v6.03.014 SSNP14 - Plaque en traction-cisaillement - Von Mises (écrouissage cinématique)#
Résumé:
Ce test \(\mathrm{2D}\) contraintes planes quasi-statique, issu du guide VPCS, entre dans le cadre de la validation des relations de comportement élasto-plastique. Un élément de volume, constitué d’un matériau plastique à écrouissage cinématique linéaire, est soumis à la fois à un effort de traction et de cisaillement.
L’intérêt principal de ce test réside dans le caractère non radial du chargement.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
La contrainte est fixée par le trajet de chargement (pilotage en contrainte), soit:
\(\sigma =\left[\begin{array}{ccc}{\sigma}^{D}& {\tau}^{D}& 0\\ {\tau}^{D}& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\)
On en déduit la part élastique de la déformation:
\({\varepsilon}^{e}=\frac{1}{E}\left[\begin{array}{ccc}{\sigma}^{D}& (1+\nu ){\tau}^{D}& 0\\ (1+\nu ){\tau}^{D}& -\nu {\sigma}^{D}& 0\\ 0& 0& -\nu {\sigma}^{D}\end{array}\right]\)
Si l’on suppose maintenant que l’on connaît la déformation totale \(\varepsilon\) , alors on peut en déduire la déformation plastique: \({\varepsilon}^{p}=\varepsilon -{\varepsilon}^{e}\)
Remarque:
\({\varepsilon}_{xx}^{p}+{\varepsilon}_{yy}^{p}+{\varepsilon}_{zz}^{p}=0\) et \({\varepsilon}_{yy}^{p}={\varepsilon}_{zz}^{p}\) donc \({\varepsilon}_{yy}^{p}={\varepsilon}_{zz}^{p}=\frac{-{\varepsilon}_{xx}^{p}}{2}\)
puis la contrainte de rappel:
\(\chi =C{\varepsilon}^{p}\) avec \(\frac{2}{3C}=\frac{1}{{E}^{T}}-\frac{1}{E}\) avec \(C\) : constante de Prager
De plus, pour obtenir une précision correcte, il faut utiliser un nombre d’incréments assez important pour le trajet \(\mathit{AB}\) , en l’occurrence, au moins 30 dans le cas présent. De même pour le trajet \(\mathrm{BC}\) .
Résultats de référence#
La donnée de la déformation totale \(\varepsilon\) est nécessaire pour les calculs précédents. Elle est obtenue comme moyenne des résultats de plusieurs codes.
Références bibliographiques#
Guide de Validation des Progiciels de Calcul de Structures - SFM. Afnor technique
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
La modélisation utilisée est 3D.
Le chargement et les conditions aux limites sont modélisés par:
DDL_IMPO: (NOEUD: N08, DX: 0., DY:0., DZ:0.)
DDL_IMPO: (NOEUD: N02, DX: 0.)
DDL_IMPO: (NOEUD: N06, DX: 0.)
des forces surfaciques imposées (mot clé FORCE_FACE) sur les faces (mailles de peau) \((1,5,6,2)\) , \((\mathrm{1, 5},7,3)\) , \((3,4,8,7)\) et \((4,8,6,2)\) .
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 8
Nombre de mailles et types: 1 HEXA8 + 4 QUAD4 (faces)
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Instants |
Type de Référence |
Référence |
\({\epsilon}_{xx}\) |
\(A\) |
NON_REGRESSION |
1.48297 E–2 |
\({\epsilon}_{xy}\) |
\(A\) |
NON_REGRESSION |
1.36014 E–2 |
\({X}_{xx}\) =V1 |
\(A\) |
NON_REGRESSION |
18.26 |
\({X}_{xy}\) =V4 |
\(A\) |
NON_REGRESSION |
1.68688 E+1 |
\({\epsilon}_{xx}\) |
\(B\) |
NON_REGRESSION |
4.066 E–2 |
\({\epsilon}_{xy}\) |
\(B\) |
NON_REGRESSION |
1.978 E–2 |
\({\epsilon}_{xx}\) |
\(C\) |
NON_REGRESSION |
4.4103 E–2 |
\({\epsilon}_{xy}\) |
\(C\) |
NON_REGRESSION |
1.8913 E–2 |
Indicateurs de décharge en un point de Gauss (DERA_ELGA), et au nœud \({N}_{2}\) (DERA_ELNO).
Identification |
Type de référence |
Valeur de référence |
\(\text{DCHA\_V}\) à l’instant 0.1 |
“NON_REGRESSION” |
0.877871 |
\(\text{RADI\_V}\) à l’instant 1,5 |
“NON_REGRESSION” |
0 |
\(\text{ERR\_RADI}\) à l’instant 1,5 |
“NON_REGRESSION” |
0.0125766 |
De plus, dans une seconde série de calculs, on teste l’indicateur d’erreur due à la non radialité du chargement : à partir d’une discrétisation temporelle grossière (2 incréments sur les trajets \(\mathrm{AB}\) et \(\mathrm{BC}\) , et un incrément sur les autres), on active la subdivision du pas de temps si l’erreur due à la non radialité dépasse 2% (RESI_RADI_RELA=0.02). Ce test est effectué pour 3 comportements équivalents : VMIS_CINE_LINE, VMIS_ECMI_LINE, VMIS_CIN2_CHAB.
Les résultats sont :
VMIS_CINE_LINE et VMIS_ECMI_LINE
Identification |
Instants |
Type de Référence |
Référence |
Tolérance |
\({\epsilon}_{xx}\) |
\(A\) |
AUTRE_ASTER |
1.48297 E–2 |
0.10% |
\({\epsilon}_{xy}\) |
\(A\) |
AUTRE_ASTER |
1.36014 E–2 |
0.10% |
\({X}_{xx}\) =V1 |
\(A\) |
AUTRE_ASTER |
18.26 |
0.10% |
\({X}_{xy}\) =V4 |
\(A\) |
AUTRE_ASTER |
1.68688 E+1 |
0.10% |
\({\epsilon}_{xx}\) |
\(B\) |
AUTRE_ASTER |
4.066 E–2 |
0.10% |
\({\epsilon}_{xy}\) |
\(B\) |
AUTRE_ASTER |
1.978 E–2 |
0.10% |
\({\epsilon}_{xx}\) |
\(C\) |
AUTRE_ASTER |
4.4103 E–2 |
0.10% |
\({\epsilon}_{xy}\) |
\(C\) |
AUTRE_ASTER |
1.8913 E–2 |
0.10% |
VMIS_CIN1_CHAB
Identification |
Instants |
Type de Référence |
Référence |
Tolérance |
\({\epsilon}_{xx}\) |
\(A\) |
AUTRE_ASTER |
1.48297 E–2 |
1.00% |
\({\epsilon}_{xy}\) |
\(A\) |
AUTRE_ASTER |
1.36014 E–2 |
1.00% |
\({X}_{xx}\) =V1 |
\(A\) |
AUTRE_ASTER |
18.26 |
1.00% |
\({X}_{xy}\) =V4 |
\(A\) |
AUTRE_ASTER |
1.68688 E+1 |
1.00% |
\({\epsilon}_{xx}\) |
\(B\) |
AUTRE_ASTER |
4.066 E–2 |
1.00% |
\({\epsilon}_{xy}\) |
\(B\) |
AUTRE_ASTER |
1.978 E–2 |
1.00% |
\({\epsilon}_{xx}\) |
\(C\) |
AUTRE_ASTER |
4.4103 E–2 |
1.00% |
\({\epsilon}_{xy}\) |
\(C\) |
AUTRE_ASTER |
1.8913 E–2 |
1.00% |
Pour les trois comportements, l’indicateur d’erreur en radialité fournit le même résultat :
Identification |
Type de référence |
Valeur de référence |
\(\text{ERR\_RADI}\) à l’instant 1,5 |
“NON_REGRESSION” |
0.011798 |
\(\text{ERR\_RADI}\) à l’instant 2,5 |
“NON_REGRESSION” |
0.01956 |
L’utilisation du critère de radialité pour raffiner automatiquement le pas de temps conduit à 56 pas de temps au total, contre 64 dans le premier cas (avec 30 incréments sur AB et BC), pour un résultat de qualité équivalente (erreur de 1,2% environ à t=1.5, et 2% à t=2.5).
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
La modélisation utilisée est 3D.
Le chargement et les conditions aux limites sont modélisés par:
DDL_IMPO: (NOEUD: N04, DX: 0., DY:0.)
DDL_IMPO: (NOEUD: N08, DX: 0., DY:0., DZ:0.)
DDL_IMPO: (NOEUD: N02, DX: 0.)
DDL_IMPO: (NOEUD: N06, DX: 0.)
des forces surfaciques imposées (mot clé FORCE_FACE) sur les faces (mailles de peau) \((1,5,6,2)\) , \((\mathrm{1, 5},7,3)\) , \((3,4,8,7)\) et \((4,8,6,2)\) .
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 8
Nombre de mailles et types: 1 PENTA6 + 4 QUAD4 (faces)
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Instants |
Type de Référence |
Référence |
\({\sigma}_{xx}\) |
\(A\) |
NON_REGRESSION |
151.2 |
\({\sigma}_{xy}\) |
\(A\) |
NON_REGRESSION |
93.1 |
\({\epsilon}_{xx}\) |
\(A\) |
NON_REGRESSION |
1.48297 E–2 |
\({\epsilon}_{xy}\) |
\(A\) |
NON_REGRESSION |
1.36014 E–2 |
\({\chi }_{xx}\) |
\(A\) |
NON_REGRESSION |
1.82640 E+1 |
\({\chi }_{xy}\) |
\(A\) |
NON_REGRESSION |
1.68688 E+1 |
\({\chi }_{yy}\) |
\(A\) |
NON_REGRESSION |
–0.91320 E+1 |
\({\epsilon}_{xx}\) |
\(B\) |
NON_REGRESSION |
4.0444 E–2 |
\({\epsilon}_{xy}\) |
\(B\) |
NON_REGRESSION |
1.9917 E–2 |
\({\epsilon}_{xx}\) |
\(C\) |
NON_REGRESSION |
4.4177 E–2 |
\({\epsilon}_{xy}\) |
\(C\) |
NON_REGRESSION |
1.9205 E–2 |
\({\epsilon}_{xx}\) |
\(O\) |
NON_REGRESSION |
4.2848 E–2 |
\({\epsilon}_{xy}\) |
\(O\) |
NON_REGRESSION |
1.9203 E–2 |
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation#
La modélisation utilisée est 3D.
Le chargement et les conditions aux limites sont modélisés par:
DDL_IMPO: (NOEUD: N04, DX: 0., DY:0.)
DDL_IMPO: (NOEUD: N08, DX: 0., DY:0., DZ:0.)
DDL_IMPO: (NOEUD: N02, DX: 0.)
DDL_IMPO: (NOEUD: N06, DX: 0.)
DDL_IMPO: (NOEUD: N15, DX: 0.)
DDL_IMPO: (NOEUD: N21, DX: 0.)
DDL_IMPO: (NOEUD: N17, DX: 0.)
DDL_IMPO: (NOEUD: N12, DX: 0.)
des forces surfaciques suiveuses imposées (mot clé FORCE_FACE) sur les faces (mailles de peau) \((\mathrm{1, 14},5,18,6,15,2,9)\) , \((1,14,5,19,7,16,3,10)\) , \((3,13,4,17,8,22,7,16)\) et \((4,17,8,21,6,15,2,12)\) .
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 22
Nombre de mailles et types: 1 PENTA15 + 4 QUAD8 (faces)
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Instants |
Type de Référence |
Référence |
|
\(A\) |
NON_REGRESSION |
151.2 |
|
\(A\) |
NON_REGRESSION |
93.1 |
|
\(A\) |
NON_REGRESSION |
1.48297 E–2 |
|
\(A\) |
NON_REGRESSION |
1.36014 E–2 |
|
\(A\) |
NON_REGRESSION |
1.82640 E+1 |
|
\(A\) |
NON_REGRESSION |
1.68688 E+1 |
|
\(A\) |
NON_REGRESSION |
–0.91320 E+1 |
|
\(B\) |
NON_REGRESSION |
4.0444 E–2 |
|
\(B\) |
NON_REGRESSION |
1.9917 E–2 |
|
\(C\) |
NON_REGRESSION |
4.4177 E–2 |
|
\(C\) |
NON_REGRESSION |
1.9205 E–2 |
|
\(O\) |
NON_REGRESSION |
4.2848 E–2 |
|
\(O\) |
NON_REGRESSION |
1.9203 E–2 |
Modélisation D#
Caractéristiques de la modélisation#
La modélisation utilisée est 3D.
Le chargement et les conditions aux limites sont modélisés par:
DDL_IMPO: (NOEUD: N04, DX: 0., DY:0.)
DDL_IMPO: (NOEUD: N08, DX: 0., DY:0., DZ:0.)
DDL_IMPO: (NOEUD: N02, DX: 0.)
DDL_IMPO: (NOEUD: N06, DX: 0.)
des forces surfaciques imposées (mot clé FORCE_FACE) sur les faces (mailles de peau) \((1,5,6,2)\) , \((1,5,7,3)\) , \((3,4,8,7)\) et \((4,8,6,2)\) .
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 9
Nombre de mailles et types: 6 PYRAM5 et 4 QUAD4 (faces)
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Instants |
Type de Référence |
Référence |
\({\sigma}_{xx}\) |
\(A\) |
NON_REGRESSION |
151.2 |
\({\sigma}_{xy}\) |
\(A\) |
NON_REGRESSION |
93.1 |
\({\epsilon}_{xx}\) |
\(A\) |
NON_REGRESSION |
1.48297 E–2 |
\({\epsilon}_{xy}\) |
\(A\) |
NON_REGRESSION |
1.36014 E–2 |
\({\chi }_{xx}\) |
\(A\) |
NON_REGRESSION |
1.82640 E+1 |
\({\chi }_{xy}\) |
\(A\) |
NON_REGRESSION |
1.68688 E+1 |
\({\chi }_{yy}\) |
\(A\) |
NON_REGRESSION |
–0.91320 E+1 |
\({\epsilon}_{xx}\) |
\(B\) |
NON_REGRESSION |
4.0444 E–2 |
\({\epsilon}_{xy}\) |
\(B\) |
NON_REGRESSION |
1.9917 E–2 |
\({\epsilon}_{xx}\) |
\(C\) |
NON_REGRESSION |
4.4177 E–2 |
\({\epsilon}_{xy}\) |
\(C\) |
NON_REGRESSION |
1.9205 E–2 |
\({\epsilon}_{xx}\) |
\(O\) |
NON_REGRESSION |
4.2848 E–2 |
\({\epsilon}_{xy}\) |
\(O\) |
NON_REGRESSION |
1.9203 E–2 |
Modélisation E#
Caractéristiques de la modélisation#
La modélisation utilisée est 3D.
Le chargement et les conditions aux limites sont modélisés par:
DDL_IMPO: (NOEUD: N04, DX: 0., DY:0.)
DDL_IMPO: (NOEUD: N08, DX: 0., DY:0., DZ:0.)
DDL_IMPO: (NOEUD: N02, DX: 0.)
DDL_IMPO: (NOEUD: N06, DX: 0.)
DDL_IMPO: (NOEUD: N11, DX: 0.)
DDL_IMPO: (NOEUD: N14, DX: 0.)
DDL_IMPO: (NOEUD: N16, DX: 0.)
DDL_IMPO: (NOEUD: N19, DX: 0.)
des forces surfaciques imposées (mot clé FORCE_FACE) sur les faces (mailles de peau) \((\mathrm{1, 13},5,17,6,14,2,9)\) , \((1,13,5,18,7,15,3,10)\) , \((3,12,4,16,8,10,7,15)\) et \((4,16,8,19,6,14,2,11)\) .
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 29
Nombre de mailles et types: 6 PYRAM13 et 4 QUAD8 (faces)
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Instants |
Type de Référence |
Référence |
\({\sigma}_{xx}\) |
\(A\) |
NON_REGRESSION |
151.2 |
\({\sigma}_{xy}\) |
\(A\) |
NON_REGRESSION |
93.1 |
\({\epsilon}_{xx}\) |
\(A\) |
NON_REGRESSION |
1.48297 E–2 |
\({\epsilon}_{xy}\) |
\(A\) |
NON_REGRESSION |
1.36014 E–2 |
\({\chi }_{xx}\) |
\(A\) |
NON_REGRESSION |
1.82640 E+1 |
\({\chi }_{xy}\) |
\(A\) |
NON_REGRESSION |
1.68688 E+1 |
\({\chi }_{yy}\) |
\(A\) |
NON_REGRESSION |
–0.91320 E+1 |
\({\epsilon}_{xx}\) |
\(B\) |
NON_REGRESSION |
4.0444 E–2 |
\({\epsilon}_{xy}\) |
\(B\) |
NON_REGRESSION |
1.9917 E–2 |
\({\epsilon}_{xx}\) |
\(C\) |
NON_REGRESSION |
4.4177 E–2 |
\({\epsilon}_{xy}\) |
\(C\) |
NON_REGRESSION |
1.9205 E–2 |
\({\epsilon}_{xx}\) |
\(O\) |
NON_REGRESSION |
4.2848 E–2 |
\({\epsilon}_{xy}\) |
\(O\) |
NON_REGRESSION |
1.9203 E–2 |
Modélisation F#
Caractéristiques de la modélisation#
La modélisation utilisée est 3D.
Le chargement et les conditions aux limites sont modélisés par:
DDL_IMPO: (NOEUD: N04, DX: 0., DY:0.)
DDL_IMPO: (NOEUD: N08, DX: 0., DY:0., DZ:0.)
DDL_IMPO: (NOEUD: N02, DX: 0.)
DDL_IMPO: (NOEUD: N06, DX: 0.)
des forces surfaciques imposées (mot clé FORCE_FACE) sur les faces (mailles de peau) \((1,5,6)\) , \((1,2,6)\) , \((1,5,7)\) , \((1,3,7)\) , \((3,4,7)\) , \((4,7,8)\) , \((2,4,6)\) et \((4,6,8)\) .
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 8
Nombre de mailles et types: 6 TETRA4 et 8 TRIA3 (faces)
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Instants |
Type de Référence |
Référence |
\({\sigma}_{xx}\) |
\(A\) |
NON_REGRESSION |
151.2 |
\({\sigma}_{xy}\) |
\(A\) |
NON_REGRESSION |
93.1 |
\({\epsilon}_{xx}\) |
\(A\) |
NON_REGRESSION |
1.48297 E–2 |
\({\epsilon}_{xy}\) |
\(A\) |
NON_REGRESSION |
1.36014 E–2 |
\({\chi }_{xx}\) |
\(A\) |
NON_REGRESSION |
1.82640 E+1 |
\({\chi }_{xy}\) |
\(A\) |
NON_REGRESSION |
1.68688 E+1 |
\({\chi }_{yy}\) |
\(A\) |
NON_REGRESSION |
–0.91320 E+1 |
\({\epsilon}_{xx}\) |
\(B\) |
NON_REGRESSION |
4.0444 E–2 |
\({\epsilon}_{xy}\) |
\(B\) |
NON_REGRESSION |
1.9917 E–2 |
\({\epsilon}_{xx}\) |
\(C\) |
NON_REGRESSION |
4.4177 E–2 |
\({\epsilon}_{xy}\) |
\(C\) |
NON_REGRESSION |
1.9205 E–2 |
\({\epsilon}_{xx}\) |
\(O\) |
NON_REGRESSION |
4.2848 E–2 |
\({\epsilon}_{xy}\) |
\(O\) |
NON_REGRESSION |
1.9203 E–2 |
Modélisation G#
Caractéristiques de la modélisation#
La modélisation utilisée est 3D.
Le chargement et les conditions aux limites sont modélisés par:
DDL_IMPO: (NOEUD: N04, DX: 0., DY:0.)
DDL_IMPO: (NOEUD: N08, DX: 0., DY:0., DZ:0.)
DDL_IMPO: (NOEUD: N02, DX: 0.)
DDL_IMPO: (NOEUD: N06, DX: 0.)
DDL_IMPO: (NOEUD: N12, DX: 0.)
DDL_IMPO: (NOEUD: N16, DX: 0.)
DDL_IMPO: (NOEUD: N18, DX: 0.)
DDL_IMPO: (NOEUD: N21, DX: 0.)
DDL_IMPO: (NOEUD: N25, DX: 0.)
des forces surfaciques imposées (mot clé FORCE_FACE) sur les faces (mailles de peau) \((1,14,5,22,6,15)\) , \((1,9,2,16,6,15)\) , \((1,14,5,23,7,17)\) , \((1,10,3,19,7,17)\) , \((3,13,4,20,7,19)\) , \((4,20,7,26,8,21)\) , \((2,12,4,18,616)\) et \((4,18,6,25,8,21)\) .
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 26
Nombre de mailles et types : 6 TETRA10 et 8 TRIA6 (faces)
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Instants |
Type de Référence |
Référence |
\({\sigma}_{xx}\) |
\(A\) |
NON_REGRESSION |
151.2 |
\({\sigma}_{xy}\) |
\(A\) |
NON_REGRESSION |
93.1 |
\({\epsilon}_{xx}\) |
\(A\) |
NON_REGRESSION |
1.48297 E–2 |
\({\epsilon}_{xy}\) |
\(A\) |
NON_REGRESSION |
1.36014 E–2 |
\({\chi }_{xx}\) |
\(A\) |
NON_REGRESSION |
1.82640 E+1 |
\({\chi }_{xy}\) |
\(A\) |
NON_REGRESSION |
1.68688 E+1 |
\({\chi }_{yy}\) |
\(A\) |
NON_REGRESSION |
–0.91320 E+1 |
\({\epsilon}_{xx}\) |
\(B\) |
NON_REGRESSION |
4.0444 E–2 |
\({\epsilon}_{xy}\) |
\(B\) |
NON_REGRESSION |
1.9917 E–2 |
\({\epsilon}_{xx}\) |
\(C\) |
NON_REGRESSION |
4.4177 E–2 |
\({\epsilon}_{xy}\) |
\(C\) |
NON_REGRESSION |
1.9205 E–2 |
\({\epsilon}_{xx}\) |
\(O\) |
NON_REGRESSION |
4.2848 E–2 |
\({\epsilon}_{xy}\) |
\(O\) |
NON_REGRESSION |
1.9203 E–2 |
Synthèse des résultats#
Les résultats sont identiques quel que soit le type d’élément choisi. Les résultats sont proches de la solution de référence puisque les écarts sont globalement inférieurs à \(1.52\text{\%}\) .