v3.02.116 SSLP116 – Plaque carrée en flexion – gradient de température constant#
Résumé:
L’objectif de ce test est de valider le calcul des déplacements, des moments et des contraintes dans une plaque carrée, simplement supportée, en flexion soumise a un gradient de température constant.
Modélisations :
Modélisation \(A\) : DKT avec des mailles TRIA3
Modélisation \(B\) : DKT avec des mailles QUAD4
Modélisation \(C\) : COQUE_SOLIDE avec des mailles HEXA9
Solution de référence#
Méthode de calcul#
La solution de référence est une solution numérique [bib1].
Grandeurs et résultats de référence#
Déplacement suivant l’axe \(Z\) le long de \(\mathit{AB}\)
\(X(\mathit{cm})\) |
\(\mathit{DZ}(\mathit{cm})\) |
\(0.0\) |
\(0.1033\) |
\(2.0\) |
\(0.0992\) |
\(4.0\) |
\(0.0883\) |
\(6.0\) |
\(0.0692\) |
\(8.0\) |
\(0.0400\) |
\(10.0\) |
\(0.\) |
Moment \({M}_{\mathit{XX}}\) le long de \(\mathit{AB}\)
\(X(\mathit{cm})\) |
\(\mathit{MXX}(N)\) |
\(1.0\) |
\(-50.0\) |
\(3.0\) |
\(-45.6\) |
\(5.0\) |
\(-36.4\) |
\(7.0\) |
\(-23.2\) |
\(9.0\) |
\(-8.0\) |
Incertitudes sur la solution#
Solution numérique
Références bibliographiques#
M.H. SADR-LAHIDJANI : »Modélisation et analyse des plaques et coques minces élastiques soumises a des champs de température », Thèse de Doctorat UTC, 1984.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
On utilise une modélisation DKT avec 3 couches dans l’épaisseur.
Caractéristiques du maillage#
Le maillage contient 5000 éléments de type TRIA3.
Grandeurs testées et résultats#
On teste le déplacement suivant l’axe \(Z\) et le moment \(\mathit{MXX}\) le long de \(\mathit{AB}\) .
Identification |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance % |
|
DEPL |
\(X(\mathit{cm})\) |
|||
\(\mathit{DZ}\) |
\(0.0\) |
“SOURCE_EXTERNE” |
\(0.1033\) |
\(4.0\text{}\) |
\(2.0\) |
“SOURCE_EXTERNE” |
\(0.0992\) |
\(3.5\text{}\) |
|
\(4.0\) |
“SOURCE_EXTERNE” |
\(0.0883\) |
\(3.\text{}\) |
|
\(6.0\) |
“SOURCE_EXTERNE” |
\(0.0692\) |
\(3.\text{}\) |
|
\(8.0\) |
“SOURCE_EXTERNE” |
\(0.0400\) |
\(2.\text{}\) |
|
Identification |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance % |
|
EFGE_NOEU |
\(X(\mathit{cm})\) |
|||
\(\mathit{MXX}\) |
\(1.0\) |
“SOURCE_EXTERNE” |
\(-50.0\) |
\(0.5\text{}\) |
\(3.0\) |
“SOURCE_EXTERNE” |
\(-45.6\) |
\(0.2\text{}\) |
|
\(5.0\) |
“SOURCE_EXTERNE” |
\(-36.4\) |
\(1.0\text{}\) |
|
\(7.0\) |
“SOURCE_EXTERNE” |
\(-23.2\) |
\(3.0\text{}\) |
|
\(9.0\) |
“SOURCE_EXTERNE” |
\(-8.0\) |
\(0.5\text{}\) |
|
On teste les contraintes sur la peau inférieure, moyenne et supérieure dans 2 couches.
Couche n°1 : \(-\mathrm{0.125cm}<Z<-\mathrm{0.0417cm}\)
Point / Maille |
Couche |
Grandeur |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance |
\(A(\mathit{M5200})\) |
\(\mathit{INF}\) |
\(\mathit{SIXX}\) |
“NON_DEFINI” |
\(4880.375\) |
\({10}^{-4}\text{%}\) |
\(\mathit{SIYY}\) |
“NON_DEFINI” |
\(4880.125\) |
\({10}^{-4}\text{%}\) |
||
\(\mathit{SIXY}\) |
“NON_DEFINI” |
\(-0.125\) |
\({10}^{-6}\) |
||
\(\mathit{MOY}\) |
\(\mathit{SIXX}\) |
“NON_DEFINI” |
\(3225.583\) |
\({10}^{-4}\text{%}\) |
|
\(\mathit{SIYY}\) |
“NON_DEFINI” |
\(3253.417\) |
\({10}^{-4}\text{%}\) |
||
\(\mathit{SIXY}\) |
“NON_DEFINI” |
\(-0.083\) |
\({10}^{-6}\) |
||
\(\text{SUP}\) |
\(\mathit{SIXX}\) |
“NON_DEFINI” |
\(1626.712\) |
\({10}^{-4}\text{%}\) |
|
\(\mathit{SIYY}\) |
“NON_DEFINI” |
\(1626.708\) |
\({10}^{-4}\text{%}\) |
||
\(\mathit{SIXY}\) |
“NON_DEFINI” |
\(-0.042\) |
\({10}^{-6}\) |
Couche n°3 : \(\mathrm{0.0417cm}<Z<\mathrm{0.125cm}\)
Point / Maille |
Couche |
Grandeur |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance |
\(A(\mathit{M5200})\) |
\(\mathit{INF}\) |
\(\mathit{SIXX}\) |
“NON_DEFINI” |
\(-1626.792\) |
\({10}^{-4}\text{%}\) |
\(\mathit{SIYY}\) |
“NON_DEFINI” |
\(-1626.708\) |
\({10}^{-4}\text{%}\) |
||
\(\mathit{SIXY}\) |
“NON_DEFINI” |
\(0.042\) |
\({10}^{-6}\) |
||
\(\mathit{MOY}\) |
\(\mathit{SIXX}\) |
“NON_DEFINI” |
\(-3252.583\) |
\({10}^{-4}\text{%}\) |
|
\(\mathit{SIYY}\) |
“NON_DEFINI” |
\(-3252.416\) |
\({10}^{-4}\text{%}\) |
||
\(\mathit{SIXY}\) |
“NON_DEFINI” |
\(0.083\) |
\({10}^{-6}\) |
||
\(\text{SUP}\) |
\(\mathit{SIXX}\) |
“NON_DEFINI” |
\(-4880.375\) |
\({10}^{-4}\text{%}\) |
|
\(\mathit{SIYY}\) |
“NON_DEFINI” |
\(-4880.125\) |
\({10}^{-4}\text{%}\) |
||
\(\mathit{SIXY}\) |
“NON_DEFINI” |
\(0.125\) |
\({10}^{-6}\) |
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
On utilise une modélisation DKT avec 7 couches dans l’épaisseur.
Caractéristiques du maillage#
Le maillage contient 2500 éléments de type QUAD4.
Grandeurs testées et résultats#
On teste le déplacement suivant l’axe \(Z\) et le moment \(\mathit{MXX}\) le long de \(\mathit{AB}\) .
Identification |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance |
|
DEPL |
\(X(\mathit{cm})\) |
|||
\(\mathit{DZ}\) |
\(0.0\) |
“SOURCE_EXTERNE” |
\(0.1033\) |
\(4.0\text{}\) |
\(2.0\) |
“SOURCE_EXTERNE” |
\(0.0992\) |
\(3.5\text{}\) |
|
\(4.0\) |
“SOURCE_EXTERNE” |
\(0.0883\) |
\(3.0\text{}\) |
|
\(6.0\) |
“SOURCE_EXTERNE” |
\(0.0692\) |
\(3.0\text{}\) |
|
\(8.0\) |
“SOURCE_EXTERNE” |
\(0.0400\) |
\(2.0\text{}\) |
|
Identification |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance |
|
EFGE_NOEU |
\(X(\mathit{cm})\) |
|||
\(\mathit{MXX}\) |
\(1.0\) |
“SOURCE_EXTERNE” |
\(-50.0\) |
\(1.0\text{}\) |
\(3.0\) |
“SOURCE_EXTERNE” |
\(-45.6\) |
\(0.75\text{}\) |
|
\(5.0\) |
“SOURCE_EXTERNE” |
\(-36.4\) |
\(2.0\text{}\) |
|
\(7.0\) |
“SOURCE_EXTERNE” |
\(-23.2\) |
\(5.0\text{}\) |
|
\(9.0\) |
“SOURCE_EXTERNE” |
\(-8.0\) |
\(6.0\text{}\) |
|
On teste les contraintes sur la peau inférieure, moyenne et supérieure dans 2 couches.
Couche n°1 : \(-\mathrm{0.125cm}<Z<-\mathrm{0.089cm}\)
Point / Maille |
Couche |
Grandeur |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance |
\(A(\mathit{M2700})\) |
\(\mathit{INF}\) |
\(\mathit{SIXX}\) |
“NON_DEFINI” |
\(4875.116\) |
\({10}^{-4}\text{%}\) |
\(\mathit{SIYY}\) |
“NON_DEFINI” |
\(4875.116\) |
\({10}^{-4}\text{%}\) |
||
\(\mathit{SIXY}\) |
“NON_DEFINI” |
\(7.47\times {10}^{-9}\) |
\({10}^{-6}\) |
||
\(\mathit{MOY}\) |
\(\mathit{SIXX}\) |
“NON_DEFINI” |
\(4178.671\) |
\({10}^{-4}\text{%}\) |
|
\(\mathit{SIYY}\) |
“NON_DEFINI” |
\(4178.671\) |
\({10}^{-4}\text{%}\) |
||
\(\mathit{SIXY}\) |
“NON_DEFINI” |
\(6.4\times {10}^{-9}\) |
\({10}^{-6}\) |
||
\(\text{SUP}\) |
\(\mathit{SIXX}\) |
“NON_DEFINI” |
\(3482.225\) |
\({10}^{-4}\text{%}\) |
|
\(\mathit{SIYY}\) |
“NON_DEFINI” |
\(3482.225\) |
\({10}^{-4}\text{%}\) |
||
\(\mathit{SIXY}\) |
“NON_DEFINI” |
\(5.3\times {10}^{-9}\) |
\({10}^{-6}\) |
Couche n°7 : \(\mathrm{0.089cm}<Z<\mathrm{0.125cm}\)
Point / Maille |
Couche |
Grandeur |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance |
\(A(\mathit{M2700})\) |
\(\mathit{INF}\) |
\(\mathit{SIXX}\) |
“NON_DEFINI” |
\(-3482.225\) |
\({10}^{-4}\text{%}\) |
\(\mathit{SIYY}\) |
“NON_DEFINI” |
\(-3482.225\) |
\({10}^{-4}\text{%}\) |
||
\(\mathit{SIXY}\) |
“NON_DEFINI” |
\(5.3\times {10}^{-9}\) |
\({10}^{-6}\) |
||
\(\mathit{MOY}\) |
\(\mathit{SIXX}\) |
“NON_DEFINI” |
\(-4178.670\) |
\({10}^{-4}\text{%}\) |
|
\(\mathit{SIYY}\) |
“NON_DEFINI” |
\(-4178.670\) |
\({10}^{-4}\text{%}\) |
||
\(\mathit{SIXY}\) |
“NON_DEFINI” |
\(-6.4\times {10}^{-9}\) |
\({10}^{-6}\) |
||
\(\text{SUP}\) |
\(\mathit{SIXX}\) |
“NON_DEFINI” |
\(-4875.116\) |
\({10}^{-4}\text{%}\) |
|
\(\mathit{SIYY}\) |
“NON_DEFINI” |
\(-4875.116\) |
\({10}^{-4}\text{%}\) |
||
\(\mathit{SIXY}\) |
“NON_DEFINI” |
\(7.5\times {10}^{-9}\) |
\({10}^{-6}\) |
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation#
On utilise une modélisation COQUE_SOLIDE.
Caractéristiques du maillage#
Le maillage contient 2500 éléments de type HEXA9.
Grandeurs testées et résultats#
On teste le déplacement suivant l’axe \(Z\) .
Identification |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance |
|
DEPL |
\(X(\mathit{cm})\) |
|||
\(\mathit{DZ}\) |
\(0.0\) |
“SOURCE_EXTERNE” |
\(0.1033\) |
\(2,6\text{%}\) |
On teste les contraintes sur la maille au centreen NON_REGRESSION:
Identification |
Type de référence |
|
SIEF_ELGA |
||
\(\mathit{SIXX}\) |
SurfInf |
“NON_REGRESSION” |
\(\mathit{SIYY}\) |
SurfSup |
“NON_REGRESSION” |
On teste la déformation d’origine thermique au centre la maille, sur la peau inférieuredont on a une valeur de référence analytique:
Identification |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance |
|
EPVC_ELGA |
||||
EPTHER_L |
SurfInf |
ANALYTIQUE |
\(-0,000455\) |
\(<1,6\times {10}^{-6}\text{\%}\) |
Et la déformation équivalente en sur la peau inférieure:
Identification |
Type de référence |
|
EPEQ_ELGA |
||
INVA_2 |
SurfInf |
NON_REGRESSION |
Synthèse des résultats#
Les résultats obtenus sont satisfaisants. A maillage équivalent au DKQ (2500 éléments), la précision est meilleure avec la modélisation COQUE_SOLIDE (modélisation C).