r7.01.35 Relations de comportement BETON_BURGER et BETON_AGEING pour le fluage du béton#

Résumé:

Ce document présente les modèles de comportement BETON_BURGER et BETON_AGEING, permettant de représenter le fluage du béton (propre et de dessiccation). Ces modèles s’inspirent fortement de la structure déjà mise en place dans le modèle BETON_UMLV.

Ces modèles sont implémentés sous MFront et intégrés directement dans code_aster.

Description du modèle BETON_BURGER#

Hypothèses#

La loi est écrite dans le cadre des petites perturbations. Le tenseur des déformations totales est décomposé en plusieurs termes relatifs aux processus considérés. On admet que la déformation totale s’écrit :

(3805)#\[\strain = \underbrace{\strain^e}_{\text{déf. élastique}} + \underbrace{\strain^{fp}}_{\text{fluage propre}} + \underbrace{\strain^{fdess}}_{\text{fluage de dessiccation}} + \underbrace{\strain^{re}}_{\text{retrait endogène}} + \underbrace{\strain^{rd}}_{\text{retrait de dessiccation}} + \underbrace{\strain^{th}}_{\text{déf. thermique}}\]

Dans ce document, on ne décrit pas la prise en compte des différents types de retraits (pour cela, voir la documentation [R7.01.12]), ni de la déformation thermique, de sorte que (3805) se réduit à :

\[\strain = \strain^e + \strain^{fp} + \strain^{fdess}\]

De façon générale, le fluage propre peut être modélisé en combinant le comportement élastique du solide et le comportement visqueux du fluide. Pour la loi présentée, le fluage propre est décrit comme la combinaison du comportement élastique des hydrates et des granulats et du comportement visqueux de l’eau. Dans le cas du modèle BETON_BURGER, on effectue l’hypothèse que le fluage propre puisse être décomposé en un processus découplant une partie sphérique et une partie déviatorique. On décompose alors les tenseurs des déformations de fluage propre et des contraintes comme :

\[\strain^{fp} = \underbrace{\varepsilon^{fp}_s\tensTwoUnit}_{\text{partie sphérique}} + \underbrace{\strain^{fp}_d}_{\text{partie déviatorique}} \quad \text{et} \quad \stress = \underbrace{\sigma_s\tensTwoUnit}_{\text{partie sphérique}} + \underbrace{\stress_d}_{\text{partie déviatorique}}\]

Le modèle BETON_BURGER suppose un découplage total entre les composantes sphériques et déviatoriques du fluage propre : les déformations induites par les contraintes sphériques sont purement sphériques et les déformations induites par les contraintes déviatoriques sont purement déviatoriques. En revanche, les déformations visqueuses cumulées ont un effet sur les propriétés visqueuses du fluide, quelle que soit sa provenance (sphérique ou déviatorique). Pour tenir compte de l’effet de l’humidité relative \(h\), les déformations de fluage propre sont générées par le terme source \(h\stress\).

Élasticité#

L’élasticité est linéaire isotrope :

\[\stress = \tensFour{C}:\strain^e\]

avec \(\tensFour{C}\) le tenseur d’élasticité linéaire isotrope, de module de Young \(\youngModulus\) et de coefficient de poisson \(\poissonCoef\).

Fluage propre#

Pour modéliser le phénomène de fluage propre, le modèle proposé s’appuie sur des modèles rhéologiques simples (Fig. 259) comprenant en série un corps élastique (décrit par le comportement ELAS), un solide de Voigt linéaire pour la modélisation du fluage réversible (recouvrance), et un liquide de Maxwell avec une viscosité non linéaire pour modéliser le fluage à long terme. Les chaînes sphérique et déviatorique sont équivalentes dans leur construction. L’étage de Voigt a une limite de déformation gérée par le module d’élasticité. La particularité du modèle repose sur le choix de la non-linéarité affectée à la viscosité du corps de Maxwell.

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Fig. 259 Schéma rhéologique distinguant la partie sphérique et déviatorique du tenseur des contraintes.#

Description de la partie sphérique#

La déformation sphérique de fluage propre s’écrit comme la somme d’une partie réversible et d’une partie irréversible :

\[\varepsilon^{fp}_s = \varepsilon^{fp}_{s,r} + \varepsilon^{fp}_{s, i}\]

Le processus de déformation sphérique du fluage est gouverné par les équations suivantes :

\[h\sigma_s = k_{s,r}\varepsilon^{fp}_{s,r} + \eta_{s,r}\dot{\varepsilon}^{fp}_{s,r} \quad \text{et} \quad h\sigma_s = \eta_{s,i}\dot{\varepsilon}^{fp}_{s,i}\]

avec :

  • \(k_{s,r}\) le module de compressibilité associé au fluage propre sphérique réversible,

  • \(\eta_{s,r}\) la viscosité de l’étage de Voigt associé au fluage propre sphérique réversible,

  • \(\eta_{s,i}\) la viscosité sphérique non linéaire (voir (3806)) du fluide de Maxwell.

Description de la partie déviatorique#

La déformation déviatorique de fluage propre s’écrit également comme la somme d’une partie réversible et d’une partie irréversible :

\[\strain^{fp}_d = \strain^{fp}_{d,r} + \strain^{fp}_{d, i}\]

Le processus de déformation déviatorique du fluage est gouverné par les équations suivantes :

\[h\stress_d = k_{d,r}\strain^{fp}_{d,r} + \eta_{d,r}\dot{\tensTwo{\varepsilon}^{fp}_{d,r} \quad \text{et} \quad h\stress_d = \eta_{d,i}\dot{\tensTwo{\varepsilon}^{fp}_{d,i}\]

avec :

  • \(k_{d,r}\) le module de cisaillement associé au fluage propre déviatorique réversible,

  • \(\eta_{d,r}\) la viscosité de l’étage de Voigt associé au fluage propre déviatorique réversible,

  • \(\eta_{d,i}\) la viscosité déviatorique non linéaire (voir (3806)) du fluide de Maxwell.

Description de la non linéarité visqueuse#

La non-linéarité de la viscosité est interprétée selon [bib1] comme le résultat d’une consolidation sphérique de l’échantillon [bib2] et d’un enchevêtrement ou blocage des déplacements des feuillets CSH, constituants du mortier. Un coefficient de «consolidation» est donc introduit selon la même idée pour contrôler l’évolution des viscosités. Ce coefficient supplémentaire intervient sur les lois d’évolutions des corps de Maxwell (sphérique et déviatorique). Il dépend directement de la norme du tenseur des déformations différées irréversibles cumulées. Cette extension des hypothèses posées par [bib1] permet une prise en compte de la non-linéarité pour tout type de trajets (avec ou sans chargement sphérique). La formulation explicite des corps de Maxwell est la suivante :

(3806)#\[\eta_{s,i}=\eta_{s,i}^0\exp\left(\frac{\|\strainCmp_{m,i}^{fp}\|}{\kappa}\right) \quad \text{et} \quad \eta_{d,i}= \eta_{d,i}^0\exp\left(\frac{\|\strainCmp_{m,i}^{fp}\|}{\kappa}\right)\]

avec :

  • \(\eta_{s,i}^0\) la viscosité initiale du fluide de Maxwell portant sur la partie sphérique,

  • \(\eta_{d,i}^0\) la viscosité initiale du fluide de Maxwell portant sur la partie déviatorique,

  • \(\kappa\) le coefficient de non linéarité,

  • \(\|\strainCmp_{m,i}^{fp}\|\) la déformation équivalente irréversible, définie comme la norme du tenseur complet (sphérique et déviatorique) de déformations de fluage irréversible, valeur maximale atteinte au cours du chargement.

Précisément, la construction de \(\|\strainCmp_{m,i}^{fp}\|\) suit la logique suivante: \(\|\strainCmp_{m,i}^{fp}\|=\max\left(\|\strainCmp_{m,i}^{fp}\|,\sqrt{\strain_{i}^{fp}:\strain_{i}^{fp}}\right)\).

Restriction du nombre de paramètres du modèle#

L’équivalence des chaînes rhéologiques déviatorique et sphérique permet d’obtenir, en respectant l’expression suivante, un coefficient de Poisson \(\poissonCoef\) apparent de fluage constant :

(3807)#\[\frac{\eta_{s,i}^0}{\eta_{d,i}^0} = \frac{\eta_{s,r}}{\eta_{d,r}} = \frac{k_{r,s}}{k_{r,d}} = \frac{1+\poissonCoef}{1-2\poissonCoef}\]

Pour l’utilisation du modèle BETON_BURGER sur des essais uniaxiaux de fluage, on dispose rarement des déformations radiales des échantillons rendant difficile l’identification de l’ensemble des paramètres du modèle. Une première approximation consiste à assumer la relation (3807) et limite ainsi le nombre de paramètres à déterminer à quatre, \(\eta_{s,i}^0, \eta_{s,r}, k_{r,s}, \poissonCoef\), en ce qui concerne le fluage propre (à température constante) du modèle BETON_BURGER.

Thermo-activation des déformations de fluage propre#

Les résultats expérimentaux d’essai de fluage propre en température montrent que la déformation de fluage est thermo-activée. Pour des températures \(T\) inférieures à 55°C, elle obéit à une loi de type Arrhenius :

(3808)#\[\strain^{fp}(T) = \strain^{fp}(T_0)\vartheta(T) \quad \text{avec} \quad \vartheta(T) = \exp\left(-\frac{E_{ac}}{R}\left(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_0}\right)\right)\]

avec :

  • \({T}_{0}\) la température de référence,

  • \({E}_{ac}\) l’énergie d’activation,

  • \(R\) la constante des gaz parfaits.

Pour satisfaire la relation (3808) tout en gardant un temps caractéristique constant, la raideur des ressorts et la viscosité des amortisseurs sont modifiées de la manière suivante :

\[\frac{k_{s,r}(T)}{k_{s,r}(T_0)} = \frac{k_{d,r}(T)}{k_{d,r}(T_0)} = \frac{\eta_{s,r}(T)}{\eta_{s,r}(T_0)} = \frac{\eta_{d,r}(T)}{\eta_{d,r}(T_0)} = \frac{\eta_{s,i}^0(T)}{\eta_{s,i}^0(T_0)} = \frac{\eta_{d,i}^0(T)}{\eta_{d,i}^0(T_0)} = \frac{\kappa(T_0)}{\kappa(T)} = \frac{1}{\vartheta(T)}\]

Fluage de dessiccation#

Suivant les justifications expérimentales présentées dans [bib3], le fluage de dessiccation est non-symétrique vis-à-vis de la variation de l’humidité relative. Il ne tient compte des déformations qu’en cas du séchage le plus élevé comme suit :

(3809)#\[\begin{split}\dot{\strain}^{fdess} = \frac{f(h,\dot h)\stress}{k^{fd}} \quad \text{avec} \quad f(h,\dot h) = \begin{cases} -\dot{h} \quad &\text{si} \quad \dot{h} < 0 \quad \text{et} \quad h < \min_{\tau \leq t} h(\tau) \\ 0 \quad &\text{sinon} \end{cases}\end{split}\]

avec \(k^{fd}\) un paramètre matériau, homogène à une contrainte.

Description du modèle sous MFront#

Le comportement est défini dans le fichier BETON_BURGER.mfront.

Parser/DSL

Implicit

Algorithm

NewtonRaphson

@Epsilon 1.E-14

Variables internes (@StateVariable)

real ESPHI real ELIM Stensor EDEVI

Variables internes auxilliaires (@AuxiliaryStateVariable)

real ESPHR Stensor EDEVR Stensor Edess Stensor EF real rHmin

Variables de commandes (@ExternalStateVariable)

real HYGR

Modélisations

“3D” “AXIS” “D_PLAN”

Déformations

“PETIT” “PETIT_REAC” “GDEF_LOG”

Le tableau suivant donne la correspondance entre le numéro des variables internes accessibles par code_aster et leur description dans le cas d’une modélisation 2D (D_PLAN ou AXIS) :

Remarque

Rappel : les quatre premières variables internes (dans le cas 2D) sous MFront sont toujours les déformations élastiques lors de l’utilisation du DSL « Implicit ».

Numéro de la variable

Description

5

Déformation sphérique irréversible

6

Déformation équivalente de fluage propre irréversible max

7

Déformation déviatorique irréversible, composante 11

8

Déformation déviatorique irréversible, composante 22

9

Déformation déviatorique irréversible, composante 33

10

Déformation déviatorique irréversible x \(\sqrt{2}\), composante 12

11

Déformation sphérique réversible

12

Déformation déviatorique réversible, composante 11

13

Déformation déviatorique réversible, composante 22

14

Déformation déviatorique réversible, composante 33

15

Déformation déviatorique réversible x \(\sqrt{2}\), composante 12

16

Déformation de fluage de dessication, composante 11

17

Déformation de fluage de dessication, composante 22

18

Déformation de fluage de dessication, composante 33

19

Déformation de fluage de dessication x \(\sqrt{2}\) , composante 12

20

Déformation totale de fluage propre, composante 11

21

Déformation totale de fluage propre, composante 22

22

Déformation totale de fluage propre, composante 33

23

Déformation totale de fluage propre x \(\sqrt{2}\), composante 12

24

Humidité relative minimale atteinte au cours de l’historique de chargement

Le tableau suivant donne la correspondance entre le numéro des variables internes accessibles par code_aster et leur description dans le cas d’une modélisation 3D :

Remarque

Rappel : les six premières variables internes (dans le cas 3D) sous MFront sont toujours les déformations élastiques lors de l’utilisation du DSL « Implicit ».

Numéro de la variable

Description

7

Déformation sphérique irréversible

8

Déformation équivalente de fluage propre irréversible max

9

Déformation déviatorique irréversible, composante 11

10

Déformation déviatorique irréversible, composante 22

11

Déformation déviatorique irréversible, composante 33

12

Déformation déviatorique irréversible x \(\sqrt{2}\), composante 12

13

Déformation déviatorique irréversible x \(\sqrt{2}\), composante 13

14

Déformation déviatorique irréversible x \(\sqrt{2}\), composante 23

15

Déformation sphérique réversible

16

Déformation déviatorique réversible, composante 11

17

Déformation déviatorique réversible, composante 22

18

Déformation déviatorique réversible, composante 33

19

Déformation déviatorique réversible x \(\sqrt{2}\), composante 12

20

Déformation déviatorique réversible x \(\sqrt{2}\), composante 13

21

Déformation déviatorique réversible x \(\sqrt{2}\), composante 23

22

Déformation de fluage de dessication, composante 11

23

Déformation de fluage de dessication, composante 22

25

Déformation de fluage de dessication, composante 33

26

Déformation de fluage de dessication x \(\sqrt{2}\), composante 12

26

Déformation de fluage de dessication x \(\sqrt{2}\), composante 13

27

Déformation de fluage de dessication x \(\sqrt{2}\), composante 23

28

Déformation totale de fluage propre, composante 11

29

Déformation totale de fluage propre, composante 22

30

Déformation totale de fluage propre, composante 33

31

Déformation totale de fluage propre x \(\sqrt{2}\), composante 12

32

Déformation totale de fluage propre x \(\sqrt{2}\), composante 13

33

Déformation totale de fluage propre x \(\sqrt{2}\), composante 23

34

Humidité relative minimale atteinte au cours de l’historique de chargement
Remarque

MFront recours à la notation de Mandel : les composantes extra-diagonales des déformations sont multipliées par \(\sqrt{2}\).

Description du modèle BETON_AGEING#

Hypothèses#

Le modèle BETON_AGEING reprend en grande partie les hypothèses du modèle BETON_BURGER. Le tenseur des déformations totales est en particulier toujours décomposé comme :

(3810)#\[\strain = \strain^e + \strain^{fp} + \strain^{fdess} = \strain^e + \strain^{fp}_r + \strain^{fp}_i + \strain^{fdess}\]

Le modèle BETON_AGEING se distingue néanmoins du modèle BETON_BURGER :

  • en étant un modèle viscoélastique linéaire,

  • en tenant compte d’un effet vieillissant,

  • en étant implémenté dans un cadre THHM.

Cette dernière caractéristique entraîne notamment que le comportement mécanique est piloté par la contrainte effective et non totale, mais aussi que l’humidité relative \(h\) n’est pas une variable de commande (contrairement à la pratique d’un calcul chaîné). Celle-ci est calculée à l’aide de la pression capillaire \(p_c\) et la température \(T\), inconnues nodales dans une modélisation THHM, s’appuyant sur la loi de Kelvin (voir [R7.01.11]) :

(3811)#\[h = \exp\left(-\frac{\mathcal{M}_{vp}}{RT\rho_{lq}}p_c\right)\]

avec :

  • \(\mathcal{M}_{vp}\) la masse molaire de la vapeur d’eau,

  • \(\rho_{lq}\) la masse spécifique de l’eau liquide.

On détaille ci-dessous le calcul des différentes composantes apparaissant dans (3810).

Élasticité#

Elle s’écrit :

\[\stress' = \tensFour{C}:\strain^e\]

avec \(\tensFour{C}\) le tenseur d’élasticité linéaire isotrope, de module de Young \(\youngModulus\) et de coefficient de poisson \(\poissonCoef\), et \(\stress'\) le tenseur des contraintes effectives, utilisé par défaut en THHM ([R7.01.11]). En effet, dans le cas du cadre THHM classique, il s’écrit sous forme différentielle par :

(3812)#\[d\stress' = d\stress + \left(dp_{gz}-S_{lq}(p_c)dp_c\right)\tensTwo{B}\]

avec :

  • \(p_{gz}\) la pression de gaz,

  • \(S_{lq}\) la saturation en liquide,

  • \(\tensTwo{B}\) le tenseur de Biot.

Remarque

La décomposition (3812) correspond au cas particulier \(\stress' = \stress + \stress^p\) où la contrainte « hydraulique » \(\stress^p\) suit une loi classique en poroélasticité des milieux non saturés [bib4]. D’autres options, par exemple la loi HYDR_TABBAL, sont présentées dans la documentation [R7.01.11].

Fluage propre#

Description de la déformation réversible#

L’évolution de la déformation réversible du fluage propre \(\stress^{fp}_r\) (chaîne de Voigt) est régie par l’équation :

\[h\stress' = \vartheta(T)\left[\tensFour{C}_r:\strain^{fp}_r +\tensFour{V}_r:\dot{\strain}^{fp}_r\right]\]

avec \(\vartheta(T)\) donné dans (3808), \(\tensFour{C}_r\) et \(\tensFour{V}_r\) respectivement deux tenseurs d’élasticité et de viscosité linéaires isotropes :

\[\tensFour{C}_r = 3k_{s,r}\tensFour{J} + 2k_{d,r}\tensFour{K} \quad \text{et} \quad \tensFour{V}_r = 3\eta_{s,r}\tensFour{J} + 2\eta_{d,r}\tensFour{K}\]

avec :

  • \(k_{s,r}\) le module de compressibilité associé au fluage propre sphérique réversible à la température de référence \(T_0\),

  • \(k_{d,r}\) le module de cisaillement associé au fluage propre déviatorique réversible à la température de référence \(T_0\),

  • \(\eta_{s,r}\) la viscosité associée au fluage propre sphérique réversible à la température de référence \(T_0\),

  • \(\eta_{d,r}\) la viscosité associée au fluage propre déviatorique réversible à la température de référence \(T_0\).

Les tenseurs d’ordre quatre \(\tensFour{J}\) et \(\tensFour{K}\) sont définis au paragraphe Notations.

Description de la déformation irréversible#

L’évolution de la déformation irréversible du fluage propre \(\strain^{fp}_i\) (chaîne de Maxwell) est régie par l’équation :

\[h\stress' = \vartheta(T)\tensFour{V}_i(t):\dot{\strain}^{fp}_i\]

où \(\tensFour{V}_i(t)\) est un tenseur de viscosité linéaire isotrope, avec effet viellissant, s’écrivant :

\[\tensFour{V}_i(t) = \left[3k_{s,i}\tensFour{J} + 2k_{d,i}\tensFour{K}\right]\left\langle t-t_0\right\rangle_+\]

avec :

  • \(k_{s,i}\) la pente de la viscosité associée au fluage propre sphérique irréversible à la température de référence \(T_0\),

  • \(k_{d,i}\) la pente de la viscosité associée au fluage propre déviatorique irréversible à la température de référence \(T_0\),

  • \(\langle t-t_0\rangle_+ = \max\{t-t_0,0\}\) le temps écoulé, à l’instant courant \(t\), depuis l’instant de coulage du béton \(t_0\) (l’instant \(t_0\) est un paramètre matériau nécessaire à renseigner, par souci de respect du principe d’objectivité matérielle).

Fluage de dessiccation#

Le fluage de dessiccation du modèle BETON_AGEING conserve la même expression que celle présentée (4926) pour le modèle BETON_BURGER, en substituant à la contrainte totale \(\stress\) la contrainte effective \(\stress'\).

Paramètres du modèle BETON_AGEING#

Treize paramètres sont nécesssaires à définir le modèle BETON_AGEING. Ceux-ci sont classifiés dans le Tableau 58.

Tableau 58 Paramètres.#

Catégorie

Appellation

Définition

Unité

Symbole

Élasticité
YoungModulus
PoissonRatio
Module de Young
Coefficient de Poisson
[Pa]
[-]
\(\youngModulus\)
\(\poissonCoef\)
Fluage propre réversible
(chaîne de Voigt)
VoigtSphModulus
VoigtDevModulus
VoigtSphViscosity
VoigtDevViscosity
Module sphérique de Voigt
Module déviatorique de Voigt
Viscosité sphérique de Voigt
Viscosité déviatorique de Voigt
[Pa]
[Pa]
[Pa.s]
[Pa.s]
\(k_{s,r}\)
\(k_{d,r}\)
\(\eta_{s,r}\)
\(\eta_{d,r}\)
Fluage propre irréversible
(chaîne de Maxwell)
MaxwellSphModulus
MaxwellDevModulus
ConcreteInitTime
Module sphérique de Maxwell
Module déviatorique de Maxwell
Instant initial de coulage du béton
[Pa]
[Pa]
[s]
\(k_{s,i}\)
\(k_{d,i}\)
\(t_0\)

Fluage de dessiccation
DessiccationModulus
Module de fluage de dessiccation
[Pa]
\(k^{fd}\)

Couplage THHM
ReferenceTemperature
ArrheniusIndex
KelvinIndex
Température de référence
Coefficient d’Arrhenius
Coefficient de Kelvin
[K]
[K]
[Pa-1]
\(T_0\)
\(E_{ac}/R\)
\(\mathcal{M}_{vp}/(R\rho_{lq})\)

Variables internes et auxilliaires du modèle BETON_AGEING#

Le modèle BETON_AGEING est intégré sans nécessité de recourir à des variables internes. Les variables auxiliaires sont présentées dans le Tableau 59.

Tableau 59 Variables auxiliaires du modèle.#

Appellation

Définition

Symbole

Composantes 2D

Composantes 3D

RevCreepStrain

Tenseur des déf. de fluage propre réversible

\(\strain^{fp}_r\)

V1-V4

V1-V6

IrrCreepStrain

Tenseur des déf. de fluage propre irréversible

\(\strain^{fp}_i\)

V5-V8

V7-V12

DesCreepStrain

Tenseur des déf. de fluage de dessiccation

\(\strain^{fd}\)

V9-V12

V13-V18

ShiftMiniRelaHumi

Humidité relative minimale translatée dans l’intervalle \([0,1]\)

\(\min_{\tau<t}h(\tau)-1\)

V13

V19
Remarque

L’intégration du modèle BETON_AGEING utilisant le DSL « Default », le tenseur des déformations élastiques n’est pas enregistré par défaut comme variables internes par MFront.

Remarque

On pourra se référer à l’astuce présentée dans [bib3] portant sur le calcul et l’utilisation de ShiftMiniRelaHumi pour calculer le fluage de dessiccation des modèles BETON_BURGER et BETON_AGEING dans (4926).

Notations#

Notation

Description

\(\strain\)

Tenseur des déformations totales

\(\strain^{fp}\)

Tenseur des déformations de fluage propre

\(\strain^{e}\)

Tenseur des déformations élastiques

\(\strainCmp^{fp}_s\tensTwoUnit\)

Partie sphérique du tenseur des déformations de fluage propre

\(\strainCmp^{fp}_{s,r}\tensTwoUnit\)

Partie sphérique réversible du tenseur des déformations de fluage propre

\(\strainCmp^{fp}_{s,i}\tensTwoUnit\)

Partie sphérique irréversible du tenseur des déformations de fluage propre

\(\strain_d^{fp}\)

Partie déviatorique du tenseur des déformations de fluage propre

\(\strain_{d,r}^{fp}\)

Partie déviatorique réversible du tenseur des déformations de fluage propre

\(\strain_{d,i}^{fp}\)

Partie déviatorique irréversible du tenseur des déformations de fluage propre

\(\strain_r^{fp}\)

Tenseur des déformations de fluage propre réversible

\(\strain_i^{fp}\)

Tenseur des déformations de fluage propre irréversible

\(\strain^{fdess}\)

Tenseur des déformations de fluage de dessiccation

\(\stress\)

Tenseur des contraintes totales

\(\stressCmp_s\tensTwoUnit\)

Partie sphérique du tenseur des contraintes

\(\stress_d\)

Partie déviatorique du tenseur des contraintes

\(\stress'\)

Tenseur des contraintes effectives

\(h\)

Humidité relative

\(\tensFour{J}\)

Projecteur sur l’espace des tenseurs d’ordre deux symétriques hydrostatiques (\(\tensFour{J}:\tensTwo{a}=a_s\tensTwoUnit\))

\(\tensFour{K}\)

Projecteur sur l’espace des tenseurs d’ordre deux symétriques à trace nulle (\(\tensFour{K}:\tensTwo{a}=\tensTwo{a}_d\))

Bibliographie#

[bib1] (1,2)

SELLIER A., BUFFO-LACARRIERE L. : Vers une modélisation simple et unifiée du fluage propre, du retrait et du fluage en dessiccation du béton, EJECE, volume 13(10), pages 1161-1182, 2009.

[bib2]

ACKER P. : Sur les origines du retrait et du fluage du béton. Revue Française de Génie Civil, vol.7, n°6, p.761-776.

[bib3] (1,2)

ADIA J.-L., CHARPIN L., HELFER T. : The Burger_EDF_CIWAP_2021 constitutive law for concrete creep and shrinkage, 2021, 10.13140/RG.2.2.13453.05609.

[bib4]

COUSSY, O. : Poromechanics, 2004 John Wiley & Sons, Ltd.

Fonctionnalités et vérification#

La loi de comportement BETON_BURGER est vérifiée par les cas-tests suivants :

SSNV163

Calcul de fluage propre

[V6.04.163]

SSNV174

Prise en compte du retrait dans les modèles BETON_UMLV et BETON_BURGER

[V6.04.174]

SSNV180

Prise en compte de la dilatation thermique et du fluage de dessiccation dans les modèles BETON_UMLV et BETON_BURGER

[V6.04.180]

SSNV181

Vérification de la bonne prise en compte du cisaillement dans les modèles BETON_UMLV et BETON_BURGER

[V6.04.181]

SSNV235

Influence de la température dans l’évolution du fluage

[V6.04.235]

COMP003

Test de comportements spécifiques aux bétons. Simulation en un point matériel

[V6.07.103]

COMP011

Validation thermo-mécanique des lois pour le béton

[V6.07.111]

La loi de comportement BETON_AGEING est vérifiée par le cas-test suivant :

WTNV104

Calculs de fluage propre et de fluage de dessiccation

[V7.31.104]

On notera que dernier est réalisé dans un cadre THHM sous lequel est implémenté le modèle BETON_AGEING.