v7.03.101 HPLV101 - Homogénéisation d’un matériau homogène#
Résumé:
Ce test éprouve, dans une situation triviale où le matériau est homogène, la résolution des problèmes thermiques et mécaniques stationnaires, avec des chargements correspondant à un gradient de température et à une déformation imposée, voisins de ceux correspondant aux problèmes élémentaires de la méthode d’homogénéisation périodique.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
En thermique : on résout le problème thermique stationnaire:
Remarque :
Les conditions aux limites choisies ici ne sont pas celles nécessaires à la méthode d’homogénéisation : on trouverait en effet
partout.
La solution est alors (vérifiant les conditions définies en [§1.3]) :
L’énergie potentielle est alors à l’équilibre :
En mécanique : on résout le problème d’élastostatique :
pour les cas:
|
|
|
|
|
|
Les solutions sont :
en 3D, chargement membranaire et élasticité isotrope:
l’énergie potentielle à l’équilibre est:
en 3D, chargement membranaire et élasticité orthotrope:
avec
soit
car le repère local n’est pas confondu avec le repère global (les angles nautiques valant tous 90°).
où
et
en 3D, chargement de flexion :
;
en 3D, chargement de flexion et élasticité orthotrope:
avec
soit
car le repère local n’est pas confondu avec le repère global (les angles nautiques valant tous 90°).
où
et
en 2D, chargement plan :
;
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Conditions aux limites et chargement :
Thermique : |
GROUP_NO : GRNM14 : TEMP : 0.0 |
PRE_GRAD_TEMP : FLUX_X : –1.0 |
|
Mécanique : (contraintes planes) |
GROUP_NO : GRNM14 : DX : 0.0 |
NOEUD : O DY : 0.0 |
|
PRE_EPSI : EPXX : –1.0 |
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 8
Nombre de mailles et types : 1 QUAD8
Valeurs testées#
Point |
Grandeur \(\mathrm{CMP}\) |
Référence |
\(A\) |
\(\mathrm{TEMP}\) |
–1.0000 |
\(A\) |
\(\mathrm{DX}\) |
–1.0000 |
\(\mathrm{N6}\) |
\(\mathrm{DX}\) |
–0.5000 |
Maille |
Energie potentielle à l’équilibre |
Référence |
\(\mathrm{M1}\) |
Thermique |
–0.500000000 |
\(\mathrm{M1}\) |
Mécanique |
–0.549450550 |
Remarques#
Code_Aster fournit la valeur de l’énergie de déformation, égale à l’opposé de l’énergie potentielle à l’équilibre (cas élastique).
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
Nom des mailles des faces : |
\(\mathrm{ZEGAL0}\) |
\(\mathrm{YEGAL0}\) |
\(\mathrm{YEGAL1}\) |
\(\mathrm{XEGAL0}\) |
\(\mathrm{XEGAL1}\) |
Sommets : |
\(BCOA\) |
\(OA\mathrm{N2}\mathrm{N4}\) |
\(BC\mathrm{N6}\mathrm{N8}\) |
\(CO\mathrm{N4}\mathrm{N6}\) |
\(AB\mathrm{N8}\mathrm{N2}\) |
Conditions aux limites :
Thermique: |
ZERO : DEFI_CONSTANTE (VALE : 0.0) ; FCT1:DEFI_FONCTION(Nom_para:”Z”,VALE: (0.0 0.0 1.0 1.0)); GROUP_NO : XEGAL0 : TEMP : 0.0 PRE_GRAD_TEMP : FLUX_X : -1.0 |
Mécanique: |
GROUP_NO : YEGALO : DY = 0.0 XEGAL1 : DX = 0.0 YEGAL1 : DY = 0.0 XEGALO : DZ = 0.0 |
Cas membranaire: |
GROUP_NO : ZEGALO : DZ = 0.0 PRE_EPSI : EPXX : -1.0 |
Cas flexion: |
GROUP_NO : ZEGALO : DX = ZERO, DY = ZERO NOEUD : 0 DZ = ZERO PRE_EPSI : EPXX : FCT1 |
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 20
Nombre de mailles et types : 1 HEXA20
Valeurs testées#
En élasticité isotrope
Cas |
Grandeur |
Point |
Référence |
Thermique |
\(\mathrm{temp}\) |
\(\mathrm{N8}\) |
–1.000000 |
\(\mathrm{temp}\) |
\(\mathrm{N3}\) |
–0.500000 |
|
Mécanique |
\(\mathrm{dz}\) |
\(\mathrm{N4}\) |
–7.03285714 |
membrane |
\(\mathrm{dz}\) |
\(\mathrm{N8}\) |
–7.03285714 |
Mécanique |
\(\mathrm{dz}\) |
\(\mathrm{N4}\) |
57.70459285 |
flexion |
\(\mathrm{dz}\) |
\(\mathrm{N8}\) |
57.70459285 |
Maille |
Energie potentielle à l’équilibre |
Référence |
\(\mathrm{M1}\) |
Thermique |
–8.20500 |
\(\mathrm{M1}\) |
Mécanique Membrane Flexion |
–2.0287088 –1.8210238 102 |
En élasticité orthotrope
Cas |
Grandeur |
Point |
Référence |
Thermique |
\(\mathrm{temp}\) |
\(\mathrm{N8}\) |
–1.000000 |
\(\mathrm{temp}\) |
\(\mathrm{N3}\) |
–0.500000 |
|
Mécanique |
\(\mathrm{dz}\) |
\(\mathrm{N4}\) |
– 6.63044894 |
membrane |
\(\mathrm{dz}\) |
\(\mathrm{N8}\) |
– 6.63044894 |
Mécanique |
\(\mathrm{dz}\) |
\(\mathrm{N4}\) |
54.40283358 |
flexion |
\(\mathrm{dz}\) |
\(\mathrm{N8}\) |
54.40283358 |
Maille |
Energie potentielle à l’équilibre |
Référence |
\(\mathrm{M1}\) |
Thermique |
–8.20500 |
Synthèse des résultats#
Les résultats sont exacts à des erreurs d’arrondi près, puisque les solutions cherchées font partie de l’espace des éléments finis choisis pour la modélisation.