE/ NB_POINT_FOND=33, NB_COUCHE_INF etNB_COUCHE_SUP |
11.586 |
ANALYTIQUE |
1.0 |
G local point \(21\) DiscrétisationLINEAIRE/ NB_POINT_FOND=33, NB_COUCHE_INF etNB_COUCHE_SUP |
11.586 |
ANALYTIQUE |
1.0 |
G local point \(33\) DiscrétisationLINEAIRE/ NB_POINT_FOND=33, NB_COUCHE_INF etNB_COUCHE_SUP |
11.586 |
ANALYTIQUE |
1.0 |
Modélisation B#
Calcul avec CALC_G et POST_K1_K2_K3 en 3D
Caractéristiques de la modélisation#
Cette modélisation permet de tester le calcul de \(\mathrm{K1}\) à l’aide de POST_K1_K2_K3 (méthode d’extrapolation des déplacements sur les lèvres de la fissure). Le paramètre ABSC_CURV_MAXI de l’opérateur est calculé dans POST_K1_K2_K3 de manière à retenir 5 nœuds sur le segment d’extrapolation (\(\mathrm{dmax}=0,35\) ).
Seul le chargement de traction est pris en compte.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 6536
Nombre de mailles et type : 432 PENTA15 et 987 HEXA20
Les nœuds milieux des arêtes des éléments touchant le fond de fissure sont déplacés au quart de ces arêtes, pour obtenir une meilleure précision.
Grandeurs testées et résultats#
Résultats de CALC_G#
Identification |
Référence (analytique) |
\(\text{\%}\) tolérance |
\(G\) local Nœud 49 |
11.59 |
3,0 |
\(G\) local Nœud 1710 |
11.59 |
2,0 |
\(G\) local Nœud77 |
11.59 |
3,0 |
Résultats de POST_K1_K2_K3#
Identification |
Référence (analytique) |
\(\text{\%}\) tolérance |
\(G\) Nœud 49 |
11.586 |
2 |
\(G\) Nœud 77 |
11.586 |
2 |
\(G\) Nœud 1710 |
11.586 |
2 |
\(\mathit{K1}\) Nœud 49 |
1.60E+006 |
1 |
\(\mathit{K1}\) Nœud 77 |
1.60E+006 |
1 |
\(\mathit{K1}\) Nœud 1710 |
1.60E+006 |
1 |
D’autres tests purement informatiques de la commande POST_K1_K2_K3 sont également effectués.
Modélisation C#
Calcul avec CALC_G et POST_K1_K2_K3 en axisymétrique.
Caractéristiques de la modélisation#
Cette modélisation permet de tester le calcul de \(\mathit{K1}\) à l’aide de POST_K1_K2_K3 (méthode d’extrapolation des déplacements sur les lèvres de la fissure) en axisymétrique.
Seul le chargement de traction est retenu dans cette modélisation.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 1477
Nombre de mailles et type : 402 QUAD8 et 60 TRIA6
Les nœuds milieux des arêtes des éléments touchant le fond de fissure sont déplacés au quart de ces arêtes, pour obtenir une meilleure précision.
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Méthode |
Référence |
Type de référence |
\(\text{\%}\) tolérance |
\(G\) |
CALC_G / optionG |
11.6 |
ANALYTIQUE |
1.8 |
\(\mathit{K1}\) |
POST_K1_K2_K3 |
1.60E+006 |
ANALYTIQUE |
3 |
\(\text{G\_IRWIN}\) |
POST_K1_K2_K3 |
11.6 |
ANALYTIQUE |
1.8 |
Remarque#
Une commande de STAT_NON_LINE est ajoutée pour valider les modifications apportée sur xpesro.f . Les résultats obtenus de ce cas test seront comparés avec ceux obtenus de cas test sslv134i pour \(\text{X-FEM}\) en axi-symétrique. En addition de la traction simple appliquée sur les bords haut et bas de la plaque, une rotation de \(150\mathit{trs}/min\) autour de l’axe symétrique est appliquée.
Avec l’option G, \(G=21,4\) et \({K}_{1}=219E+05\) .
Modélisation D#
Calcul avec CALC_G et POST_K1_K2_K3 en 3D pour les modes 1 et 3.
Caractéristiques de la modélisation#
Les conditions aux limitessuivantes sont successivement appliquées :
traction: comme pour la modélisation B;
torsion.
Cette modélisation permet de tester le calcul de \(\mathrm{K1}\) et \(\mathrm{K3}\) combinés à l’aide de POST_K1_K2_K3 (méthode d’extrapolation des déplacements sur les lèvres de la fissure).
Les nœuds milieux des arêtes des éléments touchant le fond de fissure sont déplacés au quart de ces arêtes, pour obtenir une meilleure précision.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 6536
Nombre de mailles et type : 432 PENTA15 et 987 HEXA20
Les nœuds milieux des arêtes des éléments touchant le fond de fissure sont déplacés au quart de ces arêtes, pour obtenir une meilleure précision.
Remarque#
Les deux cas de charge (traction et torsion) sont pris en compte. Il faut donc cumuler les valeurs de \(G\) pour les deux chargements.
Ainsi
\(G(s)=(11.586+7.356)=18.943J/{m}^{2}\)
Seule la traction contribue à \(\mathrm{K1}\) , seule la torsion contribue à \(\mathrm{K3}\) .
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Méthode |
Localisation |
Référence |
Type de référence |
\(\text{\%}\) tolérance |
G |
CALC_GLegendre |
Nœud 49 |
18.94 |
ANALYTIQUE |
3.0 |
G |
CALC_GLegendre |
Nœud 1710 |
18.94 |
ANALYTIQUE |
2.0 |
G |
CALC_GLegendre |
Nœud 77 |
18.94 |
ANALYTIQUE |
3.0 |
K1 |
POST_K1_K1_K3 |
Nœud 49 |
1,596 106 |
ANALYTIQUE |
1.0 |
K1 |
POST_K1_K1_K3 |
Nœud 1710 |
1,596 106 |
ANALYTIQUE |
1.0 |
K1 |
POST_K1_K1_K3 |
Nœud 77 |
1,596 106 |
ANALYTIQUE |
2.0 |
K3 |
POST_K1_K1_K3 |
Nœud 49 |
1,064 106 |
ANALYTIQUE |
2.0 |
K3 |
POST_K1_K1_K3 |
Nœud 1710 |
1,064 106 |
ANALYTIQUE |
2.0 |
K3 |
POST_K1_K1_K3 |
Nœud 77 |
1,064 106 |
ANALYTIQUE |
1.0 |
G |
POST_K1_K1_K3 |
Nœud 49 |
18.94 |
ANALYTIQUE |
2.0 |
G |
POST_K1_K1_K3 |
Nœud 1710 |
18.94 |
ANALYTIQUE |
2.0 |
G |
POST_K1_K1_K3 |
Nœud 77 |
18.94 |
ANALYTIQUE |
2.0 |
Modélisation H#
Méthode X-FEM avec CALC_G_XFEM et POST_K1_K2_K3.
Caractéristiques de la modélisation#
Cette modélisation permet de tester le calcul de \(\mathrm{K1}\) à l’aide de POST_K1_K2_K3 et CALC_G_XFEM (option CALC_K_G) sur une fissure non maillée (méthode \(\text{X-FEM}\) ).
Seul le chargement de traction est pris en compte. Des conditions de symétrie sont imposées sur les deux faces latérales. De plus, il ne faut pas oublier d’imposer les conditions de symétrie sur les lèvres de la fissure à travers les degrés de liberté de saut H1X, H1Y et H1Z).
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 6100
Nombre de mailles et type : 1500 PENTA6 et 4600 HEXA8 (maillage linéaire)
Grandeurs testées et résultats#
Les valeurs testées sont les facteurs d’intensité des contraintes \(\mathit{K1}\) le long du fond de fissure, calculés soit par POST_K1_K2_K3 (méthode 3), soit par CALC_G_XFEM. Le test s’effectue en 3 points du fond de fissure: points 1 (premier point), 10 et 24 (dernier point).
L’erreur quadratique moyenne correspond à la quantité suivante:
\(\varepsilon =\sqrt{\frac{{\int}_{\Gamma}{({K}_{I}^{\mathit{ref}}-{K}_{I}^{\mathit{Aster}})}^{2}\mathit{ds}}{{\int}_{\Gamma}{({K}_{I}^{\mathit{ref}})}^{2}\mathit{ds}}}\)
Identification |
Référence |
Type de référence |
\(\text{\%}\) tolérance |
CALC_G_ XFEM |
|||
\(\mathit{K1}\) - point 1 |
1.595e6 |
ANALYTIQUE |
12.00 |
\(\mathit{K1}\) - point 10 |
1.595e6 |
ANALYTIQUE |
3.00 |
\(\mathit{K1}\) - point 24 |
1.595e6 |
ANALYTIQUE |
18.00 |
Erreur quadratique moyenne |
9.90 |
||
POST_K1_K2_K3 |
|||
\(\mathit{K1}\) - point 1 |
1.595e6 |
ANALYTIQUE |
2,00 |
\(\mathit{K1}\) - point 10 |
1.595e6 |
ANALYTIQUE |
2.00 |
\(\mathit{K1}\) - point 24 |
1.595e6 |
ANALYTIQUE |
2.00 |
Erreur quadratique moyenne |
1.15 |
||
Remarques#
La précision des résultats obtenus sur une fissure non maillée (méthode \(\text{X-FEM}\) ) et le post-traitement POST_K1_K2_K3 est très satisfaisante, comparable à la précision avec une fissure maillée FEM. Néanmoins, les résultats sont dégradés avec CALC_G_XFEM comme c’est le cas généralement avec les fronts courbes (test SSVL154 également). L’utilisation de cet opérateur est à déconseiller pour les fronts non droits avec la méthode \(\text{X-FEM}\) , étant donné la précision assez modeste de cet opérateur (18%).
Pour l’opérateur CALC_G_XFEM, les lissages de type LAGRANGE ne permettent pas d’avoir des résultats facilement exploitables; un lissage de type LEGENDRE est donc à privilégier.
On rappelle que le maillage utilisé est linéaire; l’utilisation d’un maillage plus fin permet d’améliorer la précision du résultat, mais au détriment des temps de calcul.
Modélisation I#
Méthode X-FEM avec CALC_G_XFEM et POST_K1_K2_K3 axi-symétrique.
Caractéristiques de la modélisation#
Cette modélisation permet de tester le calcul de \(\mathrm{K1}\) à l’aide de POST_K1_K2_K3 et CALC_G_XFEM (option CALC_K_G) sur une fissure axi-symétrique non maillée (méthode X-FEM).
Deux types de chargements sont considérés. Le premier est de traction simple appliquée sur les bords haut et bas de la plaque. Le deuxième est de traction simple appliquée sur les bords haut et bas de la plaque et une rotation de \(150\mathit{trs}/min\) autour de l’axe symétrique.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 20301
Nombre de mailles et type : 20000 QUA4 et 600 SE2 (maillage linéaire)
Grandeurs testées et résultats#
On teste les valeurs de \(G\) et \({K}_{I}\) calculées par la commande CALC_G_XFEM option “CALC_K_G” et par la commande POST_K1_K2_K3, ainsi que la .valeur de \(G\) calculée par la commande CALC_G_XFEM (option “CALC_G”).
Chargement 1: traction simple appliquée sur les bords haut et bas de la plaque
Identification |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance ( \(\text{\%}\) ) |
\(G\) (CALC_G_XFEMoption “CALC_K_G”) |
“ANALYTIQUE” |
11,59 |
2,1% |
\(\mathit{K1}\) (CALC_G_XFEMoption “CALC_K_G”) |
“ANALYTIQUE” |
1,60E+06 |
6,0% |
\(G\) (CALC_G_XFEMoption “CALC_K_G”) |
“AUTRE_ASTER” |
11,78 |
0,4% |
\(\mathit{K1}\) (CALC_G_XFEMoption “CALC_K_G”) |
“AUTRE_ASTER” |
1,64E+06 |
2,0% |
\(G\) (CALC_G_XFEMoption “CALC_G”) |
“ANALYTIQUE” |
23,17 |
2,1% |
\(G\) (POST_K1_K2_K3) |
“ANALYTIQUE” |
11,59 |
6,0% |
\(\mathit{K1}\) (POST_K1_K2_K3) |
“ANALYTIQUE” |
1,60E+06 |
6,0% |
Chargement 2: traction simple appliquée sur les bords haut et bas de la plaque et une rotation de 150 \(\mathrm{trs}/\min\) autour de l’axe symétrique
Identification |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance ( \(\text{\%}\) ) |
\(G\) (CALC_G_XFEMoption “CALC_K_G”) |
“AUTRE_ASTER” |
2136,52 |
0,3% |
\(\mathit{K1}\) (CALC_G_XFEMoption “CALC_K_G”) |
“AUTRE_ASTER” |
2,191E+07 |
2,5% |
\(G\) (CALC_G_XFEMoption “CALC_G”) |
“AUTRE_ASTER” |
4273,04 |
0,3% |
\(G\) (POST_K1_K2_K3) |
“AUTRE_ASTER” |
2136,52 |
4,0% |
\(\mathit{K1}\) (POST_K1_K2_K3) |
“AUTRE_ASTER” |
2,191E+07 |
2,5% |
Remarques#
Dans ce cas test, le ratio \(a/W\) entre la taille de la fissure \(a\) et la largeur \(W\) est \(0,2\) . Les effets de bords contribuent donc à la différence entre la solution numérique pour un bord fini et la solution de référence pour un milieu continu.
Modélisation J#
Fond de fissure fermé, calcul de \(G\) pour les éléments incompressibles.
Caractéristiques de la modélisation#
Identiques à la modélisation A sauf les éléments utilisés sont 3D_INCO_UPG.
Caractéristiques du maillage#
Identiques à la modélisation A
Remarque#
On utilise le mot clé SYME dans l’opérateur CALC_G pour multiplier automatiquement par deux le taux de restitution d’énergie calculé sur une seule lèvre de la fissure, lorsque l’opérande FOND_FISS est absent. Quand FOND_FISS est présent, l’information sur la symétrie est récupérée directement dans le concept fond_fiss créé via DEFI_FOND_FISS.
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Référence |
Type de référence |
\(\text{\%}\) tolérance |
G local Nœud \(\mathrm{N403}\) - Discrétisation LINEAIRE |
11.586 |
ANALYTIQUE |
4,0 |
G local Nœud \(\mathrm{N2862}\) - Discrétisation LINEAIRE |
11.586 |
ANALYTIQUE |
1,0 |
G local Nœud \(\mathrm{N375}\) - Discrétisation LINEAIRE |
11.586 |
ANALYTIQUE |
3,5 |
G local Nœud \(\mathrm{N292}\) - Discrétisation LINEAIRE |
11.586 |
ANALYTIQUE |
4,0 |
\(max(G\mathit{local})\) - Discrétisation LINEAIRE |
11.590 |
ANALYTIQUE |
5,0 |
\(min(G\mathit{local})\) - Discrétisation LINEAIRE |
11.586 |
ANALYTIQUE |
10,0 |
Modélisation K#
On teste \(K\) en axisymétrique pour les éléments incompressibles
Caractéristiques de la modélisation#
Identiques à la modélisation C sauf les éléments utilisés sont AXIS _INCO_UPG.
Caractéristiques du maillage#
Identique à la modélisation C
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Méthode |
Référence |
Type de référence |
\(\text{\%}\) tolérance |
\(\mathit{G_IRWIN}\) |
CALC_G / optionK |
23.2 |
ANALYTIQUE |
2 |
\(\mathit{K1}\) |
CALC_G / optionK |
1.595769E6 |
ANALYTIQUE |
3,5 |
Modélisation L#
Le fond de fissure est fermé en X-FEM. On calcule \(G\) avec CALC_G_XFEM.
Caractéristiques de la modélisation#
L’intérêt de cette modélisation est de repartir de la modélisation A et de symétriser le maillage.
Ainsi, nous retrouvons la discrétisation de la couronne de la modélisation A.
Seul le chargement de traction est pris en compte.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 18571
Nombre de mailles et type: 3136 HEXA20 et 1728 PENTA15
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Référence |
Type de référence |
\(\text{\%}\) tolérance |
G local point \(3\) LAGRANGE/ NB_POINT_FOND=16 |
11.586 |
ANALYTIQUE |
5,0 |
G local point \(8\) LAGRANGE/ NB_POINT_FOND=16 |
11.586 |
ANALYTIQUE |
1,0 |
G local point \(11\) LAGRANGE/ NB_POINT_FOND=16 |
11.586 |
ANALYTIQUE |
4,0 |
G local point \(15\) LAGRANGE/ NB_POINT_FOND=16 |
11.586 |
ANALYTIQUE |
2,0 |
Modélisation M#
Le fond de fissure est fermé. On calcule \(G\) .
Caractéristiques de la modélisation#
Comme pour la modélisation A, l’intérêt de cette modélisation est de représenter l’intégralité du fond de fissure qui est une courbe fermée, sans tirer parti des symétries du problème.
Un chargement de rotation de corps rigide est appliqué dans un premier temps afin de se placer dans une situation de grandes transformtions. Un chargement de traction appliqué sur la déformée est ensuite pris en compte dans un second temps.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 11114
Nombre de mailles et type : 2432 PENTA15
Les nœuds milieux des arêtes des éléments touchant le fond de fissure sont déplacés au quart de ces arêtes. Le maillage est identique à celui utilisé pour la modélisation A.
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Référence |
Type de référence |
\(\text{\%}\) tolérance |
G local Nœud \(N403\) - Discrétisation LINEAIRE, R_INF et R_SUP |
11.586 |
ANALYTIQUE |
3.0 |
G local Nœud \(N2862\) - Discrétisation LINEAIRE, R_INF et R_SUP |
11.586 |
ANALYTIQUE |
2.0 |
G local Nœud \(N375\) - Discrétisation LINEAIRE, R_INF et R_SUP |
11.586 |
ANALYTIQUE |
3.0 |
G local Nœud \(N292\) - Discrétisation LINEAIRE, R_INF et R_SUP |
11.586 |
ANALYTIQUE |
2,4 |
\(max(G\mathit{local})\) - Discrétisation LINEAIRE, R_INF R_SUP |
11.59 |
ANALYTIQUE |
2,5 |
\(min(G\mathit{local})\) - Discrétisation LINEAIRE, R_INF R_SUP |
11.59 |
ANALYTIQUE |
2.0 |
Synthèses des résultats#
Les conclusions de ce cas test sont les suivantes:
La définition et le calcul de \(G\) local sur des fonds de fissure fermés est validé. On vérifie en particulier l’indépendance de \(G\) local vis-à-vis de l’angle pour une fissure et un chargement axisymétriques. On constate un écart de moins de \(\text{2\%}\) sur l’ensemble du fond de fissure pourune DISCRETISATION‘LINEAIRE’.
La commande POST_K1_K2_K3, qui permet de calculer les facteurs d’intensité de contraintes en exploitant le saut de déplacements sur les lèvres de la fissure, est également validé. Cette méthode, moins précise que CALC_G/CALC_G_XFEM, permet d’obtenir ici (avec un maillage approprié: nœuds milieux des arêtes touchant le fond de fissure déplacés au quart de ces arêtes) des valeurs de \(\mathrm{K1}\) et \(\mathrm{K3}\) à moins de \(\text{2 \%}\) de la référence.
Trois méthodes d’interpolation sont utilisées et donnent des résultats proches. La méthode 3 est intéressante car elle fournit une valeur unique des facteurs d’intensité de contrainte et non pas une valeur maximale et une valeur minimale.
L’utilisation de POST_K1_K2_K3 pour étudier une fissure par relâchement de nœuds est testée et donne des résultats satisfaisants.
On valide le calcul de la forme bilinéaire de \(G\) et l’option CALC_K_G de CALC_G_XEM.
La méthode \(\text{X-FEM}\) permet d’évaluer les facteurs d’intensité des contraintes \(K\) sur un maillage non fissuré avec une erreur inférieure à \(\text{20\%}\) avec CALC_G_XFEM. Avec l’opérateur POST_K1_K2_K3, la précision augmente considérablement, pour atteindre un écart à la solution analytique de de \(\text{2\%}\) .
On valide les calculs pour éléments 3D_INCO_UPG, 3D_INCO_UP, AXIS_INCO_UPG et AXIS_INCO_UP