v3.02.103 SSLP103 - Calcul des coefficients d’intensité de contraintes KI et KII pour une plaque circulaire fissurée en élasticité linéaire#
Résumé
Il s’agit d’un test de mécanique de la rupture en élasticité linéaire statique pour un problème bidimensionnel. On considère une plaque circulaire fissurée (avec une fissure inclinée de 30 degrés par rapport à l’axe des abscisses) pour laquelle on calcule :
les coefficients d’intensité de contraintes \({K}_{I}\) et \({K}_{\mathrm{II}}\) ,
le taux de restitution d’énergie \(G\) à partir de la formule d’IRWIN.
L’intérêt du test est de connaître la solution analytique qui donne les coefficients d’intensité de contraintes et d’avoir une fissure inclinée.
Deux modélisations sont:
Modélisation A: FEM pour éléments C_PLAN, D_PLAN
Modélisation B : FEM pour éléments D_PLAN_INCO_UPG
Ce test comprend une modélisation qui traite successivement les déformations planes et les contraintes planes (éléments de milieux continus).
Les résultats numériques ne s’écartent pas plus de \(\text{1 \%}\) à \(\text{2 \%}\) des valeurs de références.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
En déformations planes ou en contraintes planes, la répartition des déplacements est donnée dans ce repère \((0,{x}_{1,}{x}_{2})\) par :
\(\lbrace \begin{array}{c}{u}_{1}=\frac{1+\nu }{E}\sqrt{\frac{r}{2\pi }}({K}_{I}\cos\frac{\theta}{2}(k-\cos\theta )+{K}_{\mathit{II}}\sin(\frac{\theta}{2})(k-\cos\theta +2))\\ {u}_{2}=\frac{1+\nu }{E}\sqrt{\frac{r}{2\pi }}({K}_{I}\sin\frac{\theta}{2}(k-\cos\theta )-{K}_{\mathit{II}}\cos(\frac{\theta}{2})(k+\cos\theta -2))\end{array}\)
avec \(k=3-4\nu\) en déformations planes
\(k=\frac{3-\nu }{1+\nu }\) en contraintes planes
ou dans le repère \((O,X,Y)\) par : \(\lbrace \begin{array}{}{u}_{x}=\cos\alpha {u}_{1}-\sin\alpha {u}_{2}\\ {u}_{y}=\sin\alpha {u}_{1}+\cos\alpha {u}_{2}\end{array}\)
Sur le contour de la plaque, on a : \(r=\mathrm{OA}=100\mathrm{mm}\) .
On choisit de prendre \({K}_{I}=2.\) et \({K}_{\mathrm{II}}=1.\) et d’imposer les déplacements sur le contour de la plaque circulaire.
Résultats de référence#
\({K}_{I}=2.\) |
|
\({K}_{\mathrm{II}}=1.\) |
|
\(G=2.275{10}^{-5}\) |
en déformations planes |
\(G=2.5{10}^{-5}\) |
en contraintes planes |
Références bibliographiques#
H.D. BUI Mécanique de la rupture Fragile - Ed. Masson 1978
Modélisation A : FEM pour éléments D_PLAN et C_PLAN#
Caractéristiques de la modélisation#
Le calcul est réalisé en contraintes planes (C_PLAN) puis en déformations planes (D_PLAN).
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds : 737
Nombre de mailles et types : 204 mailles QUAD8, 30 mailles TRIA6
Grandeurs testées et résultats#
Les valeurs testées sont les coefficients d’intensité de contraintes \({K}_{I}\) et \({K}_{\mathit{II}}\) et le taux de restitution d’énergie \(G\) calculé par la formule d’IRWIN :
Identification |
Référence |
Aster |
\(\text{\%}\) différence |
Contraintes planes |
|||
\({K}_{I}\) |
2.0 |
2.0067 |
0.33 |
\({K}_{\mathit{II}}\) |
1.0 |
0.9877 |
1.23 |
\(G\) |
2.5 10 -5 |
2.5213 10 -5 |
0.85 |
Déformations planes |
|||
\({K}_{I}\) |
2.0 |
2.0030 |
0.15 |
\({K}_{\mathit{II}}\) |
1.0 |
0.9960 |
0.39 |
\(G\) |
2.275 10 -5 |
2.2968 10 -5 |
0.96 |
Remarques#
La formule d’IRWIN donne : \(G=\frac{(1-{\nu}^{2})}{E}({K}_{I}^{2}+{K}_{\mathrm{II}}^{2})\) en déformations planes
et \(G=\frac{1}{E}({K}_{I}^{2}+{K}_{\mathrm{II}}^{2})\) en contraintes planes.
Les calculs sont réalisés avec une couronne d’intégration de rayon inférieure \(10.0\) et de rayon supérieur \(20.0\) .
Modélisation B : FEM pour éléments D_PLAN_INCO_UPG#
Caractéristiques de la modélisation#
Identique à la modélisation A hormis l’utilisation des éléments D_PLAN_INCO_UPG.
Caractéristiques du maillage#
Identiques à la modélisation A
Grandeurs testées et résultats#
Les valeurs testées sont les coefficients d’intensité de contraintes \({K}_{I}\) et \({K}_{\mathrm{II}}\) et le taux de restitution d’énergie \(G\) calculé par la formule d’IRWIN :
Identification |
Option |
Référence |
Type de référence |
\(\text{\%}\) tolérance |
\(\mathit{K1}\) |
K |
2 |
ANALYTIQUE |
2 |
\(\mathit{K2}\) |
K |
1 |
ANALYTIQUE |
7 |
\({G}_{\mathit{IRWIN}}\) |
K |
2.275E-5 |
ANALYTIQUE |
3 |
Synthèses des résultats#
Les valeurs numériques des coefficients d’intensité de contraintes et du taux de restitution de l’énergie ne s’écartent pas plus de 1 à \(\text{2\%}\) des valeurs de références, ce qui est satisfaisant.
Le maillage pourrait être amélioré, en particulier au voisinage du fond de fissure.