v2.02.151 SDLL151 - Modes propres d’une poutre viscoélastique encastrée - libre#
Résumé:
L’objectif de ce test est de valider le calcul de modes complexes d’une poutre comportant à la fois un matériau élastique standard, et un matériau viscoélastique dont les propriétés dépendent de la fréquence.
Solution de référence#
Méthode de calcul#
La solution est calculée de manière mixte analytique et numérique.
La rigidité dynamique (complexe) de la poutre viscoélastique est calculée d’après [1] par l’équation:
\({\mathit{EI}}^{\text{*}}={E}_{1}{I}_{1}\left(1+{e}_{2}{h}_{2}^{3}+\frac{3{(1+{h}_{2})}^{2}({e}_{2}\times {h}_{2})}{1+{e}_{2}\times {h}_{2}}\right)\) (1)
La signification des termes de la formule est donnée dans la liste ci-dessous:
\({E}^{\text{*}}\) : module d’Young de la poutre viscoélastique
\(I\) : second moment d’inertie de la section transversale de la poutre viscoélastique
\({I}_{1}\) : second moment d’inertie de la section transversale du matériau de la couche n°1
\({E}_{j}^{\text{*}}\) : module d’Young du matériau de la couche n°j
\({e}_{2}\) : rapport des modules \({E}_{2}^{\text{*}}/{E}_{1}\) (l’amortissement du matériau n°1 est considéré comme négligeable)
\({H}_{j}\) : épaisseur du matériau de la couche n° j
\({h}_{2}\) : rapport des épaisseurs \({H}_{2}/{H}_{1}\)
Les amortissements \(\eta\) des modes complexes sont ensuite calculés comme le rapport de la partie imaginaire de la rigidité dynamique sur sa partie réelle :
\(\eta =\frac{\Im (\mathit{EI})}{\Re (\mathit{EI})}\) (2)
Enfin, les fréquences propres \({f}_{i}\) sont calculées d’après [2] par l’équation suivante :
\({f}_{i}=\frac{{\lambda}_{i}^{2}}{{\mathrm{2\pi L}}^{2}}\sqrt{\frac{\Re (\mathit{EI})}{m}}\) (3)
Avec \({\lambda}_{i}\) : coefficient modal (donné dans [2] ) associé à la fréquence propre \({f}_{i}\)
\(L\) : longueur de la poutre viscoélastique
\(m\) : masse linéique de la poutre viscoélastique
Pour prendre en compte la dépendance en fréquence des propriétés mécaniques du matériau viscoélastique, les amortissements et fréquences propres sont calculés par une méthode itérative.
Grandeurs et résultats de référence#
On teste les valeurs des fréquences propres et des amortissements de quelques modes complexes de la poutre viscoélastique.
Incertitudes sur la solution#
Solution numérique.
Références bibliographiques#
Nashif, D. I. G. Jones, J. P. Henderson, Vibration Damping . John Wiley and sons, 1985.
Robert D. BLEVINS PhD, Formulas for natural frequency and mode shape , §8.1.2 “Single-span beams”. Krieger publishing company, Malabar, 2001.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Matériau viscoélastique: modélisation 3D_SI.
Matériau acier: modélisation DKT(les éléments surfaciques sont la peau inférieure des éléments volumiques de la couche viscoélastique).
couche d’acier
(DKT)
couche viscoélastique
(3D_SI) Image 3.1-1: Maillage de la structure.
couche d’acier
(DKT)
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds 186
Nombre de mailles 376
dont: éléments SEG2 132
QUAD4 184
HEXA8 60
Grandeurs testées et résultats#
Le calcul des modes propres avec l’option TYPE_MODE=”COMPLEXE” permet de tester à la fois les fréquences propres et les amortissements modaux. On teste uniquement les modes de flexion dans l’épaisseur de la poutre (le mode n°3 est une flexion dans la largeur).
Mode |
Fréquence propre (Hz) |
Tolérance |
Amortissement |
Tolérance |
1 |
33.093 |
1.0% |
0.011782 |
12.0% |
2 |
211.356 |
1.0% |
0.018138 |
10.0% |
4 |
601.643 |
2.0% |
0.018834 |
10.0% |
Tableau 3.3-1 : Valeurs de référence testées.
Synthèse des résultats#
Les résultats obtenus font apparaître des erreurs maximales de 1,2% sur les fréquences propres et 10,4% sur les amortissements par rapport à la solution de référence.