r7.04.02 Estimation de la fatigue sous sollicitation aléatoire#
Résumé :
Cette note présente deux méthodes de comptage de cycles de contraintes qui conduisent à une expression analytique du dommage mécanique engendré par un chargement aléatoire :
méthode de comptage des pics de contraintes,
méthode de comptage des dépassements d’un niveau donné.
La première méthode fait appel au signal, à sa dérivée première et à sa dérivée seconde. La seconde nécessite seulement la connaissance du signal et de sa dérivée première.
Les cycles de contraintes étant connus par ces méthodes, on détermine le dommage moyen sur la durée du signal, à l’aide de la méthode de Wöhler.
Évaluation du dommage#
Pour une structure sans défaut géométrique et soumise à une contrainte alternée pure, le nombre de cycles à la rupture est déterminé à partir d’un diagramme d’endurance, encore appelé courbe de Wöhler ou courbe \(S-N\) .
Le nombre de cycles à la rupture est déterminé par interpolation de la courbe de Wöhler du matériau pour un niveau de contrainte alternée (unidimensionnel) donnée (à chaque cycle élémentaire correspond un niveau d’amplitude de contrainte \(\mathrm{Ds}=\mid {s}_{\max}-{s}_{\min}\mid\) et une contrainte alternée \({S}_{\text{alt}}=1/\mathrm{2Ds}\) ).
Le dommage d’un cycle élémentaire est égal à l’inverse du nombre de cycles à la rupture:
\(D=\frac{1}{{N}_{r({S}_{\text{alt}})}}\)
Diagramme d’endurance#
Le diagramme d’endurance, également appelé courbe de Wöhler ou courbe \(S-N\) (courbe contraintes-nombre de cycles à la rupture) est obtenu expérimentalement en soumettant des éprouvettes à des cycles d’efforts périodiques (généralement sinusoïdaux) d’amplitude normale \(\sigma\) et de fréquences constantes, et en notant le nombre de cycles \({N}_{r}\) au bout duquel la rupture se produit [R7.04.01].
Les différentes formes mathématiques de la courbe de Wöhler sont décrites dans le document “Estimation de la fatigue à grands nombres de cycles”, [R7.04.01] ainsi que la façon de les introduire dans Code_Aster .
Coefficient de concentration élasto-plastique#
Il peut également être nécessaire de pondérer la valeur de la contrainte déterminée par la méthode de comptage par le coefficient de concentration élasto-plastique \({K}_{e}\) .
Le coefficient de concentration élasto-plastique \({K}_{e}\) (visé aux articles B3234.3 et B3234.5 du RCC_M [bib4]) est défini comme étant le rapport entre l’amplitude de déformation réelle et l’amplitude de déformation déterminée par l’analyse élastique.
La valeur du coefficient \({K}_{e}\) est donnée dans le document [R7.04.01].
Nombre de cycles de contraintes#
Rappels : moments spectraux et facteur d’irrégularité#
On appelle moment spectral d’ordre \(i\) la quantité suivante [R7.10.01]:
\({\lambda}_{i}=\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int}}{\mid \omega \mid }^{i}{G}_{\text{SS}}(\omega )d\omega\)
où \(\omega\) est la pulsation et \({G}_{\text{SS}}\) la densité spectrale de puissance ou DSP.
On a en particulier : \({\lambda}_{0}={s}_{S}^{2}{\lambda}_{2}={s}_{{S}^{'}}^{2}{\lambda}_{4}={s}_{{S}^{''}}^{2}\) qui sont les écarts type de \(S\) et de ses premières dérivées.
Le facteur d’irrégularité traduit l’allure fréquentielle du signal. Compris entre 0 et 1, il tend vers 1 lorsque le processus est à bande étroite, en revanche il tend vers 0 pour un processus large bande.
Son expression est:
\(I=\frac{{s}_{{S}^{'}}^{2}}{{s}_{{S}^{}}{s}_{{S}^{\text{''}}}}=\sqrt{\frac{{\lambda}_{2}^{2}}{{\lambda}_{0}{\lambda}_{4}}}\)
Nous rappelons ces définitions car l’évolution du signal est assimilée à un processus aléatoire caractérisé par ses paramètres statistiques (moments spectraux d’ordre 0, 2 et 4).
Pour la méthode de comptage des pics de contraintes, le signal aléatoire est entièrement caractérisé par les trois moments spectraux d’ordre 0, 2 et 4.
Dans le cas de la méthode de comptage des dépassements de niveau, les moments spectraux d’ordre 0 et 2 suffisent à caractériser le signal aléatoire.
De façon pratique, ces valeurs sont déterminées par la commande POST_DYNA_ALEA [U4.76.02] qui opère des traitements statistiques sur un chargement aléatoire. La définition des différents paramètres est donnée dans le document [R7.10.01].
L’opérateur de calcul de la fatigue dans le domaine aléatoire POST_FATI_ALEA [U4.67.05] utilise les valeurs des trois moments spectraux calculés par POST_DYNA_ALEA et calcule le dommage moyen et l’écart-type du dommage par les méthodes décrites dans ce document.
Méthode de comptage des pics de contraintes#
Le principe de cette méthode consiste à compter les maximums locaux (en valeur absolue) situés de part et d’autre de la valeur moyenne des contraintes.
Le signal étant gaussien stationnaire, centré par rapport à sa valeur moyenne, la distribution des pics est symétrique par rapport à cette moyenne. On s’intéresse donc à la répartition des pics positifs . Dans le cas général, la distribution des pics d’amplitude \(S\) positive s’écrit sous la forme :
\({P}_{\text{pic}}^{+}\left(S\right)=\frac{2}{\sqrt{2\pi }{s}_{S}\left(1+I\right)}\left[\sqrt{1-{I}^{2}}{e}^{\text{}\frac{{S}^{2}}{{\mathrm{2s}}_{S}^{2}\left(1-{I}^{2}\right)}}+\frac{\text{IS}}{{s}_{S}}{e}^{\text{}\frac{{S}^{2}}{{\mathrm{2s}}_{S}^{2}}}\underset{-\infty }{\overset{\alpha}{\int}}{e}^{\text{}\frac{-{t}^{2}}{2}}\text{dt}\right]\)
\(\text{avec}\lbrace \begin{array}{c}I=\frac{{\sigma}_{{S}^{'}}^{2}}{{\sigma}_{S}{\sigma}_{{S}^{''}}}\\ \alpha =\frac{S}{{\sigma}_{S}}\frac{I}{\sqrt{1-{I}^{2}}}\end{array}\)
Cette distribution des pics positifs se simplifie dans le cas des signaux pour lesquels le facteur d’irrégularité vaut \(I=0\) ou \(I=1\) .:
Signal à large bande : loi de Gauss ou loi normale \((I=0)\)
\({P}_{\text{pic}}^{+}\left(S\right)=\frac{2}{\sqrt{2\pi {\sigma}_{{S}^{2}}}}{e}^{-\frac{{S}^{2}}{2{\sigma}_{{S}^{2}}}}\)
Signal à bande étroite : loi de Rayleigh \((I=1)\)
\({P}_{\text{pic}}^{+}(S)=\frac{S}{{\sigma}_{{S}^{2}}}{e}^{-\frac{{S}^{2}}{2{\sigma}_{{S}^{2}}}}\)
La méthode de comptage de pics de contraintes associe à chaque pic d’amplitude positive \(S\) un cycle d’amplitude \(\Delta S=2S\) (on a donc directement \(S=\text{Salt}\) ).
Le nombre de pics d’amplitude positive s’écrit : \({n}_{\text{pic}}^{+}(S)={P}_{\text{pic}}^{+}(S)\times {N}_{\text{pic}}^{+}\)
où \({N}_{\text{pic}}^{+}=\frac{1}{4}(1+I)\times \frac{1}{\pi}\frac{\sigma {S}^{''}}{{\sigma}_{{S}^{'}}}\) = nombre moyen de pics positifs par unité de temps.
D’où le nombre \(N\) de cycles à prendre en compte est : \(N(S)=\frac{1+I}{4\pi }\frac{{\sigma}_{{S}^{''}}}{{\sigma}_{{S}^{'}}}{P}_{\text{pic}}^{+}(S)\)
Remarque :
On remarque bien que l’expression du nombre \(N\) de cycles à prendre en compte ne dépend que de \({s}_{S}\) (pour le calcul du facteur d’irrégularité \(I\) ), \({\sigma}_{{S}^{'}}\) et \({\sigma}_{{S}^{''}}\) .
Méthode de comptage des dépassements de niveau#
Cette méthode nécessite le découpage des variations de contrainte en classes d’amplitude.
Le nombre de cycles \(N(S)\) est obtenu à partir de la différence des nombres de dépassements de niveau avec une pente positive entre deux classes successives, en partant de la classe d’amplitude maximale.
Pour un processus gaussien centré l’expression de \(N(S)\) est : \(N(S)=\frac{1}{\pi}\frac{{\sigma}_{{S}^{'}}}{{\sigma}_{S}^{}}{e}^{-\frac{{S}^{2}}{2{\sigma}_{S}^{2}}}\)
Remarques :
L’expression du nombre \(N\) de cycles à prendre en compte ne nécessite que la connaissance de \({\sigma}_{S}\) et \({\sigma}_{{S}^{'}}\) (indépendance vis à vis de \({\sigma}_{{S}^{''}}\) ).
Dans cette méthode n’intervient pas le coefficient d’irrégularité \(I\) .
Estimation statistique du dommage#
Le dommage mécanique est calculé en utilisant la règle de cumul linéaire de Miner.
Le dommage \(D\) engendré par \(N\) cycles de demi amplitude \(S\) s’exprime par \(D=\frac{N}{\text{Nr}(S)}\)
où \(\text{Nr}(S)\) est le nombre admissible de cycles déterminé par la courbe d’endurance du matériau.
Le dommage mécanique est une variable aléatoire dont on détermine la moyenne.
Dommage moyen#
Le dommage moyen s’écrit sous la forme de l’espérance mathématique :
\(E(D)=T\underset{{S}_{\min}}{\overset{{S}_{\max}}{\int}}\frac{N(S)}{{N}_{r}(S)}\text{dS}\) où \(T\) est la durée du signal
Les deux méthodes de comptage proposées calculent le nombre de cycles \(N(S)\) à partir de contraintes d’amplitude positive d’où \({S}_{\min}=0\) (sauf lorsque la courbe de Wöhler est donné sous la forme “zone courante”, dans quel cas \({S}_{\min}={S}_{l}\) avec \({S}_{l}\) limite d’endurance du matériau).
Par ailleurs, les lois de distributions utilisées étant continues, \({S}_{\max}=\infty ` . Cependant, l’expérience montre que l’expression à intégrer s'atténue rapidement et on prend donc :math:`{S}_{\max}=10{\sigma}_{S}\) . où \({\sigma}_{S}\) est l’écart-type du signal.
Le calcul de \(E(D)\) est réalisé par intégration numérique, par la méthode des trapèzes en prenant pour pas d’intégration \(\frac{{S}_{\max}-{S}_{\min}}{300.}\) .
Remarque :
Dans le cas de la méthode de comptage de dépassements de niveau et pour une courbe de Wöhler exprimée sous la forme mathématique proposée par Basquin, le dommage moyen par unité de temps à une expression analytique (cette expression n’est pas utilisée dans la commande POST_FATI_ALEA).
Conclusion#
Dans le cas d’un chargement gaussien, ergodique et stationnaire, deux méthodes de comptage de cycles trouvent une interprétation statistique et fournissent une expression analytique du dommage moyen, ne faisant intervenir que la formulation de la courbe d’endurance du matériau et les écart‑types du signal et de ses dérivées premières et secondes.
Dans Code_Aster , le calcul du dommage sous sollicitation aléatoire est effectué par la commande POST_FATI_ALEA [U4.67.05].
L’utilisateur peut déterminer le dommage par la méthode de comptage des pics de contraintes (COMPTAGE = ‘PIC’) ou par la méthode de comptage de dépassements d’un niveau donné (COMPTAGE = ‘NIVEAU’).
Selon la méthode adoptée, le signal aléatoire devra être introduit par la donnée des moments spectraux d’ordre 0 et 2 ou par la donnée des moments spectraux d’ordre 0, 2 et 4 (mots clé MOMENT_SPEC_0, MOMENT_SPEC_2 et MOMENT_SPEC_4). Les valeurs des moments spectraux peuvent également être récupérées dans une table créée par POST_DYNA_ALEA [U4.76.02] (mot clé TABLE).
La courbe de Wöhler du matériau peut être introduite sous trois formes distinctes (conformément à la commande POST_FATIGUE [U4.67.01] (calcul du dommage à grands nombres de cycles) et le logiciel POSTDAM).
La grandeur déterminée est le dommage moyen sur la durée du signal qui est stocké dans une table de type POST_FATI_ALEA.
Bibliographie#
MORILHAT : Faiençage thermique : Estimation du dommage mécanique. Note HP‑14/90.07
MORILHAT : Mécanique aléatoire : Estimation statistique du dommage mécanique engendré par des chargements non stationnaires. Note HP‑14/91.19A
DUMOND : Opérateur POST_DYNA_ALEA [R7.10.01]
RCC_M Edition 1983
Description des versions du document#
Version Aster |
Auteur(s) Organisme(s) |
Description des modifications |
3 |
A.M.DONORE, P.MORILHAT EDF-R&D/MMN - EDF-R&D/AMV |
Texte initial |