v2.03.503 SDLS503 - Vibrations de flexion d’une poutre sandwich#
Résumé:
Ce test représente un calcul en analyse modale d’une poutre sandwich simplement supportée. Ce test permet de valider:
la modélisation éléments finis de plaquesDKT avec des mailles QUAD4 et TRIA3,
la modélisation éléments finis de plaquesDST avec des mailles QUAD4 et TRIA3,
la prise en compte de la rigidité en cisaillement transverse,
la prise en compte de matériau composite.
Les fréquences et les modes obtenus sont comparés à une solution de référence analytique. Il faut noter que la modélisation DKT, dont la formulation ne prend pas en compte le cisaillement transverse, n’est pas adaptée pour modéliser ce cas-test. Ainsi, les erreurs sont très importantes pour les modélisations A et B. Les résultats obtenus avec DST sont satisfaisants.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
Le calcul s’effectue à partir des relations d’équilibre dynamique et de comportement [bib2] rappelées ci‑après:
\(\frac{\partial {M}_{y}}{\partial x}+{V}_{z}=⟨\rho I⟩\frac{{\partial}^{2}{\theta}_{y}}{\partial {t}^{2}}\) |
\(\frac{\partial {V}_{z}}{\partial x}=⟨\rho S⟩\frac{{\partial}^{2}{v}_{z}}{\partial {t}^{2}}\) |
\({M}_{y}=⟨EI⟩\frac{\partial {\theta}_{y}}{\partial x}\) |
\({V}_{z}=k⟨GS⟩\left(\frac{\partial {v}_{z}}{\partial x}-{\theta}_{y}\right)\) |
Ces relations permettent d’écrire l’équation du mouvement de flexion dynamique transverse \(v(x,t)\) . On obtient l’équation aux fréquences propres après avoir associé les conditions aux limites.
L’équation aux fréquences propres s’écrit:
\(\sin({X}_{2})=0\) avec \({X}_{2}={\left[{\stackrel{ˉ}{\omega}}^{2}\frac{(1+a)}{2}+\sqrt{{\stackrel{ˉ}{\omega}}^{2}({\stackrel{ˉ}{\omega}}^{2}{(\frac{1-a}{2})}^{2}+\frac{1}{{r}^{2}})}\right]}^{1/2}\)
et
\({\overline{\omega}}^{2}=\frac{⟨\rho I⟩{\omega}^{2}{L}^{2}}{⟨EI⟩}\) ; \({\overline{r}}^{2}=\frac{⟨\rho I⟩}{⟨\rho S⟩{L}^{2}}\) ; \(a=\frac{⟨\rho S⟩⟨EI⟩}{k⟨\rho I⟩⟨GS⟩}\)
Les solutions de l’équation aux fréquences propres s’écrivent alors: \({X}_{2}=n\pi (n=1,2,3,\mathrm{...})\)
Résultats de référence#
5 premières fréquences et modes propres de flexion associés.
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\(64.476\mathrm{Hz}\) |
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\(131.918\mathrm{Hz}\) |
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\(198.734\mathrm{Hz}\) |
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\(265.383\mathrm{Hz}\) |
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\(331.963\mathrm{Hz}\) |
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Incertitudes sur la solution#
La solution de référence est calculée dans le cadre des hypothèses de la théorie des poutres [bib2]: \({\sigma}_{y}={\sigma}_{z}=0\) .
Références bibliographiques#
VPCS: Progiciel de calcul de structures composites; Exemples de validation. Revue des composites et des matériaux avancés, Volume 5 - numéro hors série/ 1995 - Edition Hermes.
CIEAUX J.M.: Flexion dynamique des poutres composites à phases orthotropes; Validité du domaine quasi-statique. Thèse de l’Université Paul Sabatier Toulouse III, 1988.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 22
Nombre de mailles et type: 20 TRIA3
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Référence |
Aster |
% différence |
Fréquence mode 1 |
64.476 |
277.449 |
|
Fréquence mode 2 |
131.918 |
1105.83 |
|
Fréquence mode 3 |
198.734 |
2473.80 |
1.14E3 |
Fréquence mode 4 |
265.383 |
4363.97 |
1.54E3 |
Fréquence mode 5 |
331.963 |
6753.904 |
1.93E3 |
Remarques#
Dans le tableau de résultats, nous avons reporté les fréquences dont les modes sont identiques aux modes de référence.
les effets du cisaillement transverse sont négligés dans la modélisation DKT,
les résultats Code_Aster sont très supérieurs aux résultats de référence,
apparition d’un mode de membrane entre les modes 2 et 3 et entre les modes 5 et 6 de référence.
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 22
Nombre de mailles et type: 10 QUAD4
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Référence |
Aster |
% différence |
Fréquence mode 1 |
64.476 |
277.788 |
331 |
Fréquence mode 2 |
131.918 |
1111.225 |
|
Fréquence mode 3 |
198.734 |
2500.930 |
1.16E3 |
Fréquence mode 4 |
265.383 |
4449.073 |
1.52E3 |
Fréquence mode 5 |
331.963 |
6960.324 |
2.00E3 |
Remarques#
Dans le tableau de résultats, nous avons reporté les fréquences dont les modes sont identiques aux modes de référence.
les effets du cisaillement transverse sont négligés dans la modélisation DKT,
les résultats Code_Aster sont très supérieurs aux résultats de référence,
apparition d’un mode de membrane entre les modes 2 et 3 et entre les modes 5 et 6 de référence.
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation#
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 22
Nombre de mailles et type: 20 TRIA3
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Référence |
Aster |
% différence |
Fréquence mode 1 |
64.476 |
64.573 |
0.150 |
Fréquence mode 2 |
131.918 |
133.987 |
1.568 |
Fréquence mode 3 |
198.734 |
206.046 |
3.679 |
Fréquence mode 4 |
265.383 |
282.875 |
6.591 |
Fréquence mode 5 |
331.963 |
365.919 |
10.229 |
Modélisation D#
Caractéristiques de la modélisation#
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 22
Nombre de mailles et type: 10 QUAD4
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Référence |
Aster |
% différence |
Fréquence mode 1 |
64.476 |
64.595 |
0.184 |
Fréquence mode 2 |
131.918 |
131.495 |
-0.320 |
Fréquence mode 3 |
198.734 |
196.861 |
-0.942 |
Fréquence mode 4 |
265.383 |
260.247 |
-1.935 |
Fréquence mode 5 |
331.963 |
320.409 |
-3.480 |
Synthèse des résultats#
La modélisation DKT n’est pas adaptée pour modéliser ce cas-test, les erreurs sont très importantes. La formulation DKT ne prend pas en compte le cisaillement transverse contrairement à la modélisation DST. Pour ce type d’exemple, où la structure est constituée d’un matériau composite et relativement épaisse (\(h/L=0.1\) ), il est préférable d’utiliser la modélisation DST.
Les résultats obtenus avec DST sont :
satisfaisants pour les 3 premières fréquences avec la maille TRIA3 et pour les 5 premières fréquences pour la maille QUAD4 avec une meilleure précision pour la maille QUAD4,
l’erreur de \(\text{10\%}\) pour la 4ième et 5ième fréquence avec la maille TRIA3 est significative. Un maillage plus fin devrait permettre d’améliorer les résultats en ayant une meilleure représentation des derniers modes.