v7.22.121 HSNV121 - Traction en grandes déformations plastiques d’un barreau sous chargement thermique#

Résumé:

Ce test thermomécanique quasi-statique consiste à chauffer uniformément un barreau de section rectangulaire (\(\mathrm{3D}\) ) ou cylindrique (\(\mathrm{2D}\) axisymétrique) puis à le soumettre à une traction. On valide ainsi la cinématique des grandes déformations en plasticité (commande STAT_NON_LINE, mot-clé DEFORMATION: “SIMO_MIEHE” ou “PETIT_REAC”) pour une relation de comportement en grandes déformations avec écrouissage isotrope linéaire (commande STAT_NON_LINE, mot-clé RELATION : “VMIS_ISOT_LINE” et “VMIS_ISOT_TRAC”) avec chargement thermomécanique. Avec des modélisations coque ou plaque, les grandes déformations en plasticité sont accessibles grâce au mot-clé DEFORMATION: “PETIT_REAC” pourvu que les rotations restent faibles.

Le barreau est modélisé par un élément volumique (HEXA20, modélisationA) ou quadrangulaire (QUAD4, pour une modélisation axisymétrique, modélisationB) ou par des éléments de plaque ou de coque (DKT pour la modélisation C et COQUE_3D pour la modélisation D).

La solution est analytique.

Solution de référence#

Résultat de la solution de référence#

Pour un essai de traction suivant la direction \(x\) , le tenseur de Kirchhoff \(\tau\) est de la forme:

Les tenseurs gradients de la transformation

et

et le tenseur isochore de déformations plastiques

sont de la forme:

Par la loi de comportement, on obtient la relation suivante:

soit

La contrainte de Cauchy s’écrit:

En charge plastique pour un écrouissage isotrope

linéaire, tel que :

on a:

L’intégration de la loi d’écoulement de la déformation plastique \({G}^{P}\) donne (sachant que \({G}^{P}(p=0)=1\) ):

\({G}^{P}={e}^{-2p}\)

La composante \(\stackrel{ˉ}{F}\) du gradient de la transformation est donnée par la résolution de:

Le champ de déplacement \(u\) (dans la configuration initiale) est de la forme \(u={u}_{x}X+{u}_{y}Y+{u}_{z}Z\) . Les composantes sont données par:

Résultats de référence#

On adoptera comme résultats de référence les déplacements, la contrainte de Cauchy \(\sigma\) et la déformation plastique cumulée \(p\) .

Au temps \(t=\mathrm{2 }s\) (\(\Delta T=100°C\) , traction \(u\) )

On cherche le déplacement total (thermique + mécanique) tel que la contrainte \(\tau\) soit égale à:

\(\tau =1500\mathit{Mpa}\) (à \(T=120°C\) )

\(\mathrm{3K}=500000\mathit{MPa}\) \(\mu =76923\mathit{MPa}\)
\(\sigma =1453\mathit{MPa}\)
\(p=0,2475\)
\({G}^{p}=0,609\)
\(\stackrel{ˉ}{F}=1,289\)
\(F=1,303\)
\(\tilde{u}=303\mathit{mm}\)
\(\tilde{v}=–110\mathit{mm}\)

Avec ces grandeurs, il est possible de déterminer l’énergie élastique du barreau. Attention, la présence de thermique engendre un jacobien élevé, nécessitant une correction spécifique telle que décrite en R5.03.21. Au final, on obtient au point matériel : \({\Psi}_{\mathit{elas}}=5,6\mathit{MPa}\)

Incertitude sur la solution#

La solution est analytique. Aux erreurs d’arrondis près, on peut la considérer exacte.

Références bibliographiques#

On pourra se référer à :

1. CANO, E. LORENTZ: Introduction dans le Code_Aster d’un modèle de comportement en grandes déformations élastoplastique avec écrouissage isotrope - Note interne EDF DER HI‑74/98/006/0

Modélisation A#

Caractéristiques de la modélisation#

Modélisation volumique:

1 maille HEXA20 1 maille QUAD8

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Conditions aux limites:

\(\mathit{N2}\) :

\(\mathit{N1}\) :

\(\mathit{N6}\) :

\(\mathit{N9}\) , \(\mathit{N13}\) , \(\mathit{N14}\) , \(\mathit{N5}\) , \(\mathit{N17}\) :

Charge: Traction sur la face \([348711161915]\) + affectation de la même température sur tous les nœuds.

Le nombre total d’incréments est de 21 (1 incrément entre \(t=\mathrm{0s}\) et \(\mathrm{1s}\) , 20 incréments entre \(t=\mathrm{1s}\) et \(2s\) )

La convergence est réalisée si le résidu RESI_GLOB_RELA est inférieur ou égal à 10–6.

Caractéristiques du maillage#

Nombre de nœuds: 20

Nombre de mailles: 2

1 HEXA20

1 QUAD8

Grandeurs testées et résultats#

Identification	Référence	Tolérance
\(t=2\) Déplacement \(\mathit{DX}\) (\(N8\) )	303	1.00%
\(t=2\) Déplacement \(\mathit{DY}\) (\(N8\) )	–110	1.00%
\(t=2\) Déplacement \(\mathit{DZ}\) (\(N8\) )	–110	1.00%
\(t=2\) Contraintes \(\mathit{SIGXX}\) (\(\mathit{PG}1\) )	1453	1.00%
\(t=2\) Variable \(\mathit{VARI}\) (\(\mathit{PG}1\) )	0.2475	1,50%
\(t=2\) Variable \(\mathit{INDIPLAS}\) (\(\mathit{PG}1\) )		0,10%
\(t=2\) ENER_ELAS, TOTALE	5.60E+009	5.00%

Avec \(\mathit{INDIPLAS}\) l’indicateur de plasticité.