v6.03.138 SSNP138 - Fissure inclinée en 2D avec X-FEM#
Résumé
Ce test a pour but de valider le calcul des facteurs d’intensité de contrainte (\({K}_{I}\) et \({K}_{\mathit{II}}\) ) avec \(\text{X-FEM}\) [bib1] en \(\mathrm{2D}\) , dans le cadre de l’élasticité linéaire. Ce test a également pour but de tester les chargements volumiques de FORCE_INTERNE et de PESANTEUR avec la méthode \(\text{X-FEM}\) en \(\mathrm{2D}\) .
Ce test met en jeu une plaque rectangulaire avec une fissure centrale droite inclinée, et soumise à une chargement de traction sur les bords inférieur et supérieur de la plaque (modélisations \(A\) \(C\) , \(D\) , \(E\) ) ou soumise à une force volumique et un encastrement sur la partie supérieure (modélisation \(B\) ), ou soumise à une pression sur les lèvres (modélisation \(F\) ).
Différentes modélisations sont considérées:
modélisation \(A\) : \(\text{X-FEM}\mathrm{2D}\) , chargement surfacique sur les bords, mailles QUAD4, enrichissement géométrique
modélisation \(B\) : \(\text{X-FEM}\mathrm{2D}\) , chargement volumique, mailles QUAD4. enrichissement géométrique
modélisation \(C\) : \(\text{X-FEM}\mathrm{2D}\) , chargement surfacique sur les bords, mailles TRIA3, enrichissement géométrique
modélisation \(D\) : \(\text{X-FEM}\mathrm{2D}\) , chargement surfacique sur les bords, mailles TRIA3, enrichissement topologique
modélisation \(E\) : \(\text{X-FEM}\mathrm{2D}\) , chargement surfacique sur les bords, mailles TRIA6, enrichissement topologique
modélisation \(F\) : \(\text{X-FEM}\mathrm{2D}\) , chargement sur les lèvres, mailles TRIA3, enrichissement topologique
La validation porte sur les facteurs d’intensité de contrainte (\({K}_{I}\) et \({K}_{\mathrm{II}}\) ), par comparaison avec la solution analytique pour les modélisations \(A\) , \(C\) , \(D\) , \(E\) , \(F\) et une solution de non-régression pour la modélisation \(B\) .
Modélisation A#
Dans cette modélisation, la méthode des éléments finis étendue (\(\text{X-FEM}\) ) est utilisée. On définit un rayon d’enrichissement géométrique avec un nombre de couche d’élément égal à 3.
Caractéristiques du maillage#
La structure est modélisée par un maillage régulier composé de \(100\times 100\) QUAD4, respectivement suivant les axes \(x,y\) . La fissure n’est pas maillée.
Fig. 638 Maillage de la plaque fissurée#
Grandeurs testées et résultats#
Pour chaque valeur de l’angle \(\theta\) , on teste la valeur des facteurs d’intensité de contraintes \({K}_{I}\) et \({K}_{\mathrm{II}}\) données par CALC_G (pour les deux fonds de fissure) ainsi que celles données par K1 et K2 de POST_K1_K2_K3 (pour les deux fonds de fissure ).
Pour la méthode \(G-\mathrm{thêta}\) (commande CALC_G), on teste deux choix de couronnes de champ thêta:
\(\mathrm{C1}\) : \({R}_{\inf}=0,1a\) et \({R}_{\sup}=0,3a\) ;
\(\mathrm{C2}\) : \({R}_{\inf}=h\) et \({R}_{\sup}=\mathrm{3h}\) ;
où \(h\) est la taille caractéristique des mailles:
\(h=\sqrt{{(\frac{\mathrm{LX}}{\mathrm{NX}})}^{2}+{(\frac{\mathrm{LY}}{\mathrm{NY}})}^{2}}\)
Pour la méthode par extrapolation des sauts de déplacements (POST_K1_K2_K3), l’abscisse curviligne maximale est égale à \(0,3a\) .
Résultats pour thêta= 0°#
Identification |
Référence |
Tolérance |
CALC_G |
||
C1 + fond1: K1 |
2,5725E+5 |
2.0% |
C1 + fond2: K1 |
2,5725E+5 |
2.0% |
C1 + fond1: K2 |
0 |
257 |
C1 + fond2: K2 |
0 |
257 |
C1 + fond1: G |
0.29 |
2.0% |
C1 + fond2: G |
0.29 |
2.0% |
C2 + fond1: K1 |
2,5725E+5 |
2.0% |
C2 + fond2: K1 |
2,5725E+5 |
2.0% |
C2 + fond1: K2 |
0 |
257 |
C2 + fond2: K2 |
0 |
257 |
C2 + fond1: G |
0.29 |
2.0% |
C2 + fond2: G |
0.29 |
2.0% |
POST_K1_K2_K3 |
||
fond1: K1 |
2,5725E+5 |
2.00% |
fond2: K1 |
2,5725E+5 |
2.00% |
fond1: K2 |
0 |
257 |
fond2: K2 |
0 |
257 |
Les valeurs nulles de \({K}_{2}\) sont testées en absolu avec une tolérance égale à \({K}_{1}^{\mathit{ref}}/1000\) .
Résultats pour thêta= 15°#
Identification |
Référence |
CALC_G |
|
C1 + fond1: K1 |
2,4001E+5 |
C1 + fond2: K1 |
2,4001E+5 |
C1 + fond1: K2 |
6,4313E+4 |
C1 + fond2: K2 |
6,4313E+4 |
C2 + fond1: K1 |
2,4001E+5 |
C2 + fond2: K1 |
2,4001E+5 |
C2 + fond1: K2 |
6,4313E+4 |
C2 + fond2: K2 |
6,4313E+4 |
POST_K1_K2_K3 |
|
fond1: K1 |
2,4001E+5 |
fond2: K1 |
2,4001E+5 |
fond1: K2 |
6,4313E+4 |
fond2: K2 |
6,4313E+4 |
Résultats pour thêta= 30°#
Identification |
Référence |
CALC_G |
|
C1 + fond1: K1 |
1,9294E+5 |
C1 + fond2: K1 |
1,9294E+5 |
C1 + fond1: K2 |
1,1139E+5 |
C1 + fond2: K2 |
1,1139E+5 |
C2 + fond1: K1 |
1,9294E+5 |
C2 + fond2: K1 |
1,9294E+5 |
C2 + fond1: K2 |
1,1139E+5 |
C2 + fond2: K2 |
1,1139E+5 |
POST_K1_K2_K3 |
|
fond1: K1 |
1,9294E+5 |
fond2: K1 |
1,9294E+5 |
fond1: K2 |
1,1139E+5 |
fond2: K2 |
1,1139E+5 |
Résultats pour thêta= 45°#
Identification |
Référence |
CALC_G |
|
C1 + fond1: K1 |
1,2863E+5 |
C1 + fond2: K1 |
1,2863E+5 |
C1 + fond1: K2 |
1,2863E+5 |
C1 + fond2: K2 |
1,2863E+5 |
C2 + fond1: K1 |
1,2863E+5 |
C2 + fond2: K1 |
1,2863E+5 |
C2 + fond1: K2 |
1,2863E+5 |
C2 + fond2: K2 |
1,2863E+5 |
POST_K1_K2_K3 |
|
fond1: K1 |
1,2863E+5 |
fond2: K1 |
1,2863E+5 |
fond1: K2 |
1,2863E+5 |
fond2: K2 |
1,2863E+5 |
Résultats pour thêta= 60°#
Identification |
Référence |
CALC_G |
|
C1 + fond1: K1 |
6,4313E+4 |
C1 + fond2: K1 |
6,4313E+4 |
C1 + fond1: K2 |
1,1140E+5 |
C1 + fond2: K2 |
1,1140E+5 |
C2 + fond1: K1 |
6,4313E+4 |
C2 + fond2: K1 |
6,4313E+4 |
C2 + fond1: K2 |
1,1140E+5 |
C2 + fond2: K2 |
1,1140E+5 |
POST_K1_K2_K3 |
|
fond1: K1 |
6,4313E+4 |
fond2: K1 |
6,4313E+4 |
fond1: K2 |
1,1140E+5 |
fond2: K2 |
1,1140E+5 |
Résultats complémentaires#
D’autres valeurs d’angles \(\theta\) ont été testées par ailleurs, sans faire partie de ce test. Elles sont reportées sur la Fig. 639 .
Fig. 639 Facteurs d’intensité des contraintes normalisés par \({K}_{I}\) ( thêta= 0°) obtenus par CALC_G pour la couronne \(\mathrm{C1}\)#
À titre d’illustration, la Fig. 640 présente une vue de la déformée de la plaque pour un angle \(\theta =45°\) .
Fig. 640 Déformée pour thêta= 45°#
Modélisation B#
Dans cette modélisation, la méthode des éléments finis étendue (\(\text{X-FEM}\) ) est utilisée. On définit un rayon d’enrichissement géométrique avec un nombre de couche d’élément égal à 3.
Caractéristiques du maillage#
La structure est modélisée par un maillage régulier (identique à la modélisation \(A\) ) composé de \(100\times 100\) QUAD4, respectivement suivant les axes \(x,y\) . La fissure n’est pas maillée.
Grandeurs testées et résultats#
Pour chaque valeur de l’angle \(\theta\) (\(0°\) et \(45°\) ), et pour chaque chargement : force interne (\(\mathrm{FI}\) ) et pesanteur (\(\mathrm{PESA}\) ), on teste la valeur du facteur d’intensité de contraintes \(\mathrm{KI}\) donnée par CALC_G (pour les deux fonds de fissure) ainsi que celle donnée par K1 de POST_K1_K2_K3 (pour le 2ème fond de fissure). On teste également la valeur de \(G\) donnée par CALC_G, option CALC_G, que l’on compare à celle obtenue par CALC_G, option CALC_K_G.
Pour la méthode \(G-\mathrm{thêta}\) (commande CALC_G), on choisit les couronnes de champ thêta suivantes: \({R}_{\inf}=0,1a\) et \({R}_{\sup}=0,3a\) ;
Pour la méthode par extrapolation des sauts de déplacements (POST_K1_K2_K3), l’abscisse curviligne maximale est égale à \(0,3a\) .
Résultats pour \(\theta =0°\)#
Identification |
Code_Aster |
Tolérance |
CALC_G |
||
FI fond1: K1 |
5013.598 |
0.1% |
FI fond2: K1 |
5013.586 |
0.1% |
PES fond1: K1 |
5013.598 |
0.1% |
PES fond2: K1 |
5013.586 |
0.1% |
FI fond 1 : G |
1.19751E-04 |
0.1% |
PES fond 1 : G |
1.19751E-04 |
0.1% |
POST_K1_K2_K3 |
||
FI fond2: K1 |
5069.12 |
0.1% |
PES fond2: K1 |
5069.12 |
0.1% |
Résultats pour \(\theta =45°\)#
Identification |
Code_Aster |
Tolérance |
CALC_G |
||
FI fond1: K1 |
2454.40 |
0.1% |
FI fond2: K1 |
2592.14 |
0.1% |
PES fond1: K1 |
2454.40 |
0.1% |
PES fond2: K1 |
2592.14 |
0.1% |
FI fond 1 : G |
5.644E-05 |
0.1% |
PES fond 1 : G |
5.644E-05 |
0.1% |
POST_K1_K2_K3 |
||
FI fond2: K1 |
2589.86 |
0.1% |
PES fond2: K1 |
2589.86 |
0.1% |
Modélisation C#
Dans cette modélisation, la méthode des éléments finis étendue (\(\text{X-FEM}\) ) est utilisée. On définit un rayon d’enrichissement géométrique avec un nombre de couche d’élément égal à 3.
Caractéristiques du maillage#
Le domaine est maillé avec des triangles linéaires (mailles TRIA3). On conserve le raffinement des modélisations précédentes à savoir 100 quadrangles (scindés en 2 triangles) suivant l’axe \(X\) et 100 quadrangles (scindés en 2 triangles) suivant l’axe \(Y\) . La fissure n’est pas maillée.
Fig. 641 Maillage avec des triangles**#
Grandeurs testées et résultats#
La fissure est inclinée suivant 3 valeurs angulaires : \(\theta =0°,30°,60°\)
Pour chaque angle d’inclinaison, on teste les facteurs d’intensité de contrainte comme dans les modélisations \(A\) et \(B\) , par la méthode \(G-\mathit{thêta}\) et par la méthode d’extrapolation des sauts de déplacements.
Pour la méthode \(G-\mathrm{thêta}\) (commande CALC_G), on choisit les couronnes de champ thêta suivantes: \({R}_{\inf}=0,1a\) et \({R}_{\sup}=0,3a\) .
Résultats pour \(\theta =0°\)#
Identification |
Référence |
Tolérance |
CALC_G |
||
C1 + fond1: K1 |
2,5725E+5 |
2.0% |
C1 + fond2: K1 |
2,5725E+5 |
2.0% |
C1 + fond1: K2 |
0 |
257 |
C1 + fond2: K2 |
0 |
257 |
C1 + fond1: G |
0.29 |
2.0% |
C1 + fond2: G |
0.29 |
2.0% |
C2 + fond1: K1 |
2,5725E+5 |
2.0% |
C2 + fond2: K1 |
2,5725E+5 |
2.0% |
C2 + fond1: K2 |
0 |
257 |
C2 + fond2: K2 |
0 |
257 |
C2 + fond1: G |
0.29 |
2.0% |
C2 + fond2: G |
0.29 |
2.0% |
POST_K1_K2_K3 |
||
C1 + fond1: K1 |
2,5725E+5 |
2.0% |
C1 + fond2: K1 |
2,5725E+5 |
2.0% |
C1 + fond1: K2 |
0 |
514.5 |
C1 + fond2: K2 |
0 |
514.5 |
C2 + fond1: K1 |
2,5725E+5 |
2.0% |
C2 + fond2: K1 |
2,5725E+5 |
2.0% |
C2 + fond1: K2 |
0 |
514.5 |
C2 + fond2: K2 |
0 |
514.5 |
Les valeurs nulles de \({K}_{2}\) sont testées en absolu avec une tolérance égale à \({K}_{1}^{\mathit{ref}}/1000\) pour CALC_G et une tolérance égale à \({K}_{1}^{\mathit{ref}}/500\) pour POST_K1_K2_K3.
Résultats pour \(\theta =30°\)#
Identification |
Référence |
Tolérance |
CALC_G |
||
C1 + fond1: K1 |
1,9294E+5 |
2.0% |
C1 + fond2: K1 |
1,9294E+5 |
2.0% |
C1 + fond1: K2 |
1,1139E+5 |
3,0% |
C1 + fond2: K2 |
1,1139E+5 |
3,0% |
C1 + fond1: G |
0,215 |
2,0% |
C1 + fond2: G |
0,215 |
2.0% |
C2 + fond1: K1 |
1,9294E+5 |
2.0% |
C2 + fond2: K1 |
1,9294E+5 |
2.0% |
C2 + fond1: K2 |
1,1139E+5 |
3,0% |
C2 + fond2: K2 |
1,1139E+5 |
3,0% |
C2 + fond1: G |
0,215 |
2.0% |
C2 + fond2: G |
0,215 |
2.0% |
POST_K1_K2_K3 |
||
C1 + fond1: K1 |
1,9294E+5 |
2.0% |
C1 + fond2: K1 |
1,9294E+5 |
2.0% |
C1 + fond1: K2 |
1,1139E+5 |
3,0% |
C1 + fond2: K2 |
1,1139E+5 |
3,0% |
C2 + fond1: K1 |
1,9294E+5 |
2.0% |
C2 + fond2: K1 |
1,9294E+5 |
2.0% |
C2 + fond1: K2 |
1,1139E+5 |
3,0% |
C2 + fond2: K2 |
1,1139E+5 |
3,0% |
Résultats pour \(\theta =60°\)#
Identification |
Référence |
Tolérance |
CALC_G |
||
C1 + fond1: K1 |
6,4312E+5 |
2.0% |
C1 + fond2: K1 |
6,4312E+5 |
2.0% |
C1 + fond1: K2 |
1,1139E+5 |
3,0% |
C1 + fond2: K2 |
1,1139E+5 |
3,0% |
C1 + fond1: G |
7,1692E-2 |
2,0% |
C1 + fond2: G |
7,1692E-2 |
2.0% |
C2 + fond1: K1 |
6,4312E+5 |
2.0% |
C2 + fond2: K1 |
6,4312E+5 |
2.0% |
C2 + fond1: K2 |
1,1139E+5 |
3,0% |
C2 + fond2: K2 |
1,1139E+5 |
3,0% |
C2 + fond1: G |
7,1692E-2 |
2.0% |
C2 + fond2: G |
7,1692E-2 |
2.0% |
POST_K1_K2_K3 |
||
C1 + fond1: K1 |
6,4312E+5 |
2.0% |
C1 + fond2: K1 |
6,4312E+5 |
2.0% |
C1 + fond1: K2 |
1,1139E+5 |
3,0% |
C1 + fond2: K2 |
1,1139E+5 |
3,0% |
C2 + fond1: K1 |
6,4312E+5 |
2.0% |
C2 + fond2: K1 |
6,4312E+5 |
2.0% |
C2 + fond1: K2 |
1,1139E+5 |
3,0% |
C2 + fond2: K2 |
1,1139E+5 |
3,0% |
Modélisation D#
Cette modélisation est identique à la modélisation C.
La seule différence est que l’on choisit ici un enrichissement topologique (une seule de couche d’éléments enrichis en fond de fissure).
On ne modélise que la fissure inclinée à 30°.
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Référence |
Tolérance |
CALC_G |
||
C1 + fond1: K1 |
1,9294E+5 |
0.5% |
C1 + fond2: K1 |
1,9294E+5 |
0.5% |
C1 + fond1: K2 |
1,1139E+5 |
3,0% |
C1 + fond2: K2 |
1,1139E+5 |
3,0% |
C1 + fond1: G |
0,215 |
4.0% |
C1 + fond2: G |
0,215 |
4.0% |
C2 + fond1: K1 |
1,9294E+5 |
0.5% |
C2 + fond2: K1 |
1,9294E+5 |
0.5% |
C2 + fond1: K2 |
1,1139E+5 |
3,0% |
C2 + fond2: K2 |
1,1139E+5 |
3,0% |
C2 + fond1: G |
0,215 |
4.0% |
C2 + fond2: G |
0,215 |
4.0% |
POST_K1_K2_K3 |
||
C1 + fond1: K1 |
1,9294E+5 |
6.0% |
C1 + fond2: K1 |
1,9294E+5 |
6.0% |
C1 + fond1: K2 |
1,1139E+5 |
6.0% |
C1 + fond2: K2 |
1,1139E+5 |
6.0% |
C2 + fond1: K1 |
1,9294E+5 |
6.0% |
C2 + fond2: K1 |
1,9294E+5 |
6.0% |
C2 + fond1: K2 |
1,1139E+5 |
6.0% |
C2 + fond2: K2 |
1,1139E+5 |
6.0% |
Modélisation E#
Cette modélisation est identique à la modélisation E.
La seule différence est que l’on choisit ici des mailles quadratiques (TRIA6).
Identification |
Référence |
Tolérance |
CALC_G |
||
C1 + fond1: K1 |
1,9294E+5 |
0.5% |
C1 + fond2: K1 |
1,9294E+5 |
0.5% |
C1 + fond1: K2 |
1,1139E+5 |
2.0% |
C1 + fond2: K2 |
1,1139E+5 |
2.0% |
C1 + fond1: G |
0,215 |
0.6% |
C1 + fond2: G |
0,215 |
0.6% |
C2 + fond1: K1 |
1,9294E+5 |
0.5% |
C2 + fond2: K1 |
1,9294E+5 |
0.5% |
C2 + fond1: K2 |
1,1139E+5 |
2.0% |
C2 + fond2: K2 |
1,1139E+5 |
3,0% |
C2 + fond1: G |
0,215 |
0.6% |
C2 + fond2: G |
0,215 |
0.6% |
POST_K1_K2_K3 |
||
C1 + fond1: K1 |
1,9294E+5 |
0.2% |
C1 + fond2: K1 |
1,9294E+5 |
0.2% |
C1 + fond1: K2 |
1,1139E+5 |
1.5% |
C1 + fond2: K2 |
1,1139E+5 |
1.5% |
C2 + fond1: K1 |
1,9294E+5 |
0.2% |
C2 + fond2: K1 |
1,9294E+5 |
0.2% |
C2 + fond1: K2 |
1,1139E+5 |
1.5% |
C2 + fond2: K2 |
1,1139E+5 |
1.5% |
Modélisation F#
Cette modélisation est similaire à la modélisation D (mailles TRIA3, enrichissement topologique), mais le chargement est appliqué via une pression sur les lèvres de la fissure.
Seule la fissure horizontale est testée.
Grandeurs testées et résultats#
Identification |
Référence |
Tolérance |
CALC_G |
||
C1 + fond1: K1 |
2,5725E+5 |
2.0% |
C1 + fond2: K1 |
2,5725E+5 |
2.0% |
C1 + fond1: K2 |
0 |
257 |
C1 + fond2: K2 |
0 |
257 |
C1 + fond1: G |
0.29 |
9.0% |
C1 + fond2: G |
0.29 |
9.0% |
C2 + fond1: K1 |
2,5725E+5 |
2.0% |
C2 + fond2: K1 |
2,5725E+5 |
2.0% |
C2 + fond1: K2 |
0 |
257 |
C2 + fond2: K2 |
0 |
257 |
C2 + fond1: G |
0.29 |
9.0% |
C2 + fond2: G |
0.29 |
9.0% |
POST_K1_K2_K3 |
||
C2 + fond1: K1 |
2,5725E+5 |
10.0% |
C2 + fond2: K1 |
2,5725E+5 |
10.0% |
C2 + fond1: K2 |
0 |
257 |
C2 + fond2: K2 |
0 |
257 |
Les résultats sont moins précis que ceux de la modélisation D.
En effet, lorsque l’on impose une pression sur les lèvres de la fissure, il est nécessaire d’utiliser de petites couronnes.
Synthèses des résultats#
Les objectifs de ce test sont atteints:
Valider sur un cas simple le calcul des facteurs d’intensité de contraintes en mode mixte pour les éléments \(\text{X-FEM}\) linéaires et quadratiques
Tester la non régression des forces volumiques imposées sur une fissure \(\text{X-FEM}\)
Bilan sur les éléments linéaires
Avec la commande CALC_G, on obtient une bonne précision sur \({K}_{I}\) et \({K}_{\mathit{II}}\) (2 à 3%) avec des éléments linéaires (triangles ou quadrangles), quelque soit le type d’enrichissement en fond de fissure (topologique ou géométrique).
Par contre, avec la commande POST_K1_K2_K3, l’activation de l’enrichissement géométrique améliore significativement la solution par rapport à l’enrichissement topologique par défaut (5 à 6% → 2 à 3%).
Il est donc recommander d’utiliser l’enrichissement par défaut (topologique) et un post-traitement avec CALC_G. Si pour une quelconque raison, on souhaite post-traiter avec POST_K1_K2_K3, alors il est préférable d’activer l’enrichissement géométrique.
Bilan sur les éléments quadratiques
Les éléments quadratiques (avec enrichissement topologique) permettent de retrouver des résultats aussi précis que les éléments linéaires avec enrichissement géométrique, mais pour une taille du système à résoudre bien plus grande.
Comparaison des erreurs relatives pour la fissure inclinée à 30°:
TRIA3+ topologique (Modélisation D) |
TRIA3+ géométrique (Modélisation C) |
TRIA6+ topologique (Modélisation E) |
|
Taille du système |
20788 ddls |
21396 ddls |
82032 ddls |
CALC_G: \({K}_{I}\) |
0.5% |
0.2% |
0.3% |
CALC_G: \({K}_{\mathit{II}}\) |
2.0% |
2.0% |
2.0% |
CALC_G: \(G\) |
4.0% |
1.0% |
0.6% |
POST_K1_K2_K3: \({K}_{I}\) |
6.0% |
0.2% |
0.2% |
POST_K1_K2_K3: \({K}_{\mathit{II}}\) |
6.0% |
3.0% |
1.5% |