v7.22.129 HSNV129 - Essai de compression-dilatation pour étude du couplage thermique-fissuration#
Résumé:
On applique à un élément de volume obéissant à la loi de Mazars un chargement thermo-mécanique de façon à vérifier la bonne prise en compte de la dépendance des paramètres matériaux avec la température ainsi que la prise en compte de la dilatation thermique. Le chargement est homogène et se décompose ainsi: compression à déplacement imposé et température constante, puis application d’un cycle de chauffage-refroidissement.
Solution de référence#
On peut déterminer analytiquement la solution du problème posé.
On note:
\({\varepsilon}_{0}\) la déformation appliquée dans la direction \(z\) ,
\({\varepsilon}_{1}\) , \({\varepsilon}_{2}\) et \({\varepsilon}_{3}\) les déformations principales
Première étape du chargement : compression simple#
Le tenseur des déformations vaut :
\(\begin{bmatrix} -\nu\varepsilon_{0} & 0 & 0 \\ 0 & -\nu\varepsilon_{0} & 0 \\ 0 & 0 & \varepsilon_{0} \end{bmatrix} \text{ avec } \varepsilon_{0}<0\)
avec \({\varepsilon}_{0}<0\)
La déformation équivalente vaut par conséquent :
\(\tilde{\varepsilon} = \sqrt{\langle \varepsilon^{e}_{1} \rangle_{+}^{2} + \langle \varepsilon^{e}_{2} \rangle_{+}^{2} + \langle \varepsilon^{e}_{3} \rangle_{+}^{2}} = -\nu\varepsilon_{0}\sqrt{2}\)
Dès lors que \(\tilde{\varepsilon} > \varepsilon_{d0}\), il y a évolution de l’endommagement qui vaut :
\(D = 1 - \frac{\varepsilon_{d0}(1 - A_{c})}{\tilde{\varepsilon}} - \frac{A_{c}}{\exp\!\left[ B_{c}(\tilde{\varepsilon} - \varepsilon_{d0}) \right]}\)
Enfin la contrainte \(\sigma_{zz}\) vaut :
\(\sigma_{zz} = E(1 - D)\,\varepsilon_{0}\)
Deuxième étape du chargement : dilatation thermique en déformations planes#
Le tenseur des déformations totales vaut :
\(\begin{bmatrix} -\nu\varepsilon_{0} + \alpha(T - T_{\mathrm{ref}})(1+\nu) & 0 & 0 \\ 0 & -\nu\varepsilon_{0} + \alpha(T - T_{\mathrm{ref}})(1+\nu) & 0 \\ 0 & 0 & \varepsilon_{0} \end{bmatrix} \text{ avec } \varepsilon_{0}<0 \text{ fixe}\)
La déformation élastique valant \(\varepsilon^{e} = \varepsilon - \alpha(T - T_{\mathrm{ref}})I_{d}\), la déformation équivalente vaut :
\(\tilde{\varepsilon} = \sqrt{2} \nu(\alpha(T - T_{\mathrm{ref}}) - \varepsilon_{0})\)
L’endommagement vaut :
\(D = \max\!\left[ D^{-},\ 1 - \frac{\varepsilon_{d0}(1 - A_{c})}{\tilde{\varepsilon}} - \frac{A_{c}}{\exp\!\left[ B_{c}(\tilde{\varepsilon} - \varepsilon_{d0}) \right]} \right]\)
Enfin la contrainte \(\sigma_{zz}\) vaut :
\(\sigma_{zz} = E(1 - D)\left[\varepsilon_{0} - \alpha(T - T_{\mathrm{ref}})\right]\)
- Remarque
A un état donné, les paramètres matériaux utilisés sont ceux définis à la température maximale vue par le matériau et pas à la température courante.
L’évaluation de l’endommagement \(D\) fait intervenir la notion de maximum atteint au cours de l’histoire du chargement; la solution n’est donc pas complètement analytique mais implique une discrétisation. Dans le cas où il n’y a pas d’influence de la thermique, il suffit de prendre \(\stackrel{~}{\epsilon}\) équivalent à la déformation équivalente maximale atteinte. Lorsqu’on prend en compte l’aspect thermique, le chauffage peut contribuer à «diminuer» ou «retarder» l’endommagement à déformation donnée; c’est le cas avec l’évolution de \({B}_{c}\) retenue. Dans ce cas, il faut en fait discrétiser assez finement le chargement pour avoir la bonne valeur d’endommagement \(D\) (qui présente en effet un maximum dans notre cas).
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Modélisation 3D
Élément MECA_HEXA8
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 8
Nombre de mailles et types: 1 HEXA8
Fonctionnalités testées#
La loi de comportement MAZARS_FO combinée avec ELAS_FO.
Grandeurs testées et résultats#
On compare l’endommagement \(D\) et la contrainte \({\sigma}_{zz}\) à différents instants
Identification |
Référence |
Aster |
% différence |
|
\(t=50\) |
\(D\) \({\sigma}_{zz}\) (\(\mathit{MPa}\) ) |
0 –16.0 |
0 –16.0 |
2.33 10–14 |
\(t=100\) |
\(D\) \({\sigma}_{zz}\) (\(\mathit{MPa}\) ) |
0.1702 –26.5532 |
0.1702 –26.5532 |
0.007 6.46 10–5 |
t = 150 |
\(D\) \({\sigma}_{zz}\) (\(\mathit{MPa}\) ) |
0.4247 –30.3768 |
0.4247 –30.3769 |
–0.005 2.91 10–4 |
t = 200 |
\(D\) \({\sigma}_{zz}\) (\(\mathit{MPa}\) ) |
0.4626 –29.2327 |
0.4625 –29.2382 |
–0.014 0.019 |
t = 250 |
\(D\) \({\sigma}_{zz}\) (\(\mathit{MPa}\) ) |
0.4626 –18.9153 |
0.4625 –18.9188 |
–0.014 0.019 |
t = 300 |
\(D\) \({\sigma}_{zz}\) (\(\mathit{MPa}\) ) |
0.4626 –8.5979 |
0.4625 –8.5994 |
–0.014 0.018 |
Remarque#
En réalité, l’endommagement maximum, c’est-à-dire \(0.4626\) est atteint au temps \(t\approx 180s\) . Ensuite, il n’évolue plus à cause de la diminution de \({B}_{c}\) quand la température augmente.
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
Modélisation 3D
Élément MECA_HEXA8
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 8
Nombre de mailles et types: 1 HEXA8
Fonctionnalités testées#
Le matériau MAZARS_FO combiné avec ELAS_FO. Le comportement MAZARS_UNIL.
Grandeurs testées et résultats#
On teste les variables \(V1\) et \(V2\) respectivement les seuils \(\mathit{ELS}\) et \(\mathit{ELU}\) ainsi que la contrainte \({\sigma}_{xx}\) à différents instants.
Instants |
Grandeur |
Résultats |
Précision % |
50.0 |
’V1’ |
-0.719298246 |
1.0E-05 |
100.0 |
’V1’ |
-1.28135185 |
1.0E-05 |
150.0 |
’V1’ |
-1.6480642 |
1.0E-05 |
200.0 |
’V1’ |
-1.70896633 |
1.0E-05 |
250.0 |
’V1’ |
-1.08820627 |
1.0E-05 |
300.0 |
’V1’ |
-0.428461374 |
1.0E-05 |
Instants |
Grandeur |
Résultats |
Précision % |
50.0 |
’V2’ |
-0.148461498 |
1.0E-05 |
100.0 |
’V2’ |
-0.296922996 |
1.0E-05 |
150.0 |
’V2’ |
-0.672443255 |
1.0E-05 |
200.0 |
’V2’ |
-1.07072232 |
1.0E-05 |
250.0 |
’V2’ |
-0.672443255 |
1.0E-05 |
300.0 |
’V2’ |
-0.296922996 |
1.0E-05 |
Instants |
Grandeur |
Résultats [Pa] |
Précision % |
50.0 |
’SIZZ’ |
-16400000.0 |
1.0E-05 |
100.0 |
’SIZZ’ |
-29214822.1 |
1.0E-05 |
150.0 |
’SIZZ’ |
-36125567.3 |
1.0E-05 |
200.0 |
’SIZZ’ |
-35956651.5 |
1.0E-05 |
250.0 |
’SIZZ’ |
-23853481.4 |
1.0E-05 |
300.0 |
’SIZZ’ |
-9768919.3 |
1.0E-05 |
Synthèse des résultats#
On obtient la solution analytique avec une précision inférieure à 0.02 % ce qui permet d’être assuré de la bonne implantation du modèle de Mazars y compris lorsqu’intervient la température. Rappelons les choix qui ont été faits pour le couplage fissuration-thermique et qui sont vérifiés ici:
dilatation thermique linéaire,
évolution de l’endommagement uniquement sous l’effet de la déformation élastique et pas thermique,
dépendance des paramètres matériaux avec la température maximale, c’est-à-dire la non-réversibilité des modifications des propriétés mécaniques lorsque le béton est chauffé puis refroidi.