v8.21.102 ADLS102 - Oscillateur fluide-élastique méridien

Résumé:

L’objectif est de calculer le déplacement du piston d’un «oscillateur fluide-élastique méridien».

Il s’agit d’un piston-ressort couplé avec un fluide contenu dans un canal à parois rigides et fixes; le canal est traversé par une onde de dépressurisation.

On considère le problème plan de ce modèle méridien. Ce problème bidimensionnel est ramené à un problème monodimensionnel en considérant par approximation que les vitesses d’écoulement transversal induites par le mouvement du piston se transmettent instantanément en vitesses axiales.

Une seule modélisation est utilisée. Le calcul des modes est en formulation \(u,p,\phi\) .

On utilise donc des éléments 2D; ces éléments sont basés sur des mailles QUAD4 pour le fluide et pour le piston, sur des mailles SEG2 pour l’interface entre fluide et piston pour prendre en compte l’interaction fluide structure (PHENOMENE=‘MECANIQUE’, MODELISATION=’2D_FLUI_STRU’).

Les conditions aux limites de non retour de l’onde sont réalisées en modélisant un piston amortisseur à chaque extrémité; l’excitation est réalisée en appliquant une dépression sur le piston d’entrée.

Le fluide que l’on considère est l’eau (chaude), le modèle schématisant l’interaction fluide-structure dans l’espace annulaire entre cuve et enveloppe de cœur lors d’une dépressurisation rapide.

Une solution analytique exacte existe. Sa comparaison avec les résultats produits permet de valider la prise en compte du couplage fluide structure en 2D.

Solution de référence

Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

Le but est de déterminer le déplacement temporel \(z(t)\) du piston de paroi.

On considère le problème plan de ce modèle méridien dont les caractéristiques géométriques, mécaniques et fluides sont décrites sur la [figure]; le piston latéral est de longueur \({2L}\) .

Le problème bidimensionnel est ramené à un problème monodimensionnel en considérant par approximation que les vitesses d’écoulement transversal \(\dot{z}\) induites par le mouvement du piston se transmettent instantanément en vitesses axiales dans le canal.

Sous le piston de paroi, dans un volume de contrôle d’étendue \(dx\), on considère \(d\Omega = e \, dx\). On peut alors écrire :

\[d(\delta V) = \frac{1}{2e} \, d\dot{z} \, {dx} = \frac{1}{2e} \, \ddot{z} \, {dx} \, {dt}\]

Dans le fluide, la variation de vitesse et la variation de pression en évolution adiabatique sont reliées par:

\[d(\delta P) = {\rho}_{f} \, {c}_{f} \, d(\delta V)\]

La pression à l’instant \(t\) en un point d’abscisse \(x\) résulte de la superposition de la propagation de toutes les sources élémentaires distribuées sur le piston.

Le couplage consiste donc en ceci: le mouvement du piston d’accélération \(\ddot{z}(t)\) induit dans le canal un champ de pression \(P(x,t)\) dont l’effort résultant sur l’étendue du piston lui-même agit en retour sur la dynamique de l’oscillateur.

Les caractéristiques géométriques, mécaniques et fluides du modèle sont présentées sur la [figure].

On considère d’abord que le piston et le fluide sont au repos et on effectue un lâcher de l’oscillateur à l’instant \(t=0\) en lui imposant une vitesse initiale.

L’expression de la pression en un point du canal se développe :

\[P(x,t) = \frac{\rho_f \, c_f}{2 \, e} \, \int_{0}^{t} { \left[ \int_{-L}^{x} { \ddot{z} \left( \tau - \frac{\vert x - u \vert}{c_f} \right) du } + \int_{x}^{L} { \ddot{z} \left( \tau - \frac{\vert u - x \vert}{c_f} \right) du } \, d\tau \right] }\]

On a \(z(0)=0\) et \(z(t)=0\) pour \(t\) négatif et \(z\left(-\frac{L-x}{{c}_{f}}\right)=0\) puisqu’en amont du piston (soit pour \(x\) entre \(-L\) et \(L\) ) la quantité entre parenthèses est toujours négative. De même, on a \(z\left(-\frac{L+x}{{c}_{f}}\right)=0\).

Finalement, il vient:

\[P(x,t) = \frac{\rho_f \, c_f^2}{2 \, e} \left[ 2z(t) - z \left( t-\frac{L-x}{{c}_{f}} \right) - z \left( t-\frac{L+x}{{c}_{f}} \right) \right]\]

On intègre cette expression sur \(x\) afin d’obtenir la résultante des forces de pression sur le piston:

\[R(t) = -H \, {\int}_{-L}^{+L} {P(x,t)\, {dx} } = -2H \, {\int}_{0}^{+L} {P(x,t)\, {dx} }\]

En effet \(P(x,t)\) est paire en \(x\) ; il suffit donc d’intégrer sur la moitié du piston.

D’où l’expression de la résultante des forces de pression sur le piston dans l’hypothèse des petits mouvements:

\[R(t) = - \frac{H \, \rho_f \, c_f^2}{e} \, \left[ 2 \, L \, z(t) - c_f \, \int_{t-\frac{2\, L}{c_f}}^{t} { z(u) \, du } \right]\]

Le mouvement de l’oscillateur obéit donc à l’équation:

\[M\ddot{z} + Kz + \frac{2 \, H \, L \, {\rho}_{f} \, {c}_{f}^{2}}{e} z - \frac{H \, {\rho}_{f} \, {c}_{f}^{3}}{e} \, \int_{t-\frac{2\, L}{c_f}}^{t} { z(u) \, du } = 0\]

ou encore :

\[M\ddot{z} - {F}_{int} - {F}_{cpl} = 0\]

si on pose

\[{F}_{int} = - Kz - \frac{2 \, H \, L \, {\rho}_{f} \, {c}_{f}^{2}}{e} z\]

et

\[{F}_{cpl} = \frac{H \, {\rho}_{f} \, {c}_{f}^{3}}{e} \, \int_{t-\frac{2\, L}{c_f}}^{t} { z(u) \, du }\]

On considère maintenant le cas de la propagation d’une onde de décompression à front raide d’amplitude \(\Delta {P}_{0}\) le long du conduit. A l’instant \(t=0\) , cette onde attaque le piston de paroi encore au repos, créant sur ce piston une force d’excitation telle que:

\[\begin{split}{F}_{exc} = \left \lbrace \begin{array}{ccc} H \, {c}_{f} \, t \, \Delta {P}_{0} & \text{si}& t < \frac{2L}{{c}_{f}}\\ 2 \, H \, L \, \Delta {P}_{0} & \text{si}& t \ge \frac{2L}{{c}_{f}} \end{array} \right .\end{split}\]

L’équation du mouvement s’écrit alors:

\[M\ddot{z} = {F}_{int} + {F}_{cpl} + {F}_{exc}\]

Cette équation est résolue numériquement pour les caractéristiques présentées de l’oscillateur méridien.

Résultat de référence

Déplacement \(z(t)\) du piston de paroi.

Incertitude de la solution

Solution analytique.

Références bibliographiques

1. 6. STIFKENS: «Calcul transitoire dans le Code_Aster avec les éléments vibro-acoustiques». Note interne R&D HP-51/97/026/A.

2. 6. TEPHANY, A. HANIFI, C. LEHAUT: «Éléments d’analyse de l’interaction fluide-structure dans l’espace annulaire cuve-enveloppe de cœur en cas d’APRP» - Note interne SEPTEN ENTMS/94.057.

Modélisation A

Caractéristiques de la modélisation

Système vibro-acoustique équivalent à modéliser

Afin d’éviter les ondes de retour provenant des extrémités d’une modélisation forcément de dimension finie on munit ces extrémités de systèmes «piston-amortisseur» comme sur la [figure]. Le piston excitateur est de masse nulle et on y ajoute un amortisseur \(a\). Le piston anéchoïque est de masse nulle, avec un amortissement de valeur \(a\). Le piston de paroi est modélisé avec une masse \(M\) et une rigidité \(K\), sans amortissement.

Le canal est modélisé sur une longueur totale de \(28 \, m\) suffisante pour obtenir avec certitude, au moins les deux premiers extrema de la courbe de déplacement du piston sans perturbation d’une onde de réflexion aux extrémités.

Fig. 775 Système vibro-acoustique équivalent

Modélisation numérique en éléments finis

On a choisi de modéliser en 2D.

Pour le fluide : la modélisation est en formulation \(\left( p,\phi \right)\) .

Elle est réalisée par l’affectation sur des mailles de type QUAD4 (quadrilatères à 4 nœuds) d’éléments PHENOMENE=’MECANIQUE’, MODELISATION=’2D_FLUIDE’.

Pour les structures : la modélisation est en formulation \(u\) .

Elle est réalisée par l’affectation sur des mailles de type QUAD4 (quadrilatères à 4 nœuds) d’éléments PHENOMENE=’MECANIQUE’, MODELISATION=’D_PLAN’.

Pour les éléments discrets d’oscillateurs : la modélisation est en formulation \(u\) .

Elle est réalisée par l’affectation sur des mailles de type ponctuel POI1 d’éléments PHENOMENE=’MECANIQUE’, MODELISATION=’DIS_T’.

Pour les interfaces fluide-structure : la modélisation est en formulation \((u,p,\phi)\) .

Elle est réalisée par l’affectation sur des mailles de type SEG2 (segments à 2 nœuds) d’éléments PHENOMENE=’MECANIQUE’, MODELISATION=’2D_FLUIDE_STRU’.

Caractéristiques du maillage

Le maillage de la [figure] est constitué de 2870 cellules QUAD4 et 3164 noeuds. Les trois pistons sont représentés par une seule couche de cellules.

Fig. 776 Maillage bidimensionnel

Calcul

On souhaite valider les éléments d’interaction fluide-structure en régime transitoire par un chargement d’excitation. On effectue le calcul du déplacement du piston de paroi avec l’opérateur [DYNA_VIBRA]. On applique une pression de \(17 \, MPa\) sur le piston.

Remarque:

Pour valider les chargements sur la partie fluide-structure, dans cette modélisation on applique la pression sur l’interface et non sur la structure. La structure étant supposée infiniment rigide, c’est strictement équivalent.

Grandeurs testées et résultats

Les résultats du calcul sont présentés graphiquement sur la [figure <v8.21.102-fig-resultat] en superposition avec la solution de référence «analytique».

La courbe du calcul est très proche de la référence pendant les quatre premières oscillations mais les différences, à la fois en amplitude et en phase, sont de plus en plus perceptibles quand \(t\) s’accroît.

Fig. 777 Comparaison entre calcul et référence semi-analytique

Le test porte sur le déplacement du piston de paroi en deux instants donnés proches des deux premiers extrema.

Le tableau présente un comparatif des deux premiers extrema de la courbe de déplacement du piston entre points analytiques et points calculés.

Valeur testée	Instant (en \(ms\))	Déplacement (en \(mm\))	Erreur sur le déplacement
Premier extrémum	\(20,13\)	\(-1,3530\)	0,1%
Second extrémum	\(26,05\)	\(-0,4210\)	0,1%

Les valeurs obtenues des instants d’extrema dans l’un et l’autre cas sont des valeurs estimées extraites sans interpolation des valeurs calculées brutes: elles ne correspondent pas exactement entre la courbe analytique et la courbe du calcul.

D’autre part, à l’aide des formules analytiques présentées, il est possible de calculer la variation de la pression \(P(x, t)\) en fonction du déplacement vertical \(z(t)\). Les résultats de ce calcul sont présentés graphiquement sur la figure ci-dessous en superposition avec la solution de référence «analytique».

Fig. 778 Comparaison entre calcul et référence semi-analytique à \(x=0\)

Le tableau présente un comparatif des deux premiers extrema de la courbe de pression sous le piston à \(x=0\) entre points analytiques et points calculés.

Valeur testée	Instant (en \(ms\))	Pression (en \(MPa\))	Erreur sur la pression
Premier extrémum	\(20,13\)	\(-7.9073\)	2%
Second extrémum	\(26,05\)	\(-9.0154\)	2%

Autres vérifications dans le test

Le test valide également:

• L’utilisation d’un chargement VITE_FACE sur l’interface fluide-structure: la vitesse est nulle pour ne pas perturber les résultats

• L’utilisation d’une pression de type fonction

• Vérification de caractéristiques d’amortissement de type diagonal A_T_D_N et non-diagonal A_T_N

• Vérification de la combinaison de matrices par [COMB_MATR_ASSE]

Synthèse des résultats

Bonne précision sur les premières périodes puis légère erreur en amplitude et en phase due à l’influence de l’intégration en temps numérique Newmark \((\alpha =\frac{1}{4},\gamma =\frac{1}{2})\) .