r3.06.09 Éléments finis de joint mécaniques et éléments finis de joint couplés hydromécanique#
Résumé:
Cette documentation porte sur la description des éléments finis de joint mécanique linéaire et quadratique. Les modélisations en mécanique pure (xxx_JOINT) supportent les deux types de maillages, tandis que les modélisations couplés hydromécaniques (xxx_JOINT_HYME) ne sont implémentées que pour des maillages quadratique. On procède à l’élimination de degrés de liberté fictifs de pression pour les modélisations quadratiques en mécanique pure. Ces modélisations permettent de simuler l’évolution d’une fissure le long d’un chemin prédéterminé. Le second type d’élément prend également en compte l’interaction de la mécanique avec un écoulement de fluide à l’intérieur de la fissure.
On présente successivement les points suivants:
géométrie des éléments
repère local au joint et matrice de passage du repère global au repère local
saut de déplacement dans le joint
gradient de pression de fluide
vecteur nodal des efforts intérieurs ainsi que la matrice tangente élémentaire
Repère local et matrice de passage#
Il est nécessaire de construire un repère local à l’élément pour définir le saut de déplacement \(\delta\) (donnée d’entrée des lois de comportement : voir [R7.02.11] et [R7.01.25]). Par ailleurs, on définit la matrice passage \(R\) du repère global au repère local. Cette partie est valable pour les modélisations de joint en mécanique pure et pour les modélisations couplées hydromécanique.
Cas 2D#
Soit \((X,Y)\) le repère global. La direction donnée par les grands côtés [12] et [34] de l’élément de joint 2D permet de définir un repère local \((n,t)\) à l’élément de joint (voir figure1) :
\(t=\frac{\overrightarrow{12}}{\parallel \overrightarrow{12}\parallel }\) , \(n=t\wedge (X\wedge Y)\)
La matrice de passage du repère global au repère local s’exprime:
\(R=\left[\begin{array}{cc}{n}_{x}& {n}_{y}\\ {t}_{x}& {t}_{y}\end{array}\right]\)
Cas 3D#
On note \((X,Y,Z)\) le repère global. Pour la construction du repère local à l’élément de joint, on utilise la base covariante de l’élément surfacique correspondant. Si on note \(s({\xi}^{1,}{\xi}^{2})\) la position paramétrée d’un point de l’élémentsurfacique :
\(s({\xi}^{1,}{\xi}^{2})=\sum_{n=1}^{\mathrm{Nb}}{N}_{n}({\xi}^{1},{\xi}^{2}){s}^{n}\)
où \({N}_{n}\) et \({s}^{n}\) désignent respectivement la fonction de forme et la position géométrique du nœud \(n\) , et \(\mathrm{Nb}\) le nombre de nœuds de l’élément surfacique. On définit la base locale covariante \(({a}_{1,}{a}_{2})\) de la manière suivante:
\({a}_{1}=\frac{\partial s}{\partial {\xi}_{1}}=\sum_{n=1}^{\mathrm{Nb}}\frac{\partial {N}_{n}}{\partial {\xi}^{1}}{s}^{n}\) \({a}_{2}=\frac{\partial s}{\partial {\xi}_{2}}=\sum_{n=1}^{\mathrm{Nb}}\frac{\partial {N}_{n}}{\partial {\xi}^{2}}{s}^{n}\)
Ces deux vecteurs sont en fait des vecteurs tangent à l’élément en un point donné. La base orthonormée directe locale \((n,t,\tau )\) est alors construite de la manière suivante:
\(t=\frac{{a}_{1}}{\parallel {a}_{1}\parallel }\) \(n=\frac{t\wedge {a}_{2}}{\parallel {a}_{2}\parallel }\) \(\tau =n\wedge t\)
La matrice de passage du repère global au repère local est donnée par:
\(R=\left[\begin{array}{ccc}{n}_{x}& {n}_{y}& {n}_{z}\\ {t}_{x}& {t}_{y}& {t}_{z}\\ {\tau}_{x}& {\tau}_{y}& {\tau}_{z}\end{array}\right]\)
Saut de déplacement#
Les joints ont vocation à représenter deux faces en regard, ils ne font intervenir que les fonctions d’interpolation et les points d’intégration des éléments surfaciques (en 3D) ou linéique (en 2D) correspondant:
En 2D: pour le joint QUAD4 (ou le joint HYME QUAD8), l’élément linéique est le SEG2
En 3D: pour le joint PENTA6 (ou le joint HYME PENTA15) l’élément surfacique est le TRIA3
pour le joint HEXA8 (ou le joint HYME HEXA20) l’élément surfacique est le QUAD4.
On appelle \({N}_{n}\) la fonction de forme du nœud \(n\) de l’élément surfacique [1]_ . \({U}^{\text{+n}}\) et \({U}^{\text{-n}}\) désignent respectivement les déplacements nodaux des segments \({\Gamma}^{+}\) et \({\Gamma}^{-}\) en 2D ou des faces \({S}^{+}\) et \({S}^{-}\) en 3D.
Dans le repère local, le saut de déplacement \(\delta\) est discrétisé à partir des fonctions de forme \({N}_{n}\) . Au point de gauss \(g\) , il s’exprimecomme la différence des déplacements des faces (ou segments) + et - :
\({\delta}_{g}=\sum_{n=1}^{\mathrm{Nb}}R({U}^{+n}-{U}^{-n}){N}_{n}^{g}\)
où \(\mathrm{Nb}\) est le nombre de nœuds de l’élément surfacique et où \(R\) matrice de passage en 2D, en 3D, qui permet d’exprimer les déplacements nodaux dans le repère local. On peut synthétiser l’expression précédente dans une matrice \({M}_{g}^{U}\) qui agit sur le vecteur des déplacements nodaux de l’élément: \(U\) , pour construire le saut de déplacement dans le repère local:
\({\delta}_{g}={M}_{g}^{U}U\)
La matrice \({M}_{g}^{U}\) est de dimension \(\mathrm{ndim}\times {\mathrm{Nddl}}_{U}\) , avec \({\mathrm{Nddl}}_{U}\) nombre de degrés de liberté mécanique :
\({\mathrm{Nddl}}_{U}=8\) pour le joint 2D,
\({\mathrm{Nddl}}_{U}=24\) pour le joint 3D HEXA
\({\mathrm{Nddl}}_{U}=18\) pour le joint 3D PENTA
\({\mathrm{Nddl}}_{U}=12\) pour le joint HYME 2D
\({\mathrm{Nddl}}_{U}=48\) pour le joint HYME 3D HEXA
\({\mathrm{Nddl}}_{U}=36\) pour le joint HYME 3D PENTA
Gradient de la pression de fluide#
Les éléments de joint HYME ont, en plus des degrés de liberté mécaniques \(U\) , des degrés de liberté de pression de fluide nodaux (un par nœud) notés \(P\) .
Pour le QUAD8, les nœuds nœuds suivants 6,7,8 portent ces degrés de liberté de pression. L’élément quadratique de référence utilisé pour l’approximation de la pressions est le SEG3.
Pour l’HEXA20, les nœuds 13,14,15,16,17,18,19,20 portent ces degrés de liberté de pression. L’élément surfacique de référence utilisé pour l’approximation de la pressions est le QUAD8.
Pour le PENTA15, les nœuds suivant 10,11,12,13,14,15 portent ces degrés de liberté de pression. L’élément surfacique de référence utilisé pour l’approximation de la pressions est le TRIA6.
La loi d’écoulement du fluide (loi cubique, voir [R7.01.25]) fait intervenir le gradient de pression dans la direction de l’écoulement estimé au point de gauss g de façon classique :
\(\nabla {p}_{g}=\sum_{n=1}^{\mathrm{Nb}}{P}_{n}\nabla {N}_{n}^{g}\)
où \(\mathrm{Nb}\) est le nombre de nœuds de pression et \({N}_{n}^{g}\) la valeur de la fonction de forme du nœud \(n\) au point de gauss \(g\) . Pour simplifier l’écriture on note :
\(\nabla {p}_{g}={M}_{g}^{P}P\)
La matrice \({M}_{g}^{U}\) est de dimension \((\mathrm{ndim}-1)\times {\mathrm{Nddl}}_{P}\) : avec \({\mathrm{Nddl}}_{P}\) nombre de degrés de liberté fluide :
\({\mathit{Nddl}}_{P}=3\) pour le joint HYME 2D
\({\mathit{Nddl}}_{P}=8\) pour le joint HYME 3D HEXA
\({\mathit{Nddl}}_{P}=6\) pour le joint HYME 3D PENTA
Efforts intérieurs et matrice tangente#
Cas mécanique pure#
La formulation du problème mécanique (voir [R7.02.11] et [R7.01.25]) fait intervenir le travail des efforts le long de la discontinuité, qui n’est autre que l’énergie de surface liée à la fissuration de la structure:
\({W}_{s}(\delta )=\sum_{g}{\omega}_{g}\psi ({\delta}_{g})\)
avec \(\psi\) densité d’énergie de surface et \({\omega}_{g}\) poids du point de gauss \(g\) . Cela permet de définir le vecteur des efforts intérieurs:
\({F}_{int}^{U}=\frac{\partial {W}_{s}(\delta )}{\partial U}=\sum_{g}{\omega}_{g}\frac{\partial \psi }{\partial {\delta}_{g}}\frac{\partial {\delta}_{g}}{\partial U}\)
Dans l’expression précédente, le premier terme est donné par la loi de comportement cohésive (voir [R7.02.11]). Cela correspond au vecteur contrainte \(\overrightarrow{{\sigma}_{g}}\) (ou force cohésive) au point de gauss \(g\) :
\(\frac{\partial \psi }{\partial {\delta}_{g}}=\overrightarrow{{\sigma}_{g}}\)
Le second terme est issue de la définition du saut déplacement dans la partie 3 :
\(\frac{\partial {\delta}_{g}}{\partial U}={M}_{g}^{U}\)
Le vecteur nodal des forces intérieures s’exprime donc de la manière suivante:
\({F}_{int}^{U}=\sum_{g}{\omega}_{g}{{M}_{g}^{U}}^{t}\overrightarrow{{\sigma}_{g}}\)
Dans le cadre d’un algorithme de Newton, pour résoudre le problème d’équilibre non linéaire, il est utile de disposer de la matrice tangente élémentaire, c’est-à-dire la dérivée des forces intérieures par rapport aux déplacements nodaux. Dans le cas de l’élément de joint, elle s’exprime simplement :
\({K}^{\mathrm{UU}}=\frac{\partial {F}_{int}^{U}}{\partial U}=\sum_{g}{\omega}_{g}{{M}_{g}^{U}}^{t}\frac{\partial \overrightarrow{{\sigma}_{g}}}{\partial {\delta}_{g}}{M}_{g}^{U}\)
Cette dernière s’appuie sur l’opérateur tangent : \(\frac{\partial \overrightarrow{{\sigma}_{g}}}{\partial {\delta}_{g}}\) spécifique à la loi de comportement cohésive adoptée (voir [R7.02.11]).
Cas couplé hydromécanique#
Les joints HYME, en plus des efforts nodaux liés à la mécanique \({F}_{int}^{U}\) sur lesquels on reporte [2]_ la pression de fluide au point de gauss sur la composante normale \(\overrightarrow{{p}_{g}}=({p}_{g},0,0)\) (exprimé dans le repère local à la fissure) :
\({F}_{int}^{U}=\sum_{g}{\omega}_{g}{{M}_{g}^{U}}^{t}(\overrightarrow{{\sigma}_{g}}-\overrightarrow{{p}_{g}})\)
possèdent des efforts nodaux pour l’écoulement de fluide sur les nœuds qui portent des ddl de pression.
La formulation du problème hydraulique (voir [R7.01.25]) fait intervenir le travail des efforts du fluide le long du trajet de l’écoulement (à l’intérieur de la fissure) :
\({W}_{F}(\nabla p)=\sum_{g}{\omega}_{g}H(\nabla p)\)
avec \(H\) densité d’énergie de surface et \({\omega}_{g}\) poids du point de gauss \(g\) . Cela permet de définir le vecteur des efforts intérieurs:
\({F}_{int}^{P}=\frac{\partial {W}_{F}(\nabla p)}{\partial P}=\sum_{g}{\omega}_{g}\frac{\partial H}{\partial \nabla {p}_{g}}\frac{\partial \nabla {p}_{g}}{\partial P}\)
Dans l’expression précédente, le premier terme est donné par la loi de comportement cubique du fluide (voir [R7.01.25]). Cela correspond au flux hydraulique \(\overrightarrow{{w}_{g}}\) au point de gauss \(g\) :
\(\frac{\partial H}{\partial \nabla {p}_{g}}=\overrightarrow{{w}_{g}}\)
D’après la définition du gradient de pression dans 4 . Le second terme est donné par :
\(\frac{\partial \nabla {p}_{g}}{\partial P}={M}_{g}^{P}\)
Le vecteur nodal des forces intérieures s’exprime donc de la manière suivante:
\({F}_{int}^{P}=\sum_{g}{\omega}_{g}{{M}_{g}^{P}}^{t}\overrightarrow{{w}_{g}}\)
Dans le cadre d’un algorithme de Newton, pour résoudre le problème d’équilibre non linéaire, il est utile de disposer de la matrice tangente, c’est-à-dire la dérivée des forces intérieures par rapport aux degrés de liberté. La dérivée des effort intérieur sur les degrés de liberté de déplacement par rapport aux déplacement nodaux donne le terme identique à celui de la matrice obtenue en mécanique pure dans 5.1 :
\({K}^{\mathrm{UU}}=\frac{\partial {F}_{int}^{U}}{\partial U}=\sum_{g}{\omega}_{g}{{M}_{g}^{U}}^{t}\frac{\partial \overrightarrow{{\sigma}_{g}}}{\partial {\delta}_{g}}{M}_{g}^{U}\)
Dans le cas du couplage hydraulique, les \({F}_{int}^{U}\) dépendent explicitement de la pression (voir expression ci-dessus) d’où :
\({K}^{\mathrm{UP}}=\frac{\partial {F}_{int}^{U}}{\partial P}=\sum_{g}{\omega}_{g}{{M}_{g}^{U}}^{t}{X}_{g}\)
avec \({X}_{g}=\frac{\partial \overrightarrow{{p}_{g}}}{\partial P}=(-{N}_{g}^{i},0,0)\) avec \(i=1\text{à}\mathrm{Nb}\) , \(\mathrm{Nb}\) nombre de nœuds de pression (ou encore nombre de degrés de liberté de pression par élément) et \({N}_{n}^{g}\) la valeur de la fonction de forme du nœud \(n\) au point de gauss \(g\) .
La dérivée des efforts intérieurs sur les degrés de liberté de pression par rapport aux déplacement nodaux donne :
\({K}^{\mathrm{PU}}=\frac{\partial {F}_{int}^{P}}{\partial U}=\sum_{g}{\omega}_{g}{{M}_{g}^{P}}^{t}\frac{\partial \overrightarrow{{w}_{g}}}{\partial {\delta}_{g}}{M}_{g}^{U}\)
Enfin, la dérivée des efforts intérieurs sur les degrés de liberté de pression par rapport aux pressions nodales donne :
\({K}^{\mathrm{PP}}=\frac{\partial {F}_{int}^{P}}{\partial P}=\sum_{g}{\omega}_{g}{{M}_{g}^{P}}^{t}\frac{\partial \overrightarrow{{w}_{g}}}{\partial \nabla {p}_{g}}{M}_{g}^{P}\)
La matrice tangente élémentaire (non symétrique) s’exprime de la manière suivante :
\(K=\left[\begin{array}{cc}{K}^{\mathrm{UU}}& {K}^{\mathrm{UP}}\\ {K}^{\mathrm{PU}}& {K}^{\mathrm{PP}}\end{array}\right]\)
Cette dernière s’appuie sur les composantes de l’opérateur tangent : \(\frac{\partial \overrightarrow{{\sigma}_{g}}}{\partial {\delta}_{g}}\) , \(\frac{\partial \overrightarrow{{w}_{g}}}{\partial {\delta}_{g}}\) et \(\frac{\partial \overrightarrow{{w}_{g}}}{\partial \nabla {p}_{g}}\) spécifiques à la loi de comportement cohésive adoptée (voir [R7.01.25]).
Fonctionnalités et validation#
Description des versions du document#
Indice document |
Version Aster |
Auteur(s) Organisme(s) |
Description des modifications |
B |
7.2 |
J.Laverne, EDF-R&D/AMA |
|
C |
8.4 |
J.Laverne, EDF-R&D/AMA |
|
D |
9.1 |
J.Laverne, EDF-R&D/AMA |
fiche 9807 intégration des éléments de joint 3D |
E |
10.4 |
J.Laverne, EDF-R&D/AMA |
Fiche 14831 ajout des modélisations couplées *_HYME |
F |
11.4 |
K.Kazymyrenko, J.Laverne EDF-R&D/AMA |
Fiche 18711 activation des modélisations quadratiques en mécanique pure |
F |
12.2 |
K.Kazymyrenko, J.Laverne EDF-R&D/AMA |
Fiche 23070 modélisation P2P2 pour la partie hydromécanique |