v4.23.304 TTLP304 - Transfert de chaleur dans une plaque orthotrope : flux imposés

Résumé:

Ce test est issu de la validation indépendante de la version 3 en thermique transitoire linéaire.

Il s’agit d’un problème 2D plan représenté par une modélisation (plane).

Les fonctionnalités testées sont les suivantes:

• élément thermique plan,

• matériau orthotrope,

• algorithme de thermique transitoire,

• conditions limites : flux imposé.

L’intérêt du test réside dans la prise en compte d’un matériau orthotrope.

Les résultats sont comparés à une solution analytique.

Solution de référence

Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

\(T(x,y,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty}{B}_{n}\cos\frac{(\mathrm{2n}-1)\pi x}{2{L}_{x}}\sin\frac{j\pi y}{{L}_{y}}\exp\left[-(\frac{{\lambda}_{x}{(\mathrm{2n}-1)}^{2}{\pi}^{2}}{4{L}_{x}^{2}}+\frac{{\lambda}_{y}{j}^{2}{\pi}^{2}}{{L}_{y}^{2}})t\right]\)

où \({B}_{n}=\left[\frac{8{T}_{i}}{{\pi}^{2}j(\mathrm{2n}-1)}{(-1)}^{n+2}[{(-1)}^{j}-1]-32\right]\frac{5}{9}\) \({T}_{i}=\frac{5}{9}{T}_{0}+32\)

	Température en \(°F\) à \(t=1.2\mathrm{hr}(\mathrm{4320s})\)
2.7	–15,6151	–15,6480	–15,7455	–15,9049	–16,1211	–16,3876	–16,6964	–17,0381	–17,4022	–17,7778
2.4	–15,6462	–15,6786	–15,7748	–15,9318	–16,1449	–16,4076	–16,7120	–17,0487	–17,4076	–17,7778
2.1	–15,7391	–15,7700	–15,8620	–16,0122	–16,2160	–16,4673	–16,7584	–17,0805	–17,4238	–17,7778
1.8	–15,8921	–15,9208	–16,0058	–16,1447	–16,3333	–16,5657	–16,8349	–17,1328	–17,4503	–17,7778
1.5	–16,1025	–16,1279	–16,2035	–16,3269	–16,4944	–16,7009	–16,9401	–17,2048	–17,4869	–17,7778
1.2	–16,3655	–16,3869	–16,4506	–16,5547	–16,6959	–16,8700	–17,0716	–17,2947	–17,5325	–17,7778
0.9	–16,6744	–16,6911	–16,7409	–16,8222	–16,9325	–17,0685	–17,2261	–17,4004	–17,5862	–17,7778
0.6	–17,0203	–17,0318	–17,0660	–17,1218	–17,1975	–17,2909	–17,3991	–17,5187	–17,6462	–17,7778
0.3	–17,3923	–17,3982	–17,4156	–17,4440	–17,4825	–17,5300	–17,5851	–17,6459	–17,7108	–17,7778
0.0	–17,7778	–17,7778	–17,7778	–17,7778	–17,7778	–17,7778	–17,7778	–17,7778	–17,7778	–17,7778
\(Y\uparrow\) \(X\to\)	0.0	0.3	0.6	0.9	1.2	1.5	1.8	2.1	2.4	2.7

Les valeurs de référence sont obtenues avec \(n=j=1000\)

Résultats de référence

\(t=\mathrm{1.2hr}(\mathrm{4320s})\) : température aux points suivants :

• en \(x=0.0\) : pour \(y=0.6,1.5,2.7\) ,

• en \(x=0.9\) : pour \(y=0.6,1.5,2.7\) ,

• en \(x=1.8\) : pour \(y=0.6,1.5,2.7\) .

Incertitude sur la solution

Solution analytique.

Références bibliographiques

• J.C. Bruch Jr., G. Zyroloski, ‘Transient two-dimensional heat conduction problems solved by the finite element method’, Int. J. num. Meth. Engng, vol 8, n°3, pp 481-494, 1974.

Modélisation A

Caractéristiques de la modélisation

PLAN (QUAD4, TRIA3)

Caractéristiques du maillage

Nombre de nœuds :	100
Nombre de mailles et types :	117 (45 QUAD4, 72 TRIA3)

Remarques

La discrétisation en pas de temps est la suivante:

10 pas pour	\([0.,\mathrm{5.00D0}]\)	soit \(\Delta t=0.5\)
9 pas pour	\([\mathrm{5.00D0},\mathrm{5.00D1}]\)	soit \(\Delta t=5.\)
9 pas pour	\([\mathrm{5.00D1},\mathrm{5.00D2}]\)	soit \(\Delta t=50.\)
38 pas pour	\([\mathrm{5.00D2},\mathrm{4.30D3}]\)	soit \(\Delta t=100.\)
1 pas pour	\([\mathrm{4.30D3},\mathrm{4.32D3}]\)	soit \(\Delta t=20.\)

Résultats de la modélisation A

Valeurs testées

			Ecart relatif %		Ecart Absolu
Identification	Référence	Aster	différence	tolérance		différence	tolérance
Température en \(°F\)
\(x=0.0\)
\(\mathrm{N3}(y=0.6)\)	17.0203	17.0146	0.033	1%		0.006	0.05
\(\mathrm{N6}(y=1.5)\)	16.1025	16.0957	0.042	1%		0.007	0.05
\(\mathrm{N10}(y=2.7)\)	15.6151	15.5784	0.235	1%		0.037	0.05
\(x=0.9\)
\(\mathrm{N33}(y=0.6)\)	17.1218	17.1167	0.029	1%		0.005	0.05
\(\mathrm{N36}(y=1.5)\)	16.3269	16.3127	-0.087	1%		0.014	0.05
\(\mathrm{N40}(y=2.7)\)	15.9049	15.8905	0.091	1%		0.014	0.05
\(x=1.8\)
\(\mathrm{N63}(y=0.6)\)	17.3991	17.3961	0.017	1%		0.003	0.05
\(\mathrm{N66}(y=1.5)\)	16.9401	16.9297	0.061	1%		0.010	0.05
\(\mathrm{N70}(y=2.7)\)	16.6964	16.6930	0.020	1%		0.003	0.05

Synthèse des résultats

Les résultats obtenus sont satisfaisants, l’écart maximum obtenu est de 0.235%.

Pour les points d’observation retenus, les écarts sont plus importants aux nœuds appartenant aux mailles TRIA3.