r7.01.46 Loi élasto-visco-plastique NLH_CSRM pour les géomatériaux#
Résumé: Ce document présente les principales équations de la loi de comportement NLH_CSRM (Non-Linear Hardening Critical State Rock Model) ainsi que son algorithme d’intégration numérique.
Équations constitutives#
Énergie libre#
L’énergie libre se met sous la forme générale suivante,
(2.1)
avec,
(2.2)
est le tenseur des déformations,
est le tenseur des déformations plastiques,
est le tenseur des déformations viscoplastiques,
est le tenseur de Hooke —
et
sont respectivement les modules de compressibilité et de cisaillement,
et
sont respectivement les projecteurs sphérique et déviatorique —
et
sont des variables d’état respectivement associées aux mécanismes plastique et viscoplastique,
et
sont homogènes à des modules d’écrouissage [Pa]; ce sont des paramètres matériau du modèle.
Forces thermodynamiques#
Les forces thermodynamiques associées aux variables d’état
,
,
,
, et
sont respectivement,
(2.3)
Critères de plasticité et viscoplasticité#
L’évolution de la résistance maximale des géomatériaux cohésifs en fonction de la contrainte moyenne,
, est généralement non-linéaire. Les critères de plasticité les plus utilisés en mécanique des roches sont couramment inspirés des travaux de Hoek & Brown ,
(2.4)
où
[Pa] représente la résistance à la compression simple,
[-] est un paramètre de «cohésion», et
[-] est un paramètre lié au caractère «dilatant» du matériau.
sont respectivement les contraintes principales majeure et mineure.
Les critères utilisés dans les modèles LETK et LKR constituent des généralisations — écrites en fonction des invariants du tenseur des contraintes et de son déviateur — du critère de Hoek-Brown.
Le principal inconvénient de ces critères «paraboliques» est qu’ils ne se referment pas sur l’axe hydrostatique. L’application de la loi de normalité de l’écoulement plastique produit donc uniquement des déformations plastiques volumiques dilatantes pour toute contrainte moyenne
. Par conséquent, les géomécaniciens ont souvent recours à des formulations dites «non-associées»; lesquelles permettent de mieux représenter la transition contractance/dilatance (état caractéristique) et l’état critique, (
aux «grandes déformations») observés chez la plupart des géomatériaux.
Le recours à la non-associativité ne permet — a priori — pas d’assurer le respect du cadre des matériaux standards généralisés, lequel garantit généralement de bonnes propriétés de convergence numérique des lois de comportement.
La forme de critère sélectionnée — dans le cadre de cette démarche de modernisation — s’appuie sur les travaux de . Le critère proposé par peut être considéré comme une évolution du critère elliptique de Cam-Clay , qui permet de distordre l’ellipse initiale en ovoïdes plus ou moins déformés. L’expression générale des critères de plasticité et viscoplasticité est donnée par,
(2.5)
avec
,
,
,
[Pa] est assimilée à une contrainte de pré-consolidation (au sens de Cam-Clay) en compression isotrope (intersection de
avec l’axe hydrostatique côté compression),
[-] est la pente d’état critique originelle du critère de Cam-Clay,
[-] est un paramètre matériau intervenant dans l’expression d’une nouvelle pente d’état critique (translatée par écrouissage cinématique),
est une fonction de l’état de contrainte moyen, qui prend des formes mathématiques différentes pour les surfaces plastique et viscoplastique,
(2.6)
avec,
(2.7)
Les formes choisies pour
et
conduisent respectivement à des critères de plasticité et viscoplasticité fermé et ouvert (Fig. ). Ce choix est motivé par la volonté de pouvoir — 1. reproduire les transitions fragile/ductile et dilatance/contractance sous compression triaxiale «instantanée», i.e. reproduire la dépendance du comportement plastique à l’état de contrainte moyen — 2. s’affranchir de tout comportement différé lorsque l’état de contrainte est purement hydrostatique, i.e. pas de fluage sphérique; lequel est très peu observé pour des matériaux cohésifs à faible porosité.
[Pa] est assimilée à une limite d’élasticité en traction,
[-] contrôle la cinétique d’écrouissage «scalaire»,
[-] et
[-] sont les paramètres dits «de Bigoni», qui permettent de distordre l’ellipse originelle de Cam-Clay (Fig. ).
Dans la suite du document, la convention de signe adoptée est celle de la Mécanique des Milieux Continus , i.e. compressions négatives, tractions positives.
Figure 1: Limites d’élasticité initiales des mécanismes plastique (traits pleins) et viscoplastique (tirets) pour différentes valeurs des paramètres
et
Écoulements plastique et viscoplastique#
Les incréments des variables d’état sont donnés par la loi de normalité,
(2.8)
où
est le multiplicateur plastique — dont l’incrément est obtenu par l’application des conditions de compatibilité de Kuhn-Tucker — et
est un coefficient de viscosité, dont l’expression est inspirée des travaux de Perzyna ,
(2.9)
[s] est un temps caractéristique,
[Pa] est le module de Young,
[-] est un paramètre qui contrôle la cinétique des phénomènes différés.
Intégration numérique#
Inconnues et équations du système non-linéaire#
Le modèle est intégré de manière implicite (@DSL Implicit) via l’outil Mfront . Les variables internes «numériques» constituent le vecteur
. Dans le cas où les deux mécanismes sont actifs, i.e.
et
à l’issue de la phase de prédiction élastique (@Predictor), les équations constitutives du système non-linéaire à résoudre à l’instant
pendant la phase de correction sont,
(3.1)
Le système non-linéaire est également résolu dans le cas où un seul des deux mécanismes est activé à l’issue de la phase de prédiction, i.e.
ou
. Dans la suite du document, nous détaillerons uniquement les termes dérivant du système (); les cas particuliers pour lesquels
et
peuvent être aisément déduits de () en prenant certains termes nuls.
Remarque: si l’utilisateur prend
, le mécanisme viscoplastique est désactivé.
Directions d’écoulements#
Les directions d’écoulements associées à
,
,
, et
sont respectivement données par,
(3.2)
avec,
(3.3)
Opérateur tangent#
Expression de l’opérateur tangent#
Le tenseur des contraintes
à
est supposé fonction de
et
,
(3.4)
L’opérateur tangent cohérent est donné par,
(3.5)
Par ailleurs, par différenciation,
(3.6)
est la matrice jacobienne du système non-linéaire à résoudre. Finalement, l’opérateur tangent s’exprime,
(3.7)
L’équation () peut être simplifiée dans le cas particulier où, 1 —
n’apparaît que dans
(partition du tenseur des déformations), et 2 —
ne dépend que de
via la loi de Hooke. Dans ce cas-là,
prend la forme suivante,
(3.8)
et le produit
ne fait intervenir que les six premières colonnes de
; sous-matrice que nous notons
. Par ailleurs, la loi de Hooke, donne,
(3.9)
est obtenu à partir de
en utilisant la fonction MFrontgetPartialJacobianInvert.
Expression de la matrice jacobienne du système#
Le matrice jacobienne du système
,
, est donnée par,
(3.10)
Dans MFront, cette matrice peut être obtenue par perturbation numérique — @Algorithm NewtonRaphson_NumericalJacobian — ou analytiquement, comme c’est le cas ici. Les composantes de
sont détaillées ci-après dans le cas où les deux mécanismes sont activés.
Première ligne de la jacobienne#
(3.11)
Les expressions des dérivées de
sont,
(3.12)
avec,
(3.13)
Les expressions des dérivées de
sont,
(3.14)
avec,
(3.15)
Les expressions des dérivées de
sont,
(3.16)
avec,
(3.17)
Deuxième ligne de la jacobienne#
(3.18)
Les expressions des dérivées de
sont,
(3.19)
Troisième ligne de la jacobienne#
(3.20)
Les expressions des dérivées de
sont,
(3.21)
Quatrième ligne de la jacobienne#
(3.22)
Les expression des dérivées de
sont,
(3.23)
Cinquième ligne de la jacobienne#
(3.24)
Les expressions des dérivées de
sont,
(3.25)
Sixième ligne de la jacobienne#
(3.26)
Les expressions des drivées de
sont,
(3.27)
Paramètres matériaux#
Le Tableau résume les paramètres du modèle NLH_CSRM à définir dans la commande DEFI_MATERIAU.
Tableau 1: Paramètres matériaux du modèle NLH_CSRM
Variables internes#
Les variables internes, dont les incréments temporels constituent les inconnues du système non-linéaire à résoudre, sont résumées dans le Tableau .
Tableau 2: Variables internes du modèle NLH_CSRM
Quelques variables auxiliaires supplémentaires apparaissent dans le champ des variables internes au sens de Code_Aster. Elles sont résumées dans le Tableau .
Tableau 3: Variables auxiliaires du modèle NLH_CSRM
Remarque: IniSigTime n’est pas une inconnue du système non-linéaire à résoudre, mais elle intervient quand même dans l’algorithme d’intégration, i.e. ce n’est pas uniquement une variable de post-traitement . IniSigTime permet d’initialiser le tenseur des déformations élastiques en cas de contraintes initiales non-nulles (mais restant à l’intérieur des domaines d’élasticité initiaux); ce qui est souvent le cas en géomécanique (exemple du creusement d’un tunnel). Il faut donc porter une attention particulière à l’initialisation de cette variable dans STAT_NON_LINE et DINA_NON_LINE en cas de reprise de calculs.
Cas-tests#
Les références des cas-test et documentations associées sont données dans le Tableau .
Tableau 4: Cas-tests et documentations du modèle NLH_CSRM
Exemples de réponses au point matériel#
Les Figures à présentent quelques réponses obtenues à l’aide de l’exécutable MTest (point matériel),
Fig. — Essais de compression triaxiale à différentes pressions de confinement;
Fig. — Essais de compression triaxiale à différentes vitesses de déformations imposées;
Fig. — Essais de fluages à différents déviateurs imposés;
Fig. — Essais de fluages à différents confinements imposés.
Figure 2: Réponses obtenues lors d’essais de compression triaxiale à différentes pressions de confinement
Figure 3: Réponses obtenues lors d’essais de compression triaxiale à différentes vitesses de déformation imposée
Figure 4: Réponses obtenues lors d’essais de fluages à différents déviateurs imposés
Figure 5: Réponses obtenues lors d’essais de de fluages à différents confinements imposés