v4.22.101 TTNL101 - Source thermique non-linéaire dans un barreau#
Résumé:
Ce test vérifie le calcul thermique en présence d’un chargement de source non-linéaire, dépendant de la température.
La solution de référence est analytique et variable en temps et en espace. La pièce considérée dans les trois modélisations est un barreau symétrique composé d’éléments lumpés.
On vérifie les mailles suivantes :
Modélisation A :
des quadrangles QUAD4, QUAD8, QUAD9 pour une modélisation AXIS
des quadrangles QUAD4 pour une modélisation AXIS_DIAG
Modélisation B :
des hexaèdres HEXA8 pour un modélisation 3D_DIAG
Modélisation C :
des triangles TRIA3 pour une modélisation AXIS
des triangles TRIA3 pour une modélisation AXIS_DIAG
Modélisation D :
des quadrangles QUAD9 pour une modélisation AXIS_HHO linéaire
Modélisation E :
des hexaèdres HEXA8 pour un modélisation 3D_HHO quadratique
Modélisation F :
des quadrangles QUAD9 pour une modélisation AXIS_HHO constante
Modélisation G :
des quadrangles QUAD9 pour une modélisation AXIS_HHO cubique
Modélisation H :
des quadrangles QUAD9 pour une modélisation AXIS_HHO quartique
Les deux extrémités du barreau sont soumises aux conditions d’adiabadicité par défaut. La source volumique de chaleur est une fonction linéaire de la température.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
Le barreau est soumis à une source de chaleur \(r(T)={r}_{0}-{r}_{1}T\) , où \({r}_{1}>0\) pour des questions de stabilité thermique. Sa température initiale vaut \({T}_{0}(x)\) et les extrémités de la barre sont maintenues à une température nulle. L’évolution de température obéit à l’équation de la chaleur:
\(\rho c\dot{T}=\lambda {\nabla}^{2}T+r(T)\) ; \(T(x,0)={T}_{0}(x)\) ; \(T(-L,t)=T(L,t)=0\)
Par normalisation, on peut se ramener sans perte de généralité à l’équation suivante:
\(\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{{\partial}^{2}u}{\partial {x}^{2}}+1-{\omega}^{2}u\) ; \(u(x,0)={u}_{0}(x)\) ; \(u(-1,t)=u(1,t)=0\)
Pour résoudre cette équation, on s’intéresse d’abord à la solution asymptotique \({u}_{\infty}(x)\) qui vérifie:
\(0=\frac{{\partial}^{2}{u}_{\infty}}{\partial {x}^{2}}+1-{\omega}^{2}{u}_{\infty}\) ; \({u}_{\infty}(-1)={u}_{\infty}(1)=0\)
La solution de cette équation différentielle linéaire du second ordre vaut:
\({u}_{\infty}(x)=\frac{1}{{\omega}^{2}}(1-\frac{\cosh\omega x}{\cosh\omega })\)
La solution de l’équation transitoire est ensuite obtenue par projection de \(v=u-{u}_{\infty}\) sur les fonctions propres du Laplacien sur \(\left\rbrace -1,1\right\lbrace ` . Pour simplifier l’analyse, on adopte une condition initiale :math:`{u}_{0}\) égale au premier mode propre, à savoir:
\({u}_{0}(x)={u}_{\infty}(x)-\cos\frac{\pi x}{2}\)
Seul le premier mode étant activé, on est ramené à la résolution d’une équation différentielle en temps du premier ordre, pour obtenir finalement la solution:
\(u(x,t)={u}_{\infty}(x)-\exp(-{\omega}^{2}t-\frac{{\pi}^{2}}{4}t)\cos\frac{\pi x}{2}\)
Enfin, comme précédemment, on remonte de \(u\) à \(T\) en adoptant un jeu de paramètres spécifique, sans tenir compte des unités, de sorte que \(T=u\) . Pour cela, on prend \(\lambda ={r}_{0}=\rho c\) , \({r}_{1}={\omega}^{2}{r}_{0}\) , \(L=1\) et \({T}_{0}(x)={u}_{0}(x)\) .
Résultats de référence#
Le cas-test est mené avec \(\omega =\sqrt{2}\) et on examine la température à \(t=1\) en un nœud du plan de symétrie \((x=0)\) . Les données sont les suivantes:
Conductivité thermique |
LAMBDA |
|
Capacité calorifique volumique |
RHO_CP |
|
Température initiale |
\({T}_{0}\) |
\({u}_{0}(x)=\frac{1}{{\omega}^{2}}(1-\frac{\cosh\omega x}{\cosh\omega })-\cos\frac{\pi x}{2}\) avec \(\omega =\sqrt{2}\) |
Source de chaleur |
\({r}_{0}\) \({r}_{1}\) |
2. 4. |
Grandeur testée |
\(T\) (\(x=0,t=1\) ) |
Valeur de référence |
\(0.258974\) |
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
On utilise les modélisations AXISpuis AXIS_DIAG.
Seule une moitié de la barre est représentée (symétrie).
Caractéristiques du maillage#
Le maillage est constitué de 40 quadrangles de même taille. Lestypes suivants sont considérés successivement:
Modélisations |
Mailles |
AXIS |
QUAD4 QUAD8 QUAD9 |
AXIS_DIAG |
QUAD4 |
Grandeurs testées et résultats#
On teste la température à \(t=1\) en un nœud du plan de symétrie \((x=0)\)
La solution est conforme à la valeur analytique à moins de 0.1% pour une discrétisation temporelle de 100 pas de temps.
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
On utilise les modélisations 3D_DIAG.
Seule une moitié de la barre est représentée (symétrie).
Caractéristiques du maillage#
Le maillage est constitué de 40 hexaèdres de même taille de type HEXA8.
Grandeurs testées et résultats#
On teste la température à \(t=1\) en un nœud du plan de symétrie \((x=0)\)
La solution est conforme à la valeur analytique à moins de 0.1% pour une discrétisation temporelle de 100 pas de temps.
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation#
On utilise les modélisations AXIS puis AXIS_DIAG.
Seule une moitié de la barre est représentée (symétrie).
Caractéristiques du maillage#
Le maillage est constitué de 80 triangles de même taille. Les types suivants sont considérés successivement:
Modélisations |
Mailles |
AXIS |
TRIA3 TRIA6 |
AXIS_DIAG |
TRIA3 |
Grandeurs testées et résultats#
On teste la température à \(t=1\) en un nœud du plan de symétrie \((x=0)\)
La solution est conforme à la valeur analytique à moins de 0.1% pour la modélisation AXIS et de 0.13% pour la modélisation AXIS_DIAG, avec une discrétisation temporelle de 100 pas de temps.
Modélisation D#
Caractéristiques de la modélisation#
On utilise les modélisations AXIS_HHO linéaire.
Seule une moitié de la barre est représentée (symétrie).
Caractéristiques du maillage#
Le maillage est constitué de 40 QUAD9 de même taille.
Grandeurs testées et résultats#
On teste la température à \(t=1\) en un nœud du plan de symétrie \((x=0)\)
La solution est conforme à la valeur analytique à moins de 0.1% pour une discrétisation temporelle de 100 pas de temps.
Modélisation E#
Caractéristiques de la modélisation#
On utilise les modélisations 3D_HHO quadratique.
Seule une moitié de la barre est représentée (symétrie).
Caractéristiques du maillage#
Le maillage est constitué de 40 hexaèdres de même taille de type HEXA8.
Grandeurs testées et résultats#
On teste la température à \(t=1\) en un nœud du plan de symétrie \((x=0)\)
La solution est conforme à la valeur analytique à moins de 0.1% pour une discrétisation temporelle de 100 pas de temps.
Modélisation F#
Caractéristiques de la modélisation#
On utilise la modélisation AXIS_HHO constante.
Seule une moitié de la barre est représentée (symétrie).
Caractéristiques du maillage#
Le maillage est constitué de 40 QUAD9 de même taille.
Grandeurs testées et résultats#
On teste la température à \(t=1\) en un nœud du plan de symétrie \((x=0)\)
La solution est conforme à la valeur analytique à moins de 0.1% pour une discrétisation temporelle de 100 pas de temps.
Synthèse des résultats#
Les résultats sont conformes à la solution analytique.