v3.03.027 SSLS27 - Plaque mince vrillée ou fléchie#
Résumé:
Le test, repris du guide VPCS, permet de vérifier le comportement d’une plaque plane encastrée soumise à son extrémité libre à deux forces nodales de même signe (flexion) ou de signe opposé (torsion).
Le premier chargement constitue une extension du test initial pour lequel une solution de référence est donnée en [bib3].
5 modélisations sont réalisées: DKT, DST, DKQ, DSQ et Q4G.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
La solution de référence est celle donnée dans la fiche SSLS27/89 du guide VPCS :
Déplacement du point \(C\) : \(w=35.37{10}^{-7}m\)
Résultante des efforts à l’encastrement (\(\mathit{AD}\) ) suivant \(\mathit{DZ}\) : \({\mathit{RESULT}}_{Z}=0\)
Moment associé à la résultante des efforts à l’encastrement au milieu de \(\mathit{AD}\) :
\({\mathit{MOMENT}}_{X}=-1\)
\({\mathit{MOMENT}}_{Y}=0\)
Forces de même sens perpendiculaires à la plaque [bib3]
La formulation en poutre d’Euler donne une solution approchée pour un coefficient de Poisson \(\nu\) différent.
Déplacement de tous les nœuds du côté \(\mathrm{BC}\) :
Résultante des efforts à l’encastrement (\(\mathit{AD}\) ) suivant \(\mathit{DZ}\) : \({\mathit{RESULT}}_{Z}=-2\)
Moment associé à la résultante des efforts à l’encastrement au milieu de \(\mathit{AD}\) :
\({\mathit{MOMENT}}_{X}=0\)
\({\mathit{MOMENT}}_{Y}=24\)
Résultats de référence#
Déplacement des points \(B\) , \(C\) et \(E\) . Résultante à l’encastrement le long de \(\mathit{AD}\) , moment à l’encastrement par rapport aux axes \(X\) et \(Y\) au milieu de \(\mathit{AD}\) .
Incertitude sur la solution#
Solution analytique.
Références bibliographiques#
ROBINSON « Element evaluation. A set of assessment parts and standard tests » Proceedings of Finite Element Methods in the commercial Environment, Vol. 1, (octobre 1978).
J.L. BATOZ, M.B. TAHAR « Evaluation of new quadrilateral thin plate boundary element » International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 18, John Wiley & Sons (1982).
R.J. ROARK, W.C. YOUNG « Formulas for Stress and Strain » New-York : McGraw‑Hill, 5°édition, p 96.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Élément de coque DKT
Découpage : |
12 en longueur |
4 en largeur : |
96 mailles TRIA3 |
avec symétrie par rapport axe \(\mathit{Ox}\) |
|||
Élancement |
transversal |
\(b/\mathrm{4t}=5\) |
|
longitudinal |
\(L/\mathrm{12t}=20\) |
2 cas de charges
Forces opposées
Forces de même sens
Nom des nœuds :
Point \(A=\mathit{N1}\) |
Point \(C=\mathit{N65}\) |
Point \(E=\mathit{N39}\) |
Point \(B=\mathit{N13}\) |
Point \(D=\mathit{N53}\) |
Caractéristiques du maillage#
Nombre de noeuds: 65
Nombre de mailles et types: 96 TRIA3
Grandeurs testées et résultats#
Cas de charge |
Point |
Grandeur et unité |
Référence |
Type de référence |
Tolérance |
1 |
\(B\) |
déplacement \(\mathit{DZ}(m)\) |
–3.537 10–6 |
“ANALYTIQUE” |
0.5% |
\(E\) |
déplacement \(\mathit{DZ}(m)\) |
0 |
“ANALYTIQUE” |
1.0E-12 |
|
\(C\) |
déplacement \(\mathit{DZ}(m)\) |
3.537 10–6 |
“ANALYTIQUE” |
0.5% |
|
2 |
\(B\) |
déplacement \(\mathit{DZ}(m)\) |
1.1059 10–3 |
“ANALYTIQUE” |
1% |
\(E\) |
déplacement \(\mathit{DZ}(m)\) |
1.1059 10–3 |
“ANALYTIQUE” |
1% |
|
\(C\) |
déplacement \(\mathit{DZ}(m)\) |
1.1059 10–3 |
“ANALYTIQUE” |
1% |
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
Élément de coque DST
Découpage : |
12 en longueur |
4 en largeur : |
96 mailles TRIA3 |
avec symétrie par rapport axe \(\mathit{Ox}\) |
|||
Élancement |
transversal |
\(b/\mathrm{4t}=5\) |
|
longitudinal |
\(L/\mathrm{12t}=20\) |
2 cas de charges
Forces opposées
Forces de même sens
Nom des nœuds :
Point \(A=\mathit{N1}\) |
Point \(C=\mathit{N65}\) |
Point \(E=\mathit{N39}\) |
Point \(B=\mathit{N13}\) |
Point \(D=\mathit{N53}\) |
Point \(F=\mathit{N27}\) |
Caractéristiques du maillage#
Nombre de noeuds: 65
Nombre de mailles et types: 96 TRIA3
Grandeurs testées et résultats#
Cas de charge |
Point |
Grandeur et unité |
Référence |
Type de référence |
Tolérance |
1 |
\(B\) |
déplacement \(\mathit{DZ}(m)\) |
–3.537 10–6 |
“ANALYTIQUE” |
0.5% |
\(E\) |
déplacement \(\mathit{DZ}(m)\) |
0 |
“ANALYTIQUE” |
1.0E-12 |
|
\(C\) |
déplacement \(\mathit{DZ}(m)\) |
3.537 10–6 |
“ANALYTIQUE” |
0.5% |
|
\(\mathit{AD}\) |
Force résultante \(\mathit{DZ}(N)\) |
0 |
“ANALYTIQUE” |
1.0E-8 |
|
\(F\) |
Moment \(\mathit{DRX}(\mathit{N.m})\) |
-1 |
“ANALYTIQUE” |
1.0E-6% |
|
\(F\) |
Moment \(\mathit{DRY}(\mathit{N.m})\) |
0 |
“ANALYTIQUE” |
1.0E-8 |
|
2 |
\(B\) |
déplacement \(\mathit{DZ}(m)\) |
1.1059 10–3 |
“ANALYTIQUE” |
1% |
\(E\) |
déplacement \(\mathit{DZ}(m)\) |
1.1059 10–3 |
“ANALYTIQUE” |
1% |
|
\(C\) |
déplacement \(\mathit{DZ}(m)\) |
1.1059 10–3 |
“ANALYTIQUE” |
1% |
|
\(\mathit{AD}\) |
Force résultante \(\mathit{DZ}(N)\) |
-2 |
“ANALYTIQUE” |
1.0E-6% |
|
\(F\) |
Moment \(\mathit{DRX}(\mathit{N.m})\) |
0 |
“ANALYTIQUE” |
1.0E-8 |
|
\(F\) |
Moment \(\mathit{DRY}(\mathit{N.m})\) |
24 |
“ANALYTIQUE” |
1.0E-6% |
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation#
Élément de coque DKT
Découpage : |
12 en longueur |
4 en largeur : |
48 mailles QUAD4 |
avec symétrie par rapport axe \(\mathit{Ox}\) |
|||
Élancement |
transversal |
\(b/\mathrm{4t}=5\) |
|
longitudinal |
\(L/\mathrm{12t}=20\) |
2 cas de charges
Forces opposées
Forces de même sens
Caractéristiques du maillage#
Nombre de noeuds: 65
Nombre de mailles et types: 48 QUAD4
Grandeurs testées et résultats#
Cas de charge |
Point |
Grandeur et unité |
Référence |
Type de référence |
Tolérance |
1 |
\(B\) |
déplacement \(\mathit{DZ}(m)\) |
–3.537 10–6 |
“ANALYTIQUE” |
0.5% |
\(E\) |
déplacement \(\mathit{DZ}(m)\) |
0 |
“ANALYTIQUE” |
1.0E-12 |
|
\(C\) |
déplacement \(\mathit{DZ}(m)\) |
3.537 10–6 |
“ANALYTIQUE” |
0.5% |
|
2 |
\(B\) |
déplacement \(\mathit{DZ}(m)\) |
1.1059 10–3 |
“ANALYTIQUE” |
1% |
\(E\) |
déplacement \(\mathit{DZ}(m)\) |
1.1059 10–3 |
“ANALYTIQUE” |
1% |
|
\(C\) |
déplacement \(\mathit{DZ}(m)\) |
1.1059 10–3 |
“ANALYTIQUE” |
1% |
Modélisation D#
Caractéristiques de la modélisation#
Élément de coque DST
Découpage : |
12 en longueur |
4 en largeur : |
48 mailles QUAD4 |
avec symétrie par rapport axe \(\mathit{Ox}\) |
|||
Élancement |
transversal |
\(b/\mathrm{4t}=5\) |
|
longitudinal |
\(L/\mathrm{12t}=20\) |
2 cas de charges
Forces opposées
Forces de même sens
Caractéristiques du maillage#
Nombre de noeuds: 65
Nombre de mailles et types: 48 QUAD4
Grandeurs testées et résultats#
Cas de charge |
Point |
Grandeur et unité |
Référence |
Type de référence |
Tolérance |
1 |
\(B\) |
déplacement \(\mathit{DZ}(m)\) |
–3.537 10–6 |
“ANALYTIQUE” |
0.5% |
\(E\) |
déplacement \(\mathit{DZ}(m)\) |
0 |
“ANALYTIQUE” |
1.0E-12 |
|
\(C\) |
déplacement \(\mathit{DZ}(m)\) |
3.537 10–6 |
“ANALYTIQUE” |
0.5% |
|
2 |
\(B\) |
déplacement \(\mathit{DZ}(m)\) |
1.1059 10–3 |
“ANALYTIQUE” |
1% |
\(E\) |
déplacement \(\mathit{DZ}(m)\) |
1.1059 10–3 |
“ANALYTIQUE” |
1% |
|
\(C\) |
déplacement \(\mathit{DZ}(m)\) |
1.1059 10–3 |
“ANALYTIQUE” |
1% |
Modélisation E#
Caractéristiques de la modélisation#
Élément de coque Q4G
Découpage : |
12 en longueur |
4 en largeur : |
48 mailles QUAD4 |
avec symétrie par rapport axe \(\mathit{Ox}\) |
|||
Élancement |
transversal |
\(b/\mathrm{4t}=5\) |
|
longitudinal |
\(L/\mathrm{12t}=20\) |
2 cas de charges
Forces opposées
Forces de même sens
Caractéristiques du maillage#
Nombre de noeuds: 65
Nombre de mailles et types: 48 QUAD4
Grandeurs testées et résultats#
Cas de charge |
Point |
Grandeur et unité |
Référence |
Type de référence |
Tolérance |
1 |
\(B\) |
déplacement \(\mathit{DZ}(m)\) |
–3.537 10–6 |
“ANALYTIQUE” |
0.5% |
\(E\) |
déplacement \(\mathit{DZ}(m)\) |
0 |
“ANALYTIQUE” |
1.0E-12 |
|
\(C\) |
déplacement \(\mathit{DZ}(m)\) |
3.537 10–6 |
“ANALYTIQUE” |
0.5% |
|
2 |
\(B\) |
déplacement \(\mathit{DZ}(m)\) |
1.1059 10–3 |
“ANALYTIQUE” |
1% |
\(E\) |
déplacement \(\mathit{DZ}(m)\) |
1.1059 10–3 |
“ANALYTIQUE” |
1% |
|
\(C\) |
déplacement \(\mathit{DZ}(m)\) |
1.1059 10–3 |
“ANALYTIQUE” |
1% |
Synthèse des résultats#
On retrouve les résultats analytiques avec un très bon accord que la modélisation tienne compte du cisaillement transverse ou pas.