v6.04.121 SSNV121 - Rotation et traction hyper-élastique d’un barreau#
Résumé:
Ce test de mécanique quasi-statique consiste à faire tourner de \(90°\) un barreau parallélépipédique, à le soumettre à une traction importante pour finalement le laisser revenir dans un état déchargé. On valide ainsi la cinématique des grandes déformations hyper-élastiques (commande STAT_NON_LINE, mot-clé COMPORTEMENT), et donc en particulier les grandes rotations, pour une relation de comportement élastique linéaire.
Le barreau est modélisé par un élément volumique (HEXA8, modélisationA) ou bien plan (QUAD4, hypothèse de déformations planes, modélisationB).
Les résultats obtenus par Code_Aster ne diffèrent pas de la solution théorique.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
Il s’agit d’un problème plan. On peut chercher la solution sous la forme d’une rotation rigide et d’un allongement d’un facteur
dans la direction
.
Le gradient de la transformation et la déformation de Green-Lagrange sont alors:
La relation de comportement conduit alors à un tenseur de contraintes lagrangiennes diagonal:
La condition aux limites de l’équation d’équilibre nous permet alors de déterminer la valeur de l’allongement
:
La contrainte de Cauchy est donnée par:
Enfin, la force exercée sur les faces:
[2,4]:
[4,3]:
[1,2,3,4]:
où
représentent les surfaces initiales des faces.
Résultats de référence#
On adopte comme résultats de référence les déplacements, la contrainte de Cauchy et la force exercée sur les faces [2,4] et [4,3].
Au temps \(t=\mathrm{2 }s\) :
On cherche
tel que l’allongement
soit \(T=\mathrm{31 096}.154\mathrm{MPa}\) .
La contrainte de Cauchy est alors:
Les forces exercées sont:
Au temps \(t=\mathrm{3 }s\) :
Le barreau est revenu dans son état initial:
Incertitude sur la solution#
Solution analytique.
Références bibliographiques#
Eric LORENTZ « Une relation de comportement hyperélastique non linéaire » Note interne EDF/DER HI‑74/95/011/0
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Modélisation volumique: |
1 maille HEXA 8 1 maille QUAD4 |
Conditions aux limites:
Chargement: Traction sur la face \([2,4,8,6]\)
maille \([2,4,8,6]\) (QUAD4): \(\mathrm{FY}=\mathrm{31 096}.154f(t)\mathrm{MPa}\)
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 8 |
Nombre de mailles: 2 |
1 HEXA8 1 QUAD4 |
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Référence |
Aster |
% différence |
t = 2 Déplacement DX (NO2) |
100 |
100 |
0 |
t = 2 Déplacement DY (NO4) |
1100 |
1100 |
0 |
t = 2 Contraintes SIGXX (PG1) |
11013.986 |
11013.986 |
0 |
t = 2 Contraintes SIGYY (PG1) |
31096.154 |
31096.154 |
0 |
t = 2 Contraintes SIGZZ (PG1) |
11013.986 |
11013.986 |
0 |
t = 2 Contraintes SIGXY (PG1) |
0 |
10–9 |
/ |
t = 2 Contraintes SIGXZ (PG1) |
0 |
10–10 |
/ |
t = 2 Contraintes SIGYZ (PG1) |
0 |
10–10 |
/ |
t = 3 Déplacement DX10 (NO2) |
0 |
10–11 |
/ |
t = 3 Déplacement DY (NO4) |
0 |
10–12 |
/ |
t = 3 Contraintes SIGXX (PG1) |
0 |
10–9 |
/ |
t = 3 Contraintes SIGYY (PG1) |
0 |
10–10 |
/ |
t = 3 Contraintes SIGZZ (PG1) |
0 |
10–9 |
/ |
t = 3 Contraintes SIGXY (PG1) |
0 |
10–11 |
/ |
t = 3 Contraintes SIGXZ (PG1) |
0 |
10–10 |
/ |
t = 3 Contraintes SIGYZ (PG1) |
0 |
10–11 |
/ |
t = 2 Force nodale DX (NO8) |
3.0289 109 |
3.0288 109 |
–0.002% |
t = 2 Force nodale DY (NO8) |
7.774 109 |
7.774 109 |
0 |
t = 2 Force nodale DZ (NO8) |
3.0289 109 |
3.0288 109 |
–0.002% |
Remarques#
Calcul de la force nodale:
La force appliquée \(F\) sur une face décrite par une maille linéaire se répartit par:
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
Modélisation \(\mathrm{2D}\) déformations planes
Conditions aux limites:
Chargement:
Traction sur la face \([2,4]\)
maille \([2,4]\) : \(\mathrm{FY}=\mathrm{31 096}.154f(t)\mathrm{MPa}\)
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 4 |
Nombre de mailles: 2 |
1 QUAD4 1 SEG2 |
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Référence |
Aster |
% différence |
t = 2 Déplacement DX (NO2) |
100 |
100 |
0 |
t = 2 Déplacement DY (NO4) |
1100 |
1100 |
0 |
t = 2 Contraintes SIGXX (PG1) |
11013.986 |
11013.986 |
0 |
t = 2 Contraintes SIGYY (PG1) |
31096.154 |
31096.154 |
0 |
t = 2 Contraintes SIGZZ (PG1) |
11013.986 |
11013.986 |
0 |
t = 2 Contraintes SIGXY (PG1) |
0 |
10-10 |
/ |
t = 3 Déplacement DX (NO2) |
0 |
10–12 |
/ |
t = 3 Déplacement DY (NO4) |
0 |
10–12 |
/ |
t = 3 Contraintes SIGXX (PG1) |
0 |
10–10 |
/ |
t = 3 Contraintes SIGYY (PG1) |
0 |
10–10 |
/ |
t = 3 Contraintes SIGZZ (PG1) |
0 |
10–10 |
/ |
t = 3 Contraintes SIGXY (PG1) |
0 |
10–10 |
/ |
t = 2 Force nodale DX (NO4) |
6.0577 106 |
6.0577 106 |
0 |
t = 2 Force nodale DY (NO4) |
15.5481 106 |
15.5481 106 |
0 |
Remarques#
Calcul de la force nodale:
La force appliquée \(F\) sur une face décrite par une maille linéaire se répartit par:
Synthèse des résultats#
Il apparaît à l’issue de ce test que la solution numérique coïncide remarquablement avec la solution analytique. On remarquera cependant que la forte non linéarité due aux grandes rotations nécessite une discrétisation en temps relativement fine, sans être pénalisante sur la précision puisque, contrairement à une loi de comportement incrémentale, les erreurs ne se cumulent pas d’un pas de temps sur l’autre.