r7.04.04 Critères multi-axiaux d’amorçage en fatigue#
Résumé:
Dans cette note nous proposons une formulation des critères de MATAKE, de DANG VAN et de FATEMI-SOCIE et des critères en formule adaptée au cadre du cumul de dommage sous chargement multiaxial périodique et non périodique . Ces critères sont utilisables dans la commande CALC_FATIGUE.
La première partie de ce document est consacrée aux critères de MATAKE et de DANG VAN adaptés aux chargements multiaxiaux périodiques. Dans cette partie après avoir abordé les notions d’endurance et de cumul de dommage et la forme générale des critères de fatigue, nous décrivons les deux modèles de DANG VAN et de MATAKE (Plan critique) prévus pour réaliser des calculs de cumul de dommage sous chargement multiaxial. On y détaille la définition des différents plans de cisaillement associés aux points de Gauss ou aux nœuds, ainsi que la définition d’une amplitude de chargement à travers le cercle circonscrit au trajet du chargement dans le plan de cisaillement. Enfin les critères disponibles dans Code_Aster sont présentés.
Dans la seconde partie nous proposons une formulation des critères de MATAKE, DANG VAN et FATEMI-SOCIE dans le cadre du cumul de dommage sous chargement multiaxial non périodique. Pour définir un cycle dans le cas amplitude variable, nous réduisons l’historique du chargement à une fonction unidimensionnelle du temps en projetant la pointe du vecteur cisaillement sur un axe, et nous utilisons une méthode de comptage de cycles. Ici nous choisissons la méthode RAINFLOW. Les critères de MATAKE, DANG VAN et FATEMI-SOCIE adaptés au cumul de dommage sous chargement non périodique sont implantés dans Code_Aster .
En plus des critères bien établis, on dispose dans le Code_Aster des critères en formule permettant l’utilisateur de construire de nouveaux critères en fonctions des grandeurs prédéfinis. Ce type de critère est détaillé dans troisième partie de ce document.
Enfin, l’option VMIS_TRESCA permet de calculer la variation maximale, au cours du temps, d’un tenseur de contrainte selon les critères de Von Mises et de Tresca.
Préliminaires#
Dans cette partie nous traitons les notions de limite d’endurance et de cumul de dommage. Nous présentons également la forme générale des critères de fatigue.
Limite d’endurance et le cumul de dommage, cas uniaxial#
Dans le cas uniaxial, la définition rigoureuse du seuil d’endurance est la demi-amplitude (la moitié de la variation) de chargement défini en contrainte en dessous de laquelle la durée de vie est infinie. Toutefois, comme en pratique la durée de vie ne peut jamais être infinie, on définit des limites d’endurance à \({10}^{7}\) , \({10}^{8}\) , etc. cycles de chargement. Il existe une autre façon de voir les choses: puisqu’en pratique la durée de vie infinie n’existe pas, on utilise la notion de cumul de dommage. L’approche par le cumul de dommage consiste à définir une limite en nombre de cycles au delà de laquelle le dommage cumulé est égal à un. Ainsi la limite à \({10}^{7}\) veut dire qu’après \({10}^{7}\) cycles le dommage cumulé est égal à 1.
Critère de fatigue, cas multiaxial#
Dans la littérature un certain nombre de critères ont été proposés pour définir le seuil d’endurance sous chargement cyclique multiaxial. La forme générale de ces critères est:
où \(b\) est le seuil d’endurance en cisaillement simple, \(a\) est une constante positive sans dimension. \({\text{VAR}}_{\text{amplitude}}\) est une certaine définition de la demi-amplitude (la moitié de la variation) du cycle et \({\text{VAR}}_{\text{moyenne}}\) est une variable en liaison avec la contrainte (ou parfois la déformation) ou les contraintes (ou parfois les déformations) moyennes. Différents modèles se distinguent par des définitions différentes de \({\text{VAR}}_{\text{amplitude}}\) et \({\text{VAR}}_{\text{moyenne}}\) .
Pour passer de l’endurance au cumul du dommage , on peut définir une contrainte (ou une déformation) équivalente:
Cette contrainte équivalente nous donne un dommage unitaire sur la courbe de fatigue. Comme le second membre de l’inéquation (4894) correspond au seuil en cisaillement, il faut une courbe de fatigue en cisaillement. Mais les courbes de fatigue en cisaillement sont rares puisque difficiles à obtenir, on essaie donc d’utiliser les courbes de fatigue en traction compression alternée. Pour cela il faut être cohérent au moins au niveau du seuil d’endurance c’est à dire multiplier \({\sigma}_{\text{eq}}\) par une constante de l’ordre de \(\sqrt{3}\) pour pouvoir utiliser la courbe de fatigue en traction. La valeur \(\sqrt{3}\) est la valeur exacte pour un critère du type Mises, expérimentalement ce coefficient est plus petit que \(\sqrt{3}\) .
Définition d’une amplitude de chargement dans le cas multiaxial#
Dans code_aster , il existe deux définitions d’amplitude de chargement dans le cas multiaxial:
\(A\) : rayon (demi diamètre) de la sphère circonscrite au trajet du chargement;
\(B\) : la moitié du maximum de la distance entre deux points quelconques du trajet.
Il est clair que dans le cas d’un chargement se définissant sur une sphère, \(A\) et \(B\) donnent la même amplitude. En revanche, si on prend un trajet (bi-dimensionnel) sous forme d’un triangle équilatéral de coté \(l\) , la définition \(A\) nous donne \(l/\sqrt{3}\) , tandis que la définition \(B\) nous donne \(l/2\) . Pour travailler dans un cadre conservatif nous prenons comme définition de l’amplitude (demi-variation) d’un trajet de chargement le rayon de la sphère (ou cercle pour le cas 2D) circonscrite.
Définition du plan de cisaillement#
En un point \(M\) d’un milieu continu nous exprimons le tenseur des contraintes \(\sigma\) dans un repère orthonormé \((O,x,y,z)\) . A la normale unitaire \(n\) de composantes \(({n}_{x},{n}_{y},{n}_{z})\) dans le repère orthonormé, nous associons le vecteur contrainte \(F=\sigma .n\) de composantes \(({F}_{x},{F}_{y},{F}_{z})\) . Ce vecteur \(F\) peut se décomposer en un vecteur normal à \(n\) et un scalaire porté par \(n\) , soit:
où \(N\) représente la contrainte normale et le vecteur \(\tau\) la contrainte de cisaillement. Dans le repère \((O,x,y,z)\) , les composantes du vecteur \(\tau\) sont notées: \(({\tau}_{x},{\tau}_{y},{\tau}_{z})\) . Le vecteur \(\tau\) se déduit directement de (4896) et de la contrainte normale:
d’où \(\tau =F-F.nn\)
Fig. 423 Représentation des vecteurs de contrainte \(F\) et de contrainte de cisaillement \(\tau\)#
Critères de MATAKE (plan critique) et de DANG VAN#
Ici nous explicitons les critère de MATAKE et de DANG VAN à la fois du point de vue limite d’endurance et du point de vue du cumul de dommage.
Critère de MATAKE#
Dans ce type de critère le calcul des champs de contrainte et de déformation est fait sous l’hypothèse d’élasticité, confer référence [bib1]. Comme il a été dit dans le chapitre 2, dans le cas multiaxial le critère d’endurance s’écrit généralement sous la forme:
Amplitude de chargement : Dans le cas du critère de MATAKE à chaque point de la structure (ou point de Gauss pour un calcul aux éléments finis) pour calculer \({\text{VAR}}_{\text{amplitude}}\) on procède de la façon suivante:
pour chaque plan de normale \(n\) on calcule l’amplitude de cisaillement en déterminant le cercle circonscrit au trajet de cisaillement dans ce plan;
on cherche la normale \(n\ast\) pour laquelle l’amplitude est maximale. Cette amplitude est désignée par \(\Delta \tau (n\mathrm{\ast })\) .
Contrainte moyenne : Pour le calcul de \({\text{VAR}}_{\text{moyenne}}\) on procède de la façon suivante:
sur le plan de normale \(n\ast\) on calcule sur un cycle la contrainte normale maximale désignée par \({N}_{\max}(n\ast )\) .
Le critère d’endurance s’écrit:
\(\frac{\Delta \tau (n\mathrm{\ast })}{2}+a{N}_{\max}(n\mathrm{\ast })\le b\) ,
où \(a\) et \(b\) sont deux constantes positives et \(b\) représente la limite d’endurance en cisaillement simple.
Identification des constantes : pour déterminer les constantes \(a\) et \(b\) il faut utiliser deux essais simples. Deux possibilités existent:
Un essai de cisaillement pur plus un essai de traction compression alterné. Dans ce cas les constantes sont données par: \(b={\tau}_{0}\) \(a=({\tau}_{0}-\frac{{d}_{0}}{2})/\frac{{d}_{0}}{2}\) , où \({\tau}_{0}\) représente la limite d’endurance en cisaillement pur alterné et \({d}_{0}\) la limite d’endurance en traction-compression pure alternée.
Deux essais de traction compression, un alterné et l’autre non. Les constantes sont données par:
\(\begin{array}{}a=\frac{(\Delta {\sigma}_{2}-\Delta {\sigma}_{1})}{(\Delta {\sigma}_{1}-\Delta {\sigma}_{2})-2{\sigma}_{m}},\\ b=\frac{{\sigma}_{m}}{(\Delta {\sigma}_{2}-\Delta {\sigma}_{1})+2{\sigma}_{m}}\times \frac{\Delta {\sigma}_{1}}{2}\end{array}\)
où \(\Delta {\sigma}_{1}\) est l’amplitude de chargement pour le cas alterné et \(\Delta {\sigma}_{2}\) pour le cas où la contrainte moyenne est non nulle.
Critère de DANG VAN#
On suppose que le matériau reste globalement élastique tandis qu’il se plastifie localement. L’hypothèse physique intéressante du modèle est que le matériau s’adapte localement (il devient élastique après être passé par la plasticité) en-dessous de la limite d’endurance, ce qui correspond à la non initiation de fissure. Au-dessus de la limite d’endurance il y a localement accommodation plastique donc initiation de fissure.
Les hypothèses de base de l’interaction micro-macro, Lin-Taylor, permettent d’écrire:
\(\begin{array}{}{\sigma}_{ij}^{\text{Loc}}(t)={\sigma}_{ij}(t)+{\rho}_{ij}(t)\\ {\rho}_{ij}(t)=-2\mu {\varepsilon}_{ij}^{p}(t)\end{array}\)
On désigne la contrainte locale par \({\sigma}_{ij}^{\text{Loc}}(t)\) , la contrainte globale par \({\sigma}_{ij}(t)\) , la contrainte résiduelle locale par \({\rho}_{ij}(t)\) et par \({\varepsilon}_{ij}^{p}(t)\) la déformation plastique locale. Dès qu’il y a adaptation la déformation plastique locale devient constante et donc la contrainte résiduelle locale également.
Critère de plasticité:
En un point du milieu continu (où il y a une répartition des directions cristallographiques aléatoire des grains), on suppose qu’il y a un seul grain qui est plastifié et ce, suivant un seul système de glissement. Ce système de glissement sera celui qui sera le plus favorablement orienté, c’est à dire, le grain dans lequel se produira la plus grande scission (la projection du vecteur cisaillement sur une direction donnée). Le glissement se fait dans les plans de normale \(n=({n}_{1},{n}_{2},{n}_{3})\) et la direction de glissement est définie par le vecteur \(m=({m}_{1},{m}_{2},{m}_{3})\) . Les deux vecteurs \(n\) et \(m\) sont orthogonaux.
La loi de Schmid dit que pour qu’il n’y ait pas de glissement irréversible (déformation plastique) il faut que la scission, ne dépasse pas un certain seuil, soit:
où
\({\tau}^{\text{Loc}}(t)={a}_{ij}{\sigma}_{ij}^{\text{loc}}\text{et}{a}_{ij}=\frac{1}{2}({m}_{i}{n}_{j}+{n}_{i}{m}_{j})\)
Le dessin de la Fig. 424 montre que la valeur maximale de \({\tau}^{\text{Loc}}\) , désignée par \({\tau}_{\max}^{\text{Loc}}\) , s’obtient par la projection orthogonale de \({F}^{\text{Loc}}={\sigma}_{ij}^{\text{Loc}}{n}_{j}\) sur le plan de normale \(n\) . La relation (4901) doit notamment être vérifiée dans le cas où l’on remplace \({\tau}^{\text{Loc}}\) par son majorant \({\tau}_{\max}^{\text{Loc}}\) , celle-ci s’écrit alors:
où \({\tau}_{y}^{\text{Loc}}(t)\) est le seuil de la scission microscopique ou local. \({\tau}_{y}^{\text{Loc}}(t)\) dépend des variables d’écrouissage.
Fig. 424 Projection de \({F}^{\text{Loc}}\) sur le plan de normale \(n\)#
On choisit un écrouissage microscopique du type isotrope linéaire. Cela permet de montrer l’existence d’un domaine d’adaptation [bib2], [bib3].
A l’état adapté par analogie avec la formule:
\({\sigma}_{ij}^{\text{Loc}}(t)={\sigma}_{ij}(t)+{\rho}_{ij}^{\text{*}}\)
on a, si l’on se place dans le plan \((n,m)\) de telle manière que la scission est maximale, la formule suivante:
\({\tau}_{\max}^{\text{Loc}}(n,t)=\tau (n,t)+{\tau}^{\text{*}}(n)\)
où \(\tau (n,t)\) est le vecteur cisaillement macroscopique défini dans la Fig. 425 et où \({\tau}^{\text{*}}(n)\) est le vecteur cisaillement résiduel microscopique (indépendant du temps puisque nous sommes à l’état adapté).
Critère de fatigue
Introduction de la pressionmaximale: DANG VAN utilise à la place de la contrainte normale sur un plan, comme cela est fait dans le modèle MATAKE, la pression hydrostatique maximale sur un cycle. Le critère s’écrit donc:
\(\underset{n,t}{\text{MAX}}(\mid {\tau}_{\max}^{\text{Loc}}(n,t)\mid +a{P}_{\max}^{\text{Loc}})\le b\)
Comme les pressions hydrostatiques locale et globale sont identiques le critère devient:
\(\underset{n,t}{\text{MAX}}(\mid {\tau}_{\max}^{\text{Loc}}(n,t)\mid +a{P}_{\max})\le b\)
Pour une pression maximale positive nous avons:
\(\underset{n,t}{\text{MAX}}(\mid {\tau}_{\max}^{\text{Loc}}(n,t)\mid )+a{P}_{\max}\le b\)
Pour une pression toujours négative on peut prendre \({P}_{\max}=0\) pour rester conservatif.
Hypothèse sur \({\tau}^{\text{*}}(n)\)
Dans le cas radial où la direction du cisaillement maximal est définie à l’avance on peut calculer de façon exacte \({\tau}^{\text{*}}(n)\) . Dans le cas général DANG VAN propose la méthode suivante pour faire un calcul simplifié de \({\tau}^{\text{*}}(n)\) . On donne pour un plan \(n\) le trajet macroscopique du vecteur cisaillement défini précédemment. Le vecteur cisaillement résiduel compte tenu de l’hypothèse précédente est défini par \(\mathit{MO}\) , où \(M\) est le centre du cercle circonscrit au trajet de l’extrémité du vecteur cisaillement dans le plan de cisaillement.
Fig. 425 Trajets micro/macro dans le plan de cisaillement#
Formulation Finale: prenant en compte les deux formules:
\({\tau}_{\max}^{\text{Loc}}(n,t)=\tau (n,t)+{\tau}^{\text{*}}(n)\) et \(\underset{n,t}{\text{MAX}}(\mid {\tau}_{\max}^{\text{Loc}}(n,t)\mid )+a{P}_{\max}\le b\)
on se retrouve avec
\(\underset{n,t}{\text{MAX}}(\mid \mathit{MP}\mid )+a{P}_{\max}\le b\)
où \(P\) est un point courant du trajet de cisaillement dans le plan de normale \(n\) .
Identification des constantes : pour déterminer les constantes \(a\) et \(b\) il faut utiliser deux essais simples. Deux possibilités existent:
Un essai de cisaillement pur plus un essai de traction compression alternée . Dans ce cas les constantes sont données par: \(b={\tau}_{0}a=({\tau}_{0}-{d}_{0}/2)/({d}_{0}/3)\) .
Deux essais de traction compression, un alterné et l’autre non . Les constantes sont données par:
\(a=\frac{3}{2}\times \frac{(\Delta {\sigma}_{2}-\Delta {\sigma}_{1})}{(\Delta {\sigma}_{1}-\Delta {\sigma}_{2})-2{\sigma}_{m}}b=\frac{{\sigma}_{m}}{(\Delta {\sigma}_{2}-\Delta {\sigma}_{1})+2{\sigma}_{m}}\times \frac{\Delta {\sigma}_{1}}{2}\) .
avec \(\Delta {\sigma}_{1}\) l’amplitude de chargement pour le cas alterné et \(\Delta {\sigma}_{2}\) pour le cas où la contrainte moyenne est non nulle.
MATAKE et DANG VAN modifiés pour le cumul de dommage#
Les modèles de MATAKE et DANG VAN ont été proposés initialement pour l’étude de la limite d’endurance. Comme la durée de vie infinie n’existe pas on utilise des limites d’endurance à, \({10}^{6}\) , \({10}^{7}\) , \({10}^{n}\) cycles de chargement. Ainsi les critères initiaux de MATAKE et DANG VAN sont présentés comme des critères de dépassement d’un seuil et ne donnent pas un cumul de dommage. L’utilisation, notamment du critère de DANG VAN, dans les industries automobiles est appropriée puisque l’objectif cherché est le non dépassement d’un seuil d’endurance contrairement aux problématiques d’EDF où on souhaite suivre l’endommagement.
Ainsi nous utilisons pour le cumul de dommage une contrainte équivalente de MATAKE ou de DANG VAN définie par:
\(\begin{array}{cc}\text{MATAKE}& {\sigma}_{\text{eq}}=\frac{\Delta \tau }{2}(n\text{*})+a{N}_{\max}(n\text{*}).\\ \text{DANG VAN}& {\sigma}_{\text{eq}}={\text{MAX}}_{n,t}(\mid \mathit{MP}\mid )+{\mathit{aP}}_{\max}\end{array}\)
La prise en compte du traitement de surface est résumé à la prise en compte de l’effet néfaste du pré‑écrouissage sur la durée de vie en déformation contrôlée [bib5]. Dans les modèles de MATAKE et DANG VAN l’effet du pré-écrouissage est pris en compte en multipliant la demi-amplitude de contrainte de cisaillement par un coefficient correctif supérieur à l’unité, noté \({c}_{p}\) :
\(\begin{array}{cc}\text{MATAKE}& {\sigma}_{\text{eq}}={c}_{p}\frac{\Delta \tau }{2}(n\text{*})+a{N}_{\max}(n\text{*}),\\ \text{DANG VAN}& {\sigma}_{\text{eq}}={c}_{p}{\text{MAX}}_{n,t}(\mid \mathit{MP}\mid )+{\mathit{aP}}_{\max}\end{array}\)
Ces contraintes équivalentes sont à utiliser sur une courbe de fatigue en cisaillement. Pour l’utilisation sur une courbe de fatigue en traction compression il faut multiplier ces contraintes équivalentes par un coefficient correctif, noté ici \(\alpha\) :
\(\begin{array}{cc}\text{MATAKE}& {\sigma}_{\text{eq}}=\alpha ({c}_{p}\frac{\Delta \tau }{2}(n\text{*})+a{N}_{\max}(n\text{*})),\\ \text{DANG VAN}& {\sigma}_{\text{eq}}=\alpha ({c}^{p}{\text{MAX}}_{n,t}(\mid \mathit{MP}\mid )+{\mathit{aP}}_{\max})\end{array}\)
Calcul du plan de cisaillement maximal#
Nous utilisons ici la définition du plan de cisaillement introduite à la r7.04.04-definition-plan-cisaillement. Pratiquement, pour nous le point \(M\) du milieu continu sera un point de Gauss.
Expression des contraintes de cisaillement dans le plan \(\Delta\)#
Pour des raisons de symétrie nous faisons varier la normale unitaire \(n\) selon une demi-sphère à l’aide des angles \(\gamma\) et \(\varphi\) , cf. Fig. 426.
Dans le repère \((O,x,y,z)\) , le vecteur normal unitaire \(n\) est défini par:
Nous introduisons un nouveau repère \((O,u,v,n)\) où \(n\) est perpendiculaire au plan de cisaillement \(\Delta\) et où \(u\) et \(v\) sont dans ce plan, cf. Fig. 426. Dans le repère \((O,x,y,z)\) les vecteurs unitaires \(u\) et \(v\) sont respectivement définis par:
Fig. 426 Repérage de la normale \(n\) à un plan par les angles \(\gamma\) et \(\varphi\)#
Dans le plan \(\Delta\) , les composantes \({\tau}_{u}\) et \({\tau}_{v}\) du vecteur \(\tau\) représentant la contrainte de cisaillement sont obtenues par les relations:
Sur la Fig. 427, nous avons représenté les contraintes de cisaillement dans le plan \(\Delta\) ainsi que le repère \((O,u,v,n)\) .
Fig. 427 Représentation du vecteur contraintes de cisaillement \(\tau\) dans le plan \(\Delta\)#
A présent notre problématique est de déterminer pour chaque point de Gauss ou chaque nœud d’un maillage le plan de normale \(n\) tel que \(\mid \tau \mid\) soit maximal. Pour ce faire nous faisons varier la normale unitaire \(n\) .
Exploration des plans de cisaillement#
La méthode que nous présentons ici est issue de la référence [bib4]. Son principe est le suivant. Comme indiqué dans la r7.04.04-expression-contraintes-cisaillement, pour des raisons de symétrie nous faisons varier la normale unitaire \(n\) selon une demi-sphère à l’aide des angles \(\gamma\) et \(\varphi\) , cf. Fig. 426. La question qui vient immédiatement est quel doit être le pas de variation des angles \(\gamma\) et \(\varphi\) . En effet, il faut trouver un optimum entre la finesse d’exploration et un temps de calcul raisonnable dans la mesure où il est nécessaire de faire cette opération à chaque point de Gauss du maillage. L’auteur de la référence [bib4] propose de diviser la surface de la demi sphère en facettes d’égales surfaces au centre desquelles la normale unitaire \(n\) est positionnée, cf. Fig. 428. En pratique les surfaces ne sont pas strictement égales mais du même ordre de grandeur.
La valeur du pas de variation de \(\gamma\) , \(\Delta \gamma\) vaut 10 degrés. L’angle \(\varphi\) varie selon un pas \(\Delta \varphi\) qui est fonction de l’angle \(\gamma\) . Plus \(\gamma\) est faible ou proche de 180 degrés et plus \(\Delta \varphi\) doit être grand pour conserver une aire de facette à peu près constante. C’est au voisinage de \(\gamma =90°\) que \(\Delta \varphi\) est le plus petit. Le Tableau 88 résume le découpage qui a été retenu.
Avec cette méthode le nombre de facette donc le nombre de vecteurs normaux à explorer est égal à 209 pour une demi sphère.
Fig. 428 Division de la surface de la demi sphère en facettes#
\(\gamma °\) |
\(0°\) |
\(10°\) |
\(20°\) |
\(30°\) |
\(40°\) |
\(50°\) |
\(60°\) |
\(\Delta \Phi °\) |
\(180°\) |
\(60°\) |
\(30°\) |
\(20°\) |
\(15°\) |
\(12,857°\) |
\(11,25°\) |
Nombre de facettes |
1 |
3 |
6 |
9 |
12 |
14 |
16 |
\(\gamma °\) |
\(70°\) |
\(80°\) |
\(90°\) |
\(100°\) |
\(110°\) |
\(120°\) |
\(130°\) |
\(\Delta \Phi °\) |
\(10,588°\) |
\(10°\) |
\(10°\) |
\(10°\) |
\(10,588°\) |
\(11,25°\) |
\(12,857°\) |
Nombre de facettes |
17 |
18 |
18 |
18 |
17 |
16 |
14 |
\(\gamma °\) |
\(140°\) |
\(150°\) |
\(160°\) |
\(170°\) |
\(180°\) |
||
\(\Delta \Phi °\) |
\(15°\) |
\(20°\) |
\(30°\) |
\(60°\) |
\(180°\) |
||
Nombre de facettes |
12 |
9 |
6 |
3 |
1 |
Afin de déterminer le vecteur normal \(n\) qui donnera le plan de cisaillement maximal avec une bonne précision, l’auteur préconise de recourir à quatre affinages successifs supplémentaires. Le premier consiste à explorer huit nouvelles facettes autour du vecteur normal initial, comme l’illustre la Fig. 429.
Fig. 429 Représentation des huit facettes supplémentaires autour de \(n\)#
Dans ce cas \(\Delta \gamma\) est égal à deux degrés et pour \(\gamma \in ]0°,180°[\) , \(\mathrm{\Delta \varphi }=\mathrm{\Delta \gamma }/\sin\gamma\) . Pour les trois derniers affinages, \(\Delta \gamma\) est égal à 1, 0.5 et 0.25 degrés, respectivement.
Cas particulier. Dans le cas où la facette \({F}_{m}\) est perpendiculaire à \(y\) , on considère les six facettes tout autour d’elle situées à \(\gamma =5°\) et définies respectivement par \(\varphi =0°\) , \(\Phi =60°\) , \(\Phi =120°\) , \(\Phi =180°\) , \(\Phi =240°\) et \(\Phi =300°\) , cf. Fig. 430.
Fig. 430 Localisation des facettes explorées lorsque \({F}_{m}\) est normale à \(y\)#
Pour chaque point de Gauss ou chaque nœud nous explorons les 209 vecteurs normaux \(n\) . A chaque vecteur normal est associé une histoire du cisaillement concrétisée par un certain nombre de points situés dans le plan de cisaillement \(\Delta\) d’axes \(u\) et \(v\) . A présent il s’agit de trouver le cercle circonscrit aux points appartenant au plan de cisaillement de manière à en déduire la demi amplitude de cisaillement.
Calcul de la demi-amplitude de cisaillement#
La problématique est donc de trouver le cercle circonscrit à un certain nombre de points situés dans un plan. La demi-amplitude de cisaillement sera égale au rayon du cercle circonscrit.
Présentation générale du calcul du cercle circonscrit#
La méthode que nous utilisons est une méthode exacte qui se décompose en quatre étapes.
Étape 1
Nous encadrons les points et nous déterminons les coordonnées des quatre coins du cadre dans le repère \((0,u,v)\) , et les coordonnées du centre du cadre \(O\) cf. Fig. 431 et Fig. 433. Dans le cas particulier où le cadre se résume à une ligne horizontale ou verticale la demi longueur de la ligne est égale à la demi-amplitude de cisaillement.
Étape 2
L’objectif de la deuxième étape est de sélectionner les deux points les plus éloignés. Afin de ne pas examiner la distance entre toutes les paires de points possibles, nous construisons quatre secteurs, cf. Fig. 431 et Fig. 433. Ces secteurs se situent aux quatre coins du cadre et sont délimités d’une part, par le contour du cadre et d’autre part, par un arc de cercle dont centre est le coin opposé et le rayon le grand côté du cadre qui en fait minore la distance entre les deux points les plus éloignés. Finalement, nous évaluons les distances entre les points des quatre secteurs deux à deux:
distances entre les points du secteur 1 et les points du secteur 2;
distances entre les points du secteur 1 et les points du secteur 3;
distances entre les points du secteur 1 et les points du secteur 4;
distances entre les points du secteur 2 et les points du secteur 3;
distances entre les points du secteur 2 et les points du secteur 4;
distances entre les points du secteur 3 et les points du secteur 4.
Dans le cas particulier où le rapport du petit côté du cadre sur le grand côté est strictement inférieur à \(\sqrt{3/4}\) nous n’évaluons pas les distances entre les points appartenant aux secteurs 1 et 2 ni les distances entre les points des secteurs 3 et 4, cas de l’exemple de la Fig. 431.
Étape 3
Dans la troisième étape nous construisons les domaines 1 et 2 dans lesquels nous chercherons les points qui se trouvent en dehors du cercle circonscrit initial, cf. Étape 4. La constitution des domaines 1 et 2 a pour but de réduire le nombre de points à explorer lors de l’étape 4. Les principes de constructions de ces deux domaines sont les suivants.
A partir des points milieux des deux grands côtés du cadre (\({\text{Omi}}_{1}\) et \({\text{Omi}}_{2}\) , cf. Fig. 432 et Fig. 434 nous traçons un arc de cercle dont le rayon correspond au minorant de la valeur de la demi amplitude de cisaillement et est égal à la demi longueur du grand côté du cadre.
Du centre du cadre \(O\) nous traçons quatre arcs de cercle dont le rayon est également le minorant de la valeur de la demi amplitude de cisaillement.
Si \({O}_{i}\) le centre du cercle circonscrit initial a une composante selon l’axe \(u\) qui le place entre \({\text{Omi}}_{1}\) et \(O\) , alors si il existe un point dont la distance à \({O}_{i}\) est supérieur à \({R}_{i}\) le rayon du cercle circonscrit initial, il ne peut être que dans le domaine 1, cf. Fig. 432.
Fig. 431 Exemple 1, localisation des secteurs# |
Fig. 432 Exemple 1, localisation des domaines# |
Fig. 433 Exemple 2, localisation des secteurs# |
Fig. 434 Exemple 2, localisation des domaines# |
Étape 4
Le but de la quatrième étape est de trouver le cercle circonscrit par la méthode du cercle passant par trois points, cf. r7.04.04-description-methode-cercle. Pour ce faire, nous calculons le point milieu \({O}_{1}\) associé aux deux points les plus éloignés que nous notons \({P}_{1}\) et \({P}_{2}\) , nous en déduisons la valeur d’un premier rayon noté \({R}_{1}\) . En fonction de la position de \({O}_{1}\) par rapport au grand axe du cadre passant en son centre, nous cherchons soit dans le domaine 1, soit dans le domaine 2, s’il y a un point situé à une distance supérieure à la demi distance mesurée entre les deux points les plus éloignés \({P}_{1}\) et \({P}_{2}\) . Notons \({P}_{3}\) un tel point. Si il n’y a pas de point tel que \({P}_{3}\) alors la demi amplitude de cisaillement est égale à \({R}_{1}\) , cf. Fig. 433. En revanche, si \({P}_{3}\) existe nous cherchons les coordonnées du point situé à égale distance de \({P}_{1}\) , \({P}_{2}\) et \({P}_{3}\) ; nous notons ce point \({O}_{2}\) . Nous obtenons ainsi un nouveau rayon, \({R}_{2}\) donc une nouvelle demi amplitude de cisaillement. De nouveau, en fonction de la position de \({O}_{2}\) par rapport au grand axe du cadre passant en son centre, nous cherchons soit dans le domaine 1, soit dans le domaine 2, s’il y a un point situé à une distance supérieure à \({R}_{2}\) de \({O}_{2}\) . Notons \({P}_{4}\) un tel point. Si il n’y a pas de point tel que \({P}_{4}\) alors la demi amplitude de cisaillement est égale à \({R}_{2}\) . En revanche, si \({P}_{4}\) existe nous cherchons le plus petit cercle circonscrit aux quatre points: \({P}_{1}\) , \({P}_{2}\) , \({P}_{3}\) et \({P}_{4}\) en utilisant successivement la méthode du cercle passant par trois points, cf. r7.04.04-description-methode-cercle. Cela nous fournit un nouveau centre \({O}_{3}\) et un nouveau rayon \({R}_{3}\) . Comme précédemment, en fonction de la position de \({O}_{3}\) par rapport au grand axe du cadre passant en son centre, nous cherchons soit dans le domaine 1, soit dans le domaine 2, s’il y a un point situé à une distance supérieure à \({R}_{3}\) de \({O}_{3}\) . Notons \({P}_{5}\) un tel point. Si il n’y a pas de point tel que \({P}_{5}\) alors la demi amplitude de cisaillement est égale à \({R}_{3}\) . En revanche si un point tel que \({P}_{5}\) existe nous avons cinq points, si nous voulons utiliser la méthode précédente, où il n’y a que quatre points en jeu, il est nécessaire d’éliminer un des cinq points. Cela ne peut pas être le dernier: \({P}_{5}\) , donc nous conservons de l’itération précédente les trois points qui ont permis de déterminer \({O}_{3}\) et \({R}_{3}\) , c’est-à-dire le plus petit cercle circonscrit. Supposons que \({P}_{1}\) soit ainsi éliminé. Nous cherchons donc le plus petit cercle circonscrit aux quatre points: \({P}_{2}\) , \({P}_{3}\) , \({P}_{4}\) et \({P}_{5}\) en utilisant successivement la méthode du cercle passant par trois points, cf. r7.04.04-description-methode-cercle. Cela nous fournit un nouveau centre \({O}_{4}\) et un nouveau rayon \({R}_{4}\) . En fonction de la position de \({O}_{4}\) par rapport au grand axe du cadre passant en son centre, nous cherchons soit dans le domaine 1, soit dans le domaine 2, s’il y a un point situé à une distance supérieure à \({R}_{4}\) de \({O}_{4}\) . Si ce n’est pas le cas la demi amplitude de cisaillement est égale à \({R}_{4}\) et le cercle circonscrit a pour centre \({O}_{4}\) , cf. Fig. 436. A l’inverse, si un tel point existe nous refaisons une itération identique à la précédente.
Description de la méthode du cercle passant par trois points#
Dans ce paragraphe nous traiterons le cas général, puis les cas particuliers.
Cas général#
Pour déterminer le cercle circonscrit à trois points \({P}_{0}\) , \({P}_{1}\) et \({P}_{2}\) , cf. Fig. 437, nous procédons en trois étapes.
Fig. 437 Détermination du cercle passant par trois points#
Étape 1
Nous calculons les coordonnées des trois points milieux: \({M}_{0}\) , \({M}_{1}\) et \({M}_{2}\) , cf. Fig. 437.
Étape 2
Nous déterminons les normales passant par les trois points milieux: \({M}_{0}\) , \({M}_{1}\) et \({M}_{2}\) , cf. Fig. 437. Ces normales sont des droites du type \(v=au+b\) où \(a\) et \(b\) sont des constantes qu’il est possible de calculer avec les coordonnées des points \({P}_{0}\) , \({P}_{1}\) , \({P}_{2}\) , \({M}_{0}\) , \({M}_{1}\) et \({M}_{2}\) . Décrivons, à présent, la manière de déterminer ces normales.
1) Normale au segment \({P}_{0}\) \({P}_{1}\) passant par \({M}_{1}\)
Nous déterminons les coordonnées d’un point \({M}_{1}^{'}\) par rotation de 90° du segment \({P}_{0}\) \({M}_{1}\) :
où \({U}_{k}\) et \({V}_{k}\) avec \(k=M{1}^{'},\mathit{M1},\mathit{P0}\) représentent les composantes \(u\) et \(v\) des points \({M}_{1}^{'}\) , \({M}_{1}\) et \({P}_{0}\) . Nous en déduisons les constantes \({a}_{0}\) et \({b}_{0}\) de la droite représentant la normale au segment \({P}_{0}\) \({P}_{1}\) passant par \({M}_{1}\) :
Dans le cas particulier où \(({U}_{\mathit{M1}'}-{U}_{\mathit{M1}})=0\) , nous forçons \({a}_{0}\) et \({b}_{0}\) à zéro et nous obtenons les coordonnées du centre \(O\) du cercle circonscrit aux points \({P}_{0}\) , \({P}_{1}\) et \({P}_{2}\) par une méthode spécifique décrite dans la r7.04.04-cas-particuliers.
2) Normale au segment \({P}_{0}\) \({P}_{2}\) passant par \({M}_{0}\)
Nous déterminons les coordonnées d’un point \(\mathit{M0}'\) par rotation de 90° du segment \({P}_{0}\) \({M}_{0}\) :
où \({U}_{k}\) et \({V}_{k}\) avec \(k=\mathit{M0}',\mathit{M0},\mathit{P0}\) représentent les composantes \(u\) et \(v\) des points \(\mathit{M0}'\) , \({M}_{0}\) et \({P}_{0}\) . Nous en déduisons les constantes \({a}_{1}\) et \({b}_{1}\) de la droite représentant la normale au segment \({P}_{0}\) \({P}_{2}\) passant par \({M}_{0}\) :
Dans le cas particulier où \(({U}_{\mathit{M0}'}-{U}_{\mathit{M0}})=0\) , nous forçons \({a}_{1}\) et \({b}_{1}\) à zéro et nous obtenons les coordonnées du centre \(O\) du cercle circonscrit aux points \({P}_{0}\) , \({P}_{1}\) et \({P}_{2}\) par une méthode spécifique décrite dans la r7.04.04-cas-particuliers.
3) Normale au segment \({P}_{1}\) \({P}_{2}\) passant par \({M}_{2}\)
Nous déterminons les coordonnées d’un point \({M}_{2}^{'}\) par rotation de 90° du segment \({P}_{1}\) \({M}_{2}\) :
où \({U}_{k}\) et \({V}_{k}\) avec \(k=\mathit{M2}',\mathit{M2},\mathit{P1}\) représentent les composantes \(u\) et \(v\) des points \({M}_{2}^{'}\) , \({M}_{2}\) et \({P}_{1}\) . Nous en déduisons les constantes \({a}_{2}\) et \({b}_{2}\) de la droite représentant la normale au segment \({P}_{1}\) \({P}_{2}\) passant par \({M}_{2}\) :
Dans le cas particulier où \(({U}_{\mathit{M2}'}-{U}_{\mathit{M2}})=0\) , nous forçons \({a}_{2}\) et \({b}_{2}\) à zéro et nous obtenons les coordonnées du centre \(O\) du cercle circonscrit aux points \({P}_{0}\) , \({P}_{1}\) et \({P}_{2}\) par une méthode spécifique décrite dans la r7.04.04-cas-particuliers.
Étape 3
Dans le cas général, nous déduisons des constantes \({a}_{0}\) , \({b}_{0}\) , \({a}_{1}\) , \({b}_{1}\) , \({a}_{2}\) et \({b}_{2}\) les coordonnées du centre \(O\) du cercle circonscrit aux points \({P}_{0}\) , \({P}_{1}\) et \({P}_{2}\) de trois manière différentes. Notons \({O}_{0}\) , \({O}_{1}\) et \({O}_{2}\) le même centre \(O\) , obtenu de trois façons différentes, et \({U}_{k}\) et \({V}_{k}\) , où \(k={O}_{0},{O}_{1},{O}_{2}\) , représentent les composantes \(u\) et \(v\) des points \({O}_{0}\) , \({O}_{1}\) et \({O}_{2}\) :
Après avoir vérifié que les égalités: \({U}_{{O}_{0}}\equiv {U}_{{O}_{1}}{U}_{{O}_{2}}\) et \({V}_{{O}_{0}}\equiv {V}_{{O}_{1}}{V}_{{O}_{2}}\) sont satisfaites nous déterminons le rayon du cercle circonscrit en calculant la distance entre \(O\) et un des trois points \({P}_{0}\) , \({P}_{1}\) ou \({P}_{2}\) .
Cas particuliers#
Dans ce paragraphe nous traitons les trois cas particuliers de l’étape 2 de la r7.04.04-cas-general.
Cas particulier où \(({U}_{M{1}^{'}}-{U}_{\mathrm{M1}})=0\)
Dans ce cas nous obtenons immédiatement les composantes \(u\) et \(v\) du centre \(O\) par:
Cas particulier où \(({U}_{M{0}^{'}}-{U}_{\mathrm{M0}})=0\)
Ici les composantes \(u\) et \(v\) du centre \(O\) sont données par:
Cas particulier où \(({U}_{M{2}^{'}}-{U}_{\mathrm{M2}})=0\)
Dans ce dernier cas, les \(u\) et \(v\) du centre \(O\) sont données par:
La valeur du rayon du cercle circonscrit est obtenue de la même manière que dans le cas général ; c’est-à-dire, en calculant la distance entre \(O\) et un des trois points \({P}_{0}\) , \({P}_{1}\) ou \({P}_{2}\) .
Critères avec plans critiques#
Dans ce paragraphe nous donnons la liste des critères avec plans critiques, cf. [bib3], qui sont programmés ainsi qu’un descriptif succinct.
Notation:
\(n\ast\) |
normale au plan dans lequel l’amplitude de cisaillement est maximale; |
\(\Delta \tau (n)\) |
amplitude de cisaillement dans un plan de normale \(\overrightarrow{n}\) ; |
\({N}_{\max}(n)\) |
contrainte normale maximale sur le plan de normale \(\overrightarrow{n}\) au cours du cycle; |
\({\tau}_{0}\) |
limite d’endurance en cisaillement pur alterné; |
\({d}_{0}\) |
limite d’endurance en traction-compression pure alternée; |
\({N}_{m}(n)\) |
contrainte normale moyenne sur le plan de normale \(\overrightarrow{n}\) au cours du cycle; |
\({\varepsilon}_{\max}(n)\) |
déformation normale maximale sur le plan de normale \(\overrightarrow{n}\) au cours du cycle; |
\({\varepsilon}_{m}(n)\) |
déformation normale moyenne sur le plan de normale \(\overrightarrow{n}\) au cours du cycle; |
\(P\) |
pression hydrostatique; |
\({c}_{p}\) |
effet néfaste du pré-écrouissage en déformation contrôlée, \({c}_{p}\ge 1\) . |
Critère de MATAKE
où \(a\) et \(b\) sont deux constantes données par l’utilisateur, elles dépendent des caractéristiques matériaux et valent:
\(a=({\tau}_{0}-\frac{{d}_{0}}{2})/\frac{{d}_{0}}{2}b={\tau}_{0}.\)
En outre, nous définissons une contrainte équivalente au sens de MATAKE, notée \({\sigma}_{\text{eq}}(n\mathrm{\ast })\) :
\({\sigma}_{\text{eq}}(n\mathrm{\ast })=({c}_{p}\frac{\Delta \tau (n\mathrm{\ast })}{2}+a{N}_{\max}(n\mathrm{\ast }))\frac{f}{t},\)
où \(f/t\) représente le rapport des limites d’endurance en flexion et torsion alternées.
Critère de DANG VAN
où \(a\) et \(b\) sont deux constantes données par l’utilisateur, elles dépendent des caractéristiques matériaux et valent:
\(a=\frac{3}{2}\times \frac{(\Delta {\sigma}_{2}-\Delta {\sigma}_{1})}{(\Delta {\sigma}_{1}-\Delta {\sigma}_{2})-2{\sigma}_{m}}b=\frac{{\sigma}_{m}}{(\Delta {\sigma}_{2}-\Delta {\sigma}_{1})+2{\sigma}_{m}}\times \frac{\Delta {\sigma}_{1}}{2}.\)
De plus, nous définissons une contrainte équivalente au sens de DANG VAN, notée \({\sigma}_{\text{eq}}(n\mathrm{\ast })\) :
\({\sigma}_{\text{eq}}(n\mathrm{\ast })=({c}_{p}\frac{\Delta \tau (n\mathrm{\ast })}{2}+aP)\frac{c}{t}\) ,
où \(c/t\) représente le rapport des limites d’endurance en cisaillement et traction alternés.
Nombre de cycles à la rupture et endommagement#
A partir de \({\sigma}_{\text{eq}}(n\mathrm{\ast })\) et d’une courbe de Wöhler nous déduisons le nombre de cycles à la rupture: \(N(n\mathrm{\ast })\) , puis l’endommagement correspondant à un cycle: \(D(n\mathrm{\ast })=1/N(n\mathrm{\ast })\) .
Critères à amplitude variable#
Les critères à amplitude variable sont mis en œuvre lorsque le chargement n’est pas périodique. Quand le chargement n’est pas périodique il est nécessaire de décomposer le trajet de chargement subi par la structure en sous-cycles élémentaires à l’aide d’une méthode de comptage de cycles. Dans le cas où le chargement est non radial il n’y a pas de méthode de comptage multiaxiale éprouvée. En conséquence nous choisissons, comme dans la littérature, d’utiliser la méthode de comptage RAINFLOW [bib7] qui a besoin en entrée d’un scalaire. C’est pourquoi nous réduisons à une dimension la scission, qui est la projection orthogonale du vecteur contrainte sur un plan, en projetant la pointe du vecteur scission sur un ou deux axes. Une autre différence importante avec les critères à plan critique est que ce n’est pas l’amplitude de cisaillement qui permet de sélectionner le plan critique mais le cumul de dommage qui résulte des sous-cycles élémentaires.
La méthode de projection que nous utilisons est explicitée dans les chapitres 7 et 8. Dans la suite nous décrivons la façon dont nous avons fait évoluer les critères de MATAKE et de DANG VAN pour les adapter aux cas où le chargement est non périodique.
Critère de MATAKE modifié#
Dans le contexte du cumul de dommage et d’un chargement périodique, le critère de MATAKE [bib6], s’écrit de la façon suivante:
où \({\sigma}_{\text{eq}}\) représente la contrainte équivalente au sens du critère de MATAKE et avec:
\({\overrightarrow{n}}^{\text{*}}\) |
normale au plan pour lequel l’amplitude de cisaillement est maximale; |
\(\Delta \tau ({\overrightarrow{n}}^{\text{*}})/2\) |
demi-amplitude de cisaillement maximale; |
\(a\) |
constante qui peut-être définie par un essai en cisaillement pur alterné et en traction‑compression alternée ou par un essai en traction-compression alternée et en traction-compression non alternée; |
\({N}_{\max}({\overrightarrow{n}}^{\text{*}})\) |
contrainte normale maximale sur le plan de normale \({\overrightarrow{n}}^{\text{*}}\) au cours du cycle; |
\({c}_{p}\) |
effet néfaste du pré-écrouissage en déformation contrôlée \({c}_{p}\ge 1\) . |
Pour calculer le dommage cumulé dans le cas où le chargement est non périodique la première étape consiste à déterminer la scission (vecteur cisaillement) dans un plan de normale \(\overrightarrow{n}\) à tous les instants du chargement. La technique qui est utilisée pour ce faire est décrite dans la référence [bib6]. Dans la seconde étape nous commençons par réduire l’historique de la scission à une fonction unidimensionnelle du temps en projetant la pointe du vecteur scission sur un ou deux axes définis dans le plan de normale \(\overrightarrow{n}\) considéré, cf. chapitre 7 et 8. Ainsi l’évolution de la scission projetée se résume à la relation: \({\tau}_{p}=f(t)\) ce qui permet d’utiliser la méthode de comptage RAINFLOW. Sur la Fig. 438 nous montrons les valeurs atteintes par l’extrémité du vecteur cisaillement dans un plan de normale \(\overrightarrow{n}\) avant projection sur un axe ou deux axes et sur la Fig. 439 ces mêmes valeurs après projection sur un axe. À ce stade il nous faut introduire la notion de contrainte équivalente élémentaire \({\sigma}_{\text{eq}}^{i}\) . Pratiquement cette notion a la même signification que la notion de contrainte équivalente définie par la relation (4600), mais elle s’applique aux sous-cycles élémentaires issus de la méthode de comptage RAINFLOW. Donc à partir de la scission projetée \({\tau}_{p}\) nous calculons des contraintes équivalentes élémentaires \({\sigma}_{\text{eq}}^{i}\) .
Fig. 438 Pointes du vecteur cission avant projection#
Fig. 439 Pointes du vecteur cission après projection sur un axe#
La méthode RAINFLOW décompose \({\tau}_{p}=f(t)\) en sous-cycles élémentaires périodiques et brise l’historique du chargement, comme nous le montrons sur la Fig. 440. Ainsi, pour une normale \(\overrightarrow{n}\) donnée la méthode RAINFLOW fournit pour chaque sous-cycle élémentaire deux valeurs, points haut et bas, de la pointe du vecteur cission \({\tau}_{{p}_{1}}^{i}(\overrightarrow{n})\) et \({\tau}_{{p}_{2}}^{i}(\overrightarrow{n})\) associées à deux valeurs de contrainte normale maximale \({N}_{1}^{i}(\overrightarrow{n})\) et \({N}_{2}^{i}(\overrightarrow{n})\) .
Fig. 440 Les quinze sous-cycles élémentaires après traitement par la méthode RAINFLOW#
Pour le critère de MATAKE nous définissons la contrainte équivalente élémentaire de la manière suivante:
Pour le cumul de dommage, cette contrainte équivalente élémentaire est à utiliser avec une courbe de fatigue en cisaillement. Si on utilise une courbe de fatigue en traction compression il faut multiplier (4601) par un coefficient correctif qui correspond au rapport des limites d’endurance en flexion et en torsion alternée et que nous notons \(\alpha\) :
A partir de \({\sigma}_{\text{eq}}^{i}(\overrightarrow{n})\) et d’une courbe de Wöhler nous déduisons le nombre de cycles à la rupture \({N}^{i}(\overrightarrow{n})\) et le dommage élémentaire \({D}^{i}(\overrightarrow{n})=1/{N}^{i}(\overrightarrow{n})\) correspondant à un sous-cycle élémentaire. Nous utilisons un cumul de dommage linéaire. Soit \(k\) le nombre de sous-cycles élémentaires, pour une normale \(\overrightarrow{n}\) fixée, le dommage cumulé est égal à:
Pour déterminer le vecteur normal \({\overrightarrow{n}}^{\mathrm{\ast }}\) correspondant au dommage cumulé maximal il suffit de faire varier \(\overrightarrow{n}\) et de calculer (4603). Le vecteur normal \({\overrightarrow{n}}^{\mathrm{\ast }}\) correspondant au dommage cumulé maximal est alors donné par:
\(D({\overrightarrow{n}}^{\text{*}})=\underset{\overrightarrow{n}}{\text{Max}}(D(\overrightarrow{n}))\)
Critère de DANG VAN modifié#
Dans le cadre de l’endommagement et d’un chargement périodique, le critère de DANG VAN s’écrit:
\({\sigma}_{\text{eq}}({\overrightarrow{n}}^{\text{*}})={c}_{p}\frac{\Delta \tau ({\overrightarrow{n}}^{\text{*}})}{2}+aP\)
où \({\sigma}_{\text{eq}}\) représente la contrainte équivalente au sens du critère de DANG VAN et avec:
\({\overrightarrow{n}}^{\text{*}}\) |
normale au plan pour lequel l’amplitude de cisaillement est maximale; |
\(\Delta \tau ({\overrightarrow{n}}^{\text{*}})/2\) |
demi-amplitude de cisaillement maximale; |
\(a\) |
constante qui peut-être définie par un essai en cisaillement pur alterné et en traction‑compression alternée ou par un essai en traction-compression alternée et en traction-compression non alternée; |
\(P\) |
pression hydrostatique maximale au cours du cycle; |
\({c}_{p}\) |
effet néfaste du pré-écrouissage en déformation contrôlée \({c}_{p}\ge 1\) . |
Lorsque le chargement est non périodique, nous calculons l’endommagement par le même procédé que celui utilisé pour le critère de MATAKE. La seule différence réside dans la définition de la contrainte équivalente élémentaire:
où \({P}_{1}^{i}\) et \({P}_{2}^{i}\) représentent les deux valeurs de la pression hydrostatique attachées à chaque sous‑cycle élémentaire. Cette contrainte équivalente élémentaire est à utiliser avec une courbe de fatigue en cisaillement. Si l’on doit employer une courbe de fatigue en traction compression il est nécessaire de multiplier (4604) par le coefficient correctif \(\alpha\) :
\({\sigma}_{\text{eq}}^{i}(\overrightarrow{n})=\alpha ({c}_{p}\frac{\text{Max}({\tau}_{{p}_{1}}^{i}(\overrightarrow{n}),{\tau}_{{p}_{2}}^{i}(\overrightarrow{n}))-\text{Min}({\tau}_{{p}_{1}}^{i}(\overrightarrow{n}),{\tau}_{{p}_{2}}^{i}(\overrightarrow{n}))}{2}+a\text{Max}({P}_{1}^{i}(\overrightarrow{n}),{P}_{2}^{i}(\overrightarrow{n}),0))\)
Après avoir défini les critères de MATAKE et de DANG-VAN dans le cadre du cumul de dommage et d’un chargement non périodique, il nous reste à préciser la technique de projection que nous proposons.
Critère de FATEMI-SOCIE modifié#
Description#
Le critère de FATEMI et SOCIE est un critère de type plan critique [bib9], [bib10]. Initialement formulé pour des chargements périodiques, nous en proposons une version adaptée aux chargements non périodiques.
Dans ce critère le paramètre \(a\) est défini comme suit : \(a=k/{\sigma}_{y}\) où \({\sigma}_{y}\) est la limite d’élasticité et \(k\) un coefficient qui dépend du matériau. Nous reviendrons sur la façon de calculer \(k\) . Ce critère mêle le cisaillement en déformation et la contrainte normale maximale. Nous proposons de définir une déformation équivalente «élémentaire» de la manière suivante:
\({\varepsilon}_{\text{eq}}^{i}(\overrightarrow{n})=\alpha ({c}_{p}\frac{\text{Max}({\gamma}_{{p}_{1}}^{i}(\overrightarrow{n}),{\gamma}_{{p}_{2}}^{i}(\overrightarrow{n}))-\text{Min}({\gamma}_{{p}_{1}}^{i}(\overrightarrow{n}),{\gamma}_{{p}_{2}}^{i}(\overrightarrow{n}))}{2}\left[1+a\text{Max}({N}_{{1}_{}}^{i}(\overrightarrow{n}),{N}_{{2}_{}}^{i}(\overrightarrow{n}),0)\right])\)
où \({\gamma}_{{p}_{1}}^{i}\) et \({\gamma}_{{p}_{2}}^{i}\) représentent les déformations de cisaillement extrêmes du sous-cycle numéro \(i\) .
Hormis une définition différente du critère, la démarche utilisée pour calculer le dommage est identique aux deux critères précédents. Enfin, c’est également le dommage maximum qui permet de sélectionner le plan critique.
On notera que les déformations de cisaillement utilisées dans le critère de FATEMI et de SOCIE sont des distorsions \({\gamma}_{ij}\) (\(i\ne j\) ) *. Si on utilise les déformations de cisaillement du type tensoriel* \({ϵ}_{ij}\) (\(i\ne j\) ) , il faut les multiplier par un facteur 2 car \({\gamma}_{ij}=2{ϵ}_{ij}\) .
Identification du coefficient k#
L’auteur propose d’identifier le coefficient \(k\) à partir d’essais en traction-compression pure et en torsion alternée pure sur un tube mince [bib9], [bib10]. Afin de ne pas introduire de biais, les deux sortes d’essais doivent être réalisées sur le même type d’éprouvette. Avant de présenter la formule qui définit \(k\) nous introduisons les notations suivantes:
\(\nu\) |
coefficient de Poisson, (vaut généralement \(0,3\) pour nos matériaux) ; |
\({\nu}_{p}\) |
coefficient de d’incompressibilité des déformations plastiques (vaut \(0,5\) dans [bib9] et [bib10]) ; |
\(E\) |
Module d’élasticité de Young; |
\(G\) |
Module de cisaillement élastique; |
\({N}_{f}\) |
Nombre de cycles à la rupture. |
Contrairement aux deux critères précédents celui-ci peut traiter les cas où il subsiste des zones élastoplastiques dans la structure. Le coefficient \(k\) est défini par la relation suivante:
\(k=\left[\frac{\frac{{\tau}_{f}^{'}}{G}{({\mathrm{2N}}_{f})}^{{b}_{o}}+{\gamma}_{f}^{'}{({\mathrm{2N}}_{f})}^{{c}_{o}}}{(1+\nu )\frac{{\sigma}_{f}^{'}}{E}{({\mathrm{2N}}_{f})}^{b}+(1+{\nu}_{p}){\varepsilon}_{f}^{'}{({\mathrm{2N}}_{f})}^{c}}-1\right]\frac{{k}^{'}{(0,002)}^{n'}}{{\sigma}_{f}^{'}{({\mathrm{2N}}_{f})}^{b}}\)
où les termes: \({\tau}_{f}^{'}\) , \({b}_{o}\) , \({\gamma}_{f}^{'}\) , \({c}_{o}\) , \({\sigma}_{f}^{'}\) , \(b\) , \({\varepsilon}_{f}^{'}\) , \(c\) , \(k'\) et \(n'\) sont définis par le truchement d’essais.
Essais en traction-compression pure
Les essais en traction-compression pure permettent d’identifier les coefficients: \({\sigma}_{f}^{'}\) , \(b\) , \({\varepsilon}_{f}^{'}\) , \(c\) , \(k'\) et \(n'\) . |
|
||
|
|
||
\({\varepsilon}_{a}=\frac{\Delta \varepsilon }{2}=\frac{{\sigma}_{f}^{'}}{E}{({\mathrm{2N}}_{f})}^{b}+{\varepsilon}_{f}^{'}{({\mathrm{2N}}_{f})}^{c}\) |
|||
|
Les courbes ci-contre utilisent des échelles Log-Log. |
||
Essais en torsion alternée pure
Les essais en torsion alternée pure permettent d’identifier les coefficients: \({\tau}_{f}^{'}\) , \({b}_{o}\) , \({\gamma}_{f}^{'}\) , \({c}_{o}\) . |
|
|
|
\({\gamma}_{a}=\frac{\Delta \gamma }{2}=\frac{{\tau}_{f}^{'}}{G}{({\mathrm{2n}}_{f})}^{{b}_{0}}+{\gamma}_{f}^{'}{({\mathrm{2N}}_{f})}^{{c}_{0}}\) |
|
Choix des axes de projection#
En ce qui concerne la projection de l’extrémité du vecteur cission nous proposons deux options:
une projection sur un axe,
une projection sur deux axes.
L’axe de l’option 1 est déterminé de la même façon que le premier axe de l’option 2. Le second axe de l’option 2 est orthogonal au premier axe de cette option.
Projection sur un axe#
Nous nous plaçons dans un plan de normale \(\overrightarrow{n}\) donnée où chaque point représente la position de la pointe du vecteur cisaillement à un instant, pour plus de détails voir la référence [bib6]. Dans ce plan nous construisons le plus petit cadre qui contient tous les points représentant l’extrémité du vecteur cission à chaque instant. Les deux diagonales du cadre nous permettent de définir deux axes: l’axe 1 correspond au segment \(\overline{\text{AC}}\) , et l’axe 2 correspond au segment \(\overline{\text{DB}}\) , cf. Fig. 441.
Fig. 441 Définition des axes de projection#
Nous choisissons a priori l’axe de projection parmi les axes 1 et 2 parce que la diagonale du cadre est plus grande que le grand côté du cadre ce qui a pour vertu de dilater un peu les points projetés. D’autre part les chargements qui nous intéressent sont d’origine thermique ce qui fait que les points représentant l’évolution de la pointe du vecteur cission, dans les plans de normale \(\overrightarrow{n}\) , sont le plus souvent alignées sur un axe, comme nous le montrons sur la Fig. 438.
Les secteurs 1, 2, 3 et 4 sont construits de la même manière que dans la référence [bib6]. Seuls les points qui se trouvent dans ces secteurs sont projetés orthogonalement sur les axes 1 et 2.
Nous définissons l’axe de projection comme étant l’axe sur lequel la distance entre deux points projetés est la plus grande.
Par exemple, sur la Fig. 441 l’axe de projection est l’axe 1 puisque la longueur du segment \(\overline{{P}_{3}{P}_{4}}\) est supérieure à la longueur du segment \(\overline{{P}_{1}{P}_{2}}\) . Cette définition de l’axe de projection permet de s’assurer que l’axe de projection retenu permettra de rendre compte de l’amplitude de cisaillement projetée la plus grande.
En fonction de la présence ou de l’absence de points dans les secteurs 1, 2, 3 et 4 la détermination de l’axe de projection peut être immédiate, il n’est alors pas nécessaire de mettre en œuvre la procédure de sélection décrite ci-dessus. Pour plus de détails le lecteur pourra se reporter à l’annexe 1.
Un second axe est nécessaire pour distinguer le cas où les points représentant la pointe du vecteur cission sont alignés sur un axe du cas où ces points décrivent un cercle.
Construction du second axe#
Le second axe de projection est orthogonal à l’axe initial de projection et il passe par le point \(O\) .
Puisque nous connaissons les coordonnées des points \(A\) , \(B\) , \(C\) et \(D\) , pour caractériser complètement le second axe il suffit de déterminer les coordonnées d’un point \(M\) tel que:
\(\overrightarrow{\text{DB}}.\overrightarrow{\text{OM}}=0\) si l’axe initial est l’axe 1,
\(\overrightarrow{\text{AC}}.\overrightarrow{\text{OM}}=0\) si l’axe initial est l’axe 2.
Projection du cisaillement#
Dans ce chapitre nous décrivons le procédé de projection sur l’axe initial, ou premier axe, et le second axe. Nous rappelons que la projection sur ces deux axes est orthogonale.
Cas où l’axe 1 est l’axe initial#
Ce cas est représenté sur la Fig. 442. Plaçons-nous dans le repère \((O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{n})\) . Les définitions de \(\overrightarrow{u}\) , \(\overrightarrow{v}\) et \(\overrightarrow{n}\) sont données dans la référence [bib6]. Dans le plan \((\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})\) de normale \(\overrightarrow{n}\) les points \(A\) , \(B\) , \(C\) , \(D\) et \(O\) ont respectivement, pour coordonnées \(({U}_{\min},{V}_{\max})\) , \(({U}_{\max},{V}_{\max})\) , \(({U}_{\max},{V}_{\min})\) , \(({U}_{\min},{V}_{\min})\) et \(({U}_{O},{V}_{O})\) .
Fig. 442 Projection dans le cas où l’axe 1 est l’axe initial#
Détermination du second axe#
Ici pour déterminer le second axe nous résolvons l’équation:
où les coordonnées \({U}_{M},{V}_{M}\) du point \(M\) sont les inconnues.
L’équation (4605) s’écrit également sous la forme suivante:
\(({U}_{\max}-{U}_{\min})({U}_{M}-{U}_{O})+({V}_{\max}-{V}_{\min})({V}_{M}-{V}_{O})=0\)
ce qui conduit à:
\({V}_{M}={V}_{O}-\frac{({U}_{\max}-{U}_{\min})}{({V}_{\max}-{V}_{\min})}({U}_{M}-{U}_{O})\)
En se donnant une valeur de \({U}_{M}\) différente de \({U}_{O}\) nous obtenons immédiatement \({V}_{M}\) .
Projection d’un point quelconque sur l’axe initial#
A partir d’un point \(P\) quelconque connu, la première étape consiste à calculer les coordonnées d’un point \(P'\) tel que:
\(\overrightarrow{\mathrm{DB}}.\overrightarrow{{\mathrm{PP}}^{'}}=0\)
En procédant comme précédemment, nous obtenons la relation:
\({V}_{{P}^{'}}={V}_{P}\frac{({U}_{\max}-{U}_{\min})}{({V}_{\max}-{V}_{\min})}({U}_{{P}^{'}}-{U}_{P})\)
où \({V}_{{P}^{'}}\) résulte d’une valeur de \({U}_{{P}^{'}}\) différente de \({U}_{P}\) .
Dans le plan \((u,v)\) l’axe initial et le segment \(\stackrel{ˉ}{\mathrm{PP}'}\) sont des droites affines respectivement décrites par \(\nu ={a}_{i}u+{b}_{i}\) et \(\nu ={a}_{P}u+{b}_{P}\) , donc pour connaître les coordonnées du point projeté sur l’axe initial \({P}_{P}\) nous résolvons l’équation:
\({a}_{i}u+{b}_{i}={a}_{P}u+{b}_{P}\)
où
\({a}_{i}=\frac{({V}_{\max}-{V}_{\min})}{({U}_{\max}-{U}_{\min})}\) , |
\({b}_{i}=\frac{({U}_{\max}{V}_{\min}-{U}_{\min}{V}_{\max})}{({U}_{\max}-{U}_{\min})}\) , |
\({a}_{P}=\frac{({V}_{{P}^{'}}-{V}_{P})}{({U}_{{P}^{'}}-{U}_{P})}\) , |
\({b}_{P}=\frac{({U}_{P'}{V}_{P}-{U}_{P}{V}_{P'})}{({U}_{P'}-{U}_{P})}\) . |
On obtient:
\({U}_{{P}_{i}}=\frac{{b}_{p}-{b}_{i}}{{a}_{i}-{a}_{p}}\)
\({V}_{{P}_{i}}=\frac{{a}_{i}{b}_{P}-{a}_{P}{b}_{i}}{{a}_{i}-{a}_{P}}\)
La projection d’un point quelconque sur le second axe est décrite dans l’annexe 2.
Cas où l’axe 2 est l’axe initial#
Ce cas est représenté sur la Fig. 443. Comme précédemment, dans le plan \((\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})\) les points \(A\) , \(B\) , \(C\) , \(D\) et \(O\) ont respectivement, pour coordonnées \(({U}_{min}, {V}_{max})\) , \(({U}_{max}, {V}_{max})\) , \(({U}_{max}, {V}_{min})\) , \(({U}_{min},{V}_{min})\) et \(({U}_{0,}{V}_{0})\) .
Fig. 443 Projection dans le cas où l’axe 2 est l’axe initial#
Détermination du second axe#
Ici pour déterminer le second axe nous résolvons l’équation:
où les coordonnées \(({U}_{M},{V}_{M})\) du point \(M\) sont les inconnues.
L’équation (4606) s’écrit également sous la forme suivante:
\(({U}_{\max}-{U}_{\min})({U}_{\text{M}}-{V}_{\text{O}})({V}_{\max}-{V}_{\min})({V}_{\text{M}}-{V}_{\text{O}})=0\)
ce qui conduit à:
\({V}_{M}={V}_{O}+\frac{({U}_{\max}-{U}_{\min})}{({v}_{\max}-{V}_{\min})}({U}_{M}-{U}_{O})\)
En se donnant une valeur de \({U}_{M}\) différente de \({U}_{O}\) nous obtenons immédiatement \({V}_{M}\).
Projection d’un point quelconque sur l’axe initial#
A partir d’un point \(P\) quelconque connu, la première étape consiste à calculer les coordonnées d’un point \(P'\) tel que:
\(\overrightarrow{\mathrm{AC}}.\overrightarrow{\mathrm{PP}'}=0\)
En procédant comme précédemment, nous obtenons la relation:
\({V}_{P'}={V}_{P}\frac{({U}_{\max}-{U}_{\min})}{({V}_{\max}-{V}_{\min})}({U}_{P'}-{U}_{P})\)
où pour une valeur de \({U}_{P'}\) différente de \({U}_{P}\) nous calculons \({V}_{P'}\) .
Dans le plan \((u,v)\) l’axe initial et le segment \(\stackrel{ˉ}{\mathrm{PP}'}\) sont des droites affines respectivement décrites par \(\nu ={a}_{i}u+{b}_{i}\) et \(\nu ={a}_{p}u+{b}_{p}\) , donc pour connaître les coordonnées du point projeté sur l’axe initial \({P}_{p}\) nous résolvons l’équation:
\({a}_{i}u+{b}_{i}={a}_{p}u+{b}_{p}\)
où
\({a}_{i}=-\frac{({V}_{\max}-{V}_{\min})}{({U}_{\max}-{U}_{\min})}\) , |
\({b}_{i}=\frac{({U}_{\max}{V}_{\max}-{U}_{\min}{V}_{\min})}{({U}_{\max}-{U}_{\min})}\) , |
\({a}_{p}=\frac{({V}_{{P}^{'}}-{V}_{P})}{({U}_{{P}^{'}}-{U}_{P})}\) , |
\({b}_{p}=\frac{({U}_{P'}{V}_{p}-{U}_{P}{V}_{P'})}{({U}_{P'}-{U}_{P})}\) . |
On obtient:
\({U}_{{P}_{i}}=\frac{{b}_{P}-{b}_{i}}{{a}_{i}-{a}_{P}}\) , |
\({V}_{{P}_{i}}=\frac{{a}_{i}{b}_{P}-{a}_{P}{b}_{i}}{{a}_{i}-{a}_{P}}\) . |
La projection d’un point quelconque sur le second axe est décrite dans l’annexe 2.
Définition du module et orientation de l’axe de projection#
Nous proposons de définir le signe du module du point projeté par rapport à l’axe initial. Soit le repère \((O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{n})\) dans lequel évolue la scission. Dans ce repère si la composante \({U}_{{P}_{i}}\) du point projeté est supérieure ou égale à zéro le signe du module est positif, sinon il est négatif. En résumé le module et le signe du module du point projeté sont définis de la manière suivante:
\(\begin{array}{cc}{P}_{\text{mod}}=\sqrt{{\overline{{\text{OP}}_{i}}}^{2}+{\overline{{\text{OP}}_{s}}}^{2}}& \text{si}\quad {U}_{{P}_{i}}\ge 0,\\ {P}_{\text{mod}}=-\sqrt{{\overline{{\text{OP}}_{i}}}^{2}+{\overline{{\text{OP}}_{s}}}^{2}}& \text{si}\quad {U}_{{P}_{i}}<0.\end{array}\)
La définition du module différencie les chargements affines des chargements circulaires. Conformément à l’expérience un chargement circulaire sera considéré comme étant plus endommageant qu’un chargement affine [bib1].
Critères en formule#
Pour le chargement périodique#
Pour le chargement périodique, le calcul du dommage s’effectue seulement sur le premier cycle complet. La première partie de l’histoire du chargement correspondant au chargement monotonique n’est pas prise en compte car celle-ci a pour objectif d’imposer un chargement moyen non nul. Pour le comportement élastique, le calcul est réalisé entre la valeur maximale et la valeur minimale du cycle considéré. Pour le comportement élasto-plastique, le calcul est réalisé entre le premier décharge et le deuxième décharge.
La liste de grandeurs disponibles se trouve ci-dessous:
TYPE_CHARGE= “PERIODIQUE”, CRITERE = “FORMULE_CRITERE”
Les grandeurs disponibles sont:
“DTAUMA”:demi-amplitude de cisaillement en contrainte maximale (\(\Delta \tau (\text{n*})/2\) )
“PHYDRM”:pression hydrostatique (\(P\) )
“NORMAX”:contrainte maximale normale sur le plan de normale (\({N}_{max}(\text{n*})\) )
“NORMOY”:contrainte normale moyenne sur le plan critique (\({N}_{\mathit{moy}}(\text{n*})\) )
“EPNMAX”:déformation normale maximale sur le plan critique (\({\epsilon}_{\mathit{Nmax}}(\text{n*})\))
“EPNMOY”:déformation normale moyenne sur le plan critique (\({\epsilon}_{\mathit{Nmoy}}(\text{n*})\))
“DEPSPE”:demi-amplitude de la déformation plastique équivalente (\(\Delta {\epsilon}_{\mathit{eq}}^{p}/2\)) \(\Delta {\epsilon}_{\mathit{eq}}^{p}/2=\frac{1}{2}{max}_{\mathit{t1}}{max}_{\mathit{t2}}\sqrt{\frac{2}{3}({ϵ}^{p}({t}_{1})-{ϵ}^{p}({t}_{2})):({ϵ}^{p}({t}_{1})-{ϵ}^{p}({t}_{2}))}\)
“EPSPR1”:demi-amplitude de la première déformation principale (avec la prise en compte du signe) \(\frac{{ϵ}_{max}^{1}-{ϵ}_{min}^{1}}{2}\)
“SIGNM1”:contrainte normale maximale sur le plan associé avec \({\epsilon}_{1}\) \({max}_{t}(\sigma (t).{n}_{1}(t).{n}_{1}(t))\) où \({n}_{1}(t)\) est le vecteur normal du plan associé avec \({\epsilon}_{1}\).
“DENDIS”:densité d’énergie dissipée (\({W}_{\mathit{cy}}\)) \({W}_{\mathit{cy}}=\underset{\mathit{cylce}}{\int}\sigma :\dot{{ϵ}^{p}}\mathit{dt}\) où \(\dot{{ϵ}^{p}}\) représente le taux de la déformation plastique.
“DENDIE”:densité d’énergie des distorsions élastiques (\({W}_{e}\)) \({W}_{e}=\underset{\mathit{cylce}}{\int}\langle s:\dot{{e}^{e}}\rangle \mathit{dt}\) où \(s\) représente la partie déviatorique de la contrainte \(\sigma\), \({e}^{e}\) représente la partie déviatorique de la contrainte \({ϵ}^{e}\) et \(\langle x\langle\) donne \(x\) si \(x\ge 0\) et donne 0 si \(x<0\).
“APHYDR”:demi-amplitude de la pression hydrostatique (\({P}_{a}\)) \({P}_{a}=\frac{{P}_{max}-{P}_{min}}{2}\)
“MPHYDR”:pression hydrostatique moyenne (\({P}_{m}\)) \({P}_{m}=\frac{{P}_{max}-{P}_{min}}{2}\)
“DSIGEQ”:demi-amplitude de la contrainte équivalente (\(\Delta {\sigma}_{\mathit{eq}}/2\)) \(\frac{\Delta {\sigma}_{\mathit{eq}}}{2}=\frac{1}{2}{max}_{\mathit{t1}}{max}_{\mathit{t2}}\sqrt{\frac{3}{2}(s({t}_{1})-s({t}_{2})):(s({t}_{1})-s({t}_{2}))}\)
“SIGPR1”:demi-amplitude de la première contrainte principale (avec la prise en du signe) \(\frac{{\sigma}_{max}^{1}-{\sigma}_{min}^{1}}{2}\)
“EPSNM1”:déformation maximale normale sur le plan associé avec \({\sigma}_{1}\) \({max}_{t}(ϵ(t).{n}_{1}(t).{n}_{1}(t))\) où \({n}_{1}(t)\) est le vecteur normal du plan associé avec \({\sigma}_{1}\).
“INVA2S”:demi-amplitude du deuxième invariant de la déformation (\({J}_{2}(\Delta ϵ)\)) \({J}_{2}(\Delta ϵ)=\frac{1}{2}{max}_{\mathit{t1}}{max}_{\mathit{t2}}\sqrt{\frac{2}{3}(e({t}_{1})-e({t}_{2})):(e({t}_{1})-e({t}_{2}))}\)
“DSITRE”:demi-amplitude de la demi-contrainte Tresca (\(({\sigma}_{max}^{\mathit{Tresca}}-{\sigma}_{min}^{\mathit{Tresca}})/4\))
“DEPTRE”: demi-amplitude de la demi-déformation Tresca (\(({ϵ}_{max}^{\mathit{Tresca}}-{ϵ}_{min}^{\mathit{Tresca}})/4\))
“EPSPAC”: déformation plastique accumulé \(p\)
“RAYSPH”: le rayon de la plus petite sphère circonscrite au trajet de chargement dans l’espace des déviateurs des contraintes:math:R. Voir le document [R7.04.01] pour la définition de ce paramètre.
“AMPCIS”: amplitude de cission (\({\tau}_{a}=\frac{1}{2}\underset{0\le {t}_{0}\le T}{\text{Max}}\underset{0\le {t}_{1}\le T}{\text{Max}}\mathrm{\parallel }{\sigma}_{({t}_{1})}^{D}-{\sigma}_{({t}_{0})}^{D}\mathrm{\parallel }\))
“DEPSEE”: demi-amplitude de la déformation élastique équivalente (\(\Delta {\epsilon}_{e}^{p}/2\))
Il existe des grandeurs dépendant de l’orientation du plan qui passes au travers un point de matériel. Pour ces grandeurs, on définit des critères du type de plan critique. Le plan critique est le plan qui rend la valeur maximale d’une formule critique maximum.
“DTAUCR”: demi-amplitude de contrainte cisaillement sur le plan de normal n (\(\Delta \tau (\text{n})/2\) )
“DGAMCR”: demi-amplitude de déformation (d’ingénierie) cisaillement sur le plan de normal n (\(\Delta \gamma (\text{n})/2\) )
“DSINCR”: demi-amplitude de contrainte normale sur le plan de normal n (\(\Delta N(\text{n})/2\) )
“DEPNCR”: demi-amplitude de déformation normale sur le plan de normal n (\(\Delta {ϵ}_{n}(\text{n})/2\) )
“MTAUCR”: contrainte cisaillement maximum sur le plan de normal n (\({\tau}_{max}(\text{n})\) )
“MGAMCR”: déformation (d’ingénierie) cisaillement maximum sur le plan de normal n (\({\gamma}_{max}(\text{n})\) )
“MSINCR”: contrainte normale maximum sur le plan de normal n (\({N}_{max}(\text{n})\) )
“MEPNCR”:déformation normale maximum sur le plan de normal n \({\epsilon}_{\mathit{nmax}}(\text{n})\)
“DGAMPC”: demi-amplitude de déformation plastique (d’ingénierie) cisaillement sur le plan de normal n (\(\Delta {\gamma}^{p}/2\) )
“DEPNPC”:demi-amplitude de déformation plastique normale sur le plan de normal n (\(\Delta {\epsilon}_{e}^{p}/2\) )
“MGAMPC”: déformation plastique (d’ingénierie) cisaillement maximum sur le plan de normal n (\({\gamma}_{max}^{p}(\text{n})\) )
“MEPNPC”: déformation plastique normale maximum sur le plan de normal n \({\epsilon}_{\mathit{nmax}}^{p}(\text{n})\)
On notera qu’il existe deux types de mesure déformation de cisaillement: les distorsions de cisaillement \({\gamma}_{ij}\) (\(i\ne j\) ) et les déformations de cisaillement \({ϵ}_{ij}\) (\(i\ne j\) ). Notons que \({\gamma}_{ij}=2{ϵ}_{ij}\) . Pour “DGAMCR”, “MGAMCR”, “MGAMPC”, on a utilisé les distorsions de cisaillement \({\gamma}_{ij}\) . »
En utilisant au moins l’une des six premières grandeurs,on va implicitement construire le critère du type “plan critique”. Dans ce cas là, on va trouver deux plans différents sur lesquelles le cisaillement est maximal.
On remarque que les noms des grandeurs sont identiques à ceux utilisés dans la programmation. Les opérateurs utilisés dans la formule doivent être conformes à la syntaxe de Python comme indiqué dans la note [U4.31.05].
On note que la grandeur équivalente sortie pour le chargement périodique est sous le nom “SIG1” dans le résultat.
Pour le chargement non-périodique#
La liste de grandeurs disponibles se trouve c-dessous:
TYPE_CHARGE= “NON-PERIODIQUE”, CRITERE = “FORMULE_CRITERE”
Les grandeurs disponibles sont:
“TAUPR_1”: contrainte de cisaillement projetées du premier sommet du sous-cycle (\({\tau}_{\mathit{p1}}(\text{n})\) )
“TAUPR_2”: contrainte de cisaillement projetées du deuxième sommet du sous-cycle (\({\tau}_{\mathit{p2}}(\text{n})\) )
“SIGN_1”: contrainte normale du premier sommet du sous-cycle(\({N}_{1}(\text{n})\) )
“SIGN_2”: contrainte normale du deuxième sommet du sous-cycle (\({N}_{2}(\text{n})\) )
“PHYDR_1”: pression hydrostatique du premier sommet du sous-cycle
“PHYDR_2”: pression hydrostatique du deuxième sommet du sous-cycle
“EPSPR_1”: cisaillement en déformation projetés du premier sommet du sous-cycle (\({\gamma}_{\mathit{p1}}(\text{n})\) )
“EPSPR_2”: cisaillement en déformation projetés du deuxième sommet du sous-cycle (\({\gamma}_{\mathit{p2}}^{i}(\text{n})\) )
“SIPR1_1”:première contrainte principale du premier sommet du sous-cycle (\({\sigma}_{1}(1)\))
“SIPR1_2”:première contrainte principale du deuxième sommet du sous-cycle (\({\sigma}_{1}(2)\))
“EPSN1_1”:déformation normale sur le plan associé avec \({\sigma}_{1}(1)\) du premier sommet du sous-cycle
“EPSN1_2”:déformation normale sur le plan associé avec \({\sigma}_{1}(2)\) du deuxième sommet du sous-cycle
“ETPR1_1”:première déformation totale principale du premier sommet du sous-cycle (\({ϵ}_{1}^{\mathit{tot}}(1)\))
“ETPR1_2”:première déformation totale principale du deuxième sommet du sous-cycle (\({ϵ}_{1}^{\mathit{tot}}(2)\))
“SITN1_1”:contrainte normale sur le plan associé avec \({ϵ}_{1}^{\mathit{tot}}(1)\) du premier sommet du sous-cycle
“SITN1_2”:contrainte normale sur le plan associé avec \({ϵ}_{1}^{\mathit{tot}}(2)\) du deuxième sommet du sous-cycle
“EPPR1_1”:première déformation plastique principale du premier sommet du sous-cycle (\({\epsilon}_{1}^{p}(1)\))
“EPPR1_2”:première déformation plastique principale du deuxième sommet du sous-cycle (\({ϵ}_{1}^{p}(2)\))
“SIPN1_1”:contrainte normale sur le plan associé avec \({ϵ}_{1}^{p}(1)\) du premier sommet du sous-cycle
“SIPN1_2”:contrainte normale sur le plan associé avec \({ϵ}_{1}^{p}(2)\) du deuxième sommet du sous-cycle
“SIGEQ_1”:contrainte équivalente du premier sommet du sous-cycle (\({\sigma}_{\mathit{eq}}(1)\))
“SIGEQ_2”:contrainte équivalente du deuxième sommet du sous-cycle (\({\sigma}_{\mathit{eq}}(2)\))
“ETEQ_1”:déformation totale équivalente du premier sommet du sous-cycle (\({ϵ}_{\mathit{eq}}^{\mathit{tot}}(1)\))
“ETEQ_2”:déformation totale équivalente du deuxième sommet du sous-cycle (\({ϵ}_{\mathit{eq}}^{\mathit{tot}}(2)\)) »
Pour le chargement non-périodique, après avoir extrait les sous-cycles élémentaires avec la méthode RAINFLOW, nous calculons une grandeur équivalente élémentaire par la formule de critère pour tout sous-cycle élémentaire. On note que le sous cycle est représenté par deux états de contrainte ou déformation, notés par le premier et le deuxième sommets du sous-cycle.
En utilisant le critère en formule, on va implicitement construire le critère pour déterminer le plan du dommage maximal avec un cumul linéaire du dommage.
On note que l’utilisation des grandeurs “TAUPR_1” et’TAUPR_2” excluent celle de’EPSPR_1” et’EPSPR_2” car on peut projeter soit la contrainte de cisaillement , soit lecisaillement en déformation. Il n’est pas possible de projeter tous ces deux paramètres simultanément.
On remarque que les noms des grandeurs sont identiques à ceux utilisés dans la programmation. Les opérateurs utilisés dans la formule doit respecter la syntaxe de Python comme indiqué dans la note U4.31.05.
Grandeur et composantes introduites dans Code_Aster#
Calculé par CALC_FATIGUE#
Les valeurs calculées sont stockées aux points de Gauss ou aux nœuds suivant l’option retenue. La grandeur FACY_R (FAtigue CYclique) a été introduite dans le catalogue des grandeurs. Les composantes du champ de cette grandeur, calculé par CALC_FATIGUE [U4.83.02] sont décrites dans les tableaux suivants.
Pour le chargement périodique et les critères du type de plan critique de contrainte de cisaillement maximum (avec DTAUM1 )
DTAUM1 |
première valeur de la demi amplitude max de contrainte cisaillement dans le plan critique |
VNM1X |
composante \(x\) du vecteur normal au plan critique liée à DTAUM1 |
VNM1Y |
composante \(y\) du vecteur normal au plan critique liée à DTAUM1 |
VNM1Z |
composante \(z\) du vecteur normal au plan critique liée à DTAUM1 |
SINMAX1 |
contrainte maximale normale au plan critique correspondant à DTAUM1 |
SINMOY1 |
contrainte moyenne normale au plan critique correspondant àDTAUM1 |
EPNMAX1 |
déformation maximale normale au plan critique correspondant à DTAUM1 |
EPNMOY1 |
déformation maximale moyenne au plan critique correspondant à DTAUM1 |
SIGEQ1 |
Contrainte équivalente au sens du critère sélectionné correspondant à DTAUM1 |
NBRUP1 |
nombre de cycles avant rupture (fonction de SIGEQ1et d’une courbe de Wöhler) |
ENDO1 |
endommagement associé à NBRUP1(ENDO1=1/NBRUP1) |
DTAUM2 |
deuxième valeur de la demi amplitude max du cisaillement dans le plan critique |
VNM2X |
composante \(x\) du vecteur normal au plan critique liée à DTAUM2 |
VNM2Y |
composante \(y\) du vecteur normal au plan critique liée à DTAUM2 |
VNM2Z |
composante \(z\) du vecteur normal au plan critique liée à DTAUM2 |
SINMAX2 |
contrainte maximale normale au plan critique correspondant à DTAUM2 |
SINMOY2 |
contrainte moyenne normale au plan critique correspondant àDTAUM2 |
EPNMAX2 |
déformation maximale normale au plan critique correspondant à DTAUM2 |
EPNMOY2 |
déformation maximale moyenne au plan critique correspondant à DTAUM2 |
SIGEQ2 |
Contrainte équivalente au sens du critère sélectionné correspondant à DTAUM2 |
NBRUP2 |
nombre de cycles avant rupture (fonction de SIGEQ2et d’une courbe de Wöhler) |
ENDO2 |
endommagement associe à NBRUP2(ENDO2=1/NBRUP2) |
Pour le chargement périodique et les critères du type de plan critique avec le mot-clé FORMULE_CRITIQUE
VNM1X |
Composante \(x\) du vecteur normal au plan critique qui maximise la formule critique |
VNM1Y |
Composante \(y\) du vecteur normal au plan critique qui maximise la formule critique |
VNM1Z |
Composante \(z\) du vecteur normal au plan critique qui maximise la formule critique |
SIGEQ1 |
Contrainte équivalente au sens du critère sélectionné au plan critique qui maximise la formule critique |
NBRUP1 |
Nombre de cycles avant rupture |
ENDO1 |
Endommagement associé à NBRUP1(ENDO1=1/NBRUP1) |
Pour le chargement non-périodique et les critères du type de plan critique du dommage maximum
VNM1X |
Composante \(x\) du vecteur normal au plan critique liée au dommage max |
VNM1Y |
Composante \(y\) du vecteur normal au plan critique liée au dommage max |
VNM1Z |
Composante \(z\) du vecteur normal au plan critique liée au dommage max |
ENDO1 |
Endommagement associé au bloc du de chargement |
VNM2X |
Composante \(x\) du vecteur normal au plan critique liée au dommage max |
VNM2Y |
Composante \(y\) du vecteur normal au plan critique liée au dommage max |
VNM2Z |
Composante \(z\) du vecteur normal au plan critique liée au dommage max |
Pour le chargement non-périodique, s’il existe un seul plan critique du dommage maximum, VNM2X, VNM2Y, VNM2Zsont identiques aux VNM1X, VNM1Y, VNM1Z. Si plusieurs plans existent, on émet une alarme et on sort les deux premiers plans.
Calculé par POST_FATIGUE#
Les valeurs calculées sont stockées aux points de Gauss ou aux nœuds suivant l’option retenue. La grandeur FACY_R (FAtigue CYclique) a été introduite dans le catalogue des grandeurs.
Les composantes calculées par POST_FATIGUE [U4.83.01] sont décrites dans les tableaux suivants.
Pour le chargement périodique et les critères du type de plan critique de contrainte cisaillement maximum
DTAUM1 |
Première valeur de la demi-amplitude max du cisaillement dans le plan critique |
VNM1X |
Composante \(x\) du vecteur normal au plan critique liée à DTAUM1 |
VNM1Y |
Composante \(y\) du vecteur normal au plan critique liée à DTAUM1 |
VNM1Z |
Composante \(z\) du vecteur normal au plan critique liée à DTAUM1 |
SINMAX |
Contrainte maximale normale au plan critique correspondant à DTAUM1 |
SINMOY |
Contrainte moyenne normale au plan critique correspondant àDTAUM1 |
EPNMAX |
Déformation maximale normale au plan critique correspondant à DTAUM1 |
EPNMOY |
Déformation maximale moyenne au plan critique correspondant à DTAUM1 |
SIGEQ |
Contrainte équivalente au sens du critère sélectionné correspondant à DTAUM1 |
NBRUP |
Nombre de cycles avant rupture (fonction de SIGEQ1et d’une courbe de Wöhler) |
DOMMAGE |
Endommagement associé à NBRUP1(ENDO1=1/NBRUP1) |
VNM2X |
Composante \(x\) du vecteur normal au plan critique liée à DTAUM2 |
VNM2Y |
Composante \(y\) du vecteur normal au plan critique liée à DTAUM2 |
VNM2Z |
Composante \(z\) du vecteur normal au plan critique liée à DTAUM2 |
Pour le chargement périodique et les critères du type de plan critique avec le mot-clé FORMULE_CRITIQUE
VNM1X |
Composante \(x\) du vecteur normal au plan critique qui maximise la formule critique |
VNM1Y |
Composante \(y\) du vecteur normal au plan critique qui maximise la formule critique |
VNM1Z |
Composante \(z\) du vecteur normal au plan critique qui maximise la formule critique |
SIGEQ1 |
Contrainte équivalente au sens du critère sélectionné au plan critique qui maximise la formule critique |
NBRUP1 |
Nombre de cycles avant rupture |
ENDO1 |
Endommagement associé à NBRUP1(ENDO1=1/NBRUP1) |
Pour le chargement non-périodique et les critères du type de plan critique du dommage maximum
VNM1X |
Composante \(x\) du vecteur normal au plan critique liée au dommage max |
VNM1Y |
Composante \(y\) du vecteur normal au plan critique liée au dommage max |
VNM1Z |
Composante \(z\) du vecteur normal au plan critique liée au dommage max |
DOMMAGE |
Endommagement associé au bloc du de chargement |
VNM2X |
Composante \(x\) du vecteur normal au plan critique liée au dommage max |
VNM2Y |
Composante \(y\) du vecteur normal au plan critique liée au dommage max |
VNM2Z |
Composante \(z\) du vecteur normal au plan critique liée au dommage max |
Autres critères#
Critère VMIS_TRESCA#
Dans cette partie nous décrivons l’option VMIS_TRESCA qui permet de calculer la variation maximale, au cours du temps, d’un tenseur de contrainte selon les critères de Von Mises et de Tresca.
Ce calcul peut être effectué au nœuds ou aux points de Gauss selon la demande de l’utilisateur.
Nous donnons ci-dessous l’algorithme qui est programmé dans Code_Aster .
Notations:
\(N\) : Nombre d’instants
\({T}_{i}\) : Tenseur à l’instant \(i\)
\({\mathit{DIFF}}_{T}\) : différence entre deux tenseurs
\(\mathit{VAVMIS}=0.0\)
\(\mathit{VATRES}=0.0\)
Pour \(i\) de \(1\) à \((N-1)\)
Pour \(j\) de \((i+1)\) à \(N\)
\({\mathit{DIFF}}_{T}={T}_{i}-{T}_{j}\)
\(\mathit{VMIS}=\) Von-Mises de \({\mathit{DIFF}}_{T}\)
\(\mathit{TRES}=\) Tresca de \({\mathit{DIFF}}_{T}\)
Si \(\mathit{VMIS}>\mathit{VAVMIS}\) alors
\(\mathit{VAVMIS}=\mathit{VMIS}\)
Si \(\mathit{TRES}>\mathit{VATRES}\) alors
\(\mathit{VATRES}=\mathit{TRES}\)
Composantes de Code_Asterutilisées#
Le champ calculé par CALC_FATIGUE a pour composantes:
VAVMIS |
Amplitude maximum de variation du critère de Von Mises |
VATRES |
Amplitude maximum de variation du critère de Tresca |
Conclusion#
Dans ce document nous avons présenté les critères de MATAKE et de DANG-VAN adaptés au cumul de dommage sous chargement périodique et non périodique.
Lorsque le chargement est périodique les critères de MATAKE et de DANG-VAN sont testés par les cas tests SSLV135a et SSLV135b. Les cas tests SSLV135c et SSLV135d testent ces deux critères dans le cas où le chargement est non périodique.
Les mots clés qui permettent d’utiliser ces deux critères sont décrits dans le document [U4.83.02] consacré à la commande CALC_FATIGUE. On pourra également consulter le mot clé facteur CISA_PLAN_CRIT de la commande DEFI_MATERIAU [U4.43.01].
Bibliographie#
DANG VAN K., GRIVEAU B., MESSAGE O.: On a new multiaxial fatigue limit criterion : theory and application. Biaxial and Multiaxial Fatigue, Ed. Brown/Miller, 1989.
MANDEL J., ZARKA J., HALPHEN B.: Adaptation d’une structure élastoplastique à écrouissage cinématique. Mechanical research communications, Vol. 4 (5), 1977.
CLEMENT J.C.: Etude et optimisation d’une méthode de calcul de fatigue sous sollicitations multiaxiales d’amplitude variable, Note HP-17/97/023/A, Juin 1997.
TAHERI S.: La prise en compte d’un chargement à amplitude variable pour le calcul de dommage de fatigue dans les zones de mélanges – Projet FATMAV, Note HT-64/04/011, Décembre 2004.
[bib8] PAPADOPOULOS I. V.; Fatigue polycyclique des métaux, une nouvelle approche, Thèse présentée à l’ENPC le 18 décembre 1987.
Description des versions du document#
Version Aster |
Auteur(s) Organisme(s) |
Description des modifications |
8.4 |
J.ANGLES EDF-R&D/AMA |
Texte initial |
Annexes#
Les différentes situations sont résumées dans le Tableau 95. Dans le Tableau 95, «0» et «1» signifient respectivement qu’il n’y a pas de points et qu’il y a au moins un point dans les secteurs désignés.
Secteur 1 |
Secteur 3 |
Secteur 2 |
Secteur 4 |
Axe de projection |
0 |
0 |
0 |
0 |
Cas impossible. |
0 |
0 |
0 |
1 |
Cas impossible. |
0 |
0 |
1 |
0 |
Cas impossible. |
0 |
0 |
1 |
1 |
Axe 1. |
0 |
1 |
0 |
0 |
Cas impossible. |
0 |
1 |
0 |
1 |
Utilisation de la procédure de sélection. |
0 |
1 |
1 |
0 |
Utilisation de la procédure de sélection. |
0 |
1 |
1 |
1 |
Axe 1. |
1 |
0 |
0 |
0 |
Cas impossible. |
1 |
0 |
0 |
1 |
Utilisation de la procédure de sélection. |
1 |
0 |
1 |
0 |
Utilisation de la procédure de sélection. |
1 |
0 |
1 |
1 |
Axe 1. |
1 |
1 |
0 |
0 |
Axe 2. |
1 |
1 |
0 |
1 |
Axe 2. |
1 |
1 |
1 |
0 |
Axe 2. |
1 |
1 |
1 |
1 |
Utilisation de la procédure de sélection. |
Les cas impossibles résultent de la manière dont sont construits le cadre et les secteurs. Cette construction rend impossible la présence de points dans aucun ou un seul secteur.
La projection d’un point quelconque sur le second axe est rapidement décrite dans cette annexe. À partir d’un point \(P\) quelconque connu, nous calculons les coordonnées d’un point \(P'\) tel que:
\(\overrightarrow{\mathrm{OM}}.\overrightarrow{{\mathrm{PP}}^{'}}=0\)
Après simplification il vient la relation:
où une valeur de \({U}_{{P}^{'}}\) différente de \({U}_{P}\) nous donne \({V}_{{P}^{'}}\) .
Dans le plan \((u,v)\) le second axe et le segment sont des droites affines respectivement décrites par \(v = a_s u + b_s \quad \text{et} \quad v = a_p u + b_p\) , donc pour connaître les coordonnées du point projeté sur le second axe \({P}_{P}\)
nous résolvons l’équation:
\(a_s u + b_s = a_p u + b_p\)
où
\({a}_{s}=\frac{({V}_{M}-{V}_{O})}{({U}_{M}-{U}_{O})}\) , |
\({b}_{s}=\frac{({U}_{M}{V}_{O}-{U}_{O}{V}_{M})}{({U}_{M}-{U}_{O})}\) , |
\({a}_{P}=\frac{({V}_{{P}^{'}}-{V}_{P})}{({U}_{{P}^{'}}-{U}_{P})}\) , |
. |
On obtient :