v2.03.001 SDLS01 - Plaque carrée mince, libre ou encastrée au bord#
Résumé:
Le domaine d’application de ce cas test concerne la dynamique des structures, et plus particulièrement le calcul modal et le calcul de réponse harmonique.
Pour le calcul modal, il s’agit de calculer les modes propres de flexion d’une plaque carrée mince dans deux configurations:
Plaque encastrée sur un bord,
Plaque libre.
La plaque est maillée en éléments triangulaires auxquels sont affectés des éléments DKT.
Quatre modélisations différentes sont testées:
Calcul modal– Arêtes de la plaque orientées selon les axes du repère,
Calcul modal– Orientation quelconque de la plaque et réponse harmonique pour la plaque encastrée,
Calcul modal par sous–structuration dynamique classique et cyclique,
Calcul modal suite à une condensation de Guyan.
Les résultats de référence des calculs modaux sont issus de calculs analytiques. Ils valident d’une part les outils de création des matrices de masse et de rigidité, ainsi que les opérateurs de sous‑structuration dynamique classique et cyclique implémentés dans Code_Aster . D’autre part, ce cas test valide le calcul modal suite à une condensation de Guyan (condensation de la matrice de masse).
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
La solution de référence est celle donnée dans la fiche SDLS01/89 du guide VPCS qui présente la méthode de calcul de la façon suivante:
La formulation de M.V.BARTON, pour une plaque de coté \(a\) , conduit à:
\({f}_{i}=\frac{1}{2\pi {a}^{2}}{\lambda}_{i}^{2}\sqrt{\frac{{\mathrm{Et}}^{2}}{12\rho (1-{\nu}^{2})}}\) \(i=1,2,\mathrm{...}\)
avec, pour un coefficient de Poisson \(\nu =0.3\) :
1°: Plaque encastrée sur un côté |
2°: Plaque libre |
\(i\) |
\({\lambda}_{i}^{2}\) |
\(i\) |
\({\lambda}_{i}^{2}\) |
|
1 |
3.492 |
1 à 6 |
||
2 |
8.525 |
7 |
13.49 |
|
3 |
21.43 |
8 |
19.79 |
|
4 |
27.33 |
9 |
24.43 |
|
5 |
31.11 |
10 |
35.02 |
|
6 |
54.44 |
11 |
35.02 |
(6 modes de corps solide à fréquence nulle).
Cette solution de référence s’applique aux plaques minces telles que: \(t/a<0.1\)
Les coefficients \({\lambda}_{i}\) sont établis par développement limité sur les déformées modales d’un réseau de poutres croisées (poutre encastrée–libre et poutre libre–libre).
Résultats de référence#
Cas 1: 6 premiers modes propres
Cas 2: 11 premiers modes propres
Incertitude sur la solution#
Solution semi–analytique.
Références bibliographiques#
BARTON Vibrations of rectangular and skew cantilever plates. – Journal of Applied Mechanics, vol18, p.129–134 (1951)
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Modélisation DKT
Noms des nœuds: |
Points |
\(A=\mathrm{N1}\) |
\(B=\mathrm{N78}\) |
\(C=\mathrm{N145}\) |
\(D=\mathrm{N80}\) |
|
\(G=\mathrm{N65}\) |
\(H=\mathrm{N17}\) |
\(I=\mathrm{N73}\) |
\(J=\mathrm{N121}\) |
\(K=\mathrm{N71}\) |
Conditions limites:
Cas1 en tous les nœuds du côté \(\mathrm{AB}\) :
DDL_IMPO= _F( GROUP_NO= AB DX=0., DY=0., DZ=0., DRX=0.,DRY=0.,DRZ=0.)
Cas2 aucune
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 145
Nombre de mailles et types : 256 TRIA3
Grandeurs testées et résultats#
Fréquence |
( \(\mathrm{Hz}\) ) |
|||
Mode propre |
Référence |
Aster |
% différence |
Tolérance |
1° : Plaque encastrée sur un côté
1 |
8.7266 |
8.6718 |
–0.63 |
|
2 |
21.3042 |
21.2904 |
–0.06 |
|
3 |
53.5542 |
53.0992 |
–0.85 |
|
4 |
68.2984 |
67.9269 |
–0.54 |
|
5 |
77.7448 |
77.4294 |
–0.40 |
|
6 |
136.0471 |
135.7635 |
–0.21 |
Aster \(\mathrm{epot}=\mathrm{ecin}\) |
|
1 |
1.4796 104 |
2 |
1.7331 104 |
3 |
4.3802 104 |
4 |
3.7367 104 |
5 |
5.4956 104 |
6 |
1.3483 105 |
2° : Plaque libre
7 |
33.7119 |
33.6839 |
–0.08 |
|
8 |
49.4558 |
48.9362 |
–1.05 |
|
9 |
61.0513 |
60.5849 |
–0.76 |
1.1 10–2 |
10 |
87.5160 |
87.0993 |
–0.48 |
|
11 |
87.5160 |
87.0993 |
–0.48 |
Aster \(\mathrm{epot}=\mathrm{ecin}\) |
|
7 |
2.2396 104 |
8 |
4.7270 104 |
9 |
7.2453 104 |
10 |
1.4974 105 |
11 |
1.4974 105 |
On calcule l’énergie cinétique ECIN_ELEM de l’élément DKT (raccordé au point \(A\) dont l’un des cotés est sur \(\mathrm{AD}\) ) du problème 1 («plaque encastrée sur un coté»):
Option |
Composante |
Référence ( NON_REGRESSION ) |
Aster |
% différence |
ECIN_ELEM |
TOTALE |
0.011448 |
0.0114476 |
3.5 10–4 |
ECIN_ELEM |
FLEXION |
2968.79 |
2968.7918 |
6.1 10–5 |
Remarques#
CALC_MODES OPTION= 'BANDE'
Cas 1: FREQ = (8., 140.) Cas 2: FREQ = (32., 90.)
Contenu du fichier résultats:
1°: |
6 premières fréquences propres, vecteurs propres et paramètres modaux énergie de déformation et énergie cinétique des 6 modes. |
2°: |
5 fréquences propres, vecteurs propres et paramètres modaux (\(f>0\) ) énergie de déformation et cinétique des 5 modes. |
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation B#
Modélisation DKT avec maillage identique à la modélisation A.
Rotation de la plaque telle que le côté \(\mathrm{AB}\) est sur la droite \(\mathrm{3y}=\mathrm{4x}\)
Noms des nœuds: |
Points |
\(A=\mathrm{N1}\) |
\(B=\mathrm{N78}\) |
\(C=\mathrm{N145}\) |
\(D=\mathrm{N80}\) |
|
\(G=\mathrm{N65}\) |
\(H=\mathrm{N17}\) |
\(I=\mathrm{N73}\) |
\(J=\mathrm{N121}\) |
\(K=\mathrm{N71}\) |
Conditions limites:
Cas1 en tous les nœuds du côté \(\mathrm{AB}\) :
DDL_IMPO= (GROUP_NO= AB DX=0., DY=0., DZ=0., DRX=0.,DRY=0.,DRZ=0.)
Cas2 : aucune
Réponse harmonique :
Force nodale point \(C\) (\(\mathrm{N145}\) ) : \(\mathrm{Fz}=–98100\)
Matériau : AMOR_ALPHA : 0.1 AMOR_BETA : 0.1
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 145
Nombre de mailles et types : 256 TRIA3
Grandeurs testées et résultats#
Les valeurs des fréquences propres sont identiques à celles de la modélisation A.
Réponse harmonique:
FREQ: |
\(50\mathrm{Hz}\) |
NOEUD: |
\(\mathrm{N145}\) |
MAILLE: |
\(\mathrm{M255}\) |
Référence |
Aster 3.03.15 |
Aster 3.05.16 |
% différence |
DEPL “DZ” |
2.90290E–02 5.20606E–02 |
2.90290E–02 5.20606E–02 |
0.0 |
DEPL “DRX” |
2.52920E–02 9.44717E–02 |
2.52920E–02 9.44717E–02 |
0.0 |
VITE “DZ” |
–1.63553E+01 9.11973E+00 |
–1.63553E+01 9.11973E+00 |
0.0 |
VITE “DRX” |
–2.96792E+01 7.94573E+00 |
–2.96792E+01 7.94573E+00 |
0.0 |
ACCE “DZ” |
–2.86505E+03 –5.13817E+03 |
–2.86505E+03 –5.13817E+03 |
0.0 |
ACCE “DRX” |
–2.49622E+03 –9.32398E+03 |
–2.49622E+03 –9.32398E+03 |
0.0 |
“EFGE_ELNO” “MXX” |
1.14053E+01 1.45539E+03 |
1.14053E+01 1.45539E+03 |
0.0 |
“EFGE_ELNO” “MYY” |
1.10224E+01 –1.31441E+03 |
1.10224E+01 –1.31441E+03 |
0.0 |
“EFGE_ELNO” “MXY” |
1.03148E+01 3.55382E+02 |
1.03148E+01 3.55382E+02 |
0.0 |
“EFGE_ELNO” “QX” |
3.66163E+02 –3.77331E+03 |
3.66163E+02 –3.77331E+03 |
0.0 |
“EFGE_ELNO” “QY” |
–3.14676E+02 2.06813E+03 |
–3.14676E+02 2.06813E+03 |
0.0 |
“SIGM_ELNO” “SIXZ” |
5.49245E+04 –5.65997E+05 |
5.49245E+04 –5.65997E+05 |
0.0 |
“SIGM_ELNO” “SIYZ” |
–4.72014E+04 3.10219E+05 |
–4.72014E+04 3.10219E+05 |
0.0 |
Remarques#
CALC_MODES OPTION= 'BANDE'
Cas 1: FREQ = (8., 140.) Cas 2: FREQ = (32., 90.)
Contenu du fichier résultats:
1°: |
6 premières fréquences propres, vecteurs propres et paramètres modaux. |
2°: |
11 premières fréquences propres, vecteurs propres et paramètres modaux. |
3°: |
déplacement \(\mathrm{DZ}\) \(\mathrm{DRX}\) au nœud \(\mathrm{N145}\) efforts généralisés et contraintes maille \(\mathrm{M255}\) |
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation#
Dans les 2cas, la plaque est découpée en 4parties de dimensions égales. Chaque sous–structure considérée est maillée en triangles auxquels sont affectés des éléments de plaque DKT.
Cas 1: Plaque encastrée sur un bord
La structure est étudiée à l’aide de la méthode de sous–structuration classique avec interfaces de type CRAIG_BAMPTON. La base modale utilisée pour chaque sous–structure est composée de 25modes propres et des modes contraints associés aux interfaces.
Cas2: Plaque libre
La structure est étudiée à l’aide de la méthode de sous–structuration cyclique avec interfaces de type CRAIG_BAMPTONHARMONIQUE et prise en compte de la spécificité du noeud de l’axe (point \(G\) ). La base modale utilisée pour le secteur de base est composée de 25modes propres et des modes harmoniques associés aux interfaces.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 121
Nombre de mailles et types : 200 TRIA3
Grandeurs testées et résultats#
Ordre du |
Fréquence |
( \(\mathrm{Hz}\) ) |
||
mode propre i |
Référence |
Aster |
% différence |
Tolérance |
1° : Plaque encastrée sur un côté
1 |
8.7266 |
8.6419 |
–0.97 |
|
2 |
21.3042 |
21.2253 |
–0.37 |
|
3 |
53.5542 |
52.9693 |
–1.09 |
1.25 10–2 |
4 |
68.2984 |
67.5444 |
–1.10 |
|
5 |
77.7448 |
77.3966 |
–0.45 |
|
6 |
136.0471 |
134.5785 |
–1.08 |
|
2° : Plaque libre
7 |
33.7119 |
33.6808 |
–0.09 |
|
8 |
49.4558 |
48.9785 |
–0.96 |
|
9 |
61.0513 |
60.6739 |
–0.62 |
|
10 |
87.5160 |
87.0662 |
–0.51 |
|
11 |
87.5160 |
87.0662 |
–0.51 |
Modélisation D#
Caractéristiques de la modélisation#
DKT + sous–structuration de GUYAN
Conditions limites: Plaque libre
Condensation des matrices de masse et rigidité sur les noeuds:
\((A,B,C,D,G,H,I,J,K,L,M,N,O)\) .
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 145
Nombre de mailles et types : 256 TRIA3
Grandeurs testées et résultats#
Ordre du |
Fréquence |
( \(\mathrm{Hz}\) ) |
||
mode propre i |
Référence |
Aster |
% différence |
Tolérance |
2° : Plaque libre
7 |
33.7119 |
33.8758 |
–0.48 |
|
8 |
49.4558 |
49.5240 |
–0.14 |
1.1 10–2 |
9 |
61.0513 |
61.6240 |
–0.94 |
Remarques#
On cherche à calculer les 3premières fréquences propres non nulles du problème de la plaque libre sur ses bords.
Si on condense les matrices sur les seuls nœuds:
\((A,B,C,D,G,H,I,J,K)\)
La précision des fréquences n’est alors que de \(\text{2\%}\) .
Pour obtenir les résultats voulus avec la précision attendue (\(\text{1\%}\) ), il faut ajouter les points \((L,M,N,O)\) .
Synthèse des résultats#
Modélisations A et B :
Précision sur les fréquences propres \(\text{≤ 1\%}\) jusqu’au sixième mode de flexion.
Modélisation C :
En sous–structuration, la qualité des résultats pourrait être améliorée par l’utilisation d’un maillage de sous–structure plus fin.
Modélisation D:
Pour obtenir une précision de \(\text{1\%}\) sur les fréquences propres, il est nécessaire de condenser aussi sur les 4 nœuds milieux des bords \(L\) , \(M\) , \(N\) et \(O\) .