v4.23.303 TTLP303 - Transfert de chaleur dans une plaque orthotrope : températures imposées#
Résumé:
Ce test est issu de la validation indépendante de la version 3 en thermique.
Analyse: |
Thermique transitoire linéaire |
Problème: |
2D plan |
Fonctionnalités testées: |
|
Intérêt du test: |
|
Nombre de modélisations: |
|
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
\(T(x,y,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty}{A}_{n}\sin\frac{n\pi x}{{L}_{x}}\sin\frac{j\pi y}{{L}_{y}}\exp\left[-(\frac{{\lambda}_{x}{n}^{2}{\pi}^{2}}{{L}_{x}^{2}}+\frac{{\lambda}_{y}{j}^{2}{\pi}^{2}}{{L}_{y}^{2}})t/\rho c\right]\)
où \({A}_{n}=\left[\frac{4({T}_{i})}{{\pi}^{2}jn}[{(-1)}^{n}-1][{(-1)}^{j}-1]-32\right]\frac{5}{9}\) \({T}_{i}=\frac{5}{9}{T}_{0}+32\)
Température en \(°C\) à \(t=\mathrm{4320s}\) |
||||||
3.0 |
-17.7778 |
-17.5742 |
-17.3905 |
-17.2448 |
-17.1515 |
-17.1189 |
2.7 |
-17.7778 |
-17.5764 |
-17.3948 |
-17.2507 |
-17.1581 |
-17.1262 |
2.4 |
-17.7778 |
-17.5832 |
-17.4077 |
-17.2684 |
-17.1790 |
-17.1482 |
2.1 |
-17.7778 |
-17.5945 |
-17.4291 |
-17.2979 |
-17.2137 |
-17.1847 |
1.8 |
-17.7778 |
-17.6102 |
-17.4590 |
-17.3391 |
-17.2620 |
-17.2355 |
1.5 |
-17.7778 |
-17.6302 |
-17.4970 |
-17.3914 |
-17.3235 |
-17.3002 |
1.2 |
-17.7778 |
-17.6542 |
-17.5426 |
-17.4541 |
-17.3973 |
-17.3777 |
0.9 |
-17.7778 |
-17.6816 |
-17.5949 |
-17.5261 |
-17.4819 |
-17.4667 |
0.6 |
-17.7778 |
-17.7120 |
-17.6526 |
-17.6056 |
-17.5753 |
-17.5649 |
0.3 |
-17.7778 |
-17.7444 |
-17.7142 |
-17.6903 |
-17.6749 |
-17.6696 |
0.0 |
-17.7778 |
-17.7778 |
-17.7778 |
-17.7778 |
-17.7778 |
-17.7778 |
\(Y\uparrow\) \(X\to\) |
0.0 |
0.3 |
0.6 |
0.9 |
1.2 |
1.5 |
Les valeurs de référence sont obtenues avec \(n=j=1000\)
Résultats de référence#
\(t=4\mathrm{320s}(\mathrm{1.2hr})\) : température aux points suivants :
en \(x=0.6\) : pour \(y=0.6,1.5,2.4,3.0\)
en \(x=1.5\) : pour \(y=0.6,1.5,2.4,3.0\)
Incertitude sur la solution#
Solution analytique.
Références bibliographiques#
J.C. Bruch Jr., G. Zyroloski, ‘Transient two-dimensional heat conduction problems solved by the finite element method’, Int. J. num. Meth. Engng, vol 8, n°3, pp 481-494, 1974.
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation#
PLAN (QUAD9)
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : |
231 |
Nombre de mailles et types : |
50 QUAD9 |
Remarques#
La discrétisation en pas de temps est la suivante :
240 pas pour \([0.,\mathrm{4320.D0}]\) soit \(\Delta t=\mathrm{18.D0}\)
Résultats de la modélisation C#
Valeurs testées#
Écart relatif % |
Écart Absolu |
||||||
Identification |
Référence |
Aster |
différence |
tolérance |
différence |
tolérance |
|
Température en \(°C\) |
|||||||
\(x=0.6\) |
|||||||
\(\mathrm{N49}(y=0.6)\) |
-17.6526 |
-17.6515 |
-0.006 |
1% |
0.001 |
0.05 |
|
\(\mathrm{N115}(y=1.5)\) |
-17.4970 |
-17.4942 |
-0.016 |
1% |
0.003 |
0.05 |
|
\(\mathrm{N181}(y=2.4)\) |
-17.4077 |
-17.4040 |
-0.021 |
1% |
0.004 |
0.05 |
|
\(\mathrm{N225}(y=3.0)\) |
-17.3905 |
-17.3867 |
-0.022 |
1% |
0.004 |
0.05 |
|
\(x=1.5\) |
|||||||
\(T(y=0.6)\) |
-17.5649 |
-17.5627 |
-0.012 |
1% |
0.002 |
0.05 |
|
\(T(y=1.5)\) |
-17.3002 |
-17.2952 |
-0.029 |
1% |
0.005 |
0.05 |
|
\(T(y=2.4)\) |
-17.1482 |
-17.1418 |
-0.037 |
1% |
0.006 |
0.06 |
|
\(T(y=3.0)\) |
-17.1189 |
-17.1123 |
-0.039 |
1% |
0.007 |
0.05 |
|
Synthèse des résultats#
La modélisation PLAN, effectuée avec des mailles QUAD9, donne des résultats satisfaisants, l’écart maximum obtenu est de 0.039%.