v1.01.361 ZZZZ361 - Cas de découpe dégénérés pour les éléments XFEM 3D quadratique#
Résumé:
Dans ce cas test, on propose de vérifier le bon déroulement des cas de découpe volumique particuliers dans le cadre XFEM quadratique. En XFEM tridimensionnel, les éléments finis «parents» traversés par la fissure sont découpés en tétraèdres «enfants» qui sont alors redécoupés en sous-tétraèdres pour être conformes avec la discontinuité.
Il existe au total cinq configurations de découpe de tétraèdres «enfants» en sous-tétraèdres ( cf. [R7.02.12]), distinguées suivant le nombre de nœuds sommet du tétraèdre enfant pour lesquels la lsn s’annule (npts) et le nombre de points d’intersection entre la surface lsn =0 et les arêtes du tétraèdre enfant. Cependant, des configurations «rasantes» dégénérées existent. Ces configurations dégénérées se ramènent aisément aux configurations de découpe classiques.
On s’intéresse ici aux six configurations dégénérées (modélisations A à F) pour lesquelles la surface lsn=0 rase la surface du tétraèdre enfant, et qui ne surviennent qu’en XFEM quadratique. Ces situations apparaissent lorsqu’une ou plusieurs arêtes du tétraèdre enfant possèdent exactement 2 points tels que lsn=0 (nécessairement une extrémité et le nœud milieu d’après l’ajustement des level set dans le cas quadratique). Enfin dans la modélisation G, on étudie le cas de découpe non dégénéré pour lequel la surface lsn=0 rase l’une des arêtes du tétraèdre.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation A#
La première découpe que nous testons correspond au cas où l’une des arêtes du TETRA10 voit la lsn s’annuler exactement deux fois, en une de ses extrémités et en son point milieu. Un exemple de cette configuration est représenté Figure .
Figure 2.1-a : représentation de la découpe de la modélisation A
Pour la découpe on se ramène au cas plus classique représenté Figure , dont la découpe en sous tétraèdres est détaillée dans [R7.02.12].
Figure 2.1-b : : configuration saine correspondante
Caractéristiques du maillage#
Pour se «retrouver» dans cette configuration de découpe, la lsn est choisie sphérique, de centre C(\(\frac{3}{4}\) , \(\frac{3}{4}\) , \(\frac{1}{4}\) ) et de rayon \(R=\frac{\sqrt{(19)}}{4}\)
Les arêtes du tétraèdre sont alors intersectées par la level set aux 4 points suivants:
Point d’intersection |
Coordonnées |
IP1 |
(0,0,0) |
IP2 |
(0,0,0.5) |
IP3 |
(\(\frac{3-\sqrt{(5)}}{4}\) ,0, \(\frac{\sqrt{(5)}+1}{4}\) ) |
IP4 |
(0, \(\frac{3-\sqrt{(5)}}{4}\) , \(\frac{\sqrt{(5)}+1}{4}\) ) |
Grandeurs testées et résultats#
Après exécution de la commande MODI_MODELE_XFEM, on vérifie que les 4 points d’intersection IP1, IP2, IP3 et IP4 sont bien dans le groupe NFISSU et que leur position est correcte.
Grandeurs testées |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance |
COORX IP1 |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
10E-06 |
COORY IP1 |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
10E-06 |
COORZ IP1 |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
10E-06 |
COORX IP2 |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
10E-06 |
COORY IP2 |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
10E-06 |
COORZ IP2 |
“ANALYTIQUE” |
0.5 |
10E-06 |
COORX IP3 |
“ANALYTIQUE” |
0,19098300 |
10E-06 |
COORY IP3 |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
10E-06 |
COORZ IP3 |
“ANALYTIQUE” |
0,80901699 |
10E-06 |
COORX IP4 |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
10E-06 |
COORY IP4 |
“ANALYTIQUE” |
0,19098300 |
10E-06 |
COORZ IP4 |
“ANALYTIQUE” |
0,80901699 |
10E-06 |
On a également post-traité le maillage découpé (Figure ) grâce à SALOME. La découpe obtenue est conforme aux attentes, avec 4 sous-tétraèdres qui sont conformes avec la discontinuité.
Figure 2.3-a : configuration de découpe de la modélisation A
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation B#
La deuxième découpe que nous testons correspond au cas où deux des arêtes du TETRA10 voient la lsn s’annuler exactement deux fois, en une de leurs extrémités et en leur point milieu. Un exemple de cette configuration est représenté Figure .
Figure 3.1-a : représentation de la découpe de la modélisation B
Pour la découpe on se ramène au cas plus classique représenté Figure , dont la découpe en sous-tétraèdres est détaillée dans [R7.02.12].
Figure 3.1-b : : configuration saine correspondante
Caractéristiques du maillage#
Pour se «retrouver» dans cette configuration de découpe, la lsn est choisie sphérique, de centre C(\(-\frac{1}{2}\) , \(-\frac{1}{2}\) , \(-1\) ) et de rayon \(R=\frac{\sqrt{(14)}}{2}\)
Les arêtes du tétraèdre sont alors intersectées par la level set aux 6 points suivants:
Point d’intersection |
Coordonnées |
IP1 |
(1,0,0) |
IP2 |
(0,1,0) |
IP3 |
(0.5,0.5,0) |
IP4 |
(0.5,0,0.5) |
IP5 |
(0,0,0.5) |
IP6 |
(0,0, \(\sqrt{(3)}-1\) ) |
Grandeurs testées et résultats#
Après exécution de la commande MODI_MODELE_XFEM, on vérifie que les 6 points d’intersection IP1, IP2, IP3, IP4, IP5 et IP6 sont bien dans le groupe NFISSU et que leur position est correcte.
Grandeurs testées |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance |
COORX IP1 |
“ANALYTIQUE” |
1.0 |
10E-06 |
COORY IP1 |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
10E-06 |
COORZ IP1 |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
10E-06 |
COORX IP2 |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
10E-06 |
COORY IP2 |
“ANALYTIQUE” |
1.0 |
10E-06 |
COORZ IP2 |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
10E-06 |
COORX IP3 |
“ANALYTIQUE” |
0.5 |
10E-06 |
COORY IP3 |
“ANALYTIQUE” |
0.5 |
10E-06 |
COORZ IP3 |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
10E-06 |
COORX IP4 |
“ANALYTIQUE” |
0.5 |
10E-06 |
COORY IP4 |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
10E-06 |
COORZ IP4 |
“ANALYTIQUE” |
0.5 |
10E-06 |
COORX IP5 |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
10E-06 |
COORY IP5 |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
10E-06 |
COORZ IP5 |
“ANALYTIQUE” |
0.5 |
10E-06 |
COORX IP6 |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
10E-06 |
COORY IP6 |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
10E-06 |
COORZ IP6 |
“ANALYTIQUE” |
0, 732050808 |
10E-06 |
On a également post-traité le maillage découpé (Figure ) grâce à SALOME. La découpe obtenue est conforme aux attentes, avec 4 sous-tétraèdres qui sont conformes avec la discontinuité.
Figure 3.3-a : configuration de découpe de la modélisation B
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation C#
La troisième découpe que nous testons correspond encore à un cas où deux des arêtes du TETRA10 voient la lsn s’annuler exactement deux fois, en une de leurs extrémités et en leur point milieu. Un exemple de cette configuration est représenté Figure .
Figure 4.1-a : représentation de la découpe de la modélisation C
Pour la découpe on se ramène au cas plus classique représenté Figure , dont la découpe en sous-tétraèdres est détaillée dans [R7.02.12].
Figure 4.1-b : : configuration saine correspondante
Caractéristiques du maillage#
Pour se «retrouver» dans cette configuration de découpe, la lsn est choisie sphérique, de centre C (\(-\frac{4}{3}\) , \(-\frac{4}{3}\) , \(-\frac{5}{6}\) ) et de rayon \(R=\frac{\sqrt{(249)}}{6}\)
Les arêtes du TETRA sont alors intersectées par la level set aux 5 points suivants:
Point d’intersection |
Coordonnées |
IP1 |
(1,0,0) |
IP2 |
(0.5,0,0.5) |
IP3 |
(0,0.5,0.5) |
IP4 |
(0, \(\frac{2\ast \sqrt{(10)}-4}{3}\) ,0) |
IP5 |
(\(\frac{2\ast \sqrt{(10)}-4}{3}\) ,0,0) |
Grandeurs testées et résultats#
Après exécution de la commande MODI_MODELE_XFEM, on vérifie que les 5 points d’intersection IP1, IP2, IP3, IP4 et IP5 sont bien dans le groupe NFISSU et que leur position est correcte.
Grandeurs testées |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance |
COORX IP1 |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
10E-06 |
COORY IP1 |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
10E-06 |
COORZ IP1 |
“ANALYTIQUE” |
1.0 |
10E-06 |
COORX IP2 |
“ANALYTIQUE” |
0.5 |
10E-06 |
COORY IP2 |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
10E-06 |
COORZ IP2 |
“ANALYTIQUE” |
0.5 |
10E-06 |
COORX IP3 |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
10E-06 |
COORY IP3 |
“ANALYTIQUE” |
0.5 |
10E-06 |
COORZ IP3 |
“ANALYTIQUE” |
0.5 |
10E-06 |
COORX IP4 |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
10E-06 |
COORY IP4 |
“ANALYTIQUE” |
0,77485177 |
10E-06 |
COORZ IP4 |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
10E-06 |
COORX IP5 |
“ANALYTIQUE” |
0,77485177 |
10E-06 |
COORY IP5 |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
10E-06 |
COORZ IP5 |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
10E-06 |
On a également post-traité le maillage découpé (Figure ) grâce à SALOME. La découpe obtenue est conforme aux attentes, avec 6 sous-tétraèdres qui sont conformes avec la discontinuité.
Figure 4.3-a : configuration de découpe de la modélisation C
Modélisation D#
Caractéristiques de la modélisation D#
La quatrième découpe que nous testons correspond encore à un cas où deux des arêtes du TETRA10 voient la lsn s’annuler exactement deux fois, en une de leurs extrémités et en leur point milieu. Un exemple de cette configuration est représenté Figure .
Figure 5.1-a : représentation de la découpe de la modélisation D
Pour la découpe on se ramène au cas plus classique représenté Figure , dont la découpe en sous-tétraèdres est détaillée dans [R7.02.12].
Figure 5.1-b : : configuration saine correspondante
Caractéristiques du maillage#
Pour se «retrouver» dans cette configuration de découpe, la lsn est définie nœud par nœud. En effet, il est difficile d’exhiber pour la lsn une fonction qui nous ramène à la configuration de la Figure . La valeur de la lsn en chaque nœud est résumée sur la Figure .
Figure 5.2-a : valeur de la lsn en chaque nœud pour la modélisation D
Les arêtes du TETRA sont alors intersectées par la level set aux 5 points suivants:
Point d’intersection |
Coordonnées |
IP1 |
(1,0,0) |
IP2 |
(0.5,0.5,0) |
IP3 |
(0.5,0,0.5) |
IP4 |
(0,0.25,0.75) |
IP5 |
(0,0, \(\frac{6}{7}\) ) |
Grandeurs testées et résultats#
Après exécution de la commande MODI_MODELE_XFEM, on vérifie que les 5 points d’intersection IP1, IP2, IP3, IP4 et IP5 sont bien dans le groupe NFISSU et que leur position est correcte.
Grandeurs testées |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance |
COORX IP1 |
“ANALYTIQUE” |
1.0 |
10E-06 |
COORY IP1 |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
10E-06 |
COORZ IP1 |
“ANALYTIQUE” |
1.0 |
10E-06 |
COORX IP2 |
“ANALYTIQUE” |
0.5 |
10E-06 |
COORY IP2 |
“ANALYTIQUE” |
0.5 |
10E-06 |
COORZ IP2 |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
10E-06 |
COORX IP3 |
“ANALYTIQUE” |
0.5 |
10E-06 |
COORY IP3 |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
10E-06 |
COORZ IP3 |
“ANALYTIQUE” |
0.5 |
10E-06 |
COORX IP4 |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
10E-06 |
COORY IP4 |
“ANALYTIQUE” |
0,25 |
10E-06 |
COORZ IP4 |
“ANALYTIQUE” |
0.75 |
10E-06 |
COORX IP5 |
“ANALYTIQUE” |
0,0 |
10E-06 |
COORY IP5 |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
10E-06 |
COORZ IP5 |
“ANALYTIQUE” |
0,857142857 |
10E-06 |
On a également post-traité le maillage découpé (Figure ) grâce à SALOME. La découpe obtenue est conforme aux attentes, avec 4 sous-tétraèdres qui sont conformes avec la discontinuité.
Figure 5.3-a : configuration de découpe de la modélisation D
Modélisation E#
Caractéristiques de la modélisation E#
La cinquième découpe que nous testons correspond à un cas où une des arêtes du TETRA10 voit la lsn s’annuler exactement deux fois, en une de ses extrémités et en son point milieu, tandis qu’une arête adjacente voit la lsn s’annuler sur ses 3 nœuds. Un exemple de cette configuration est représenté Figure .
Figure 6.1-a : représentation de la découpe de la modélisation E
Pour la découpe on se ramène au cas plus classique représenté Figure , dont la découpe en sous-tétraèdres est détaillée dans [R7.02.12].
Figure 6.1-b : : configuration saine correspondante
Caractéristiques du maillage#
Pour se «retrouver» dans cette configuration de découpe, la lsn est définie nœud par nœud. En effet, il est difficile d’exhiber pour la lsn une fonction qui nous ramène à la configuration de la Figure . La valeur de la lsn en chaque nœud est résumée sur la Figure .
Figure 6.2-a : valeur de la lsn en chaque nœud pour la modélisation E
Les arêtes du TETRA sont alors intersectées par la level set aux 5 points suivants:
Point d’intersection |
Coordonnées |
IP1 |
(1,0,0) |
IP2 |
(0,0,1) |
IP3 |
(0.5,0.5,0) |
IP4 |
(0.5,0,0.5) |
IP5 |
(0,0,0.7) |
Grandeurs testées et résultats#
Après exécution de la commande MODI_MODELE_XFEM, on vérifie que les 5 points d’intersection IP1, IP2, IP3, IP4 et IP5 sont bien dans le groupe NFISSU et que leur position est correcte.
Grandeurs testées |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance |
COORX IP1 |
“ANALYTIQUE” |
1.0 |
10E-06 |
COORY IP1 |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
10E-06 |
COORZ IP1 |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
10E-06 |
COORX IP2 |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
10E-06 |
COORY IP2 |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
10E-06 |
COORZ IP2 |
“ANALYTIQUE” |
1.0 |
10E-06 |
COORX IP3 |
“ANALYTIQUE” |
0.5 |
10E-06 |
COORY IP3 |
“ANALYTIQUE” |
0.5 |
10E-06 |
COORZ IP3 |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
10E-06 |
COORX IP4 |
“ANALYTIQUE” |
0.5 |
10E-06 |
COORY IP4 |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
10E-06 |
COORZ IP4 |
“ANALYTIQUE” |
0.5 |
10E-06 |
COORX IP5 |
“ANALYTIQUE” |
0,0 |
10E-06 |
COORY IP5 |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
10E-06 |
COORZ IP5 |
“ANALYTIQUE” |
0.7 |
10E-06 |
On a également post-traité le maillage découpé (Figure ) grâce à SALOME. La découpe obtenue est conforme aux attentes, avec 3 sous-tétraèdres qui sont conformes avec la discontinuité.
Figure 6.3-a : configuration de découpe de la modélisation E
Modélisation F#
Caractéristiques de la modélisation F#
La sixième découpe que nous testons correspond à un cas où une des arêtes du TETRA10 voit la lsn s’annuler en ses 3 nœuds tandis que deux arêtes adjacentes voient la lsn s’annuler exactement deux fois, en une de ses extrémités et en son point milieu. Un exemple de cette configuration est représenté Figure .
Figure 7.1-a : représentation de la découpe de la modélisation F
Pour la découpe on se ramène au cas plus classique représenté Figure , dont la découpe en sous-tétraèdres est détaillée dans [R7.02.12].
Figure 7.1-b : : configuration saine correspondante
Caractéristiques du maillage#
Pour se «retrouver» dans cette configuration de découpe, la lsn est définie nœud par nœud. En effet, il est difficile d’exhiber pour la lsn une fonction qui nous ramène à la configuration de la Figure . La valeur de la lsn en chaque nœud est résumée sur la Figure .
Figure 7.2-a : valeur de la lsn en chaque nœud pour la modélisation F
Les arêtes du TETRA sont alors intersectées par la level set aux 6 points suivants:
Point d’intersection |
Coordonnées |
IP1 |
(0,1,0) |
IP2 |
(0,0,1) |
IP3 |
(0,0.5,0.5) |
IP4 |
(0,0.5,0) |
IP5 |
(0.5,0,0.5) |
IP6 |
(\(\frac{2}{3}\) ,0,0) |
Grandeurs testées et résultats#
Après exécution de la commande MODI_MODELE_XFEM, on vérifie que les 6 points d’intersection IP1, IP2, IP3, IP4, IP5 et IP6 sont bien dans le groupe NFISSU et que leur position est correcte.
Grandeurs testées |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance |
COORX IP1 |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
10E-06 |
COORY IP1 |
“ANALYTIQUE” |
1.0 |
10E-06 |
COORZ IP1 |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
10E-06 |
COORX IP2 |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
10E-06 |
COORY IP2 |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
10E-06 |
COORZ IP2 |
“ANALYTIQUE” |
1.0 |
10E-06 |
COORX IP3 |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
10E-06 |
COORY IP3 |
“ANALYTIQUE” |
0.5 |
10E-06 |
COORZ IP3 |
“ANALYTIQUE” |
0.5 |
10E-06 |
COORX IP4 |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
10E-06 |
COORY IP4 |
“ANALYTIQUE” |
0,5 |
10E-06 |
COORZ IP4 |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
10E-06 |
COORX IP5 |
“ANALYTIQUE” |
0,5 |
10E-06 |
COORY IP5 |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
10E-06 |
COORZ IP5 |
“ANALYTIQUE” |
0.5 |
10E-06 |
COORZ IP6 |
“ANALYTIQUE” |
0.66666666666 |
10E-06 |
COORZ IP6 |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
10E-06 |
COORZ IP6 |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
10E-06 |
On a également post-traité le maillage découpé (Figure ) grâce à SALOME. La découpe obtenue est conforme aux attentes, avec 6 sous-tétraèdres qui sont conformes avec la discontinuité.
Figure 7.3-a : configuration de découpe de la modélisation F
Modélisation G#
Caractéristiques de la modélisation G#
La septième découpe que nous testons ne correspond pas à un cas dégénéré, c’est un cas de découpe à part entière qui a cependant la particularité de présenter une arête qui voit la lsn s’annuler exactement deux fois, en une de ses extrémités et en son point milieu. Un exemple de cette configuration est représenté Figure .
Figure 8.1-a : représentation de la découpe de la modélisation G
La découpe du tétraèdre ci-dessus est décrite dans [R7.02.12]. De part et d’autre de la surface lsn =0 se trouve une pyramide et un pentaèdre. Ce tétraèdre donnera alors naissance à 5 sous tétraèdres enfants.
Caractéristiques du maillage#
Pour se «retrouver» dans cette configuration de découpe, la lsn est définie nœud par nœud. En effet, il est difficile d’exhiber pour la lsn une fonction qui nous ramène à la configuration de la Figure . La valeur de la lsn en chaque nœud est résumée sur la Figure .
Figure 8.2-a : valeur de la lsn en chaque nœud pour la modélisation G
Les arêtes du TETRA sont alors intersectées par la level set aux 4 points suivants:
Point d’intersection |
Coordonnées |
IP1 |
(0,0,1) |
IP2 |
(0.5,0,0.5) |
IP3 |
(0.7,0.3,0) |
IP4 |
(0,0.3,0) |
Grandeurs testées et résultats#
Après exécution de la commande MODI_MODELE_XFEM, on vérifie que les 4 points d’intersection IP1, IP2, IP3 et IP4 sont bien dans le groupe NFISSU et que leur position est correcte.
Grandeurs testées |
Type de référence |
Valeur de référence |
Tolérance |
COORX IP1 |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
10E-06 |
COORY IP1 |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
10E-06 |
COORZ IP1 |
“ANALYTIQUE” |
1.0 |
10E-06 |
COORX IP2 |
“ANALYTIQUE” |
0.5 |
10E-06 |
COORY IP2 |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
10E-06 |
COORZ IP2 |
“ANALYTIQUE” |
0.5 |
10E-06 |
COORX IP3 |
“ANALYTIQUE” |
0.7 |
10E-06 |
COORY IP3 |
“ANALYTIQUE” |
0.3 |
10E-06 |
COORZ IP3 |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
10E-06 |
COORX IP4 |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
10E-06 |
COORY IP4 |
“ANALYTIQUE” |
0,3 |
10E-06 |
COORZ IP4 |
“ANALYTIQUE” |
0.0 |
10E-06 |
On a également post-traité le maillage découpé (Figure ) grâce à SALOME. La découpe obtenue est conforme aux attentes, avec 5 sous-tétraèdres qui sont conformes avec la discontinuité.
Figure 8.3-a : configuration de découpe de la modélisation G
Synthèse des résultats#
La découpe est bien celle attendue dans la routine TOPOSE pour ces 7 configurations 3D pour lesquelles la lsn est rasante.