v3.04.303 SSLV303 - Cylindre encastré sous poids propre et pression#
Résumé:
Le but du test est de valider une charge de gravité ainsi qu’une pression, à partir d’une analyse 2D avec décomposition en série de Fourier de la charge.
Deux modélisations sont adoptées pour cette analyse; elles diffèrent de par le mot-clé utilisé pour définir la gravité:
modélisation A: pour valider le mot-clé PESANTEUR,
modélisation B: pour valider le mot-clé FORCE_INTERNE.
La gravité est calculée en mode 1, et la pression appliquée est donnée en mode 1.
Les deux cas de charge sont combinés et comparés avec un calcul numérique en modélisation 3D (modèle C).
Une quatrième modélisation (D) est construite dans le but de valider le mot-clé FORCE_INTERNE défini à partir d’une fonction.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
Pour le cas de charge de gravité seul:
La valeur du champ de déplacement radial, en fonction de \(z\) , est donné par:
\(ur = \dfrac{q}{12\,EI} \Bigg\| \dfrac{Z^{4}}{2} - Lz^{3} + \dfrac{L^{2}}{2}z^{2} \Bigg\|\)
Le déplacement maximum, dans la section médiane, vaut:
\(ur_{(E)} = \dfrac{PL^{3}}{384\,EI}, \quad P : \text{poids propre du cylindre}\)
Pour le cas de charge de pression, on effectue une comparaison avec les résultats de la modélisation C.
Résultats de référence#
Déplacement dans la section médiane, \(\mathrm{ur}(E)=0.3566\times {10}^{-6}m\)
Contraintes d’encastrement au point B: \({\sigma}_{zz}=–0.2496\times {10}^{6}\mathrm{Pa}\)
Incertitude sur la solution#
Solution analytique pour la gravité.
Référence bibliographique#
[bib1] S. TIMOSHENKO : Résistance des matériaux, 1ère partie. Librairie Polytechnique Ch.Béranger, Paris, 1947
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation A#
AXIS_FOURIER, maille T6
Découpage: |
80 éléments suivant la longueur |
|
2 éléments suivant le rayon |
||
Chargements: |
||
\(\mathrm{C1}\) |
gravité verticale (champ \(\mathrm{Ug}\) ) (\(g\sqrt{2}\) ) |
|
\(\mathrm{C2}\) |
pression (champ \(\mathrm{Up}\) ) \({p}_{o}=10000N/{m}^{2}\) |
|
Composantes des déplacements: \({u}_{r}\) (radial), \({u}_{z}\) (axial), \({u}_{\theta}\) (circonférentiel)
Noms des nœuds:
\(A=\mathrm{N1}\) |
\(B=\mathrm{N2}\) |
\(C=\mathrm{N3}\) |
\(D=\mathrm{N4}\) |
\(E=\mathrm{N249}\) |
\(F=\mathrm{N87}\) |
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 805
Nombre de mailles et types: 320 TRIA6
Valeurs testées#
Valeurs fournies pour \(\theta =0\) .
Localisation |
Type de valeur |
Référence |
Aster |
% différence |
Champ \(\mathrm{Ug}\) (pour \(\theta =0\) ) |
||||
Point \(E\) , \(F\) |
\({u}_{r}(m)\) \({u}_{\theta}(m)\) |
3.566 x 10–7 |
3.541 x 10–7 3.94 10–14 |
–0.701 |
Point \(B\) |
\({\sigma}_{zz}(\mathrm{Pa})\) |
–2.496 x 105 |
–2.598 x 105 |
+4.09 |
Champ \(\mathrm{Up}\) (pour \(\theta =0\) ) |
||||
Point \(E\) |
\({u}_{r}(m)\) |
–7.82 x 10–6 |
–7.71 x 10–6 |
–1.4 |
Point \(F\) |
–7.82 x 10–6 |
–7.70 x 10–6 |
–1.5 |
|
Point \(B\) |
\({\sigma}_{\mathrm{rr}}(\mathrm{Pa})\) \({\sigma}_{zz}(\mathrm{Pa})\) \({\sigma}_{\theta \theta }(\mathrm{Pa})\) |
1.63 x 106 5.51 x 106 1.65 x 106 |
1.41 x 106 5.65 x 106 1.89 x 106 |
–13.4 2.7 14.7 |
Champ \(\mathrm{Up}+\mathrm{Ug}\) (pour \(\theta =0\) ) |
||||
Point \(E\) |
\({u}_{r}(m)\) |
–7.46 x 10–6 |
–7.358 x 10–6 |
–1.3 |
Point \(F\) |
\({u}_{r}(m)\) |
–7.44 x 10–6 |
–7.348 x 10–6 |
–1.2 |
Point \(B\) |
\({\sigma}_{\mathrm{rr}}(\mathrm{Pa})\) \({\sigma}_{zz}(\mathrm{Pa})\) \({\sigma}_{\theta \theta }(\mathrm{Pa})\) |
1.56 x 106 5.25 x 106 1.57 x 106 |
1.34 x 106 5.398 x 106 1.80 x 106 |
–13.7 2.8 15.0 |
Remarques#
Les valeurs de référence pour la pression (champ Up) sont obtenues dans la modélisation C, à partir d’un maillage 3D.
Contenu du fichier résultats#
Déplacements, contraintes.
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation B#
AXIS_FOURIER, mailles T6
Découpage: |
80 éléments suivant la longueur |
|
2 éléments suivant le rayon |
||
Chargements: |
||
\(\mathrm{C1}\) |
gravité verticale (champ \(\mathrm{Ug}\) ) sous forme de densité volumique de forces \(\rho g=76518\mathrm{Pa}\) |
|
\(\mathrm{C2}\) |
pression (champ \(\mathrm{Up}\) ) |
|
Composantes des déplacements: \({u}_{r}\) (radial), \({u}_{z}\) (axial), \({u}_{\theta}\) (circonférentiel)
Noms des nœuds:
\(A=\mathrm{N1}\) |
\(B=\mathrm{N2}\) |
\(C=\mathrm{N3}\) |
\(D=\mathrm{N4}\) |
\(E=\mathrm{N249}\) |
\(F=\mathrm{N87}\) |
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 805
Nombre de mailles et types: 320 TRIA6
Valeurs testées#
Localisation |
Type de valeur |
Référence |
Aster |
% différence |
Champ \(\mathrm{Ug}\) (pour \(\theta =0.\) ) |
||||
Point \(E,F\) |
\({u}_{r}(m)\) \({u}_{\theta}(m)\) |
3.566 x 10–7 |
3.541 x 10–7 |
–0.70 |
Point \(B\) |
\({\sigma}_{zz}(\mathrm{Pa})\) |
–2.496 x 105 |
–2.60 x 105 |
+4.1 |
Champ \(\mathrm{Up}\) (pour \(\theta =0.\) ) |
||||
Point \(E\) |
\({u}_{r}(m)\) |
–7.82 x 10–6 |
–7.71 x 10–6 |
–1.4 |
Point \(F\) |
–7.82 x 10–6 |
–7.70 x 10–6 |
–1.5 |
|
Point \(B\) |
\({\sigma}_{\mathrm{rr}}(\mathrm{Pa})\) \({\sigma}_{zz}(\mathrm{Pa})\) \({\sigma}_{\theta \theta }(\mathrm{Pa})\) |
1.63 x 106 5.51 x 106 1.65 x 106 |
1.41 x 106 5.65 x 106 1.89 x 106 |
–13.4 2.7 14.7 |
Champ \(\mathrm{Up}+\mathrm{Ug}\) (pour \(\theta =0.\) ) |
||||
Point \(E\) |
\({u}_{r}(m)\) |
–7.46 x 10–6 |
–7.358 x 10–6 |
–1.3 |
Point \(F\) |
\({u}_{r}(m)\) |
–7.46 x 10–6 |
–7.348 x 10–6 |
–1.5 |
Point \(B\) |
\({\sigma}_{\mathrm{rr}}(\mathrm{Pa})\) \({\sigma}_{zz}(\mathrm{Pa})\) \({\sigma}_{\theta \theta }(\mathrm{Pa})\) |
1.56 x 106 5.25 x 106 1.57 x 106 |
1.34 x 106 5.398 x 106 1.80 x 106 |
–13.7 2.8 15.0 |
Remarques#
Les valeurs de référence pour la pression (champ \(\mathrm{Up}\) ) sont obtenues dans la modélisation C, à partir d’un maillage 3D.
Les résultats obtenus sont rigoureusement identiques à ceux de la modélisation A avec PESANTEUR.
Contenu du fichier résultats#
Déplacements, contraintes.
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation C#
3D, Mailles \(\mathrm{H20}\) et \(\mathrm{P15}\)
Position des points: |
\(A,B\) dans la section \(z=0\) |
\(E,F\) dans la section médiane \(z=L/2\) |
|
Découpage: |
20 éléments suivant la longueur |
2 éléments suivant le rayon, 8 éléments suivant la circonférence. |
Le chargement étant symétrique, la moitié seulement du cylindre est modélisée.
Conditions aux limites:
section extrémités encastrées (\(u=v=w=0\) )
conditions de symétrie dans le plan \(xz\) : \(v=0\)
- Pression sur la circonférence (champ \(\mathrm{Up}\) )
La surface du cylindre est divisée en 8 rangées d’éléments selon la circonférence (1 rangée d’éléments représente un secteur de \(\pi /8\) radians. La pression étant en \(\cos\theta\) , elle est supposée uniforme sur chaque rangée. Pour tout point de la surface d’angle \(\theta\) , (compris entre \({\theta}_{1}\) et \({\theta}_{2}\) , \({\theta}_{1}=(n–1)\frac{\pi}{8}\) , \({\theta}_{2}=n\frac{\pi}{8}\) , \(1\le n\le 8\) , la valeur de la pression affectée à la rangée d’éléments contenant ce point est prise égale à \(\frac{\mathrm{p0}}{2}(\cos{\theta}_{1}+\cos{\theta}_{2})\)
Gravité verticale suivant \(x\) (champ \(\mathrm{Ug}\) )
Noms des nœuds:
\(A=\mathrm{N845}\) |
\(B=\mathrm{N965}\) |
\(E=\mathrm{N865}\) |
\(F=\mathrm{N995}\) |
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 1285
Nombre de mailles et types: 160 HEXA20, 80 PENTA15
Valeurs testées#
Localisation |
Type de valeur |
Référence |
Aster |
% différence |
Champ \(\mathrm{Up}\) |
||||
Point E |
\(u(m)\) \(v(m)\) |
–7.82 x 10–6 10–21 |
||
Point \(F\) |
\(u(m)\) \(v(m)\) |
–7.816 x 10–6 10–21 |
||
Point \(B\) |
\({\sigma}_{xx}(\mathrm{Pa})\) \({\sigma}_{yy}(\mathrm{Pa})\) \({\sigma}_{zz}(\mathrm{Pa})\) |
1.63 x 106 1.65 x 106 5.51 x 106 |
||
Champ \(\mathrm{Up}+\mathrm{Ug}\) |
||||
Point \(E\) |
\(u(m)\) \(v(m)\) |
–7.46 x 10–6 10–21 |
||
Point \(F\) |
\(u(m)\) \(v(m)\) |
–7.44 x 10–6 10–21 |
||
Point \(B\) |
\({\sigma}_{xx}(\mathrm{Pa})\) \({\sigma}_{yy}(\mathrm{Pa})\) \({\sigma}_{zz}(\mathrm{Pa})\) |
1.56 x 106 1.57 x 106 5.25 x 106 |
Remarques#
Il n’y a pas de valeurs de référence pour cette modélisation. Les résultats sont à comparer avec ceux des modélisations AXIS_FOURIER \((A,B,D)\) .
Au point \(B\) (situé dans le plan de symétrie), on a: \({\sigma}_{\mathrm{rr}}={\sigma}_{xx}\) , \({\sigma}_{\theta \theta }={\sigma}_{yy}\)
Modélisation D#
Caractéristiques de la modélisation D#
AXIS_FOURIER, mailles T6
Découpage: |
80 éléments suivant la longueur |
|
2 éléments suivant le rayon |
||
Chargements: |
||
\(\mathrm{C1}\) |
gravité verticale (champ \(\mathrm{Ug}\) ) |
|
\(\mathrm{C2}\) |
pression (champ \(\mathrm{Up}\) ) |
|
Composantes des déplacements: \({u}_{r}\) (radial), \({u}_{z}\) (axial), \({u}_{\theta}\) (circonférentiel)
Noms des nœuds:
\(A=\mathrm{N1}\) |
\(B=\mathrm{N2}\) |
\(C=\mathrm{N3}\) |
\(D=\mathrm{N4}\) |
\(E=\mathrm{N249}\) |
\(F=\mathrm{N87}\) |
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 805
Nombre de mailles et types: 320 TRIA6
Valeurs testées#
Localisation |
Type de valeur |
Référence |
Aster |
% différence |
Champ \(\mathrm{Ug}\) (pour \(\theta =0.\) ) |
||||
Point \(E,F\) |
\({u}_{r}(m)\) \({u}_{\theta}(m)\) |
3.566 x 10–7 |
3.535 x 10–7 |
–0.84 |
Point \(B\) |
\({\sigma}_{zz}(\mathrm{Pa})\) |
–2.496 x 105 |
–2.60 x 105 |
+4.1 |
Champ \(\mathrm{Up}\) (pour \(\theta =0.\) ) |
||||
Point \(E\) |
\({u}_{r}(m)\) |
–7.82 x 10–6 |
–7.71 x 10–6 |
1.4 |
Point \(F\) |
–7.82 x 10–6 |
–7.70 x 10–6 |
1.5 |
|
Point \(B\) |
\({\sigma}_{\mathrm{rr}}(\mathrm{Pa})\) \({\sigma}_{zz}(\mathrm{Pa})\) \({\sigma}_{\theta \theta }(\mathrm{Pa})\) |
1.63 x 106 5.51 x 106 1.65 x 106 |
1.41 x 106 5.65 x 106 1.89 x 106 |
–13.4 2.7 14.7 |
Remarques#
Les valeurs de référence pour la pression (champ \(\mathrm{Up}\) ) sont obtenues dans la modélisation C, à partir d’un modèle 3D.
Les résultats obtenus sont identiques à ceux des modélisations A et B.
Contenu du fichier résultats#
Déplacements, contraintes.
Synthèse des résultats#
Ecarts maxi (en %) entre modélisations AXIS_FOURIER et modélisation 3D, observés aux points \(E,F,B\) (dans le plan \(\theta =0°\) ), sur les cas de charge combinés.
Localisation |
Ecart AXIS_FOURIER/3D En (%) |
|
Déplacements \(U\) : = \(u\) en 3D = \({u}_{r}\) en AXI |
POINT \(F\) |
1.5 |
Contraintes \({\sigma}_{zz}\) |
POINT \(B\) |
2.8 |
Contraintes \({\sigma}_{xx}(\mathrm{3D})\) = \({\sigma}_{\mathrm{rr}}(\mathrm{AXI})\) |
POINT \(B\) |
–14.1 |
Contraintes \({\sigma}_{yy}(\mathrm{3D})\) = \({\sigma}_{\theta \theta }(\mathrm{AXI})\) |
POINT \(B\) |
14.6 |
Les résultats entre les modélisations 3D d’une part et AXIS_FOURIER d’autre part, sont concordants en ce qui concerne les déplacements (écart de 1.5%) et la contrainte de flexion \({\sigma}_{zz}\) (écart de 2.8%).
A l’encastrement, la relation \({\sigma}_{xx}={\sigma}_{yy}=0\) entraîne:
\({\sigma}_{xx}={\sigma}_{yy}=\frac{\nu}{1-\nu }{\sigma}_{zz}\)
La relation d’encastrement est bien vérifiée au point \(B\) , en modélisation 3D.
Par ailleurs, au point \(B\) , on a en plus:
\({\sigma}_{xx}={\sigma}_{\mathrm{rr}}\)
\({\sigma}_{yy}={\sigma}_{\theta \theta }\)
En modélisation AXIS_FOURIER, l’écart entre les deux contraintes est d’environ 25%.
Un second calcul sur le modèle AXIS_FOURIER a été réalisé avec un maillage plus fin: 4éléments dans l’épaisseur au lieu de 2, maillage plus dense au voisinage de l’encastrement \(\mathrm{AB}\) (total 800 TRIA6).
L’écart observé sur les contraintes \({\sigma}_{\mathrm{rr}}\) et \({\sigma}_{\theta \theta }\) au point \(\mathrm{AB}\) demeure: \({\sigma}_{\mathrm{rr}}=1.51\times {10}^{6}\) , \({\sigma}_{\theta \theta }=2.08\times 106\) (cas de charge combiné).
La relation d’encastrement \({\sigma}_{xx}={\sigma}_{yy}\) est donc beaucoup mieux vérifiée sur le modèle 3D, avec un maillage dans l’épaisseur pourtant grossier.