v3.01.109 SSLL109 - Équilibre en configuration déformée d’une poutre multi-fibres#

Résumé :

Ce test représente un calcul d’équilibre en configuration déformée d’une poutre multi-fibres. Ce test valide l’option RIGI_GEOM=’OUI’, disponible uniquement pour les poutres POU_D_TGM.

Solution de référence#

Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#

Intégration de l’équation d’équilibre en configuration déformée en faisant l’hypothèse de non extension de l’axe moyen.

Résultats de référence#

L’équilibre est décrit par:

(4695)#\[{w}_{x}''(z)=\frac{-M(z)}{{\mathit{EI}}_{y}}=\frac{-{F}_{z}({w}_{x}(z)-{w}_{x}(l))-{F}_{x}(z-l)}{{\mathit{EI}}_{y}}\]

Le déplacement \({w}_{x}(z)\) vaut donc:

(4696)#\[{w}_{x}(z)=\frac{{F}_{x}}{{F}_{z}}\left\lbrace -z+\frac{1}{\alpha}\left[\sin(\alpha z)+\tan(\alpha l)\left(1-\cos(\alpha z)\right)\right]\right\rbrace\]

avec \(\alpha =\sqrt{\frac{{F}_{z}}{{\mathit{EI}}_{y}}}\) et \(l\approx {l}_{0}\) . Cette dernière approximation du bras de levier est acceptable pour des efforts \({F}_{x}\) modérés.

Incertitudes sur la solution#

Solution analytique

Références bibliographiques#

1. VOLDOIRE, Y. BAMBERGER: Mécanique des structures, 2008.

Modélisation A#

Caractéristiques de la modélisation#

Modélisation POU_D_TGM(SEG2)

Caractéristiques du maillage#

Nombre de nœuds : 11

Nombre de mailles et type : 10 SEG2 uniformément réparties dans la longueur

Caractéristiques du maillage de la section transverse (fibres)#

Nombre de fibres : 50 (5 dans la largeur et 10 dans l’épaisseur)

Nombre de mailles et type : 50 QUAD4

Grandeurs testées et résultats#

Valeurs testées#

Déplacement \({w}_{x}(z)\) en correspondance des nœuds de la poutre.

NOEUD	Position z [m]	Valeur Calculée [m]	Référence [m]
N1	0,5	0.02241	0.02247
N2	0,45	0.01904	0.01908
N4	0,4	0.01573	0.01577
N4	0,35	0.01257	0.0126
N5	0,3	0.00961	0.00963
N6	0,25	0.00693	0.00695
N7	0,2	0.00460	0.00461
N8	0,15	0.00268	0.00268
N9	0,1	0.00123	0.00123
N10	0,05	0.00032	0.00032

Synthèse des résultats#

Les résultats numériques montrent un bon accord avec la solution analytique. L’écart dans l’exemple présenté est inférieur à 1 %. Cet écart pourrait être réduit en diminuant l’effort \({F}_{x}\) en raison de l’approximation \(l\approx {l}_{0}\) .