r3.06.04 Éléments de Fourier pour les structures axisymétriques

Résumé

Les éléments de Fourier sont destinés à calculer la réponse de structure à géométrie axisymétrique sollicitées par des chargements non axisymétriques décomposés en séries de Fourier.

On expose dans ce document une théorie générale d’Analyse de Fourier avec couplage des modes symétriques et antisymétriques dans le cas anisotrope. Le cas des matériaux isotropes, ou orthotropes d’axe \(\mathit{Oz}\) , où les modes sont découplés, est étudié à part.

Les éléments de Fourier sont utilisables dans Code_Aster à partir de la modélisation AXIS_FOURIER. Les mailles supports de ces éléments sont des triangles et quadrangles de degré 1 et 2.

Analyse de Fourier anisotrope

Théorie générale

Tous les champs considérés (forces, déplacements, déformations, contraintes) sont exprimés en coordonnées cylindriques avec la convention suivante sur l’ordre des composantes:

1	composante radiale suivant \(r\)
2	composante axiale suivant \(z\)
3	composante tangentielle suivant \(\theta\)

Exemple: \(({u}_{r},{u}_{z},{u}_{\theta}),({f}_{r},{f}_{z},{f}_{\theta})\)

Le maillage est localisé dans le plan \((r,z)\) , la symétrie de révolution se faisant autour de l’axe \(\mathrm{Oz}\) . Le trièdre \((r,z,\theta )\) est orienté dans le sens direct.

On décompose le déplacement \(\mathrm{u}\) (ou le chargement \(f\) ) suivant \(\mathrm{u}={\mathrm{u}}^{s}+{\mathrm{u}}^{a}\) où \({\mathrm{u}}^{s}\) (resp. \({u}^{a}\) ) désigne la partie symétrique (resp. antisymétrique) du développement en série de Fourier de \(u\) par rapport à la variable \(\theta\) .

On obtient:

\(\begin{array}{}\begin{array}{}{u}_{r}^{s}=\sum_{l=0}^{\infty}{u}_{l}^{s}(r,z)\cosl\theta \\ {u}_{z}^{s}=\sum_{l=0}^{\infty}{v}_{l}^{s}(r,z)\cosl\theta \\ {u}_{\theta}^{s}=\sum_{l=0}^{\infty}{w}_{l}^{s}(r,z)(-\sinl\theta )\end{array}\rbrace \text{partie symétrique}{u}^{s}\\ \begin{array}{}{u}_{r}^{a}=\sum_{l=0}^{\infty}{u}_{l}^{a}(r,z)\sinl\theta \\ {u}_{z}^{a}=\sum_{l=0}^{\infty}{v}_{l}^{a}(r,z)\sinl\theta \\ {u}_{\theta}^{a}=\sum_{l=0}^{\infty}{w}_{l}^{a}(r,z)\cosl\theta \end{array}\rbrace \text{partie antisymétrique}{u}^{a}\end{array}\)

A noter le choix du signe \(–\) pour \({u}_{\theta}^{s}\) , qui permet de simplifier les calculs ultérieurs. Si on note \({U}_{l}^{s}=({u}_{l}^{s},{v}_{l}^{s},{w}_{l}^{s})\text{}(\text{resp}.{U}_{l}^{a})\) la \(l-\text{ième}\) composante symétrique (resp. antisymétrique) du développement en série de Fourier de \(u\) , on obtient:

\(u=\sum_{l=0}^{\infty}\left[(\begin{array}{ccc}\cosl\theta & & 0\\ & \cosl\theta & \\ 0& & -\sinl\theta \end{array}){U}_{l}^{s}+(\begin{array}{ccc}\sinl\theta & & 0\\ & \sinl\theta & \\ 0& & \cosl\theta \end{array}){U}_{l}^{a}\right]\) éq 2.1-1

Si l’on désigne par \(\varepsilon\) le vecteur déformation linéarisé, on s’aperçoit que \(\varepsilon\) peut être décomposé en série de Fourier suivant:

\(\varepsilon =\sum_{l=0}^{\infty}(\begin{array}{cc}\cosl\theta {I}_{4}& {0}_{4,2}\\ {0}_{2,4}& -\sinl\theta {I}_{2}\end{array}){\varepsilon}_{l}^{s}+(\begin{array}{cc}\sinl\theta {I}_{4}& {0}_{4,2}\\ {0}_{2,4}& \cosl\theta {I}_{2}\end{array}){\theta}_{l}^{a}\) éq 2.1-2

avec \(\varepsilon =\left\lbrace {\varepsilon}_{r},{\varepsilon}_{z},{\varepsilon}_{q},{\gamma}_{\text{rz}},{\gamma}_{\mathrm{rq}},{\gamma}_{\mathrm{zq}}\right\rbrace\)

\({\varepsilon}_{l}^{s}={B}_{l}^{s}{U}_{l}^{s}\text{}{\varepsilon}_{l}^{a}={B}_{l}^{a}{U}_{l}^{a}\)

avec (voir [bib1]):

\({B}_{l}^{s}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial}{\partial r}& 0& 0\\ 0& \frac{\partial}{\partial z}& 0\\ \frac{1}{r}& 0& -\frac{l}{r}\\ \frac{\partial}{\partial z}& \frac{\partial}{\partial r}& 0\\ \frac{l}{r}& 0& \frac{\partial}{\partial r}-\frac{1}{r}\\ 0& \frac{l}{r}& \frac{\partial}{\partial z}\end{array}\right]\)

On a \({B}_{l}^{a}={B}_{l}^{s}\text{}\forall l\) (ceci est dû au choix du développement symétrique de \(u\) en \((\cos,\cos,–\sin)\) au lieu de \((\cos,\cos,\sin)\) ). On omettra à partir de maintenant les indices \(a\) et \(s\) et on notera \({B}_{l}\) l’opérateur permettant de calculer les déformations correspondant à l’harmonique \(l\) .

Couplage et découplage des modes symétriques et antisymétriques

En reprenant les notations précédentes, on a:

\(u=\sum_{l}(\begin{array}{cc}\cosl\theta {I}_{2}& {0}_{2,1}\\ {0}_{1,2}& -\sinl\theta \end{array}){u}_{l}^{s}+\sum_{l}(\begin{array}{cc}\sinl\theta {I}_{2}& {0}_{2,1}\\ {0}_{1,2}& \cosl\theta \end{array}){u}_{l}^{a}\)

ce qui s’écrit, en introduisant des matrices \({M}_{l}^{s}\text{et}{M}_{l}^{a}\) :

\(\begin{array}{}u=\sum_{l}({M}_{l}^{s}{U}_{l}^{s}+{M}_{l}^{a}{U}_{l}^{a})\\ {u}_{l}={M}_{l}^{s}{U}_{l}^{s}+{M}_{l}^{a}{U}_{l}^{a}\end{array}\)

On en déduit que: \({\varepsilon}_{l}=M{'}_{l}^{s}{\varepsilon}_{l}^{s}+M{'}_{l}^{a}{\varepsilon}_{l}^{a}\)

\(\begin{array}{}\begin{array}{cc}\text{avec}& M{'}_{l}^{s}=(\begin{array}{cc}\cosl\theta {I}_{4}& {0}_{4,2}\\ {0}_{2,4}& -\sinl\theta {I}_{2}\end{array})\\ & M{'}_{l}^{a}=(\begin{array}{cc}\sinl\theta {I}_{4}& {0}_{4,2}\\ {0}_{2,4}& \cosl\theta {I}_{2}\end{array})\end{array}\\ \end{array}\)

Calcul de l’énergie de déformation

\(\begin{array}{}\begin{array}{cc}{W}_{l}& =\underset{0}{\overset{2\pi }{\int}}\underset{s}{\int}{}^{t}{\varepsilon}_{l}D{\varepsilon}_{l}\mathrm{ds}d\theta \text{avec}\mathrm{ds}=\text{rdrdz}\\ & =\underset{0}{\overset{2\pi }{\int}}d\theta \underset{s}{\int}{}^{t}{\varepsilon}_{l}^{s\text{}t}M{'}_{l}^{s}\text{DM}{'}_{l}^{s}{\varepsilon}_{l}^{s}\text{ds}+\underset{0}{\overset{2\pi }{\int}}d\theta \underset{s}{\int}{}^{t}{\theta}_{l}^{a\text{}t}M{'}_{l}^{a}\text{DM}{'}_{l}^{a}{\varepsilon}_{l}^{a}\text{ds}\\ & +\underset{0}{\overset{2\pi }{\int}}d\theta \underset{s}{\int}{}^{t}{\varepsilon}_{l}^{a\text{}t}M{'}_{l}^{a}\text{DM}{'}_{l}^{s}{\varepsilon}_{l}^{s}\text{ds}+\underset{0}{\overset{2\pi }{\int}}d\theta \underset{s}{\int}{}^{t}{\varepsilon}_{l}^{s\text{}t}M{'}_{l}^{s}\text{DM}{'}_{l}^{a}{\varepsilon}_{l}^{a}\text{ds}\end{array}\\ \text{Puisque}M{'}_{l}^{a}\text{DM}{'}_{l}^{s}=(\begin{array}{cc}\sinl\theta {I}_{4}& 0\\ 0& \cosl\theta {I}_{2}\end{array})(\begin{array}{cc}{D}_{1}& {D}_{3}\\ {}^{t}\text{}{D}_{3}& {D}_{2}\end{array})(\begin{array}{cc}\cosl\theta {I}_{4}& 0\\ 0& -\sinl\theta {I}_{2}\end{array})\\ \text{}M{'}_{l}^{a}\text{DM}{'}_{l}^{s}=(\begin{array}{cc}{D}_{1}\sinl\theta \cosl\theta & -{D}_{3}{(\sinl\theta )}^{2}\\ {}^{t}\text{}{D}_{3}{(\cosl\theta )}^{2}& -{D}_{2}\sinl\theta \cosl\theta \end{array})\end{array}\)

et que \(\underset{0}{\overset{2\pi }{\int}}\sinl\theta \cosl\theta d\theta =0,\text{si}{D}_{3}=0\) il n’y a donc pas de terme \(({}^{t}\text{}{\varepsilon}_{l}^{a},{\varepsilon}_{l}^{s})\text{ou}({}^{t}\text{}{\varepsilon}_{l}^{s},{\varepsilon}_{l}^{a})\) dans \(W\) . Il n’y a alors pas de couplage \(({U}^{a},{U}^{s})\text{ou}({U}^{s},{U}^{a})\) .

Calcul des contraintes

De même que \(\varepsilon ,\sigma\) peut être décomposé en séries de Fourier suivant:

\(\sigma =\sum_{l}(M{'}_{l}^{s}{\sigma}_{l}^{s}+M{'}_{l}^{a}{\sigma}_{l}^{a})\)

De la loi de Hooke \(\sigma =D\varepsilon\) , on déduit:

\(s=\sum_{l}(\begin{array}{cc}\cosl\theta {D}_{1}& -\sinl\theta {D}_{3}\\ \cosl\theta {D}_{3}^{t}& -\sinl\theta {D}_{2}\end{array}){\varepsilon}_{l}^{s}+(\begin{array}{cc}\sinl\theta {D}_{1}& \cosl\theta {D}_{3}\\ \sinl\theta {D}_{3}^{t}& \cosl\theta {D}_{2}\end{array}){\varepsilon}_{l}^{a}\)

Soit, en faisant apparaître les matrices \(M{'}_{l}^{s}\text{et}M{'}_{l}^{a}\) :

\(\begin{array}{cc}\sigma =& \sum_{l}M{'}_{l}^{s}\left[(\begin{array}{cc}{D}_{1}& {0}_{4,2}\\ {0}_{2,4}& {D}_{2}\end{array}){\varepsilon}_{l}^{s}+(\begin{array}{cc}{0}_{4,4}& {D}_{3}\\ -{D}_{3}^{t}& {0}_{2,2}\end{array}){\varepsilon}_{l}^{a}\right]\\ & +M{'}_{l}^{a}\left[(\begin{array}{cc}{0}_{4,4}& -{D}_{3}\\ {D}_{3}^{t}& {0}_{2,2}\end{array}){\varepsilon}_{l}^{s}+(\begin{array}{cc}{D}_{1}& {0}_{4,2}\\ {0}_{2,4}& {D}_{2}\end{array}){\varepsilon}_{l}^{a}\right]\end{array}\)

En posant \({D}^{s}(\begin{array}{cc}{D}_{1}& {0}_{4,2}\\ {0}_{2,4}& {D}_{2}\end{array})\) et \({D}^{a}=(\begin{array}{cc}{0}_{4,4}& {D}_{3}\\ -{D}_{3}^{t}& {0}_{2,2}\end{array})\) , on en déduit les parties symétrique et antisymétrique de la contrainte relative à l’harmonique \(l\) :

\(\lbrace \begin{array}{}{\sigma}_{l}^{s}={D}^{s}{\varepsilon}_{l}^{s}+{D}^{a}{\varepsilon}_{l}^{a}={D}^{s}{B}_{l}{u}_{l}^{s}+{D}^{a}{B}_{l}{u}_{l}^{a}\\ {\sigma}_{l}^{a}=-{D}^{a}{\varepsilon}_{l}^{s}+{D}^{s}{\varepsilon}_{l}^{a}=-{D}^{a}{B}_{l}{u}_{l}^{s}+{D}^{s}{B}_{l}{u}_{l}^{a}\end{array}\) éq 2.3-1

Remarque:

Dans le cas de l’orthotropie par rapport à \(\mathrm{Oz}\) , on a \({D}^{a}=0\) et [éq 2.1-1] se réduit à:

\(\lbrace \begin{array}{}{\sigma}_{l}^{s}={D}^{s}{B}_{l}{u}_{l}^{s}\\ {\sigma}_{l}^{a}={D}^{s}{B}_{l}{u}_{l}^{a}\end{array}\)

C’est-à-dire que si les déplacements sont symétriques (ou antisymétriques), les contraintes le sont aussi.

Calcul de la matrice de rigidité

Cas général

Soient \(\mathrm{u}\) et \(\varepsilon\) deux champs cinématiquement admissibles quelconques. En appliquant le principe des travaux virtuels à l’élément de volume \(v\) , on peut écrire:

\(\underset{v}{\int}({}^{t}\text{}\delta \varepsilon .\mathrm{s})\text{dv}=\underset{v}{\int}({}^{t}\text{}\delta \mathrm{u}.f)\text{dv}\)

Après décomposition en série de Fourier et intégration par rapport à \(\theta\) , on obtient, pour des champs \({\varepsilon}_{l}^{s},{\varepsilon}_{l}^{a},{u}_{l}^{s},{u}_{l}^{a}\) C.A. quelconques et pour toute harmonique \(l\) :

\(\underset{{s}_{l}}{\int}({}^{t}\text{}\delta {\varepsilon}_{l}^{s}.{\sigma}_{l}^{s}+{}^{t}\text{}\delta {\varepsilon}_{l}^{a}.{\sigma}_{l}^{a}){\text{ds}}_{l}=\underset{{s}_{l}}{\int}({}^{t}\text{}\delta {u}_{l}^{s}.{f}_{l}^{s}+{}^{t}\text{}\delta {u}_{l}^{a}.{f}_{l}^{a}){\text{ds}}_{l}\)

Soit, en utilisant [éq 2.3-1] et en posant:

\(\begin{array}{}{K}_{l}^{s}=\underset{{s}_{l}}{\int}{}^{t}\text{}{B}_{l}{D}^{s}{B}_{l}{\text{ds}}_{l}\\ {K}_{l}^{a}=\underset{{s}_{l}}{\int}{}^{t}\text{}{B}_{l}{D}^{s}{B}_{l}{\text{ds}}_{l}={K}_{l}^{s}={K}_{l}\\ {K}_{l}^{\text{as}}=\underset{{s}_{l}}{\int}{}^{t}\text{}{B}_{l}{D}^{a}{B}_{l}{\text{ds}}_{l}\end{array}\)

On obtient le système d’équations suivant:

\(\lbrace \begin{array}{}{K}_{l}{u}_{l}^{s}+{K}_{l}^{\text{as}}{u}_{l}^{a}={f}_{l}^{s}\\ {}^{t}\text{}{K}_{l}^{\text{as}}{u}_{l}^{s}+{K}_{l}{u}_{l}^{a}={f}_{l}^{a}\end{array}\) éq 3-1

où \({}^{t}\text{}{K}_{l}^{\text{as}}=-{K}_{l}^{\text{as}}\) on voit que si \({D}_{a}\ne 0\) , le découplage des modes en harmoniques symétriques et antisymétriques n’est plus possible. Par contre, si \({D}_{a}=0\) (orthotropie par rapport à \(\mathrm{Oz}\) ) alors \({K}_{l}^{\text{as}}=0\) et [éq 3-1] se réduit à:

\(\lbrace \begin{array}{}{K}_{l}{u}_{l}^{s}={f}_{l}^{s}\\ {K}_{l}{u}_{l}^{a}={f}_{l}^{a}\end{array}\)

En prenant pour vecteurs déplacement (resp. force) correspondant à l’harmonique \(l\) les vecteurs:

\(\begin{array}{}{u}_{l}={\left\lbrace {u}_{r}^{s},{u}_{z}^{s},{u}_{\theta}^{s},{u}_{r}^{a},{u}_{z}^{a},{u}_{\theta}^{a}\right\rbrace }_{l}\\ {f}_{l}={\left\lbrace {f}_{r}^{s},{f}_{z}^{s},{f}_{\theta}^{s},{f}_{r}^{a},{f}_{z}^{a},{f}_{\theta}^{a}\right\rbrace }_{l}\end{array}\)

On a alors:

\({K}_{l}^{g}{u}_{l}={f}_{l}\text{avec}{K}_{l}^{g}=(\begin{array}{cc}{K}_{l}& {K}_{l}^{\text{as}}\\ {}^{t}\text{}{K}_{l}^{\text{as}}& {K}_{l}\end{array})\)

Calcul de :math:`{K}_{l}^{g}`dans le cas isotrope

Dans ce cas on a donc \({K}_{l}^{\text{as}}=0\) . On détaille dans la suite le calcul de \({K}_{l}={}_{{s}_{l}}\text{}\int{}^{t}\text{}{B}_{l}{D}^{s}{B}_{l}{\text{ds}}_{l}\)

Dans la cas isotrope, on a:

\(D={D}^{s}=\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cccc}\mathrm{D1}& \mathrm{D2}& \mathrm{D2}& 0\\ \mathrm{D2}& \mathrm{D1}& \mathrm{D2}& 0\\ \mathrm{D2}& \mathrm{D2}& \mathrm{D1}& 0\\ 0& 0& 0& \mathrm{D3}\end{array}& 0\\ 0& \begin{array}{cc}\mathrm{D3}& 0\\ 0& \mathrm{D3}\end{array}\end{array}\right]\)

\(\begin{array}{cc}\text{avec}& \mathrm{D1}=\frac{E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}\\ & \mathrm{D2}=\frac{E\nu }{(1+\nu )(1-2u)}\\ & \mathrm{D3}=\frac{E}{2(1+\nu )}\end{array}\)

On peut écrire:

\(\left\lbrace \begin{array}{}{\varepsilon}_{r}\\ {\varepsilon}_{z}\\ {\varepsilon}_{\theta}\\ {\gamma}_{\text{rz}}\\ {\gamma}_{r\theta }\\ {\gamma}_{z\theta }\end{array}\right\rbrace ={B}_{l}\left\lbrace \begin{array}{}{u}_{r}^{s}\\ {u}_{z}^{s}\\ {u}_{\theta}^{s}\end{array}\right\rbrace ={B}_{l}^{'}{}^{t}\text{}\left\lbrace \frac{{u}_{r}}{r},\frac{{u}_{z}}{r},\frac{{u}_{\theta}}{r},\frac{\partial {u}_{r}}{\partial r},\frac{\partial {u}_{z}}{\partial r},\frac{\partial {u}_{\theta}}{\partial r},\frac{\partial {u}_{r}}{\partial z},\frac{\partial {u}_{z}}{\partial z},\frac{\partial {u}_{\theta}}{\partial z}\right\rbrace\)

← fcts de forme → ← dérivées des fcts de forme →

\(\text{avec}B{'}_{l}=\left[\begin{array}{ccccccccc}0& 0& 0\text{}& 1& 0& 0\text{}& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\text{}& 0& 0& 0\text{}& 0& 1& 0\\ 1& 0& -l\text{}& 0& 0& 0\text{}& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\text{}& 0& 1& 0\text{}& 1& 0& 0\\ l& 0& -1\text{}& 0& 0& 1\text{}& 0& 0& 0\\ 0& l& 0\text{}& 0& 0& 0\text{}& 0& 0& 1\end{array}\right]\)

En désignant par \({\left\lbrace {W}_{J}\right\rbrace }_{J=1\text{à ˆn}}\) les fonctions de forme de l’élément considéré, on a:

\(U=\left[\begin{array}{}\frac{{u}_{r}}{r}\\ \frac{{u}_{z}}{r}\\ \frac{{u}_{\theta}}{r}\\ \frac{\partial {u}_{r}}{\partial r}\\ \frac{\partial {u}_{z}}{\partial r}\\ \frac{\partial {u}_{\theta}}{\partial r}\\ \frac{\partial {u}_{r}}{\partial z}\\ \frac{\partial {u}_{z}}{\partial z}\\ \frac{\partial {u}_{\theta}}{\partial z}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}\cdots & \frac{{W}_{J}}{r}& \stackrel{\text{noeud}J}{\stackrel{}{0}}& 0& \cdots \\ \cdots & 0& \frac{{W}_{J}}{r}& 0& \cdots \\ \cdots & 0& 0& \frac{{W}_{J}}{r}& \cdots \\ \cdots & \frac{\partial {W}_{J}}{\partial r}& 0& 0& \cdots \\ \cdots & 0& \frac{\partial {W}_{J}}{\partial r}& 0& \cdots \\ \cdots & 0& 0& \frac{\partial {W}_{J}}{\partial r}& \cdots \\ \cdots & \frac{\partial {W}_{J}}{\partial z}& 0& 0& \cdots \\ \cdots & 0& \frac{\partial {W}_{J}}{\partial z}& 0& \cdots \\ \cdots & 0& \underset{\text{bloc}{P}_{J}}{\underset{\underbrace{}}{0}}& \frac{\partial {W}_{J}}{\partial z}& \cdots \end{array}\right]\left\lbrace \begin{array}{}\cdot \\ \cdot \\ \cdot \\ {u}_{r}(J)\\ {u}_{z}(J)\\ {u}_{\theta}(J)\\ \cdot \\ \cdot \\ \cdot \end{array}\right\rbrace\)

On note \((P)=({P}_{1},\dots ,{P}_{N})\) où \(N\) est le nombre de nœuds de l’élément.

Alors \({K}_{l}={\int}_{{s}_{l}}{}^{t}\text{}P{}^{t}\text{}{B}_{l}^{'}{\mathrm{DB}}_{l}^{'}P{\text{ds}}_{l}\)

\({K}_{l}\) est symétrique et formée de blocs \({({K}_{l})}^{I,J}3\times 3\) :

\({({K}_{l})}^{I,J}={\int}_{{s}_{l}}{}^{t}\text{}{P}_{I}{}^{t}\text{}{B}_{l}^{'}{\mathrm{DB}}_{l}^{'}{P}_{J}{\text{ds}}_{l}\)

Le calcul des blocs \({({K}_{l})}^{I,J}\) est explicité ci-dessous:

\(\begin{array}{}{\text{tB}}_{l}^{'}{\mathrm{DB}}_{l}^{'}=\left[\begin{array}{ccccccccc}\mathrm{D1}+{1}^{2}\mathrm{D3}& 0& -l(\mathrm{D1}+\mathrm{D3})& \mathrm{D2}& 0& \text{lD}3& 0& \mathrm{D2}& 0\\ 0& {l}^{2}\mathrm{D3}& 0& 0& 0& 0& 0& 0& \text{lD}3\\ -l(\mathrm{D1}+\mathrm{D3})& 0& {l}^{2}\mathrm{D1}+\mathrm{D3}& -\text{lD}2& 0& -\mathrm{D3}& 0& -\text{lD}2& 0\\ \mathrm{D2}& 0& -\text{lD}2& \mathrm{D1}& 0& 0& 0& \mathrm{D2}& 0\\ 0& 0& 0& 0& \mathrm{D3}& 0& \mathrm{D3}& 0& 0\\ \text{lD}3& 0& -\mathrm{D3}& 0& 0& \mathrm{D3}& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& \mathrm{D3}& 0& \mathrm{D3}& 0& 0\\ \mathrm{D2}& 0& -\text{lD}2& \mathrm{D2}& 0& 0& 0& \mathrm{D1}& 0\\ 0& \text{lD}3& 0& 0& 0& 0& 0& 0& \mathrm{D3}\end{array}\right]\\ {}^{t}\text{}{P}_{I}{}^{t}\text{}{B}_{l}^{'}{\mathrm{DB}}_{l}^{'}{P}_{J}=({K}_{ij}^{l})\begin{array}{c}I,J\\ 3\times 3\end{array}=\left[\begin{array}{ccc}{K}_{11}^{I,J}& {K}_{12}^{I,J}& {K}_{13}^{I,J}\\ {K}_{21}^{I,J}& {K}_{22}^{I,J}& {K}_{23}^{I,J}\\ {K}_{31}^{I,J}& {K}_{32}^{I,J}& {K}_{33}^{I,J}\end{array}\right]\text{avec}\\ \lbrace \begin{array}{}{K}_{11}^{I,J}=(\frac{\mathrm{D1}+{l}^{2}\mathrm{D3}}{{r}^{2}}){W}_{I}{W}_{J}+\mathrm{D1}\frac{\partial {W}_{I}}{\partial r}\frac{\partial {W}_{J}}{\partial r}+\mathrm{D3}\frac{\partial {W}_{I}}{\partial z}\frac{\partial {W}_{J}}{\partial z}+\frac{\mathrm{D2}}{r}({W}_{I}\frac{\partial {W}_{J}}{\partial r}+{W}_{J}\frac{\partial {W}_{I}}{\partial r})\\ {K}_{22}^{I,J}=(\frac{{l}^{2}\mathrm{D3}}{{r}^{2}}){W}_{I}{W}_{J}+\mathrm{D3}\frac{\partial {W}_{I}}{\partial r}\frac{\partial {W}_{J}}{\partial r}+\mathrm{D1}\frac{\partial {W}_{I}}{\partial z}\frac{\partial {W}_{J}}{\partial z}\\ {K}_{33}^{I,J}=(\frac{{l}^{2}\mathrm{D1}+\mathrm{D3}}{{r}^{2}}){W}_{I}{W}_{J}+\mathrm{D3}(\frac{\partial {W}_{I}}{\partial r}\frac{\partial {W}_{J}}{\partial r}+\frac{\partial {W}_{I}}{\partial z}\frac{\partial {W}_{J}}{\partial z})-\frac{\mathrm{D3}}{r}({W}_{I}\frac{\partial {W}_{J}}{\partial r}+\frac{\partial {W}_{I}}{\partial r}{W}_{J})\\ {K}_{12}^{I,J}=\mathrm{D2}\frac{\partial {W}_{I}}{\partial r}\frac{\partial {W}_{J}}{\partial z}+\mathrm{D3}\frac{\partial {W}_{I}}{\partial z}\frac{\partial {W}_{J}}{\partial r}+\frac{\mathrm{D2}}{r}{W}_{I}\frac{\partial {W}_{J}}{\partial z}\\ {K}_{21}^{I,J}=\mathrm{D3}\frac{\partial {W}_{I}}{\partial r}\frac{\partial {W}_{J}}{\partial z}+\mathrm{D2}\frac{\partial {W}_{I}}{\partial z}\frac{\partial {W}_{J}}{\partial r}+\frac{\mathrm{D2}}{r}{W}_{J}\frac{\partial {W}_{I}}{\partial z}\\ {K}_{13}^{I,J}=-\frac{l}{{r}^{2}}(\mathrm{D1}+\mathrm{D3}){W}_{I}{W}_{J}-\frac{l}{r}{\mathrm{D2W}}_{J}\frac{\partial {W}_{I}}{\partial r}+\frac{l}{r}{\mathrm{D3W}}_{I}\frac{\partial {W}_{J}}{\partial r}\\ {K}_{31}^{I,J}=-\frac{l}{{r}^{2}}(\mathrm{D1}+\mathrm{D3}){W}_{I}{W}_{J}-\frac{l}{r}{\mathrm{D2W}}_{I}\frac{\partial {W}_{J}}{\partial r}+\frac{l}{r}{\mathrm{D3W}}_{J}\frac{\partial {W}_{I}}{\partial r}\\ {K}_{23}^{I,J}=-\frac{l}{r}\mathrm{D2}\frac{\partial {W}_{I}}{\partial z}{W}_{J}+\frac{l}{r}{\mathrm{D3W}}_{I}\frac{\partial {W}_{J}}{\partial z}\\ {K}_{32}^{I,J}=-\frac{l}{r}{\mathrm{D2W}}_{I}\frac{\partial {W}_{J}}{\partial z}+\frac{l}{r}\mathrm{D3}\frac{\partial {W}_{I}}{\partial z}{W}_{J}\end{array}\end{array}\)

Les blocs \({K}^{I,J}\) ne sont pas symétriques sauf pour \(I=J\) (sur la diagonale de \(K\) ). On remarque en fait que les blocs \({K}^{I,J}\) peuvent s’écrire pour tout harmonique (\(l=0\) compris).

\(\lbrace \begin{array}{}{K}_{11}^{I,J}={\mathrm{K0}}_{11}^{I,J}+{l}^{2}\frac{\mathrm{D3}}{{r}^{2}}{W}_{I}{W}_{J}\\ {K}_{22}^{I,J}={\mathrm{K0}}_{22}^{I,J}+{l}^{2}\frac{\mathrm{D3}}{{r}^{2}}{W}_{I}{W}_{J}\\ {K}_{33}^{I,J}={\mathrm{K0}}_{33}^{I,J}+{l}^{2}\frac{\mathrm{D1}}{{r}^{2}}{W}_{I}{W}_{J}\\ {K}_{12}^{I,J}={\mathrm{K0}}_{12}^{I,J}\\ {K}_{21}^{I,J}={\mathrm{K0}}_{21}^{I,J}\\ {K}_{13}^{I,J}=-{\mathrm{lK0}}_{13}^{I,J}\\ {K}_{31}^{I,J}=-{\mathrm{lK0}}_{31}^{I,J}\\ {K}_{23}^{I,J}=-{\mathrm{lK0}}_{23}^{I,J}\\ {K}_{32}^{I,J}=-{\mathrm{lK0}}_{32}^{I,J}\end{array}\)

où les blocs \({\mathrm{K0}}^{I,J}\) sont indépendants de l’harmonique \(l\) .

Chargements

On suppose que le chargement a été décomposé suivant la même base que les déplacements, soit:

\(\mathrm{f}=\sum_{l=0}^{\infty}\left[(\begin{array}{ccc}\cosl\theta & & 0\\ & \cosl\theta & \\ 0& & -\sinl\theta \end{array}){\mathrm{F}}_{l}^{s}+(\begin{array}{ccc}\sinl\theta & & 0\\ & \sinl\theta & \\ 0& & \cosl\theta \end{array}){\mathrm{F}}_{l}^{a}\right]\)

Il n’y a pas couplage pour une même harmonique entre les parties symétrique et antisymétrique du chargement du fait de l’orthogonalité des fonctions trigonométriques \(\sinl\theta\) et \(\cosl\theta\) , ceci pour tous les types de chargement. Ceci veut dire en particulier que les forces nodales équivalentes sont les mêmes pour les harmoniques symétrique et antisymétrique si les amplitudes \({F}_{l}^{s}\text{et}{F}_{l}^{a}\) sont les mêmes.

Pour la nature des chargements admissibles avec la modélisation Fourier, on renvoie à la notice d’utilisation [U2.01.07].

Conclusion et Perspectives

Actuellement, on suppose que la décomposition du chargement a été faite au préalable par l’utilisateur, c’est-à-dire que \({\left\lbrace {F}_{l}^{s},{F}_{l}^{a}\right\rbrace }_{l\ge 0}\) est connu. Cette décomposition pourrait être réalisée par un opérateur de Code_Aster qui projetterait le chargement sur les modes de Fourier.

Pour l’instant, seul le cas non anisotrope est implanté, c’est-à-dire qu’il n’y a jamais couplage des modes. L’extension à l’anisotropie peut constituer un développement ultérieur.

Bibliographie

1. DUVAUT G.: « Mécanique des milieux continus » p282

2. ASKA HS.: « Structures axisymétriques en séries de Fourier », mai 1982, ISD

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5	X.Desroches EDF-R&D/AMA	Texte initial