v3.01.102 SSLL102 - Poutre droite soumise à des efforts unitaires#
Résumé: Ce test permet une vérification simple des calculs de poutres droites et poutres-tuyaux en mécanique des structures statique linéaire. Le modèle est linéique.
Les modélisations A, B, C, D, F, G, I et J permettent de tester les différents types d’éléments de poutres droites dans Code_Aster . Pour chaque modélisation, on calcule simultanément 3 poutres de sections différentes: rectangle, circulaire, cornière.
La modélisation A permet de plus de tester le changement de repère: la poutre est orientée suivant la trisectrice au repère global, avec la modélisation POU_D_E. La modélisation Butilise la modélisation POU_D_T. Les modélisationsCet D utilisent la modélisation avec gauchissement POU_D_TG.
La modélisation E teste le chargement réparti sur des arêtes d’éléments volumiques sur mailles HEXA20.
La modélisation F correspond à un chargement réparti variant linéairement avec la modélisation POU_D_E.
La modélisation G correspond à un chargement réparti variant linéairement avec la modélisation POU_D_TG.
La modélisation H permet de tester un chargement transversal réparti variant linéairement avec la modélisation TUYAU_3M, sur mailles SEG4, que l’on compare avec la modélisation POU_D_T, sur mailles SEG2, pour une section circulaire creuse.
La modélisation I reprend le chargement de la modélisation A pour la modélisation POU_D_EM.
La modélisation J correspond a un chargement réparti variant linéairement avec la modélisation POU_D_EM.
Les valeurs testées sont les déplacements, les efforts généralisés, les réactions aux appuis et les contraintes.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
Solution analytique [bib1] et [bib2].
Cas encastré-libre, chargements unitaires à l’extrémité#
Traction simple \({u}_{x}=\frac{{F}_{x}L}{ES}\)
Flexion simple \({u}_{y}=\frac{{F}_{y}{L}^{3}(4+{\phi }_{y})}{12E{I}_{z}}\) \({\theta}_{z}=\frac{{L}^{2}{F}_{y}}{2E{I}_{z}}\) \({\phi }_{y}=\frac{12E{I}_{y}}{{L}^{2}G{A}_{y}^{'}}\)
Flexion simple \({u}_{z}=\frac{{F}_{z}{L}^{3}(4+{\phi }_{z})}{12E{I}_{y}}\) \({\theta}_{y}=\frac{-{L}^{2}{F}_{z}}{2E{I}_{y}}\) \({\phi }_{z}=\frac{12E{I}_{z}}{{L}^{2}G{A}_{z}^{'}}\)
Torsion \({\theta}_{x}=\frac{{M}_{x}L}{G{J}_{x}}\)
Flexion pure \({u}_{z}=-\frac{{M}_{y}{L}^{2}}{2E{I}_{y}}\) \({\theta}_{y}=\frac{{M}_{y}L}{E{I}_{y}}\)
Flexion pure \({u}_{y}=\frac{{M}_{z}{L}^{2}}{2E{I}_{z}}\) \({\theta}_{z}=\frac{{M}_{z}L}{E{I}_{z}}\)
Remarque 1:
Pour la section cornière, comme le centre de cisaillement n’est pas confondu avec le centre de gravité \(({e}_{y}\ne 0)\) , il faut ajouter le moment de torsion: \({M}_{x}={F}_{z}{e}_{y}\) au chargement \({F}_{z}=1\) .
Ceci modifie le déplacement:
\({u}_{z}=\frac{{F}_{z}{L}^{3}(4+{\phi }_{z})}{12E{I}_{y}}+{\theta}_{x}{e}_{y}\) \({\theta}_{x}=\frac{{M}_{x}L}{G{J}_{x}}\)
De la même façon, le chargement \({M}_{x}=1\) entraîne un déplacement \({u}_{z}={\theta}_{x}{e}_{y}\) .
Chargement réparti linéaire:
\(\begin{array}{cc}{u}_{y}(x)=\frac{px}{360LEI}(3{x}^{4}-10{L}^{2}{x}^{2}+7{L}^{4})& {u}_{y}^{\max}=\frac{0.00652p{L}^{4}}{EI}\\ & \mathrm{en}x=0.519L\end{array}\)
Remarque 2:
En ce qui concerne la modélisation A, la poutre est portée par le vecteur \({e}_{1}=\frac{1}{\sqrt{3}}(\begin{array}{}1\\ 1\\ 1\end{array})\) . Les autres vecteurs du repère local sont: \({e}_{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\begin{array}{}-1\\ 1\\ 0\end{array})\) et \({e}_{3}=\frac{1}{\sqrt{6}}(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 2\end{array})\)
Les composantes du vecteur déplacement dans le repère global sont obtenues par:
\({u}_{G}=(\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{3}}& \frac{-1}{\sqrt{2}}& \frac{-1}{\sqrt{6}}\\ \frac{1}{\sqrt{3}}& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{-1}{\sqrt{6}}\\ \frac{1}{\sqrt{3}}& 0& \frac{2}{\sqrt{6}}\end{array}){u}_{\text{local}}\)
Efforts généralisés et contraintes en \(O\) :
\(N(O)={F}_{x}\) \({\sigma}_{xx}=\frac{N}{S}\)
\({M}_{z}(O)={T}_{y}L\) \({T}_{y}={F}_{y}\) \({\sigma}_{xx}(y)=\frac{{M}_{z}y}{{I}_{z}}\) \({\sigma}_{xy}=\frac{{T}_{y}}{{k}_{y}S}\)
\({M}_{y}(O)=-{T}_{z}L\) \({T}_{z}(O)={F}_{z}\) \({\sigma}_{xx}(y)=\frac{-{M}_{y}z}{{I}_{y}}\) \({\sigma}_{xz}=\frac{{T}_{z}}{{k}_{z}S}\)
\({M}_{x}(0)={M}_{x}(B)\) \({\sigma}_{xy}={\sigma}_{xz}=\frac{{M}_{x}{R}_{T}}{{J}_{x}}\)
\({M}_{y}(0)={M}_{y}(B)\) \({\sigma}_{xx}(z)=\frac{{M}_{y}z}{{I}_{y}}\)
\({M}_{z}(0)={M}_{z}(B)\) \({\sigma}_{xx}(y)=\frac{{M}_{y}y}{{I}_{z}}\)
Cas chargement transversal réparti linéaire#
\(y\) \({\mathrm{f}}_{y}.L\)
\(x\)
\(O\) \(B\)
L’équilibre en rotation autour de \(O\) donne la valeur de la réaction, d’appui en \(B\) :
\({R}_{\mathit{By}}=-{\int}_{0}^{L}{\mathrm{f}}_{y}.{x}^{2}\mathit{dx}=-\frac{1}{3}{\mathrm{f}}_{y}.{L}^{2}=-12000\) ; puis: \({R}_{\mathit{Oy}}=-6000\) .
Puis on a:
\(\begin{array}{ccc}{M}_{z}(x)=\frac{-1000}{6}\left({L}^{2}x-{x}^{3}\right)& {V}_{y}(x)=\frac{1000{L}^{2}}{6}-\frac{1000{x}^{2}}{2}& {\sigma}_{xx}^{max}=\frac{{M}_{z}^{max}R}{{I}_{z}}\\ \phantom{\rule{2em}{0ex}}& \phantom{\rule{2em}{0ex}}& \mathit{en}x=\frac{L\sqrt{3}}{3}\end{array}\)
Résultats de référence#
Cas encastré-libre, chargements unitaires à l’extrémité#
Déplacement du point \(B\) ,
Efforts généralisés au point \(O\) ,
Contraintes du point \(O\) .
Cas chargement transversal réparti linéaire#
Efforts tranchant et réactions transversales au point \(O\) et au point \(B\) . Moment fléchissant maximal au point d’abscisse \(x=\frac{L\sqrt{3}}{3}\) .
Incertitude sur la solution#
Solution analytique.
Références bibliographiques#
J.L. BATOZ, G. DHATT: « Modélisation des structures par éléments finis » - Volume 2 Ed.HERMES.
N.D. PIKLEY : « Formulas for Stress, Stain & Structural Matrices » Ed. John Wiley & Sons.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
2 éléments POU_D_E \({k}_{y}={k}_{z}=1\) \(\phi =0\) par type de section
\(\mathrm{S1}\) : Section rectangulaire modélisée par SECTION : “GENERALE”
\(\begin{array}{}\begin{array}{cccc}A=0.02& \mathrm{Iy}=0.1666E-4& \mathrm{Iz}=0.6666E-4& {J}_{x}=0.45776E-4\\ & \mathrm{Ry}=0.1& \mathrm{Rz}=0.05& {R}_{T}=0.0892632\end{array}\\ \mathrm{Point}\mathrm{de}\mathrm{calcul}\mathrm{des}\mathrm{contraintes}\end{array}\)
\(\mathrm{S2}\) : Section cornière
\(\begin{array}{ccc}A=1.856E-3& {I}_{y}=4.167339E-4& {I}_{z}=1.045547E-4\\ {J}_{x}=03.9595E-8& {e}_{y}=41.012E-3& {e}_{z}=0.0\end{array}\)
\(\mathrm{S3}\) : Section rectangulaire modélisée par SECTION : RECTANGLE
\(\mathrm{Hy}=0.2\) \(\mathrm{Hz}=0.1\)
\(\mathrm{S4}\) : Section CERCLE \(R=0.1\)
\({I}_{Y}={I}_{Z}=\frac{\pi {R}^{4}}{4}=\frac{\pi}{4}{10}^{-4}\)
Caractéristiques du maillage#
\(4\times 2\) maillesSEG_2. La poutre est orientée selon le vecteur \((1,1,1)\) .
Grandeurs testées et résultats#
Cas de charge |
Poutre |
Identification |
Référence |
\({F}_{x}=1\) |
\(\mathrm{S1}=\mathrm{S3}\) |
\({u}_{x}(B)\) |
2.887E-10 |
\({\theta}_{xx}(0)\) |
|||
\(\mathrm{S2}\) |
\({u}_{x}(B)\) |
3.11E-9 |
|
\(\mathrm{S4}\) |
\({u}_{x}(B)\) |
1.838E-10 |
|
\({\sigma}_{xx}\) |
31.83 |
||
\({F}_{y}=1\) |
\(\mathrm{S1}=\mathrm{S3}\) |
\({u}_{y}(B)\) |
+1.414E-7 |
\({\theta}_{z}(B)\) |
1.225E-7 |
||
\({\sigma}_{xx}(0)\) |
3000 |
||
\(\mathrm{S2}\) |
\({u}_{y}(B)\) |
9.017E-8 |
|
\(\mathrm{S4}\) |
\({\sigma}_{xx}(0)\) |
2546.479 |
|
\({F}_{z}=1\) |
\(\mathrm{S1}=\mathrm{S3}\) |
\({u}_{z}(B)\) |
6.532E-7 |
\({\theta}_{y}(B)\) |
-4.243E-7 |
||
\({\sigma}_{xx}(0)\) |
6000 |
||
\({\sigma}_{xz}(0)\) |
50 |
||
\(\mathrm{S2}\) |
\({u}_{z}(B)\) |
9.279E-7 |
|
\({\theta}_{y}(B)\) |
1.553E-5 |
||
\({\theta}_{x}(B)\) |
1.555E-5 |
||
\(\mathrm{S4}\) |
\({u}_{z}(B)\) |
1.386E-7 |
|
\({\theta}_{y}(B)\) |
-9E-8 |
||
\({\sigma}_{xx}(0)\) |
2546.479 |
||
\({\sigma}_{xz}(0)\) |
31.831 |
||
\({M}_{x}=1\) |
\(\mathrm{S1}=\mathrm{S3}\) |
\({\theta}_{x}(B)\) |
3.279E-7 |
\({\sigma}_{xy}={\sigma}_{xz}(0)\) |
1950.0 |
||
\(\mathrm{S2}\) |
\({\theta}_{x}(B)\) |
3.791E-4 |
|
\({u}_{z}(B)\) |
2.199E-5 |
||
\(\mathrm{S4}\) |
\({\theta}_{x}(B)\) |
9.556E-8 |
|
\({\sigma}_{xy}={\sigma}_{xz}(0)\) |
636.62 |
||
\({M}_{y}=1\) |
\(\mathrm{S1}=\mathrm{S3}\) |
\({u}_{z}(B)\) |
-4.899E-7 |
\({\theta}_{y}(B)\) |
4.243E-7 |
||
\({\sigma}_{xx}(0)\) |
3000 |
||
\(\mathrm{S2}\) |
\({u}_{z}(B)\) |
-1.959E-8 |
|
\({\theta}_{y}(B)\) |
1.697E-8 |
||
\(\mathrm{S4}\) |
\({u}_{z}(B)\) |
-1.04E-7 |
|
\({\theta}_{y}(B)\) |
9.0E-8 |
||
\({\sigma}_{xx}(0)\) |
1273.2395 |
||
\({M}_{z}=1\) |
\(\mathrm{S1}=\mathrm{S3}\) |
\({u}_{y}(B)\) |
1.061E-7 |
\({\theta}_{z}(B)\) |
1.225E-7 |
||
\({\sigma}_{xx}(0)\) |
1500.0 |
||
\(\mathrm{S2}\) |
\({u}_{y}(B)\) |
6.763E-8 |
|
\({\theta}_{z}(B)\) |
7.809E-8 |
||
\(\mathrm{S4}\) |
\({u}_{y}(B)\) |
9.0E-7 |
|
\({\sigma}_{z}(B)\) |
1.04E-7 |
||
\({\sigma}_{xx}(0)\) |
1273.2395 |
||
\({M}_{y}=1\) |
\(\mathrm{S1}=\mathrm{S3}\) |
\({\sigma}_{xx}\max(0)\) |
4550.0 |
\({M}_{z}=1\) \({F}_{x}=1\) |
\({\sigma}_{xx}(\frac{a}{2,}\frac{b}{2})\) |
1550.0 |
|
\(\mathrm{S4}\) |
\({\sigma}_{xx}\max(0)\) |
1832.4636 |
|
\({F}_{y}=1\) |
\(\mathit{S1},\mathit{S3}\) |
\({\sigma}_{xy}(0)\) |
2000.0 |
\({F}_{z}=1\) |
\({\sigma}_{xz}(0)\) |
2000.0 |
|
\({M}_{x}=1\) |
\({\sigma}_{xx}max(0)\) |
9000.0 |
|
\(\mathit{S1},\mathit{S3}\) |
\({\sigma}_{xx}\left(\frac{a}{2,}\frac{b}{2}\right)\) |
-9000.0 |
|
\(\mathit{S4}\) |
\({\sigma}_{xx}max(0)\) |
3601.27 |
|
\({\sigma}_{xy}(0)\) |
668.451 |
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
2 éléments POU_D_T.
Les coefficients de cisaillement sont:
\(\mathrm{S1}\) : Section rectangulaire
\(\mathrm{AY}=\mathrm{AZ}=1.2=\frac{1}{{k}_{y}}\)
\(\mathrm{S2}\) : Section cornière
\(\mathrm{AY}=\mathrm{AZ}=\frac{1}{0.358}\)
\(\mathrm{S4}\) : Section CERCLE
\(\mathrm{AY}=\mathrm{AZ}=\frac{10}{9}\)
Caractéristiques du maillage#
\(4\times 2\) mailles SEG_2.
Grandeurs testées et résultats#
On donne seulement les valeurs qui diffèrent de la modélisation A (à cause de la prise en compte du cisaillement transverse).
Chargement |
Section |
Identification |
Référence |
\({F}_{y}=1\) |
\(\mathrm{S1}=\mathrm{S3}\) |
\({u}_{y}(B)\) |
2.0156E-7 |
\({\sigma}_{xy}(0)\) |
|||
\(\mathrm{S2}\) |
\({u}_{y}(B)\) |
1.666552E-7 |
|
\(\mathrm{S4}\) |
\(uy(B)\) |
1.707308E-7 |
|
\({\sigma}_{xy}(0)\) |
37.13615 |
||
\({F}_{z}=1\) |
\(\mathrm{S1},\mathrm{S3}\) |
\({u}_{z}(B)\) |
8.0156E-7 |
\({\sigma}_{xz}(0)\) |
|||
\(\mathrm{S2}\) |
\({u}_{z}(B)\) |
1.17559754E-6 |
|
\(\mathrm{S4}\) |
\({u}_{z}(B)\) |
1.707308E-7 |
|
\({\sigma}_{xz}(0)\) |
37.13615 |
||
\({F}_{y}=1\) |
\(\mathrm{S4}\) |
\({\sigma}_{xz}(0)\) |
673.75592 |
\({F}_{z}=1\) |
\({\sigma}_{xy}(0)\) |
673.75592 |
|
\({M}_{x}=1\) |
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation#
2 éléments POU_D_TG.
Le gauchissement n’est pas gêné.
Les coefficients de cisaillement sont identiques à ceux de la modélisation B.
Caractéristiques du maillage#
\(2\times 2\) maillesSEG_2.
Grandeurs testées et résultats#
Chargement |
Section |
Identification |
Référence |
\({F}_{y}=1\) |
\(\mathrm{S1}=\mathrm{S3}\) |
\({u}_{y}(B)\) |
2.0156E-7 |
\({\theta}_{xy}(0)\) |
|||
\(\mathrm{S2}\) |
\({u}_{y}(B)\) |
1.666552E-7 |
|
\(\mathrm{S4}\) |
\({u}_{y}(B)\) |
1.70684E-7 |
|
\({\theta}_{xy}(0)\) |
35.367765 |
||
\({F}_{z}=1\) |
\(\mathrm{S1},\mathrm{S3}\) |
\({u}_{z}(B)\) |
8.0156E-7 |
\({\theta}_{xz}(0)\) |
|||
\(\mathrm{S2}\) |
\({u}_{z}(B)\) |
1.17559754E-6 |
|
\(\mathrm{S4}\) |
\({u}_{z}(B)\) |
1.70684E-7 |
|
\({\theta}_{xz}(0)\) |
35.367765 |
Remarque#
Le gauchissement n’est pas gêné. Les résultats sont donc identiques à ceux de la modélisation B.
Modélisation D#
Caractéristiques de la modélisation#
Éléments POU_D_TG,torsion gênée
\(\mathrm{JG}=\lbrace \begin{array}{}5.5556E-8\mathrm{pour}{S}_{1}\\ 4.439822E-11\mathrm{pour}{S}_{2}\end{array}\)
en 0 \(\mathrm{GRX}=0\)
Caractéristiques du maillage#
10 mailles SEG_2,
raffinement vers l’encastrement.
Grandeurs testées et résultats#
Mêmes résultats que pour la modélisation C, sauf ceux qui concernent les effets de gauchissement.
Chargement |
Section |
Identification |
Référence |
\({F}_{z}=1\) |
\(\mathrm{S2}\) |
\({\theta}_{x}=\mathrm{DRX}\) |
2.62034E-5 |
\({u}_{z}=\mathrm{DZ}\) |
1.14578E-6 |
||
\(\mathrm{GRX}\) |
1.34652E-5 |
||
\({M}_{x}=1\) |
\(\mathrm{S1}\) |
\({u}_{z}=\mathrm{DZ}\) |
5.52E-7 |
\(\mathrm{GRX}\) |
2.84E-7 |
||
\(\mathrm{S2}\) |
\({u}_{z}\) |
2.6203E-5 |
|
\({\theta}_{x}\) |
6.3892E-4 |
||
\(\mathrm{GRX}\) |
3.28324E-4 |
Remarques#
Pour \({\theta}_{x}\) la solution est (cf [bib1]):
\({\theta}_{x}=\frac{{M}_{x}L}{G{J}_{x}}+\frac{{M}_{x}(1-{e}^{2\alpha L}-2{e}^{\alpha L})}{{\alpha}^{3}EJG(1+{e}^{2\alpha L})}\) \({\alpha}^{2}=\frac{GJ}{EJG}\)
Modélisation E#
Caractéristiques de la modélisation#
La poutre est maillée en éléments massifs quadratiques HEXA20.
La poutre est encastrée au niveau de la section \(\mathrm{surf1}\) . Elle est soumise à un effort tranchant unitaire qui est modélisé par une densité linéique de charge \(\mathrm{fz}\) s’appliquant sur les 4 mailles SEG3 constituant l’arête supérieure \(\mathrm{L2}\) .
Caractéristiques du maillage#
La poutre est maillée avec 640 éléments massifs quadratiques HEXA20.
Le modèle comporte 3665 nœuds.
Grandeurs testées et résultats#
On teste la valeur de la flèche selon \(z\) du nœud milieu de la section où l’on applique le chargement (nœud \(\mathrm{N62}\) ).
Identification |
Référence |
Aster |
% différence |
\(\mathit{Dz}\) du nœud \(\mathrm{N62}\) |
-8.0E-7 |
-7.9523E-7 |
-0.596 |
Remarques#
La valeur de référence correspond à la valeur donnée par la Résistance Des Matériaux.
Modélisation F#
Caractéristiques de la modélisation#
Le modèle est composé de 10 éléments poutre droite d’Euler: modélisationPOU_D_E. La section est circulaire pleine, de rayon \(0.1m\) .
Caractéristiques du maillage#
Il est constitué de 10 maillesSEG2. La longueur de la poutre est maintenant \(L=6m\) .
Grandeurs testées et résultats#
Efforts intérieurs#
Résultats analytiques |
|
\({V}_{y}(0)\) |
6.0000E+03 |
\({V}_{y}(6)\) |
-1.2000E+04 |
\(\mathrm{MFZ}\) en \(x=2\sqrt{3}\) |
-1.3856E+04 |
Contrainte axiale#
Résultats analytiques |
|
\(\mathrm{SIXX}\) en \(x=2\sqrt{3}\) |
1.7642E+07 |
Modélisation G#
Caractéristiques de la modélisation#
Le modèle est composé de 10 éléments de poutre droite de Timoshenko avec gauchissement: modélisationPOU_D_TG. La section est circulaire pleine, de rayon \(0.1m\) .
L’effort réparti est imposé suivant l’axe \(y\) . La flexion a donc lieu autour de \(z\) .
Caractéristiques du maillage#
Il est constitué de 10 maillesSEG_2. La longueur de la poutre est \(L=6m\) .
Grandeurs testées et résultats#
Efforts intérieurs#
Résultats analytiques |
|
\({V}_{y}(0)\) |
6.0000E+03 |
\({V}_{y}(6)\) |
-1.2000E+04 |
\(\mathit{MFZ}\) en \(x=2\sqrt{3}\) |
-1.3856E+04 |
Déplacement (flèche proche du milieu de la poutre)#
Résultats Aster (non régression) |
Tolérance (%) |
|
\(\mathit{DY}\) au point \(x=3.115977734\) |
3.23499E-03 |
1.E-4 |
Modélisation H#
Caractéristiques de la modélisation#
Le modèle est composé de 21 éléments TUYAU_3M s’appuyant sur des mailles SEG4. La section est circulaire creuse de rayon \(0,1\) et d’épaisseur \(0,01\) .
L’effort réparti est imposé suivant l’axe \(y\) . La flexion a donc lieu autour de \(z\) .
Caractéristiques du maillage#
Il est constitué de 21 mailles SEG3, transformées en mailles SEG4. La longueur du tuyau est \(L=6m\) .
Grandeurs testées et résultats#
Déplacements#
Résultats analytiques |
|
\({D}_{y}\mathit{maxi}\) au point \(x=3.115977734\) |
9.38888E-03 |
Réactions transversales#
Résultats analytiques |
|
\({R}_{\mathit{Oy}}\) |
-6.0000E+03 |
\({R}_{\mathit{By}}\) |
-1.2000E+04 |
Efforts intérieurs#
Résultats analytiques |
|
\({V}_{y}(x=0)\) |
6.0000E+03 |
\({V}_{y}(x=L=6)\) |
-1.2000E+04 |
\(\mathrm{MFZ}\) en \(x=2\sqrt{3}\) |
-1.3856E+04 |
Contraintes#
Elle sont calculées au point d’abscisse \(x=\frac{L\sqrt{3}}{3}\) qui correspond au moment maximum : \({M}_{z}(x)=\frac{-1000}{9\sqrt{(3)}}{L}^{3}=-13856.41\mathrm{N.m}\)
Pour l’angle0° sur la circonférence du tuyau (l’origine des angles étant l’axe \(z\) ), les contraintes sont nulles, et pour l’angle 90°, elles sont maximum : \({\sigma}_{xx}^{\max}=\frac{{M}_{z}^{\max}(R-e/2)}{{I}_{z}}=-4.87363E+07\mathrm{Pa}\)
Référence |
Tolérance |
|
\({\sigma}_{xx}(\alpha =0)\) |
0 |
0.10% |
\({\sigma}_{xx}(\alpha =90)\) |
-4.87363E+07 |
1.00% |
\(\mathrm{MFZ}\) |
-1.3856E+04 |
1.% |
Modélisation I#
Caractéristiques de la modélisation#
Le modèle est composé de 2 éléments POU_D_EM.
Le chargement est similaire à celui de la modélisation \(A\) (moment de torsion uniquement)
Caractéristiques du maillage#
Il est constitué de 2 mailles SEG2. La longueur de la poutre est \(L=2m\)
La poutre est orientée selon le vecteur \((1,1,1)\) .
La section est rectangulaire, identique à celle de la modélisation \(A\) .
Grandeurs testées et résultats#
Rotations dues au moment de torsion#
Résultats Aster (non régression) |
Tolérance (%) |
|
\(\mathit{DRX}=\mathit{DRY}=\mathit{DRZ}\) |
3.2792525E-07 |
1.E-6 |
Modélisation J#
Caractéristiques de la modélisation#
Le modèle est composé de 10 éléments POU_D_EM.
On applique une force répartie de \(6000N/m\) sur toute la poutre.
Caractéristiques du maillage#
Il est constitué de 10 mailles SEG2. La longueur de la poutre est \(L=6m\)
Le maillage de la section est constitué de:
|
|
Grandeurs testées et résultats#
Efforts intérieurs#
Efforts intérieurs |
Résultats analytiques |
\({V}_{y}(0)\) |
6.0000E+03 |
\({V}_{y}(6)\) |
-1.2000E+04 |
\(\mathrm{MFZ}\) |
-1.3856E+04 |
Déplacement (flèche proche du milieu de la poutre)#
Résultats Aster (non régression) |
Tolérance (%) |
|
\(\mathit{DY}\) au point \(x=3.115977734\) |
3.23499E-03 |
1.E-4 |
Synthèse des résultats#
Ce test permet de vérifier simultanément le bon fonctionnement des éléments POU_D_E, POU_D_T et POU_D_TG sur 3 types de sections différentes. La coïncidence parfaite des résultats avec les solutions analytiques (\(\text{RDM}\) ) est normale, et doit toujours être observée, puisque la solution est contenue dans les fonctions de forme des éléments.
De plus, la modélisation E permet de tester le chargement réparti sur des arêtes d’éléments volumiques. L’écart à la solution analytique (\(\text{RDM}\) ) est inférieur à \(\text{0.6\%}\) .
Les modélisations F, G, H et J permettent de tester le chargement réparti (variation linéaire) pour les éléments de poutre POU_D_E, POU_D_TG, POU_D_EM et les éléments de TUYAU_3M. L’écart à la solution analytique (Résistance des Matériaux) est inférieur à \(\text{0.6\%}\) .