v2.06.101 SHLL101 - Poutre droite. Analyse harmonique#
Résumé:
Ce problème bidimensionnel consiste à calculer les efforts présents dans une poutre soumise à une traction ou à une flexion lors d’une analyse harmonique. La solution de référence est obtenue à partir des équations discrétisées.
Ce test comporte deux modélisations.
Pour la première modélisation, quatre sollicitations sont testées:
force de traction,
force de traction et matériau présentant un amortissement,
force de flexion,
force de flexion et matériau présentant un amortissement.
Pour la deuxième modélisation, deux sollicitations sont testées:
force de traction,
force de traction et matériau présentant un amortissement.
La deuxième modélisation permet de tester les chargements complexes imposés par la commande AFFE_CHAR_MECA_C.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
Si la poutre est modélisée par une poutre d’Euler-Bernoulli et par un seul élément fini, le problème harmonique peut s’écrire de la façon suivante:
problème en traction:
\((1+i\alpha \omega )\frac{\mathit{ES}}{L}u(B)-{\omega}^{2}\frac{\rho SL}{6}u(B)={F}_{x}(B)\)
d’où \(u(B)=\frac{F(B)}{\frac{\mathit{ES}}{L}-{\omega}^{2}\frac{\rho SL}{6}+i\alpha \omega \frac{\mathit{ES}}{L}}\)
problème en flexion:
\(\left[-{\omega}^{2}\left[\begin{array}{cc}\frac{13L}{35}& \frac{-11{L}^{2}}{210}\\ \frac{-11{L}^{2}}{210}& \frac{{L}^{3}}{105}\end{array}\right]+(1+i\alpha \omega )\frac{12{\mathit{EI}}_{y}}{{L}^{3}}\left[\begin{array}{cc}1& \frac{-L}{2}\\ \frac{-L}{2}& \frac{{L}^{2}}{3}\end{array}\right]\right]\left[\begin{array}{c}v(B)\\ \theta (B)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{F}_{y}(B)\\ 0\end{array}\right]\)
Remarque:
Si le matériau ne présente pas d’amortissement, on a alors : AMOR_ALPHA = \(\alpha =0\) .
Les efforts au point \(B\) se calculent de la manière suivante:
problème en traction:
\(N(B)=\left(\frac{\mathit{ES}}{L}-{\omega}^{2}\frac{\rho SL}{6}\right)u(B)\)
problème en flexion:
\(\left[\begin{array}{c}\mathit{VY}(B)\\ \mathit{MFZ}(B)\end{array}\right]=\left[-{\omega}^{2}\left[\begin{array}{cc}\frac{13L}{35}& \frac{-11{L}^{2}}{210}\\ \frac{-11{L}^{2}}{210}& \frac{{L}^{3}}{105}\end{array}\right]+\frac{12{\mathit{EI}}_{y}}{{L}^{3}}\left[\begin{array}{cc}1& \frac{-L}{2}\\ \frac{-L}{2}& \frac{{L}^{2}}{3}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}v(B)\\ \theta (B)\end{array}\right]\right]\)
On résout analytiquement les systèmes \(2\times 2\) pour obtenir la solution.
Résultats de référence#
Les résultats de référence sont les déplacements, les vitesses, les accélérations et les efforts généralisés obtenus au point \(B\) lors de l’analyse harmonique.
Remarque pour la modélisation B#
Pour la modélisation B, on veut tester dans le cas du problème en traction le mot-clé FORCE_POUTRE qui permet d’appliquer des efforts répartis. Pour obtenir la même solution que la poutre soumise à force nodale en son extrémité, la relation entre l’effort réparti constant et la force nodale est:
\({F}_{x}(B)=\frac{fL}{2}\)
Avec les valeurs données au paragraphe 1.3, on a: \(f=600N/m\)
Incertitude sur la solution#
Si les hypothèses sont vérifiées (poutre d’Euler-Bernoulli), la solution est analytique.
Références bibliographiques#
[R3.08.01]Éléments de poutres « exacts » (droits et courbes).
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
La poutre est constituée d’une seule maille.
La modélisation utilisée pour la poutre est celle d’Euler-Bernoulli (POU_D_E).
L’extrémité \(A\) est encastrée:
DX = DY = DZ = 0. DRX = DRY = DRZ = 0.
Les vitesses et accélérations sont obtenues de façon suivantes en harmonique:
\(v(B)=i\omega u(B)\)
\(a(B)=-{\omega}^{2}u(B)\)
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 2
Nombre de mailles et types : 1 maille de type SEG 2
Les points caractéristiques du maillage sont les suivants:
Grandeurs testées (forme réel-imaginaire)#
Problème 1 : traction
Point/Grandeur |
Valeur de r éférence |
Type de référence |
Précision (%) |
||
déplacement |
B |
DX |
(5.318 10–5, 0.) |
“ANALYTIQUE” |
0,05 |
vitesse |
B |
DX |
(0., 3.341 10–3) |
“ANALYTIQUE” |
0,05 |
accélération |
B |
DX |
(–2.099 10–1, 0.) |
“ANALYTIQUE” |
0,05 |
effort généralisé |
B |
N |
(3000., 0.) |
“ANALYTIQUE” |
0,05 |
Problème 2 : flexion
Point/Grandeur |
Valeur de r éférence |
Type de référence |
Précision (%) |
||
déplacement |
B |
DY |
(1.828 10–2, 0.) |
“ANALYTIQUE” |
0,05 |
DRZ |
(1.82 10–2, 0.) |
“ANALYTIQUE” |
0,05 |
||
vitesse |
B |
DY |
(0., 1.1489) |
“ANALYTIQUE” |
0,05 |
DRZ |
(0., 1.1438) |
“ANALYTIQUE” |
0,05 |
||
accélération |
B |
DY |
(–72.19, 0.) |
“ANALYTIQUE” |
0,05 |
DRZ |
(–71.86, 0.) |
“ANALYTIQUE” |
0,05 |
||
effort généralisé |
B |
VY |
(3000., 0.) |
“ANALYTIQUE” |
0,05 |
Problème 3 : traction + amortissement
Point/Grandeur |
Valeur de r éférence |
Type de référence |
Précision (%) |
||
déplacement |
B |
DX |
(5.296 10–5, –3.363 10–6) |
“ANALYTIQUE” |
0,05 |
vitesse |
B |
DX |
(2.113 10–4, 3.327 10–3) |
“ANALYTIQUE” |
0,05 |
accélération |
B |
DX |
(–2.091 10–1, 1.327 10–2) |
“ANALYTIQUE” |
0,05 |
effort généralisé |
B |
N |
(2.9879103, –1.897 102) |
“ANALYTIQUE” |
0,05 |
Problème 4 : flexion + amortissement
Point/Grandeur |
Valeur de r éférence |
Type de référence |
Précision (%) |
||
déplacement |
B |
DY |
(1.746 10–2, –4.469 10–3) |
“ANALYTIQUE” |
0,05 |
DRZ |
(1.757910–2, –3.402 10–3) |
“ANALYTIQUE” |
0,05 |
||
vitesse |
B |
DY |
(2.808 10–1, 1.097) |
“ANALYTIQUE” |
0,05 |
DRZ |
(2.138 10–1, 1.1045) |
“ANALYTIQUE” |
0,05 |
||
accélération |
B |
DY |
(–68.95, 17.64) |
“ANALYTIQUE” |
0,05 |
DRZ |
(–69.4, 13.43) |
“ANALYTIQUE” |
0,05 |
||
effort généralisé |
B |
VY |
(3.0215103, 1.212 102) |
“ANALYTIQUE” |
0,05 |
MFZ |
(–1.567 102, –8.583 102) |
“ANALYTIQUE” |
0,05 |
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
La poutre est constituée d’une seule maille.
La modélisation utilisée pour la poutre est celle d’Euler-Bernoulli (POU_D_E).
L’extrémité \(A\) est encastrée:
DX = DY = DZ = 0. DRX = DRY = DRZ = 0.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 2
Nombre de mailles et types : 1 maille de type SEG 2
Les points caractéristiques du maillage sont les suivants:
Grandeurs testées (forme réel-imaginaire)#
Problème 1 : traction (effort réparti réel: partie imaginaire nulle)
Point/Grandeur |
Valeur de r éférence |
Type de référence |
Précision (%) |
||
déplacement |
B |
DX |
(5.318 10–5, 0.) |
“ANALYTIQUE” |
0,05 |
vitesse |
B |
DX |
(0., 3.341 10–3) |
“ANALYTIQUE” |
0,05 |
accélération |
B |
DX |
(–2.099 10–1, 0.) |
“ANALYTIQUE” |
0,05 |
effort généralisé |
B |
N |
(3000., 0.) |
“ANALYTIQUE” |
0,05 |
Problème 2 : traction (effort réparti complexe: partie rélle nulle)
Point/Grandeur |
Valeur de r éférence |
Type de référence |
Précision (%) |
||
déplacement |
B |
DX |
(0., 5.318 10–5) |
“ANALYTIQUE” |
0,05 |
vitesse |
B |
DX |
(-3.341 10–3 , 0.) |
“ANALYTIQUE” |
0,05 |
accélération |
B |
DX |
(0., –2.099 10–1) |
“ANALYTIQUE” |
0,05 |
effort généralisé |
B |
N |
(0., 3000.) |
“ANALYTIQUE” |
0,05 |
Problème 3 : traction + amortissement (effort réparti réel: partie imaginaire nulle)
Point/Grandeur |
Valeur de r éférence |
Type de référence |
Précision (%) |
||
déplacement |
B |
DX |
(5.296 10–5, –3.363 10–6) |
“ANALYTIQUE” |
0,05 |
vitesse |
B |
DX |
(2.113 10–4, 3.327 10–3) |
“ANALYTIQUE” |
0,05 |
accélération |
B |
DX |
(–2.091 10–1, 1.327 10–2) |
“ANALYTIQUE” |
0,05 |
effort généralisé |
B |
N |
(2.9879 103, –1.897 102) |
“ANALYTIQUE” |
0,05 |
Problème 4 : flexion + amortissement (effort réparti complexe: partie réelle nulle)
Point/Grandeur |
Valeur de r éférence |
Type de référence |
Précision (%) |
||
déplacement |
B |
DX |
(3.363 10–3 , 5.296 10–5) |
“ANALYTIQUE” |
0,05 |
vitesse |
B |
DX |
(-3.327 10–3, 2.113 10–4) |
“ANALYTIQUE” |
0,05 |
accélération |
B |
DX |
(-1.327 10–2, -2.091 10–1) |
“ANALYTIQUE” |
0,05 |
effort généralisé |
B |
N |
(1.897 102 , 2.9879 103) |
“ANALYTIQUE” |
0,05 |
Quand l’effort réparti est appliqué en tant que partie imaginaire du chargement, la solution de référence est obtenue à partir de celle de la modélisation A en échangeant partie réelle et partie imaginaire et en changeant le signe des nouvelles parties réelles.
Synthèse des résultats#
On retrouve bien les résultats analytiques.