v6.01.107 SSNA107 – Cylindre creux en viscoélasticité non linéaire#
Résumé:
Ce cas-test permet de valider la loi de LEMAITRE implantée dans Code_Aster dans le cas de comportement viscoélastique non linéaire. Les résultats trouvés sont comparés à une solution analytique.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour les solutions de références#
L’ensemble de cette démonstration peut être lue avec plus de détails dans le document \([1]\)
Le tenseur de contraintes s’écrit :
\(\sigma =(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& {\sigma}_{z}\end{array})\)
Du fait du chargement, on a :
\(\lbrace \begin{array}{c}{\varepsilon}_{z}-{\varepsilon}_{\nu z}=\frac{{\sigma}_{z}}{E}\\ {\varepsilon}_{\theta}-{\varepsilon}_{\nu \theta }=-\frac{\nu}{E}{\sigma}_{z}\\ {\varepsilon}_{r}-{\varepsilon}_{\nu r}=-\frac{\nu}{E}{\sigma}_{z}\end{array}\) et \(\dot{{\varepsilon}_{\nu}}=\frac{3}{2}g(\sigma \text{*})\frac{{\sigma}^{D}}{\sigma \text{*}}\)
donc
\(\lbrace \begin{array}{c}\dot{{\varepsilon}_{\nu z}}=g({\sigma}_{z})\\ \dot{{\varepsilon}_{\nu \theta }}=-\frac{1}{2}g({\sigma}_{z})\\ \dot{{\varepsilon}_{\nu r}}=-\frac{1}{2}g({\sigma}_{z})\end{array}\)
Si \(t\le {t}_{0}\) , on a \({\varepsilon}_{z}=\frac{{\varepsilon}_{0}}{{t}_{0}}t\) ,
Soit \(a=\sqrt{\frac{{\varepsilon}_{0}}{{t}_{0}}}\)
On obtient \({\varepsilon}_{z}={a}^{2}t\)
En remplaçant, on trouve :
\(\dot{{\varepsilon}_{\nu z}}=g(({a}^{2}t-{\varepsilon}_{\nu z})E)\)
On pose \(E=1\) et \(z={a}^{2}t-{\varepsilon}_{\nu z}\) , on obtient : \(\dot{z}={a}^{2}–{z}^{2}\)
En intégrant avec \(z(0)=0\) on obtient :
\(z=a\tanh(\mathrm{at})\)
Pour \(t\le {t}_{0}\)
\(\lbrace \begin{array}{c}{\sigma}_{r}={\sigma}_{\theta}=0\\ {\sigma}_{z}=a\tanh(\mathrm{at})\\ {\varepsilon}_{r}={\varepsilon}_{\theta}=a[(\frac{1}{2}-\nu )\tanh(\mathrm{at})-\frac{1}{2}\mathrm{at}]\\ {\varepsilon}_{z}={a}^{2}t\\ w=\mathrm{ar}[(\frac{1}{2}-\nu )\tanh(\mathrm{at})-\frac{1}{2}\mathrm{at}]\end{array}\)
Si \(t\ge {t}_{0}\)
\({\varepsilon}_{z}={a}^{2}{t}_{0}\)
\(\dot{{\varepsilon}_{\nu z}}=g({a}^{2}{t}_{0}-{\varepsilon}_{\nu z})={({a}^{2}{t}_{0}-{\varepsilon}_{\nu z})}^{2}\)
Ce qui donne en intégrant :
\({\varepsilon}_{\nu z}={a}^{2}{t}_{0}–\frac{1}{\frac{1}{a\tanh({\mathrm{at}}_{0})}+t–{t}_{0}}\)
On a donc au final
\(\lbrace \begin{array}{c}{\sigma}_{r}={\sigma}_{\theta}=0\\ {\sigma}_{z}=\frac{1}{\frac{1}{a\tanh({\mathrm{at}}_{0})}+t–{t}_{0}}\\ {\varepsilon}_{r}={\varepsilon}_{\theta}=(\frac{1}{2}-\nu )\frac{1}{\frac{1}{a\tanh({\mathrm{at}}_{0})}+t–{t}_{0}}–\frac{1}{2}{a}^{2}{t}_{0}\\ {\varepsilon}_{z}={a}^{2}{t}_{0}\\ w=r\left[(\frac{1}{2}-\nu )\frac{1}{\frac{1}{a\tanh({\mathrm{at}}_{0})}+t–{t}_{0}}–\frac{1}{2}{a}^{2}{t}_{0}\right]\end{array}\)
Grandeurs de référence#
Déplacement \(\mathrm{DX}\) au nœud \(B\)
Contraintes \(\mathrm{SIXX}\) , \(\mathrm{SIYY}\) et \(\mathrm{SIZZ}\) au nœud \(B\)
Résultats de référence#
Grandeur |
Point |
Instants |
Référence |
\(\mathrm{DX}\) |
\(B\) |
4 |
\(-0.2109\) |
\(\mathrm{SIXX}\) |
\(B\) |
4 |
\(0.\) |
\(\mathrm{SIYY}\) |
\(B\) |
4 |
\(0.2616\) |
\(\mathrm{SIZZ}\) |
\(B\) |
4 |
\(0.\) |
Incertitude sur la solution#
Solution analytique
Références bibliographiques#
[1] Ph. De BONNIERES, M. ZIDI : Introduction de la viscoplasticité dans le module de thermomécanique de Cyrano3 : Principe, description et validation, Note HI-71/8334.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation A#
Modélisation AXIS
Relation de comportement viscoélastique de LEMAITRE
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds |
\(12\) |
|||
Nombre de mailles |
\(17\) |
Soit : |
||
SEG2 |
\(12\) |
|||
QUAD4 |
\(5\) |
Groupes de nœuds :
\(A,B,C,D\)
Groupes de mailles :
\(\mathrm{MAIL}\) : surface \(\mathrm{ABCD}\)
\(\mathrm{DAB}\) : segment \(\mathrm{AB}\)
\(\mathit{DBC}\) : segment \(\mathit{BC}\)
\(\mathit{DCD}\) : segment \(\mathit{CD}\)
\(\mathit{DDA}\) : segment \(\mathit{DA}\)
Grandeurs testées et résultats#
Grandeur |
Point |
Instants |
Référence |
Aster |
Écart % |
\(\mathit{DX}\) |
\(B\) |
4 |
\(-0.2109\) |
\(-0.2109\) |
0,001% |
\(\mathit{SIXX}\) |
\(B\) |
4 |
\(0.\) |
4,82E-9 |
|
\(\mathit{SIYY}\) |
\(B\) |
4 |
\(0.2616\) |
\(0.2616\) |
0,002% |
\(\mathit{SIZZ}\) |
\(B\) |
4 |
\(0.\) |
4,82E-9 |
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation B#
Modélisation AXIS
Relation de comportement viscoélastique de VISC_CIN1_CHAB
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds |
\(12\) |
|||
Nombre de mailles |
\(17\) |
Soit : |
||
SEG2 |
\(12\) |
|||
QUAD4 |
\(5\) |
Groupes de nœuds :
\(A,B,C,D\)
Groupes de mailles :
\(\mathrm{MAIL}\) : surface \(\mathrm{ABCD}\)
\(\mathrm{DAB}\) : segment \(\mathrm{AB}\)
\(\mathrm{DBC}\) : segment \(\mathrm{BC}\)
\(\mathrm{DCD}\) : segment \(\mathrm{CD}\)
\(\mathrm{DDA}\) : segment \(\mathrm{DA}\)
Grandeurs testées et résultats#
Grandeur |
Point |
Instants |
Référence |
Aster |
Écart % |
\(\mathrm{DX}\) |
\(B\) |
4 |
\(-0.2109\) |
\(-0.2109\) |
0,026% |
\(\mathrm{SIXX}\) |
\(B\) |
4 |
\(0.\) |
1,55E-10 |
|
\(\mathrm{SIYY}\) |
\(B\) |
4 |
\(0.2616\) |
\(0.2616\) |
0,130% |
\(\mathrm{SIZZ}\) |
\(B\) |
4 |
\(0.\) |
1,55E-10 |
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation A#
Modélisation COQUE_AXIS
Relation de comportement viscoélastique de LEMAITRE
H
B
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds |
\(5\) |
|||
Nombre de mailles |
\(2\) |
SEG3 |
||
Groupes de nœuds :
\(B,H\)
Grandeurs testées et résultats#
Grandeur |
Point |
Instants |
Référence |
Aster |
Écart % |
\(\mathrm{DX}\) |
\(B\) |
4 |
\(-0.2109\) |
\(-0.20877887227497\) |
0,0001% |
\(\mathit{SIYY}\) |
\(B\) |
4 |
\(0.\) |
2.1120599907551E-10 |
4.61E-09 |
\(\mathit{SIXX}\) |
\(B\) |
4 |
\(0.2616\) |
\(0.21644117387283\) |
0,13% |
\(\mathrm{SIZZ}\) |
\(B\) |
4 |
\(0.\) |
4,82E-9 |
Synthèse des résultats#
Les résultats calculés par Code_Aster sont en excellent accord avec les solutions analytiques.