v2.05.400 SDLX400 – Poutre articulée sur appui élastique#

Résumé:

Ce test consiste à calculer les fréquences propres d’une poutre dont une des extrémités est articulée et l’autre est soit libre, soit appuyée sur un ressort.

La solution de référence de ce problème est analytique.

L’originalité de ce test est de modéliser cette poutre au moyen d’éléments volumiques et poutres.

Ce test comporte trois modélisations:

Modélisation A: POU_D_E;
Modélisation B: 3D et POU_D_E;
Modélisation C: POU_D_TG.

Le raccord 3D-poutre est effectué par LIAISON_ELEM dans l’opérateur AFFE_CHAR_MECA. Pour la modélisation A, on vérifie le bon fonctionnement du calcul modal (problème généralisé GEP à modes réels) en variant les solveurs modaux (SORENSEN, QZ et Jacobi) et la prise en compte des blocages: DDL_IMPO seul, MECA_IMPO seul ou un panachage des deux.

Solution de référence#

Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#

Cas 1 : extrémité libre#

L’équation de la poutre s’écrit:

(4691)#\[\frac{{d}^{4}v}{{\mathit{dx}}^{4}}=\frac{-\rho S}{\mathit{EI}}\frac{{d}^{2}v}{{\mathit{dt}}^{2}}\]

On cherche une solution de la forme:

(4692)#\[v(x)=\sin(\omega t)\left[A\cos(\mathit{kx})+B\sin(\mathit{kx})+C\cosh(\mathit{kx})+D\sinh(\mathit{kx})\right]\]

avec \(\omega =\sqrt{\frac{\mathit{EI}}{\rho S}}{k}^{2}\)

Les conditions aux limites sont les suivantes:

En \(x=0\) , \(v=0\) et \(\frac{{d}^{2}v}{{\mathit{dx}}^{2}}=0\)

En \(x=L\) , \(\frac{{d}^{2}v}{{\mathit{dx}}^{2}}=0\) et \(\frac{{d}^{3}v}{{\mathit{dx}}^{3}}=0\)

En remplaçant \(v\) par l’expression (), on obtient:

En \(x=0\) , \(A=C=0\) ;
En \(x=L\) , \(\sin(\mathit{kL})\cosh(\mathit{kL})=\cos(\mathit{kL})\sinh(\mathit{kL})\) (3)

Les six premières racines de () sont données dans le tableau suivant:

\(\mathit{kL}\)

\(0\)

\(3.9266\)

\(7.06858\)

\(10.2102\)

\(13.3518\)

\(16.4934\)

On en déduit les valeurs de \({\omega}_{i}\) , \(i=1,\mathrm{...},6\) .

Cas 2 : extrémité en appui élastique#

L’équation aux valeurs propres est la suivante:

(4693)#\[\sin(\mathit{kL})\left({k}^{3}{L}^{3}\frac{\mathit{EI}}{{L}^{3}}\cosh(\mathit{kL})-K\sinh(\mathit{kL})\right)-\sinh(\mathit{kL})\left({k}^{3}{L}^{3}\frac{\mathit{EI}}{{L}^{3}}\cos(\mathit{kL})+K\sin(\mathit{kL})\right)=0\]

Les pulsations propres sont données par:

(4694)#\[\omega =\frac{1}{{L}^{2}}\sqrt{\frac{\mathit{EI}}{\rho S}}{k}^{2}{L}^{2}\]

Les six premierès racines de () sont données dans le tableau suivant:

\(\mathit{kL}\)

\(2.7880886\)

\(4.5619625\)

\(7.1895724\)

\(10.249031\)

\(13.368916\)

\(16.502406\)

On en déduit alors les valeurs de \({\omega}_{i}\) , \(i=1,\mathrm{...},6\) .

Résultats de référence#

Cas 1 : extrémité libre#

La structure possède un mode rigide à fréquence nulle. Le tableau suivant présente les fréquences non nulles.

Mode	Fréquence (\(\mathit{Hz}\) )
1	\(85.5\)
2	\(277\)
3	\(577.9\)
4	\(988.2\)
5	\(1507.9\)

Cas 2 : extrémité en appui élastique#

Mode	Fréquence (\(\mathit{Hz}\) )
1	\(43.1\)
2	\(115.4\)
3	\(286.5\)
4	\(582.3\)
5	\(990.7\)
6	\(1509.6\)

Incertitude sur la solution#

Solution analytique.

Modélisation A#

Caractéristiques de la modélisation A#

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Figure 3.1 Maillage du problème

Modélisation POU_D_E et élément discret de type DIS_TR.

Caractéristiques du maillage#

Nombre de nœuds: 11

Nombre de mailles et types: 10 SEG2 et 1 POI1

Grandeurs testées et résultats#

Dans les deux cas de figures (extrémité libre et en appui simple), on vérifie le bon fonctionnement du calcul modal (problème généralisé GEP à modes réels) en variant les solveurs modaux (SORENSEN, QZ et Jacobi) et la prise en compte des blocages: DDL_IMPO seul, MECA_IMPO seul ou un panachage des deux.

Cas 1 : extrémité libre#

METHODE=”SORENSEN”

Identification	Valeur de référence	Type de référence	Tolérance (%)
Mode 1	\(85.5\)	“ANALYTIQUE”	\(0.1\)
Mode 2	\(277\)	“ANALYTIQUE”	\(0.1\)
Mode 3	\(577.9\)	“ANALYTIQUE”	\(0.1\)
Mode 4	\(988.2\)	“ANALYTIQUE”	\(0.3\)
Mode 5	\(1507.9\)	“ANALYTIQUE”	\(0.5\)

METHODE=”JACOBI”

Identification	Valeur de référence	Type de référence	Tolérance (%)
Mode 1	\(85.5\)	“ANALYTIQUE”	\(0.1\)
Mode 2	\(277\)	“ANALYTIQUE”	\(0.1\)
Mode 3	\(577.9\)	“ANALYTIQUE”	\(0.1\)
Mode 4	\(988.2\)	“ANALYTIQUE”	\(0.3\)
Mode 5	\(1507.9\)	“ANALYTIQUE”	\(0.5\)

Cas 2 : extrémité en appui simple#

METHODE=”SORENSEN”

Identification	Valeur de référence	Type de référence	Tolérance (%)
Mode 1	\(43.1\)	“ANALYTIQUE”	\(0.1\)
Mode 2	\(115.4\)	“ANALYTIQUE”	\(0.1\)
Mode 3	\(286.5\)	“ANALYTIQUE”	\(0.1\)
Mode 4	\(582.3\)	“ANALYTIQUE”	\(0.1\)
Mode 5	\(990.7\)	“ANALYTIQUE”	\(0.3\)
Mode 6	\(1509.6\)	“ANALYTIQUE”	\(0.5\)

METHODE=”JACOBI”

Identification	Valeur de référence	Type de référence	Tolérance (%)
Mode 1	\(43.1\)	“ANALYTIQUE”	\(0.1\)
Mode 2	\(115.4\)	“ANALYTIQUE”	\(0.1\)
Mode 3	\(286.5\)	“ANALYTIQUE”	\(0.1\)
Mode 4	\(582.3\)	“ANALYTIQUE”	\(0.1\)
Mode 5	\(990.7\)	“ANALYTIQUE”	\(0.3\)
Mode 6	\(1509.6\)	“ANALYTIQUE”	\(0.5\)

Modélisation B#

Caractéristiques de la modélisation B#

Figure 4.1 Maillage du problème

Modélisation POU_D_Epour un tiers de la structure et le reste en modélisation 3D, élément discret de type DIS_TR.

Caractéristiques du maillage#

Nombre de nœuds: 1303

Nombre de mailles et types: 160 HEXA20, 8 QUAD8, 80 SEG2 et 1 POI1

Grandeurs testées et résultats#

Cas 1 : extrémité libre#

METHODE=”SORENSEN”

Identification	Valeur de référence	Type de référence	Tolérance (%)
Mode 1	\(85.5\)	“ANALYTIQUE”	\(0.85\)
Mode 2	\(277\)	“ANALYTIQUE”	\(0.7\)
Mode 3	\(577.9\)	“ANALYTIQUE”	\(0.8\)
Mode 4	\(988.2\)	“ANALYTIQUE”	\(1.2\)
Mode 5	\(1507.9\)	“ANALYTIQUE”	\(3.6\)

METHODE=”JACOBI”

Identification	Valeur de référence	Type de référence	Tolérance (%)
Mode 1	\(85.5\)	“ANALYTIQUE”	\(0.85\)
Mode 2	\(277\)	“ANALYTIQUE”	\(0.7\)
Mode 3	\(577.9\)	“ANALYTIQUE”	\(0.8\)
Mode 4	\(988.2\)	“ANALYTIQUE”	\(1.2\)
Mode 5	\(1507.9\)	“ANALYTIQUE”	\(3.7\)

Cas 2 : extrémité en appui simple#

METHODE=”SORENSEN”

Identification	Valeur de référence	Type de référence	Tolérance (%)
Mode 1	\(43.1\)	“ANALYTIQUE”	\(0.4\)
Mode 2	\(115.4\)	“ANALYTIQUE”	\(0.6\)
Mode 3	\(286.5\)	“ANALYTIQUE”	\(0.6\)
Mode 4	\(582.3\)	“ANALYTIQUE”	\(0.8\)
Mode 5	\(990.7\)	“ANALYTIQUE”	\(1.2\)
Mode 6	\(1509.6\)	“ANALYTIQUE”	\(3.7\)

METHODE=”JACOBI”

Identification	Valeur de référence	Type de référence	Tolérance (%)
Mode 1	\(43.1\)	“ANALYTIQUE”	\(0.4\)
Mode 2	\(115.4\)	“ANALYTIQUE”	\(0.6\)
Mode 3	\(286.5\)	“ANALYTIQUE”	\(0.6\)
Mode 4	\(582.3\)	“ANALYTIQUE”	\(0.8\)
Mode 5	\(990.7\)	“ANALYTIQUE”	\(1.2\)
Mode 6	\(1509.6\)	“ANALYTIQUE”	\(3.7\)

Modélisation C#

Caractéristiques de la modélisation C#

Figure 5.1 Maillage du problème

Modélisation POU_D_TGet élément discret de type DIS_TR.

Caractéristiques du maillage#

Nombre de nœuds: 11

Nombre de mailles et types: 10 SEG2 et 1 POI1

Grandeurs testées et résultats#

Cas 1 : extrémité libre#

METHODE=”SORENSEN”

Identification	Valeur de référence	Type de référence	Tolérance (%)
Mode 1	\(85.5\)	“ANALYTIQUE”	\(0.11\)
Mode 2	\(277\)	“ANALYTIQUE”	\(0.3\)
Mode 3	\(577.9\)	“ANALYTIQUE”	\(0.4\)
Mode 4	\(988.2\)	“ANALYTIQUE”	\(0.6\)
Mode 5	\(1507.9\)	“ANALYTIQUE”	\(0.7\)

METHODE=”JACOBI”

Identification	Valeur de référence	Type de référence	Tolérance (%)
Mode 1	\(85.5\)	“ANALYTIQUE”	\(0.11\)
Mode 2	\(277\)	“ANALYTIQUE”	\(0.3\)
Mode 3	\(577.9\)	“ANALYTIQUE”	\(0.4\)
Mode 4	\(988.2\)	“ANALYTIQUE”	\(0.6\)
Mode 5	\(1507.9\)	“ANALYTIQUE”	\(0.7\)

Cas 2 : extrémité en appui simple#

METHODE=”SORENSEN”

Identification	Valeur de référence	Type de référence	Tolérance (%)
Mode 1	\(43.1\)	“ANALYTIQUE”	\(0.1\)
Mode 2	\(115.4\)	“ANALYTIQUE”	\(0.1\)
Mode 3	\(286.5\)	“ANALYTIQUE”	\(0.2\)
Mode 4	\(582.3\)	“ANALYTIQUE”	\(0.4\)
Mode 5	\(990.7\)	“ANALYTIQUE”	\(0.6\)
Mode 6	\(1509.6\)	“ANALYTIQUE”	\(0.7\)

METHODE=”JACOBI”

Identification	Valeur de référence	Type de référence	Tolérance (%)
Mode 1	\(43.1\)	“ANALYTIQUE”	\(0.1\)
Mode 2	\(115.4\)	“ANALYTIQUE”	\(0.1\)
Mode 3	\(286.5\)	“ANALYTIQUE”	\(0.2\)
Mode 4	\(582.3\)	“ANALYTIQUE”	\(0.4\)
Mode 5	\(990.7\)	“ANALYTIQUE”	\(0.6\)
Mode 6	\(1509.6\)	“ANALYTIQUE”	\(0.7\)

Synthèse des résultats#

Les résultats obtenus avec les éléments de poutre POU_D_E et POU_D_TG sont en très bon accord avec la solution analytique et respectivement inférieurs à \(0.46\) % et \(0.61\) %. Les résultats obtenus en mélangeant deux types d’éléments (poutre et volumique) puis en raccordant les degrés de liberté au moyen de l’option LIAISON_ELEM sont moins précis (mais l’écart reste inférieur à \(3.61\) %).

Il est à noter que les fréquences propres calculées sont identiques quelle que soit la méthode utilisée dans le solveur modal (SORENSEN ou JACOBI).