v3.01.403 SSLL403 - Flambement d’une poutre sous l’effet de son poids propre#
Résumé:
Ce test permet de valider en élasticité linéaire le chargement dû aux forces de pesanteur pour une modélisation de type poutre droite d’Euler (POU_D_E). Il permet également la mise en œuvre et la validation du calcul de la matrice de rigidité géométrique.
La solution de référence est analytique et les résultats jugés satisfaisants.
Solutions de référence#
Méthode de calcul utilisée pour les solutions de référence#
En repère local, \(x\) suivant l’axe \(\mathit{OA}\) de la poutre, le moment fléchissant, à l’abscisse \(x\) , a pour expression :
\({M}_{{F}_{y}}(x)=p{\int}_{x}^{L}\left[v(\xi )-v(x)\right]d\xi\) .
La flèche \(v(x)\) satisfait donc l’équation :
\(E{I}_{z}=\frac{{d}^{2}v}{{\mathrm{dx}}^{2}}=p{\int}_{x}^{L}\left[v(\xi )-v(x)\right]d\xi =-p\left[{\int}_{x}^{L}v(\xi )d\xi +(L-x)v(x)\right]\)
En dérivant les deux membres, on obtient l’équation différentielle :
\(\frac{{d}^{3}v}{{\mathrm{dx}}^{3}}+\frac{p}{E{I}_{z}}(L-x)\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dx}}=0\)
La fonction \(v'(x)=\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dx}}\) satisfait l’équation différentielle linéaire et homogène du second ordre:
\(\frac{{d}^{\mathrm{2v}}'}{{\mathrm{dx}}^{2}}+\frac{p}{E{I}_{z}}(L-x)v'=0\) ,
qui peut être résolue à l’aide des fonctions de Bessel. On trouve alors la valeur du poids linéique critique égale à :
\({p}_{c}=7,837\frac{E{I}_{z}}{{L}^{3}}\) .
La solution analytique donne numériquement :
\({p}_{c}=7,8372{10}^{11}\cdot \frac{{10}^{-8}}{12}=1,3061667{10}^{3}\) .
Résultats de référence#
La valeur critique du multiplicateur \(\lambda\) : \({\lambda}_{c}=\frac{{P}_{c}}{\rho Sg}\)
Incertitude sur la solution#
Solution analytique.
Références bibliographiques#
[1] Rapport n° 2314/A de l’Institut Aérotechnique «Proposition et réalisation de nouveaux cas tests manquant à la validation des poutres Aster »
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Le modèle est composé de 10 éléments poutre droite d’Euler.
Caractéristiques du maillage#
Il est constitué de 10 éléments POU_D_E.
Grandeurs testées et résultats#
Valeur propre du système (\(K+\lambda {K}_{G}\) ) \(X=0\) :
Référence |
Erreur |
|
\(\lambda\) |
170.701 |
0.01 |
Remarque#
Puisque \({p}_{c}=\lambda \rho Sg\) , (\(\rho Sg\) représente la pré-contrainte linéique), nous avons comme chargement critique : \({p}_{c}=1300,84{\mathrm{N.m}}^{-1}\) .
Synthèse des résultats#
Les résultats sont très proches de la solution analytique (écart: \(\text{1\%}\) pour 10 éléments). Cet écart est fonction de la finesse de discrétisation étant données les hypothèses utilisées pour la rigidité géométrique (cf.[R3.08.01]). Ceci valide donc ce type de chargement pour le flambement d’Euler.