v2.02.004 SDLL04 - Poutre élancée sur deux appuis, couplée à un système masse-ressort#

Résumé:

Ce problème plan consiste à chercher les fréquences de vibration d’une structure mécanique composée d’une poutre encastrée-glissière et d’une masse reliée à la poutre par un ressort. La raideur du ressort et la masse dépendent d’un paramètre variable, ce qui permettra de mettre en évidence le déplacement des fréquences propres pour une petite perturbation du modèle. Ce test de Mécanique des Structures correspond à une analyse dynamique d’un modèle linéique ayant un comportement linéaire. Il comprend une seule modélisation.

Ce problème permet de tester l’élément de poutre de Timoshenko en flexion, le calcul des fréquences propres par la méthode des itérations inverses et par la méthode de Lanczos, la liaison élastique discrète entre une masse ponctuelle et un nœud d’une poutre.

Les résultats obtenus sont en bon accord avec les résultats donnés dans le guide VPCS. On observe bien le dédoublement des fréquences propres induit par la perturbation du modèle initial (poutre élancée sur deux appuis).

Solution de référence#

Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#

La solution de référence est celle donnée dans la fiche SDLL04/89 du guide VPCS qui présente la méthode de calcul de la façon suivante:

L’équation aux pulsations propres du système complet s’écrit :

\(\lambda {r}_{i}L\left[\frac{\sin({r}_{i}a)\sin({r}_{i}b)}{\sin({r}_{i}L)}-\frac{\mathit{sh}({r}_{i}a)\mathit{sh}({r}_{i}b)}{\mathit{sh}({r}_{i}L)}\right]=2({\omega}_{i}^{2}-{\omega}_{c}^{2})/{\omega}_{c}^{2}\)

avec :

\(\lambda =\frac{{m}_{e}}{\rho AL}\) \({r}_{i}^{4}={\omega}_{i}^{2}\frac{\rho A}{EI}\) \({\omega}_{C}=\frac{{k}_{e}}{{m}_{e}}\) \(a+b=L\)

En absence de système secondaire, \({k}_{e},{m}_{e}=0\) , on retrouve bien les fréquences propres de la poutre élancée sur deux appuis.

\({f}_{i}={i}^{2}\frac{\pi}{2}\frac{1}{{L}^{2}}\sqrt{\frac{\mathit{EI}}{\rho A}}={i}^{2}\frac{\pi}{2}\)

Quand le système secondaire est exactement accordé sur le premier mode de cette poutre, les nouvelles fréquences propres du système peuvent être obtenues par les formules approchées :

\({f}_{1,2}^{\mathrm{\ast }}=(1\pm 0.5\sqrt{\frac{{m}_{e}}{{M}_{1}}}){f}_{1}=(1\pm 0.5\sqrt{\lambda}){f}_{1}\) \({f}_{3}^{\mathrm{\ast }}\mathrm{\simeq }{f}_{2}\)

avec \({M}_{1}\) masse modale de la poutre sans système secondaire pour un mode propre normé à 1 au point \(D\) .

Résultats de référence#

Les deux premières fréquences propres pour \(\lambda =0.\)

Les trois premières fréquences propres pour \(\lambda =0.001\) et \(\lambda =0.01\) .

Incertitude sur la solution#

Inférieure à \(4\lambda \text{\%}\) pour les premiers modes si le système est accordé au premier mode.

Références bibliographiques#

  • NOUR-OMID, SACKMAN, KIUREGHIAN. Modal characterisation of equipment continous structure system. Journal of Sound and Vibration, V.88 n°4, p.459,472 (1983).

Modélisation A#

Caractéristiques de la modélisation#

On utilise des poutres droites de Timoshenko POU_D_T et des éléments discrets DIS_T.

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Découpage:

\(\mathrm{AD}\) : 5 mailles SEG2 \(\mathrm{DB}\) : 15 mailles SEG2 \(\mathrm{CD}\) : 1 maille SEG2

Modélisation :

POU_D_Tpour toutes les mailles de la poutre \(\mathrm{AB}\) DIS_Tpour la maille \(\mathrm{CD}\) et le point \(C\) Pour toute la structure \(\mathrm{DZ}=\mathrm{DRX}=\mathrm{DRY}=0\)

Conditions limites: en tous les nœuds de la poutre \(\mathrm{AB}\) : aux nœuds extrémités : en \(C\) :

DDL_IMPO: ( GROUP_NO: NPOUTRE DZ:0., DRX:0, DRY:0.) ( GROUP_NO: A DX: 0., DY: 0. ) ( GROUP_NO: B DY: 0. ) ( GROUP_NO: C DX: 0., DZ: 0. )

Noms des nœuds:

Point \(A=\mathrm{N1}\) Point \(B=\mathrm{N21}\)

Point \(C=\mathrm{N22}\) Point \(D=\mathrm{N6}\)

Caractéristiques du maillage#

Nombre de nœuds :

22

Nombre de mailles et types :

21 mailles SEG2

1 maille P0I1

Grandeurs testées et résultats#

Fréquence ( \(\mathrm{Hz}\) )

\(\lambda\)

Ordre du mode propre

Référence

\(0.\)

flexion 1 flexion 2

1.5707 6.2831

\(0.001\)

1 flexion 2 flexion 3 flexion 2

1.5460 1.5958 6.2336

\(0.01\)

1 flexion 2 flexion 3 flexion 2

1.4937 1.6506 6.2874

Remarques#

Pour \(\lambda =0\) , on a effectué :

CALC_MODES

OPTION = “PLUS_PETITE” CALC_FREQ=_F( NMAX_FREQ = 2 ) SOLVEUR_MODAL=_F( METHODE = “TRI_DIAG”)

Pour \(\lambda =0.001\) , on a effectué :

CALC_MODES

OPTION = “PROCHE” CALC_FREQ=_F( FREQ= (1.5, 1.6, 6.5) )

Pour \(\lambda =0.01\) , on a effectué :

CALC_MODES

OPTION = “AJUSTE” CALC_FREQ=_F( FREQ= (1. , 7.) )

Contenu du fichier résultats :

Cas 1 : 2 premières fréquences propres, vecteurs propres et paramètres modaux.

Cas 2 : 3 premières fréquences propres et paramètres modaux.

Cas 3 : 3 premières fréquences propres, vecteurs propres et paramètres modaux.

Synthèse des résultats#

Le dédoublement des fréquences propres induit par la perturbation du modèle initial est parfaitement représenté.