v6.03.312 SSNP312 - DMT94.132 Fissure parallèle à l’interface dans une éprouvette CT bimétallique#
Résumé:
Ce test est issu de la validation indépendante de la version 3 en mécanique de la rupture.
Il s’agit d’un test bidimensionnel en statique (déformations planes) qui porte sur le calcul d’une fissure parallèle à l’interface entre deux matériaux, pour une géométrie non triviale en domaine borné.
La structure a un comportement élastoplastique de Von Mises à écrouissage isotrope. Les calculs sont menés en élasticité non linéaire.
L’objectif de ce cas test est l’étude de la sensibilité de \(G\) au choix des couronnes.
Il comprend deux modélisations \(\mathrm{2D}\) planes dans lesquelles on étudie l’influence d’un déplacement incrémental imposé. La première modélisation utilise des éléments linéaires, l’autre des éléments quadratiques.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
La solution de référence utilisée est une formule semi-empirique issue des travaux de l’ASTM [bib1].
Résultats de référence#
La formule de l’ASTM pour l’intégrale de Rice \(J\) est la suivante:
\({J}_{\mathit{ASTM}}=(2+0,522\mathrm{\ast }{b}_{0}/w)\mathrm{\ast }A/{b}_{0}\) ,
où \({b}_{0}=w-{a}_{0}\) est la longueur initiale du ligament et où \(A\) est l’aire sous la courbe charge-déplacement au point \(A\) , c’est à dire le travail de la charge appliquée.
L’intégrale \({J}_{\mathit{ASTM}}\) est comparée sur la figure ci-dessous au taux de restitution de l’énergie \(G\) issu d’un calcul par éléments finis avec CASTEM2000 et la méthode theta [bib2]. On trace également la courbe de réponse force-déplacement et l’ouverture des lèvres de la fissure calculées par éléments finis.
Taux de restitution de l’énergie \(G\) en fonction du déplacement en \(A\)
Courbe de réponse force-déplacement au point \(A\)
Déplacement vertical des deux lèvres de la fissure
Incertitude sur la solution#
Il faut signaler que la solution de référence n’est pas une solution exacte et qu’elle ne s’applique pas, en général, dans le cas des bi-matériaux. Elle est cependant exploitable pour cette étude car la fissure n’est pas située à l’interface des deux matériaux
L’écart maximum entre les résultats CASTEM2000 et la formule de l’ASTM est d’environ \(\text{9 \%}\) pour la première couronne (la plus proche de la fissure) et le chargement maximum. Cet écart diminue quand on prend des couronnes plus éloignées du fond de fissure.
Le calcul Castem 2000 a été mené sur le même maillage que la modélisation A de ce cas test.
Références bibliographiques#
American Society for Testing and Materials. Annual Book of ASTM Standards, vol 3.01, Section 3, Metals Test Methods and Analytical Procedures, article E813, page 711, 1990.
X.Z. SUO et J. BROCHARD: Calcul élasto-plastique d’une éprouvette CT bimétallique avec une fissure proche de l’interface. Rapport CEA DMT/94-132
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
La totalité de l’éprouvette est maillée en éléments quadrangulaires à 4 noeuds ou triangulaires à 3 nœuds.
Elle comporte 799 nœuds, 624 quadrangles, 185 triangles et 261 segments.
Caractéristiques du maillage#
Éléments très petits (\(0,02\mathrm{mm}\) ) à la pointe de la fissure.
La première couronne est située dans un seul matériau, les 4 autres couronnes traversent l’interface entre les deux matériaux.
Grandeurs testées et résultats#
Le taux de restitution d’énergie \(G\) est calculé par la méthode \(\mathrm{THETA}\) pour les 5 couronnes suivantes :
Couronne 0 : \({R}_{\inf}=0,02\mathrm{mm}\) \({R}_{\text{sup }}=0,18\mathrm{mm}\)
Couronne 1 : \({R}_{\inf}=0,2\mathrm{mm}\) \({R}_{\sup}=1\mathrm{mm}\)
Couronne 2 : \({R}_{\inf}=1\mathrm{mm}\) \({R}_{\sup}=2\mathrm{mm}\)
Couronne 3 : \({R}_{\inf}=2\mathrm{mm}\) \({R}_{\sup}=3\mathrm{mm}\)
Couronne 4 : \({R}_{\inf}=3\mathrm{mm}\) \({R}_{\sup}=5\mathrm{mm}\)
Valeurs testées
Identification |
Référence J ASTM |
Aster |
\(\text{\%}\) différence |
G (N/mm) Couronne n°0 UY=0,2 mm |
5,8 |
6,0 |
3,1 |
G (N/mm) Couronne n°0 UY=0,4 mm |
22,6 |
23,2 |
2,8 |
G (N/mm) Couronne n°0 UY=0,6 mm |
47,2 |
48,2 |
2,0 |
G (N/mm) Couronne n°0 UY=0,8 mm |
74,7 |
75,0 |
0,5 |
G (N/mm) Couronne n°0 UY=1,0 mm |
103,7 |
102,8 |
-0,8 |
G (N/mm) Couronne n°1 UY=0,2 mm |
5,8 |
6,10 |
4,6 |
G (N/mm) Couronne n°1 UY=0,4 mm |
22,6 |
23,2 |
2,8 |
G (N/mm) Couronne n°1 UY=0,6 mm |
47,2 |
47,3 |
0,1 |
G (N/mm) Couronne n°1 UY=0,8 mm |
74,7 |
73,1 |
2,2 |
G (N/mm) Couronne n°1 UY=1,0 mm |
103,7 |
99,8 |
3,8 |
G (N/mm) Couronne n°2 UY=0,2 mm |
5,8 |
6,1 |
4,3 |
G (N/mm) Couronne n°2 UY=0,4 mm |
22,6 |
23,3 |
3,2 |
G (N/mm) Couronne n°2 UY=0,6 mm |
47,2 |
48,0 |
1,6 |
G (N/mm) Couronne n°2 UY=0,8 mm |
74,7 |
74,9 |
0,3 |
G (N/mm) Couronne n°2 UY=1,0 mm |
103,7 |
103,1 |
0,3 |
Identification |
Référence J ASTM |
Aster |
\(\text{\%}\) différence |
G (N/mm) Couronne n°3 UY=0,2 mm |
5,8 |
6,1 |
4,4 |
G (N/mm) Couronne n°3 UY=0,4 mm |
22,6 |
23,3 |
3,3 |
G (N/mm) Couronne n°3 UY=0,6 mm |
47,2 |
48,2 |
1,9 |
G (N/mm) Couronne n°3 UY=0,8 mm |
74,7 |
75,5 |
1,0 |
G (N/mm) Couronne n°3 UY=1,0 mm |
103,7 |
104,2 |
0,4 |
G (N/mm) Couronne n°4 UY=0,2 mm |
5,8 |
6,1 |
4,5 |
G (N/mm) Couronne n°4 UY=0,4 mm |
22,6 |
23,4 |
3,4 |
G (N/mm) Couronne n°4 UY=0,6 mm |
47,2 |
48,2 |
2,1 |
G (N/mm) Couronne n°4 UY=0,8 mm |
74,7 |
75,5 |
1,1 |
G (N/mm) Couronne n°4 UY=1,0 mm |
103,7 |
104,4 |
0,7 |
Stabilité de \(G\) au choix des couronnes
Identification |
Couronne 2 |
Couronne 3 |
Couronne 4 |
\(\text{\%}\) écart maximum |
G (N/mm) UY=0,2 mm |
6,1 |
6,1 |
6,1 |
0,2 |
G (N/mm) UY=0,4 mm |
23,3 |
23,3 |
23,4 |
0,1 |
G (N/mm) UY=0,6 mm |
48,0 |
48,2 |
48,2 |
0,4 |
G (N/mm) UY=0,8 mm |
74,9 |
75,5 |
75,5 |
0,5 |
G (N/mm) UY=1,0 mm |
103,1 |
104,2 |
104,4 |
0,4 |
Remarques#
Dans tous les cas, la valeur absolue de l’écart sur le calcul de \(G\) est inférieure à \(\text{5\%}\) . Pour les couronnes 3 à 5, l’écart diminue en fonction du déplacement pour atteindre une valeur quasi nulle.
La stabilité sur les couronnes 2, 3 et 4 est très bonne, l’écart entre couronnes est toujours inférieur à \(\text{0,5 \%}\) .
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
La totalité de l’éprouvette est maillée en éléments quadrangulaires à 8 nœuds ou triangulaires à 6 nœuds.
Elle comporte 2416 nœuds, 625 quadrangles, 185 triangles et 264 segments.
Caractéristiques du maillage#
Grandeurs testées et résultats#
Le taux de restitution d’énergie \(G\) est calculé par la méthode \(\mathrm{THETA}\) pour les 5 couronnes suivantes :
Couronne 0 : \({R}_{\inf}=0,02\mathrm{mm}\) \({R}_{\sup}=0,18\mathrm{mm}\)
Couronne 1 : \({R}_{\inf}=0,2\mathrm{mm}\) \({R}_{\sup}=1\mathrm{mm}\)
Couronne 2 : \({R}_{\inf}=1\mathrm{mm}\) \({R}_{\sup}=2\mathrm{mm}\)
Couronne 3 : \({R}_{\inf}=2\mathrm{mm}\) \({R}_{\sup}=3\mathrm{mm}\)
Couronne 4 : \({R}_{\inf}=3\mathrm{mm}\) \({R}_{\sup}=5\mathrm{mm}\)
Identification |
Référence \({J}_{\mathrm{ASTM}}\) |
Aster |
\(\text{\%}\) différence |
G (N/mm) Couronne n°0 UY=0,2 mm |
5,8 |
6,2 |
6,9 |
G (N/mm) Couronne n°0 UY=0,4 mm |
22,6 |
23,1 |
2,1 |
G (N/mm) Couronne n°0 UY=0,6 mm |
47,2 |
47,2 |
0,2 |
G (N/mm) Couronne n°0 UY=0,8 mm |
74,7 |
72,8 |
2,5 |
G (N/mm) Couronne n°0 UY=1,0 mm |
103,7 |
98,2 |
4,3 |
G (N/mm) Couronne n°1 UY=0,2 mm |
5,8 |
5,3 |
8,7 |
G (N/mm) Couronne n°1 UY=0,4 mm |
22,6 |
20,7 |
8,3 |
G (N/mm) Couronne n°1 UY=0,6 mm |
47,2 |
43,8 |
7,3 |
G (N/mm) Couronne n°1 UY=0,8 mm |
74,7 |
68,6 |
8,2 |
G (N/mm) Couronne n°1 UY=1,0 mm |
103,7 |
94,2 |
9,2 |
G (N/mm) Couronne n°2 UY=0,2 mm |
5,8 |
5,4 |
7,4 |
G (N/mm) Couronne n°2 UY=0,4 mm |
22,6 |
21,1 |
6,8 |
G (N/mm) Couronne n°2 UY=0,6 mm |
47,2 |
44,2 |
6,4 |
G (N/mm) Couronne n°2 UY=0,8 mm |
74,7 |
69,1 |
7,5 |
G (N/mm) Couronne n°2 UY=1,0 mm |
103,7 |
94,7 |
8,8 |
Identification |
Référence J ASTM |
Aster |
\(\text{\%}\) différence |
G (N/mm) Couronne n°3 UY=0,2 mm |
5,8 |
5,3 |
9,5 |
G (N/mm) Couronne n°3 UY=0,4 mm |
22,6 |
20,2 |
10,6 |
G (N/mm) Couronne n°3 UY=0,6 mm |
47,2 |
42,6 |
9,8 |
G (N/mm) Couronne n°3 UY=0,8 mm |
74,7 |
67,2 |
10,1 |
G (N/mm) Couronne n°3 UY=1,0 mm |
103,7 |
92,6 |
10,7 |
G (N/mm) Couronne n°4 UY=0,2 mm |
5,8 |
5,4 |
7,9 |
G (N/mm) Couronne n°4 UY=0,4 mm |
22,6 |
20,8 |
8,0 |
G (N/mm) Couronne n°4 UY=0,6 mm |
47,2 |
43,7 |
7,5 |
G (N/mm) Couronne n°4 UY=0,8 mm |
74,7 |
68,4 |
8,4 |
G (N/mm) Couronne n°4 UY=1,0 mm |
103,7 |
93,8 |
9,5 |
Stabilité de \(G\) au choix des couronnes
Identification |
Couronne 2 |
Couronne 3 |
Couronne 4 |
\(\text{\%}\) écart maximum |
G (N/mm) UY=0,2 mm |
5,4 |
5,3 |
5,4 |
2,2 |
G (N/mm) UY=0,4 mm |
21,1 |
20,2 |
20,8 |
4,2 |
G (N/mm) UY=0,6 mm |
44,2 |
42,6 |
43,7 |
3,7 |
G (N/mm) UY=0,8 mm |
69,1 |
67,2 |
68,4 |
2,8 |
G (N/mm) UY=1,0 mm |
94,7 |
92,6 |
93,8 |
2,1 |
Remarques#
La valeur de \(G\) du modèle Aster est inférieure à celle de la référence.
L’écart est d’environ \(\text{10\%}\) pour l’ensemble des couronnes. La stabilité entre les couronnes est satisfaisante.
Synthèse des résultats#
On rappelle que la solution de référence n’est pas une solution exacte et qu’elle ne s’applique pas, en général, dans le cas des bi-matériaux. Par ailleurs, les calculs sont menés en élasticité non linéaire sur une fissure; en toute rigueur, il conviendrait de faire les calculs en élastoplasticité sur une entaille.
La modélisation A (degré 1) donne des résultats conformes à ceux de la référence.
La modélisation B (degré 2) fait apparaître un écart d’environ \(\text{8\%}\) sur la valeur de \(G\) .
On peut remarquer que les couronnes éloignées de la fissure fournissent des résultats plus précis et plus stables que ceux proches du fond de fissure.