v3.03.144 SSLS144 - Cylindre sous pression interne#

Résumé:

Ce test valide la modélisation COQUE_AXIS (portée par des mailles SEG3). On effectue un calcul statique sur un réservoir cylindrique sous pression interne. Le modèle est axisymétrique. La distribution de pression sur la paroi interne du réservoir n’est pas uniforme. Les déplacements et les efforts généralisésobtenus sont comparés à une solution de référence analytique.

Solution de référence#

Méthode de calcul#

On se place dans la théorie de LOVE-KIRCHHOFF pour le calcul de la solution analytique de ce problème.

La flèche dans le repère axisymétrique s’écrit :

\({u}_{x}=\lbrace \begin{array}{cc}\frac{P}{8{\alpha}^{4}D}(2-{\mathrm{e}}^{\alpha y}\cos(\alpha y))& \forall y\le 0\\ \frac{P}{8{\alpha}^{4}D}{\mathrm{e}}^{-\alpha y}\cos(\alpha y)& \forall y\ge 0\end{array}\)

avec \(D=\frac{E{t}^{3}}{12(1-{\nu}^{2})}\) et \(4{\alpha}^{4}=\frac{\mathit{Et}}{{\mathit{DR}}^{2}}\) .

La rotation s’écrit :

\({\beta}_{s}=\lbrace \begin{array}{cc}\frac{P}{8{\alpha}^{3}D}{\mathrm{e}}^{\alpha y}(\cos(\alpha y)-\sin(\alpha y))& \forall y\le 0\\ \frac{P}{8{\alpha}^{3}D}{\mathrm{e}}^{-\alpha y}(\cos(\alpha y)+\sin(\alpha y))& \forall y\ge 0\end{array}\)

Les efforts généraliséssont:

\({N}_{\theta \theta }=\frac{\mathit{Et}}{R}{u}_{x}\left(y\right)\) ,

\({M}_{\mathit{ss}}={\mathit{Du}}_{x}^{''}\left(y\right)=\frac{p}{4{\alpha}^{2}}{\mathrm{e}}^{-|y|}\sin(\alpha y)\)

Les contraintes tridimensionnelles sont:

\({\sigma}_{\theta \theta }=\frac{{N}_{\theta \theta }}{t}+12\frac{{M}_{\theta \theta }(x-R)}{{t}^{3}}\) ,

\({\sigma}_{\mathit{ss}}=12\frac{{M}_{\mathit{ss}}(x-R)}{{t}^{3}}\) ,

soit :

\({\sigma}_{\theta \theta }(y,x)=\lbrace \begin{array}{cc}\frac{\mathit{pR}}{t}\left(1-\frac{{\mathrm{e}}^{\alpha y}}{2}\left(\cos(\alpha y)+2\nu \frac{R-x}{t}\sqrt{\frac{3}{1-{\nu}^{2}}}\sin(\alpha y)\right)\right)& \forall y\le 0\\ \frac{\mathit{pR}}{t}\cdot \frac{{\mathrm{e}}^{-\alpha y}}{2}\left(\cos(\alpha y)-2\nu \frac{R-x}{t}\sqrt{\frac{3}{1-{\nu}^{2}}}\sin(\alpha y)\right)& \forall y\ge 0\end{array}\) ,

et:

\({\sigma}_{\mathit{ss}}(y,x)=\lbrace \begin{array}{cc}\frac{\mathit{pR}}{t}\cdot \frac{x-R}{t}\sqrt{\frac{3}{1-{\nu}^{2}}}{\mathrm{e}}^{\alpha y}\sin(\alpha y)& \forall y\le 0\\ \frac{\mathit{pR}}{t}\cdot \frac{x-R}{t}\sqrt{\frac{3}{1-{\nu}^{2}}}{\mathrm{e}}^{-\alpha y}\sin(\alpha y)& \forall y\ge 0\end{array}\) .

Grandeurs et résultats de référence#

On teste les valeurs suivantes :

  • la flèche \(\mathit{DX}\) aux points \(A\) , \(B\) et \(C\) ,

  • la rotation \(\mathit{DRZ}\) , aux points \(A\) et \(B\) ,

  • l’effort généralisé \(\mathit{NYY}\) aux points \(B\) et \({B}_{1}\) ,

  • le moment généralisé \(\mathit{MXX}\) au point \({B}_{1}\)

Références bibliographiques#

    1. ANDRIEUX - F. VOLDOIRE : Modèles de coques. Applications en statique linéaire. Ecole d’Eté CEA-EDF-INRIA d’Analyse Numérique 1992.

Incertitudes sur la solution#

Il n’y en a pas

Modélisation A#

Caractéristiques de la modélisation#

On utilise une modélisation COQUE_AXIS. Les modèles de COQUE_AXIS sont utilisables aussi bien pour les plaques épaisses (HENCKY-MINDLIN-REISSNER) que pour les plaques minces (KIRCHOFF-LOVE) grâce à une approche par pénalisation qui permet de neutraliser ou non l’énergie de cisaillement: c’est la théorie de HENCKY-MINDLIN-NAGHDI. Afin de se rapprocher numériquement de la solution de LOVE-KIRCHHOFF, il faut prendre un coefficient de cisaillement suffisamment grand (A_CIS) pour inhiber la cinématique de cisaillement transverse \({\gamma}_{s}\) .Plus ce coefficient est grand, plus la matrice de rigidité est presque singulière donc source d’instabilités numériques.

Caractéristiques du maillage#

Le maillage contient 100 éléments de type SEG3.

Grandeurs testées et résultats#

On teste le déplacement dans le coin haut gauche de la plaque.

Synthèse des résultats#

Les différentes courbes montrent que les déplacements ainsi que les efforts calculés sont très proches de la solution analytique. Ce test permet donc bien de valider la formulation de coque axisymétrique COQUE_AXIS.