v2.03.007 SDLS07 - Modes propres d’une enveloppe sphérique mince#
Résumé:
Ce test issu du guide VPCS permet de valider les algorithmes de l’opérateur de recherche de valeurs propres CALC_MODES avec les matrices de rigidité et de masse correspondant aux modélisations suivantes:
Coques tridimensionnelles : éléments finis DKT (mailllage d’un 1/8 de sphère),
Eléments finis \(\mathrm{2D}\) axisymétriques TRIA6 et QUAD8 (maillage d’une section),
Coques tridimensionnelles: éléments finis axisymétriques isoparamétriques SEG3 (maillage linéique de la section),
Coques tridimensionnelles COQUE_3D : élément fini MEC3QU9H (maillage 1/8 de sphère),
Coques tridimensionnelles COQUE_3D : élément fini MEC3TR7H.
Les résultats obtenus sont comparés à la solution analytique (HAYEK) et font apparaître pour les six premiers modes des écarts inférieurs à:
\(\text{0,45\%}\) pour les éléments milieux continus axisymétriques,
\(\text{0,20\%}\) pour les éléments de coque DKT,
\(\text{0,17\%}\) pour les éléments de coques axisymétriques isoparamétriques,
\(\text{0,17\%}\) pour les éléments COQUE_3D.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
Pour les sphères minces (\(\mathrm{i.t}\ll R\) avec \(i\) , ordre du mode), les modes propres avec déplacement radial et tangentiel établis par une théorie de membrane sont donnés par [bib1] et [bib2] :
\({f}_{i}=\frac{{\lambda}_{i}}{2\pi R}\sqrt{\frac{E}{\rho (1-{\nu}^{2})}}\)
avec \({\lambda}_{i}=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{b\pm \sqrt{{b}^{2}-4(1-{\nu}^{2})({i}^{2}+i-2)}}\) et \(b={i}^{2}+i+1+3\nu\)
La théorie présentée par Hayek permet d’introduire une correction de l’effet de flexion (approximation de la théorie générale de Wilkinson) qui conduit à des valeurs de \({\lambda}_{i}\) fonction de
\(\begin{array}{}a={t}^{2}/12{R}^{2}\\ b=i(i+1)\end{array}\)
et solution de:
\({\lambda}_{i}^{4}-{\lambda}_{i}^{2}[1+3\nu -a(1-\nu )+b(1+a\nu +\mathrm{ab})]+\mathrm{ab}[{b}^{2}-\mathrm{4b}+5-{\nu}^{2}]+(1-{\nu}^{2})[b-2(1+a)]=0\)
Résultats de référence#
Fréquences propres :
i |
Fréquences propres |
2 |
237.25 |
3 |
282.85 |
4 |
305.24 |
5 |
324.17 |
6 |
346.76 |
7 |
376.68 |
8 |
|
9 |
465.75 |
10 |
526.20 |
Incertitude sur la solution#
Solution analytique.
Références bibliographiques#
Fiche VPCS SDLS 07/89 dans le Guide de Validation des Progiciels de Calcul de Structures/SFM AFNOR TECHNIQUE 1990.
HAYEK : « Vibrations of a spherical shell in acoustic medium », Journal of the Acoustical Society of America, Vol. 40, 2, 1996, p. 342-348
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Coques DKT
La géométrie discrétisée est représentée ci-dessus. Les éléments DKT sont des facettes planes à 3nœuds. Le nombre des nœuds sur le méridien et sur l’équateur est: 34.
Les conditions aux limites appliquées sur les trois frontières correspondent aux conditions de symétrie (déplacements et rotations bloquées).
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 1128
Nombre de mailles et types: 2125 TRIA3
Grandeurs testées et résultats#
(Fréquences en Hertz)
Valeur du paramètre i de la solution de référence |
Référence |
Aster |
% différence |
|
237.25 |
|
|
2 |
|||
3 |
282.85 |
non obtenu [§4.2] |
|
4 |
305.24 |
|
|
5 |
324.17 |
non obtenu [§4.2] |
|
6 |
346.76 |
|
|
7 |
376.68 |
non obtenu [§4.2] |
|
8 |
416.00 |
|
|
9 |
465.75 |
non obtenu [§4.2] |
|
10 |
526.20 |
|
|
Remarques#
La solution de référence ne donne pas la multiplicité des modes. On observe avec les calculs des ordres de multiplicité qui croissent avec la valeur de la fréquence.
Les modes 3, 5, 7, 9 ne sont pas obtenus à cause des conditions aux limites choisies pour ce modèle, avec les trois plans de symétrie.
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
\(\mathrm{2D}\) axisymétrique
Aucune condition aux limites.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 365
Nombre de mailles et types: 40 QUAD8 et 80 TRIA6
Grandeurs testées et résultats#
Fréquences en Hertz
Identification n°mode |
Référence |
Aster |
% différence |
|
|
237.25 |
237.24 |
0.036 |
2 |
|||
3 |
282.85 |
282.78 |
–0.023 |
4 |
305.24 |
304.85 |
–0.125 |
5 |
324.17 |
323.32 |
–0.262 |
6 |
346.76 |
345.22 |
–0.443 |
7 |
376.68 |
374.14 |
–0.674 |
8 |
416.00 |
412.03 |
–0.955 |
9 |
465.75 |
459.75 |
–1.286 |
10 |
526.20 |
517.51 |
–1.651 |
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation#
Coques \(\mathrm{1D}\) axisymétriques
Aucune condition aux limites.
On choisit le modèle de Love-Kirchhoff pour décrire la cinématique. Avec l’élément choisi, cette cinématique est obtenue par pénalisation: on met une grande valeur pour le coefficient A_CIS. Par ailleurs, on néglige la correction de métrique.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 81
Nombre de mailles et types: 40 SEG3
Grandeurs testées et résultats#
(Fréquences en Hertz)
Identification n°mode |
Référence |
Aster OPTION=”BANDE” (méthode des itérations simultanées) |
Aster OPTION=”AJUSTE” (méthode des puissances inverses) |
% différence |
2 |
237.25 |
237.31 |
237.32 |
0.025/0.029 |
3 |
282.85 |
282.77 |
282.78 |
–0.028/–0.025 |
4 |
305.24 |
304.95 |
304.95 |
–0.096 |
5 |
324.17 |
323.68 |
323.68 |
–0.150 |
6 |
346.76 |
346.23 |
346.23 |
–0.154 |
Remarques#
Ce test avec cette modélisation n’a pour but que de tester la matrice de masse. Un écart satisfaisant étant observé sur les six premières fréquences, on a choisi de ne pas calculer les suivantes.
Modélisation D#
Caractéristiques de la modélisation#
Coques 3DMEC3QU9H
Les conditions aux limites appliquées sur les trois frontières correspondent aux conditions de symétrie (déplacements et rotations bloquées).
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 331
Nombre de mailles et types: 75 QUAD9
Grandeurs testées et résultats#
(Fréquences en Hertz)
Identification n°mode |
Référence |
Aster |
% différence |
|
|
237.25 |
|
|
2 |
|||
3 |
282.85 |
non obtenu [§10.2] |
|
4 |
305.24 |
|
|
5 |
324.17 |
non obtenu [§10.2] |
|
6 |
346.76 |
|
|
7 |
376.68 |
non obtenu [§10.2] |
|
8 |
416.00 |
|
|
9 |
465.75 |
non obtenu [§10.2] |
|
10 |
526.20 |
|
|
Remarques#
Les modes 3, 5, 7, 9 ne sont pas obtenus à cause des conditions aux limites choisies pour ce modèle, avec les trois plans de symétrie.
Modélisation E#
Caractéristiques de la modélisation#
Coques 3DMEC3TR7H
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 925
Nombre de mailles et types: 294 TRIA7
Grandeurs testées et résultats#
(Fréquences en Hertz)
Identification n°mode |
Référence |
Aster |
% différence |
|
|
237.25 |
|
|
2 |
|||
3 |
282.85 |
non obtenu [§12.2] |
|
4 |
305.24 |
|
|
5 |
324.17 |
non obtenu [§12.2] |
|
6 |
346.76 |
|
|
7 |
376.68 |
non obtenu [§12.2] |
|
8 |
416.00 |
|
|
9 |
465.75 |
non obtenu [§12.2] |
|
10 |
526.20 |
|
|
Remarques#
Les modes 3, 5, 7, 9 ne sont pas obtenus à cause des conditions aux limites choisies pour ce modèle, avec les trois plans de symétrie.
Synthèse des résultats#
La modélisation coque DKT, restreinte ici aux modes présentant les 3symétries par rapport aux plans \(\text{x = 0}\) , \(\text{y = 0}\) , \(z=0\) , fournit les fréquences propres avec une erreur inférieure à \(\text{0.4\%}\) sur les 20 premiers modes.
La modélisation milieu continu \(\mathrm{2D}\) axisymétrique fournit les fréquences propres avec une erreur inférieure à \(\text{2\%}\) .
La modélisation COQUE_AXIS (éléments isoparamétriques quadratiques) fournit les fréquences propres avec une erreur inférieure à \(\text{0.2\%}\) sur les 5premiers modes (discrétisation spatiale identique à la trace du maillage \(\mathrm{2D}\) axisymétrique).
La modélisation COQUE_3D dégénérée (éléments de coque épaisse MEC3QU9H, MEC3TR7H) fournir les fréquences propres avec une erreur inférieure à \(\text{1.2\%}\) sur les 10 premiers modes.