v4.41.002 TPNA02 - Problème thermique plan avec rayonnement

Résumé:

Ce test élémentaire permet de traiter un problème plan en thermique stationnaire et transitoire avec une condition aux limites de type rayonnement. La solution est analytique.

Solution de référence

Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

Dans ce cas d’étude, le nombre de Biot est relativement faible (beaucoup moins que 0.1) et, en conséquence, le gradient de température sur la section est négligeable. L’équation de transfert de chaleur à résoudre est:

\(\rho C_p V \cfrac{\partial T}{\partial t} = \varepsilon \sigma S [{({T}_{\mathrm{ext}}+273.15)}^{4} - {(T+273.15)}^{4}]\)

où \(S\) et \(V\) sont la surface d’échange et le volume du solide respectivement. La solution de référence est obtenue en résolvant ce problème de valeur initial (ou problème de Cauchy), pour lequel un grand nombre de méthodes numériques sont disponibles (par exemple, scipy.integrate.solve_ivp)

Résultats de référence

Fig 2.1. Résultat de référence: température en fonction du temps

\(t (s)\)	\(T(°C)\)
100	54.56435728271139
200	82.05164975973898
400	97.64465493188409
600	99.70768743887123

Valeur de la température en fonction du temps

Incertitude sur la solution

Solution exacte.

Modélisation A

Caractéristiques de la modélisation

Cette modélisation permet de valider l’évolution de la température lors d’un échange thermique non-linéaire (rayonnement).

On n’impose pas de conditions de Dirichlet mais une condition d’échange sur les nœuds aux bords.

CHARGE = AFFE_CHAR_THER_F(
    MODELE=MODELE,
    RAYONNEMENT=_F(
        GROUP_MA="LINE_EXT", SIGMA=C_sigma, EPSILON=C_epsilon, TEMP_EXT=TEMP_EXT
    ),
)

La température sur les 4 nœuds de la maille devrait être la même à un instant donné.

La température en régime stationnaire devrait être la même que la température externe.

Pour imposer l’utilisation de Fortran avec THER_NON_LINE, on rajout le mot-clé :

OBSERVATION=_F(NOM_CHAM="TEMP", NOM_CMP="TEMP", TOUT="OUI"),

Caractéristiques du maillage

Nombre de nœuds : 4

Nombre de mailles et types : 1 QUAD4

Valeurs testées

Le nœud observé a pour coordonnées \((0.0, 0.0)\), mais d’autres points sont possible (puisque la température devrait être la même).

Avec fortran
temps	température	référence	error
100	54.533188379364574	54.56435728271139	5.712319E-02%
600	99.70542232072329	99.70768743887123	2.271759E-03%
STAT	100.00000002900663	100.0	2.900663E-08%

Avec Python
temps	température	référence	error
100	54.53443932011566	54.56435728271139	5.483060E-02%
600	99.70542525641507	99.70768743887123	2.268814E-03%
STAT	100.00000002900661	100.0	2.900661E-08%

où STAT fait référence au régime stationnaire.

Fig 3.1. Comparaison des résultats (avec Python) avec référence théorique

Synthèses des résultats

La qualité des résultats est satisfaisante, on représente assez bien l’évolution de la température lors d’un échange thermique avec rayonnement. Les erreurs restent inférieures à \(\text{0.1%}\) par rapport à la solution de référence.