v5.02.102 SDNL102 - Poutre soumise à un champ de vitesse de vent#
Résumé:
Ce test concerne la validation de l’application des chargements de vent sur les éléments linéiques. Le chargement est décrit par des champs de vitesses de vent.
Ce problème permet de tester:
les éléments finis linéiques [barres, câbles, poutres (sauf les poutres courbes)] avec des chargements suiveur de nature “vent”,
les chargements à l’aide des vitesses de vent:
◦ lecture des données des champs de vent,
◦ projection des champs de vent attachés au nuage de points sur le maillage déformé de la structure,
◦ calcul de la vitesse relative,
la prise en compte de la fonction donnant la force répartie en fonction de la vitesse relative de la structure,
la réactualisation de la géométrie pour tenir compte des grands déplacements et des grandes rotations.
Solution de référence#
Équations d’équilibre#
L’étude est réalisée autour de la position initiale de la structure dans le plan \(xy\) . Les équations sont écrites au centre de gravité de la poutre.
Effort d’inertie :
\(M.{\gamma}_{g}=\left\lbrace \begin{array}{}\mathrm{Mx}''\\ \mathrm{My}''\\ \frac{M{L}^{2}}{12}.\theta ''\end{array}\right\rbrace\)
Effort au point \(\mathrm{A1}\)
\(\mathrm{Fa}=\left\lbrace \begin{array}{}-\mathrm{kxa}.\delta \mathrm{xa}\\ -\mathrm{kya}.\delta \mathrm{ya}\\ \mathrm{L.}(\delta \mathrm{ya}.\mathrm{kya}.\cos({\theta}_{0}+\theta )-\delta \mathrm{xa}.\mathrm{kxa}.\sin({\theta}_{0}+\theta ))/2\end{array}\right\rbrace \begin{array}{}\text{avec les déplacements du point}\mathrm{A1}\\ \delta \mathrm{xa}=\mathrm{L.cos}({\theta}_{0})/2-\mathrm{L.cos}({\theta}_{0}+\theta )/2+x\\ \delta \mathrm{ya}=\mathrm{L.sin}({\theta}_{0})/2-\mathrm{L.sin}({\theta}_{0}+\theta )/2+y\end{array}\)
Effort au point \(\mathrm{B1}\)
\(\mathrm{Fb}=\left\lbrace \begin{array}{}-\mathrm{kxb}.\delta \mathrm{xb}\\ -\mathrm{kyb}.\delta \mathrm{yb}\\ \mathrm{L.}(-\delta \mathrm{yb}.\mathrm{kyb}.\cos({\theta}_{0}+\theta )+\delta \mathrm{xb}.\mathrm{kxb}.\sin({\theta}_{0}+\theta ))/2\end{array}\right\rbrace \begin{array}{}\text{avec les déplacements du point}\mathrm{B1}\\ \delta \mathrm{xb}=-\mathrm{L.cos}({\theta}_{0})/2+\mathrm{L.cos}({\theta}_{0}+\theta )/2+x\\ \delta \mathrm{yb}=-\mathrm{L.sin}({\theta}_{0})/2+\mathrm{L.sin}({\theta}_{0}+\theta )/2+y\end{array}\)
Effort dû au vent
Vitesse relative d’un point \(M\)
\({V}_{r}=\left\lbrace \begin{array}{}\mathrm{Vvx}+\mathrm{s.}\sin({\theta}_{0}+\theta ).\theta '-x'\\ \mathrm{Vvy}-\mathrm{s.}\cos({\theta}_{0}+\theta ).\theta '-y'\\ 0\end{array}\right\rbrace\)
avec |
\(s\) : l’abscisse curviligne du point \(M\) sur la poutre \(s\in [–L/2,L/2]\) |
\(\mathrm{Vvx}\) , \(\mathrm{Vvy}\) : vitesse du vent suivant l’axe x et l’axe \(y\) . |
Vitesse relative perpendiculaire à la barre au point M :
\({V}_{p}=\left\lbrace \begin{array}{}\sin({\theta}_{0}+\theta ).(-\mathrm{Vvy}.\cos({\theta}_{0}+\theta )+\mathrm{Vvx.}\sin({\theta}_{0}+\theta )+s.\theta '-\sin({\theta}_{0}+\theta ).x'+\cos({\theta}_{0}+\theta ).y')\\ \cos({\theta}_{0}+\theta ).(\mathrm{Vvy}.\cos({\theta}_{0}+\theta )-\mathrm{Vvx.}\sin({\theta}_{0}+\theta )-s.\theta '+\sin({\theta}_{0}+\theta ).x'-\cos({\theta}_{0}+\theta ).y')\\ 0\end{array}\right\rbrace\)
Force due au vent en un point \(M\)
\({\mathrm{Fvent}}_{(M)}={\mathrm{Fcx}}_{(M)}.\frac{{V}_{p}}{∥{V}_{p}∥}\) dans notre cas on choisit \({\mathrm{Fcx}}_{(M)}=∥{V}_{p}∥\)
on obtient donc \({\mathrm{Fvent}}_{(M)}={V}_{p}\)
Résultante de la force due au vent sur la barre
\(\mathrm{Fvent}=\left\lbrace \begin{array}{}L.\sin({\theta}_{0}+\theta ).((-\mathrm{Vvy}+y').\cos({\theta}_{0}+\theta )+(\mathrm{Vvx}-x').\sin({\theta}_{0}+\theta ))\\ L.\cos({\theta}_{0}+\theta ).((\mathrm{Vvy}-y').\cos({\theta}_{0}+\theta )+(-\mathrm{Vvx}+x').\sin({\theta}_{0}+\theta ))\\ -{L}^{3}.\theta '/12\end{array}\right\rbrace\)
Équation finale de la dynamique
\(M.{\gamma}_{g}=\mathrm{Fa}+\mathrm{Fb}+\mathrm{Fvent}\)
Grandeurs et résultats de référence#
Déplacements et rotation du point \(G\) aux instants : \(\mathrm{2.0sec}\) , \(\mathrm{3.0sec}\) , \(\mathrm{4.0sec}\) , \(\mathrm{5.0sec}\) et \(\mathrm{6.0sec}\) .
Incertitudes sur la solution#
Aucune. La résolution de l’équation d’équilibre se fait par une méthode d’intégration de Runge Kutta d’ordre 4.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation et du maillage#
L’élément linéique : “poutre” découpée en 12 mailles.
Les discrets : “DIS_T”
Grandeurs testées et résultats#
Temps 2.0sec |
Analytique |
Erreur absolue |
Erreur relative |
\(x(m)\) |
–0.27571 |
0.00070 |
0.00255 |
\(y(m)\) |
0.46478 |
0.00120 |
0.00259 |
\(\mathrm{Rz}(\mathrm{rd})\) |
–0.04851 |
0.00001 |
0.00027 |
Temps 3.0sec |
Analytique |
Erreur absolue |
Erreur relative |
\(x(m)\) |
–0.43640 |
0.00118 |
0.00271 |
\(y(m)\) |
0.68149 |
0.00190 |
0.00279 |
\(\mathrm{Rz}(\mathrm{rd})\) |
–0.16767 |
0.00079 |
0.00472 |
Temps 4.0sec |
Analytique |
Erreur absolue |
Erreur relative |
\(x(m)\) |
–0.21266 |
0.00043 |
0.00201 |
\(y(m)\) |
0.07494 |
0.00111 |
0.01476 |
\(\mathrm{Rz}(\mathrm{rd})\) |
–0.15769 |
0.00026 |
0.00163 |
Temps 5.0sec |
Analytique |
Erreur absolue |
Erreur relative |
\(x(m)\) |
0.30290 |
0.00108 |
0.00357 |
\(y(m)\) |
–0.98487 |
0.00536 |
0.00544 |
\(\mathrm{Rz}(\mathrm{rd})\) |
0.11188 |
0.00027 |
0.00241 |
Temps6.0sec |
Analytique |
Erreur absolue |
Erreur relative |
\(x(m)\) |
0.59847 |
0.00032 |
0.00054 |
\(y(m)\) |
–1.24735 |
0.00322 |
0.00258 |
\(\mathrm{Rz}(\mathrm{rd})\) |
0.44284 |
0.00251 |
0.00566 |
Synthèse des résultats#
Comparaison entre les résultats théoriques et ceux de Code_Aster.