v3.01.103 SSLL103 - Flambement élastique d’une cornière#
Résumé:
Une poutre droite (cornière à ailes égales) biarticulée est soumise à un effort normal (excentré ou non) ou à un moment fléchissant.
On cherche les charges critiques de flambement élastique.
mécanique élastique linéaire,
flambement d’une poutre,
excentrement du centre de torsion,
intérêt du test : calcul de la matrice de rigidité géométrique des éléments POU_D_TG et POU_D_T,
2 modélisations.
Une incertitude persiste sur le nombre de modes de flambement de la solution de référence [§5].
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
Avec prise en compte du gauchissement, les calculs faits par V. De Ville De Goyet [bib1] donnent :
soit:
\({I}_{y}={\int}_{A}{z}^{2}\mathrm{dA}\) \({I}_{y}={\int}_{A}{y}^{2}\mathrm{dA}\) \({I}_{{\mathrm{yr}}^{2}}={\int}_{A}y({y}^{2}+{z}^{2})\mathrm{dA}\) \({I}_{{\mathrm{yr}}^{2}}={\int}_{A}z({y}^{2}+{z}^{2})\mathrm{dA}\)
\({P}_{\mathrm{cry}}=\frac{{\pi}^{2}E{I}_{z}}{{L}^{2}}\) \({P}_{\mathrm{crz}}=\frac{{\pi}^{2}E{I}_{y}}{{L}^{2}}\) \({P}_{\mathrm{crx}}=(\frac{GJ+{\pi}^{2}E{I}_{\omega}}{{L}^{2}}){\mathrm{Ar}}_{a}\)
\({\mathrm{Ar}}_{c}=\frac{({I}_{y}+{I}_{z})}{A}+{y}_{c}^{2}+{z}_{c}^{2}+{y}_{c}(\frac{{I}_{\mathrm{yrz}}}{\mathrm{Iz}}-2{y}_{c})+{z}_{c}(\frac{{I}_{{\mathrm{zr}}^{2}}}{\mathrm{Iz}}-2{z}_{c})\)
\({\mathrm{Ar}}_{a}=\frac{({I}_{y}+{I}_{z})}{A}+{y}_{c}^{2}+{z}_{c}^{2}+{y}_{a}(\frac{{I}_{\mathrm{yrz}}}{\mathrm{Iz}}-2{y}_{c})+{z}_{a}(\frac{{I}_{{\mathrm{zr}}^{2}}}{\mathrm{Iz}}-2{z}_{c})\)
avec:
\(({y}_{a},{z}_{a})\) : coordonnées du point d’application de l’effort
\(({y}_{c},{z}_{c})\) : coordonnées du centre de torsion
Cas 1, 2, 3:
On obtient 3 charges critiques en résolvant l’équation du 3° degré en \(P\) :
\({\mathrm{Ar}}_{a}({P}_{\mathrm{cry}}-P)({P}_{\mathrm{crz}}-P)({P}_{\mathrm{crx}}-P)-{P}^{2}({P}_{\mathrm{crz}}-P){({z}_{c}-{z}_{a})}^{2}-{P}^{2}({P}_{\mathrm{cry}}-P){({y}_{c}-{y}_{a})}^{2}=0\)
Cas 4 :
Le moment critique \(\mathrm{Mcr}\) (autour de l’axe \(y\) ) vaut:
\(\mathrm{Mcr}=\pm {((GJ+\frac{{\pi}^{2}E{I}_{\omega}}{{L}^{2}}){P}_{\mathrm{cry}})}^{1/2}\)
En négligeant le gauchissement : la solution analytique de référence est donnée dans [bib2] [bib3].
Résultats de référence#
Valeurs des charges critiques correspondant aux premiers modes de flambage pour les différents cas de charge.
Incertitude sur la solution#
Solution analytique. Les valeurs de référence sont obtenues à l’aide de \(\mathit{NAG}\) (routine \(\mathit{C0SAGF}\) , \(\mathit{EPS}={10}^{-8}\) ).
Références bibliographiques#
DE VILLE DE GOYET « Analyse statique non linéaire par la méthode des éléments finis des structures spatiales formées de poutres à section non symétrique » - Thèse de doctorat Université de Liège, MSM, année académique (1988-1989).
PENSERINI « Instabilité élastique des poutres à profil mince ouvert : aspects théoriques et numériques » Note EDF/DER/HM77/112.
CERISIER « Propagation de deux cas tests de modélisation du calcul des poutres en flambement élastique dans le Code_Aster « HM77/184
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
8 éléments POU_D_TG
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 9
Nombre de mailles et types : 8 SEG2
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Référence |
Erreur |
Cas 1 |
||
mode 1 |
6.92531E+05 |
3.0E-3 |
mode 2 |
1.50487E+06 |
1.0E-2 |
mode 3 |
1.00589E+07 |
0.04 |
Cas 2 |
||
mode 1 |
1.50487E+06 |
3.0E-3 |
mode 2 |
5.99812E+06 |
1.0E-2 |
mode 3 |
1.47904E+06 |
0.04 |
Cas 3 |
||
mode 1 |
5.72260E+05 |
4.0E-3 |
mode 2 |
2.45950E+06 |
0.02 |
mode 3 |
1.85673E+07 |
0.05 |
Cas 4 |
||
mode 1 |
-7.00631E+07 |
5.0E-3 |
Remarques#
La précision est excellente avec 8 éléments dans la longueur.
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
8 éléments POU_D_T
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 9
Nombre de mailles et types : 8 SEG2
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Référence |
Erreur |
Cas 1 |
||
mode 1 |
6.796E+05 |
0.01 |
mode 2 |
1.505E+06 |
0.01 |
mode 3 |
1.0055E+07 |
0.05 |
Cas 2 |
||
mode 1 |
1.505E+06 |
0.01 |
mode 2 |
5.998E+06 |
0.04 |
Cas 3 |
||
mode 1 |
5.638E+05 |
0.20 |
mode 3 |
1.8525E+07 |
0.07 |
Cas 4 |
||
mode 1 |
-6.9376E+07 |
0.002 |
Remarques#
La précision est assez bonne avec 8 éléments dans la longueur. La solution diffère un peu de celle obtenue avec gauchissement (modélisation A).
Synthèse des résultats#
La solution analytique nous donne 3 modes de flambement dont les charges critiques sont racines d’une équation du 3° degré.
Y-a-t-il d’autres charges critiques intercalées entre les 3 valeurs trouvées ?
Aster retrouve les bonnes charges critiques, mais au milieu de beaucoup d’autres … par exemple pour le cas 3, les 3 charges critiques cherchées correspondent aux NUME_MODE : 1, 10 et 19.
Ceci est vrai pour les deux modélisations.