v5.01.106 SDND106 – Patin frottant avec coefficients de frottement statique et dynamique#
Résumé:
Ce cas-test a pour but de valider la fonctionnalité de non linéarité de frottement par pénalisation, avec l’utilisation de deux coefficients de frottement, un statique (pour les phases d’adhérence) et un dynamique (pour les phases de glissement).
Le système étudié contient deux degrés de liberté. Son évolution contient une transition adhérence – glissement et une transition glissement – adhérence.
La solution de référence est analytique.
Solution de référence#
Méthode de calcul#
La pulsation du système est notée \({\omega}_{0}\) et est telle que \({\omega}_{0}^{2}=\frac{k}{m}\) .
Phase d’adhérence
A l’instant \(t=0\) , la masse \({m}_{1}\) vérifie
\({x}_{1}(t)=0\)
\(\dot{{x}_{1}}(t)=0\)
et la masse \({m}_{2}\) vérifie
\({x}_{2}(t)=0\)
\(\dot{{x}_{2}}(t)=0\) .
Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la masse \({m}_{2}\) permet d’écrire l’équation suivante
\(\ddot{{x}_{2}}+{\omega}_{0}^{2}{x}_{2}=\frac{F}{m}\) ,
et sur la masse \({m}_{1}\) l’équation suivante
\({F}_{T}=-k{x}_{2}\)
La solution générale de \({x}_{2}\) est de la forme :
\({x}_{2}=\tilde{A}\cos({\omega}_{0}t)+\tilde{B}\sin({\omega}_{0}t)+\frac{F}{(m{\omega}_{0}^{2})}\)
où \(\tilde{A}\) et \(\tilde{B}\) sont des constantes.
En tenant compte des conditions initiales, le déplacement de la masse \({m}_{2}\) s’écrit donc
\({x}_{2}=\frac{F}{k}[1-\cos({\omega}_{0}t)]\) .
Cette expression est valable jusqu’à ce que
\(∥{F}_{T}∥=\mu {F}_{N}\)
Autrement dit, jusqu’à l’instant \({t}_{1}\) vérifiant l’expression suivante
\(F[1-\cos({\omega}_{0}{t}_{1})]={\mu}_{S}{F}_{N}\)
La phase de glissement commence donc à \({t}_{1}\) défini par
\({t}_{1}=\frac{1}{{\omega}_{0}}\arccos(1-{\mu}_{S}\frac{{F}_{N}}{F})\)
Phase de glissement
A l’instant \(t={t}_{1}\) , la masse \({m}_{1}\) vérifie
\({x}_{1}({t}_{1})=0\)
\(\dot{x}{}_{1}({t}_{1})=0\)
Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la masse \({m}_{1}\) permet d’écrire l’équation
\(\ddot{x}{}_{1}+{\omega}_{0}^{2}{x}_{1}=\frac{-{\mu}_{D}{F}_{N}}{m}+{\omega}_{0}^{2}{x}_{2}\) ,
et sur la masse \({m}_{2}\) l’équation
\(\ddot{x}{}_{2}+{\omega}_{0}^{2}{x}_{2}=\frac{F}{m}+{\omega}_{0}^{2}{x}_{1}\) .
En faisant le changement de variables
\(\lbrace \begin{array}{}X={x}_{1}+{x}_{2}\\ Y={x}_{1}-{x}_{2}\\ {\Omega}_{0}=\sqrt{2}{\omega}_{0}\end{array}\)
le système précédent s’écrit
\(\begin{array}{}\ddot{X}=\frac{F-{\mu}_{D}{F}_{N}}{m}\\ \ddot{Y}+{\Omega}_{0}^{2}Y=-\frac{F+{\mu}_{D}{F}_{N}}{m}\end{array}\)
Pour \(t\ge {t}_{1}\) , la solution générale de \(X\) est de la forme
\(X=\frac{(F-{\mu}_{D}{F}_{N})}{\mathrm{2m}}{(t-{t}_{1})}^{2}+\tilde{C}(t-{t}_{1})+\tilde{D}\) .
et celle de \(Y\) est de la forme
\(Y=\tilde{E}\cos({\Omega}_{0}(t-{t}_{1}))+\tilde{F}\sin({\Omega}_{0}(t-{t}_{1}))-\frac{F+{\mu}_{D}{F}_{N}}{\mathrm{2k}}\) .
En tenant compte des conditions initiales, les expressions des constantes \(\tilde{C}\) , \(\tilde{D}\) , \(\tilde{E}\) et \(\tilde{F}\) valent :
\(\begin{array}{}\tilde{C}=\dot{x}{}_{2}({t}_{1})\\ \tilde{D}={x}_{2}({t}_{1})\\ \tilde{E}=\frac{F+{\mu}_{D}{F}_{N}}{\mathrm{2k}}-{x}_{2}({t}_{1})\\ \tilde{F}=-\frac{\dot{x}{}_{2}({t}_{1})}{{\Omega}_{0}}\end{array}\)
Les déplacements \({x}_{1}\) et \({x}_{2}\) sont déduits des expressions précédentes.
Phase de glissement avec un chargement \(F=0\) à partir de \({t}_{2}\) (arbitraire mais supérieur à \({t}_{1}\) ) jusqu’à l’instant \({t}_{3}\) (instant de retour à la phase l’adhérence)
Le principe fondamental de la dynamique présenté précédemment est toujours valable. Pour la masse \({m}_{1}\) , l’équation vérifiée est la même :
\(\ddot{x}{}_{1}+{\omega}_{0}^{2}{x}_{1}=\frac{-({\mu}_{D}{F}_{N})}{m}+{\omega}_{0}^{2}{x}_{2}\) ,
et pour la masse \({m}_{2}\)
\(\ddot{x}{}_{2}+{\omega}_{0}^{2}{x}_{2}={\omega}_{0}^{2}{x}_{1}\)
Avec le même changement de variable que précédemment, le système s’écrit
\(\begin{array}{}\ddot{X}=-\frac{{\mu}_{D}{F}_{N}}{m}\\ \ddot{Y}+{\Omega}_{0}^{2}Y=-\frac{{\mu}_{D}{F}_{N}}{m}\end{array}\)
Pour \(t>{t}_{2}\) , la solution générale de \(X\) est de la forme
\(X=-\frac{{\mu}_{D}{F}_{N}}{\mathrm{2m}}{(t-{t}_{2})}^{2}+\tilde{G}(t-{t}_{2})+\tilde{H}\)
La solution générale de \(Y\) est de la forme
\(Y=\tilde{I}\cos({\Omega}_{0}(t-{t}_{2}))+\tilde{J}\sin({\Omega}_{0}(t-{t}_{2}))-\frac{{\mu}_{D}{F}_{N}}{\mathrm{2k}}\)
En tenant compte des conditions initiales, les expressions des constantes \(\tilde{G}\) , \(\tilde{H}\) , \(\tilde{I}\) et \(\tilde{J}\) valent :
\(\begin{array}{}\tilde{G}=\dot{x}{}_{1}({t}_{2})+\dot{x}{}_{2}({t}_{2})\\ \tilde{H}={x}_{1}({t}_{2})+{x}_{2}({t}_{2})\\ \tilde{J}=\frac{{\mu}_{D}{F}_{N}}{\mathrm{2k}}+{x}_{1}({t}_{2})-{x}_{2}({t}_{2})\\ \tilde{J}=\frac{\dot{x}{}_{1}({t}_{2})-\dot{x}{}_{2}({t}_{2})}{{\Omega}_{0}}\end{array}\)
Les déplacements \({x}_{1}\) et \({x}_{2}\) sont déduits des expressions précédentes.
Grandeurs et résultats de référence#
Les grandeurs testées sont la cinématique des masses \({m}_{1}\) et \({m}_{2}\) à différents instants dans les différentes phases de la modélisation. Sont également testés les instants de transition suivants :
passage de la phase d’adhérence à la phase de glissement (instant \({t}_{1}\) ) ;
passage de la phase de glissement à la phase d’adhérence (instant \({t}_{3}\) ).
Incertitudes sur la solution#
Solution analytique exacte.
Références bibliographiques#
BOYERE : Modélisation des chocs et du frottement en analyse transitoire par recombinaison modale. Documentation de référence de Code_Aster R5.06.03. Septembre 2009.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Dans cette modélisation, on utilise l’opérateur DYNA_VIBRA (voir [U4.53.03]) avec la relation DIS_CHOC. Le schéma d’intégration est ADAPT_ORDRE2.
Dans cette modélisation, la force exercée sur la masse \({m}_{2}\) s’annule en \({t}_{2}=0,2s\) .
Caractéristiques du maillage#
Le maillage contient 2 mailles discrètes à un nœud (une pour chaque masse) et 1 maille discrète pour le ressort.
Grandeurs testées et résultats#
Type |
Instant ( \(s\) ) |
Grandeur |
Référence |
Aster |
Différence (%) |
Analytique |
0.02 |
\({x}_{1}\) |
2.0621E-05 |
||
Analytique |
0.02 |
\({x}_{2}\) |
0.11221 |
0.11221 |
0 |
Analytique |
0.15 |
\({x}_{1}\) |
1.35332 |
1.35329 |
-0.002 |
Analytique |
0.15 |
\({x}_{2}\) |
1.80751 |
1.80751 |
0 |
Analytique |
0.34 |
\(\dot{x}{}_{1}\) |
-3.3802E-5 |
||
Analytique |
0.34 |
\({x}_{2}\) |
3.96813 |
3.97012 |
0.05 |
Type |
Grandeur (s) |
Référence |
Aster |
% différence |
Analytique |
\({t}_{1}\) |
0.03512 |
0.03520 |
0.23 |
Analytique |
\({t}_{3}\) |
0.31492 |
0.31500 |
0.03 |
Remarques#
La différence en \(\text{\%}\) n’est pas donnée pour les cas où la valeur de référence vaut 0, mais on observe que la différence absolue est de l’ordre de \({10}^{-5}\) .
Synthèse des résultats#
Ce cas-test montre que les transitions adhérence – glissement et glissement – adhérence sont bien captées.
Il valide par ailleurs la capacité de l’opérateur DYNA_VIBRA à intégrer des problèmes en grands déplacements en translation.