v6.04.180 SSNV180 - Prise en compte de la dilatation thermique et du fluage de dessiccation dans les modèles BETON_UMLV et BETON_BURGER#

Résumé:

Ce test permet de valider la prise en compte de la dilatation thermique et du fluage de dessiccation dans les lois de comportement BETON_UMLV et BETON_BURGER. Les résultats de ce test sont comparés avec une solution numérique obtenue avec Scilab 2.7.2. dans le cas d’une modélisation 3D (BETON_UMLV) et une solution numérique obtenue avec python pour BETON_BURGER (SSNV180B.44).

Modélisation A : Essai de fluage avec dilatation thermique pour le modèle BETON_UMLV

Modélisation B : Essai de fluage avec dilatation thermique pour le modèle BETON_BURGER

Solution de référence#

Méthode de calcul#

On n’a pas développé la solution analytique pour ce chargement hydro-mécanique. Aussi, la solution de référence est obtenue numériquement en utilisant le logiciel Scilab 2.7.2 pour BETON_UMLV ou python pour BETON_BURGER. Chaque composante de déformation est calculée séparément.

Les déformations de retrait endogène sont déterminées à partir de la relation \(e_{re} = k_{re} \beta\) où \(\beta\) désigne le degré d’hydratation du matériau.
Les déformations de retrait de dessiccation sont déterminées à partir de la relation \(e_{rd} = k_{rd} C\) où désigne la teneur en eau du matériau.
Les déformations de dilatation thermique sont déterminées à partir de la relation \(e_{th} = \alpha (T-T_{ref})\) où \(T\) et \(T_{ref}\) désignent respectivement la température à l’instant courant et la température de référence du matériau
Les déformations de fluage propre sont calculées numériquement en utilisant une discrétisation identique à celle implantée pour BETON_UMLV et une implantation suivant un schéma explicite pour BETON_BURGER. La discrétisation temporelle est alors nécessairement plus fine pour le schéma explicite.
Les déformations de fluage de dessiccation sont calculées analytiquement.

La loi BETON_UMLV utilise toujours l’ancienne relation:

\[\dot{e_{th}} = \frac{|\dot{h}|\sigma}{\eta_{fd}}\]

où \(h=f(C)\) désigne l’humidité du matériau.

La loi BETON_BURGER utilise la relation suivante :

\[\dot{e}_{th} = \frac{<\dot{h}>\sigma}{\eta_{fd}}\]

où

\[\begin{split} <\dot{h}> = \left \{ \begin{array}{r c l} \dot{h} & & \text{si} & \dot{h}<0 & \text{et} & h(t)<\min_{\tau \in [0,t]} h(\tau)\\ 0 & & \text{sinon} \\ \end{array} \right .\end{split}\]

Les résultats du calcul avec Scilab sont présentés dans la figure ci-dessous.

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Grandeurs et résultats de référence#

L’essai est homogène. On teste la déformation en un nœud quelconque.

Incertitudes sur la solution#

Résultat numérique obtenu avec Scilab 2.7.2 ou python (SSNV180B.44)

Références bibliographiques#

LE PAPE Y.: Relation de comportement UMLV pour le fluage propre du béton, Documentation de Référence de Code_Aster , [R7.01.06] 16 p (2002).
FOUCAULT A.: Relation de comportement BETON_BURGER pour le fluage propre du béton , Documentation de Référence de Code-Aster, [R7.01.35], 2011.

Modélisation A#

Caractéristiques de la modélisation#

Modélisation 3D

Caractéristiques du maillage#

Nombre de nœuds:	8
Nombre de mailles:	1 de type HEXA 8
	6 de type QUAD 4

On définit les mailles suivantes:

S_ARR	\(\mathrm{NO3}\mathrm{NO7}\mathrm{NO8}\mathrm{NO4}\)
S_AVT	\(\mathrm{NO1}\mathrm{NO2}\mathrm{NO6}\mathrm{NO5}\)
S_DRT	\(\mathrm{NO1}\mathrm{NO5}\mathrm{NO8}\mathrm{NO4}\)
S_GCH	\(\mathrm{NO3}\mathrm{NO2}\mathrm{NO6}\mathrm{NO7}\)
S_INF	\(\mathrm{NO1}\mathrm{NO2}\mathrm{NO3}\mathrm{NO4}\)
S_SUP	\(\mathrm{NO5}\mathrm{NO6}\mathrm{NO7}\mathrm{NO8}\)

Les conditions aux limites en déplacement imposées sont:

Sur les nœuds \(\mathrm{NO1}\) , \(\mathrm{NO2}\) , \(\mathrm{NO3}\) et \(\mathrm{NO4}\) : \(\mathrm{DZ}=0\)

Sur les nœuds \(\mathrm{NO3}\) , \(\mathrm{NO7}\) , \(\mathrm{NO8}\) et \(\mathrm{NO4}\) : \(\mathrm{DY}=0\)

Sur les nœuds \(\mathrm{NO2}\) , \(\mathrm{NO6}\) , \(\mathrm{NO7}\) et \(\mathrm{NO8}\) : \(\mathrm{DX}=0\)

Le chargement est constitué du même champ de séchage et de la même force nodale, \(1/4\) appliquée sur les quatre nœuds de S_SUP.

Grandeurs testées et résultats#

Identification	Type de référence	Valeur de référence	Tolérance
\({\varepsilon}_{xx}\) au nœud \(\mathrm{NO6}\) à l’instant 64800	“SOURCE_”	-4.081E-04	0.50%
\({\varepsilon}_{xx}\) au nœud \(\mathrm{NO6}\) à l’instant 648000	“ANALYTIQUE”	-5.25E-04	0.50%
\({\varepsilon}_{xx}\) au nœud \(\mathrm{NO6}\) à l’instant 6480000	“ANALYTIQUE”	-9.065E-04	0.50%
\({\varepsilon}_{xx}\) au nœud \(\mathit{NO}6\) à l’instant 64800000	“ANALYTIQUE”	-2.299E-03	0.50%
EPFP_ELNO/EPZZ Au nœud \(\mathrm{NO6}\) à l’instant 64800000	“ANALYTIQUE”	-4.198E-04	0.50%
EPFD_ELNO/EPZZ Au nœud \(\mathrm{NO6}\) à l’instant 64800000	“ANALYTIQUE”	-1.132E-3	0.50%
EPVC_ELNO/EPTHER_L Au nœud \(\mathit{NO}1\) à l’instant 64800000	“NON_DEFINI”	2.0E-4	0.50%
EPVD_ELNO/EPTHER_L Au nœud \(\mathit{NO}1\) à l’instant 64800000	“NON_DEFINI”	-1.13208E-3	0.50%
EPVC_ELNO/EPTHER_L Au nœud \(\mathit{NO}1\) à l’instant 64800000	“NON_DEFINI”	-4.1839E-4	0.50%

On teste les déformations dues au fluage de dessiccation ainsi que les déformations liées aux variables de commandes au premier point de Gauss de la maille \({M}_{1}\) :

Identification	Type de référence	Valeur de référence	Tolérance
EPTHER_L à l’instant 49	“NON_REGRESSION”	8.3E-6	0.10%
EPTHER_T à l’instant 49	“NON_REGRESSION”	8.3E-6	0.10%
EPTHER_T à l’instant 49	“NON_REGRESSION”	8.3E-6	0.10%
EPSECH à l’instant 49	“NON_REGRESSION”	-2.075E-5	0.10%
EPHYDR à l’instant 49	“NON_REGRESSION”	-6.0E-5	0.10%
EPXX à l’instant 49	“NON_REGRESSION”		0.10%
EPYY à l’instant 49	“NON_REGRESSION”		0.10%
EPZZ à l’instant 49	“NON_REGRESSION”	-4.69811E-5	0.10%

Modélisation B#

Caractéristiques de la modélisation#

Modélisation 3D

Caractéristiques du maillage#

Nombre de nœuds:	8
Nombre de mailles:	1 de type HEXA 8
	6 de type QUAD 4

On définit les mailles suivantes:

S_ARR	\(\mathrm{NO3}\mathrm{NO7}\mathrm{NO8}\mathrm{NO4}\)
S_AVT	\(\mathrm{NO1}\mathrm{NO2}\mathrm{NO6}\mathrm{NO5}\)
S_DRT	\(\mathrm{NO1}\mathrm{NO5}\mathrm{NO8}\mathrm{NO4}\)
S_GCH	\(\mathrm{NO3}\mathrm{NO2}\mathrm{NO6}\mathrm{NO7}\)
S_INF	\(\mathrm{NO1}\mathrm{NO2}\mathrm{NO3}\mathrm{NO4}\)
S_SUP	\(\mathrm{NO5}\mathrm{NO6}\mathrm{NO7}\mathrm{NO8}\)

Les conditions aux limites en déplacement imposées sont:

Sur les nœuds \(\mathrm{NO1}\) , \(\mathrm{NO2}\) , \(\mathrm{NO3}\) et \(\mathrm{NO4}\) : \(\mathrm{DZ}=0\)

Sur les nœuds \(\mathrm{NO3}\) , \(\mathrm{NO7}\) , \(\mathrm{NO8}\) et \(\mathrm{NO4}\) : \(\mathrm{DY}=0\)

Sur les nœuds \(\mathrm{NO2}\) , \(\mathrm{NO6}\) , \(\mathrm{NO7}\) et \(\mathrm{NO8}\) : \(\mathrm{DX}=0\)

Le chargement est constitué du même champ de séchage et de la même force nodale, \(1/4\) appliquée sur les quatre nœuds de S_SUP.

Grandeurs testées et résultats#

Identification	Type de référence	Valeur de référence	Tolérance
\({\varepsilon}_{zz}\) au nœud \(\mathrm{NO6}\) à l’instant 64800	“SOURCE_EXTERNE”	-4.15E-04	0.30%
\({\epsilon}_{zz}\) au nœud \(\mathrm{NO6}\) à l’instant 648000	“SOURCE_EXTERNE”	-5.82E-04	0.30%
\({\epsilon}_{zz}\) au nœud \(\mathrm{NO6}\) à l’instant 6480000	“SOURCE_EXTERNE”	-1.36E-03	0.20%
\({\varepsilon}_{zz}\) au nœud \(\mathrm{NO6}\) à l’instant 64800000	“SOURCE_EXTERNE”	-4.38E-03	0.20%
EPVC_ELNO/EPTHER_L Au nœud \(\mathit{NO}6\) à l’instant 64800000	“ANALYTIQUE”	2.0E-4	1E-6
EPVC_ELNO/EPTHER_N Au nœud \(\mathit{NO}6\) à l’instant 64800000	“ANALYTIQUE”	2.0E-4	1E-6
EPVC_ELNO/EPTHER_T Au nœud \(\mathit{NO}6\) à l’instant 64800000	“ANALYTIQUE”	2.0E-4	1E-6
EPVC_ELNO/EPSECH Au nœud \(\mathit{NO}6\) à l’instant 64800000	“ANALYTIQUE”	-5.0E-4	1E-6
EPVC_ELNO/EPHYDR Au nœud \(\mathit{NO}6\) à l’instant 64800000	“ANALYTIQUE”	-6.0E-5	1E-6
EPFP_ELNO/EPZZ Au nœud \(\mathit{NO}6\) à l’instant 64800000	“SOURCE_EXTERNE”	2.5E-3	2%
EPFD_ELNO/EPZZ Au nœud \(\mathit{NO}6\) à l’instant 64800000	“SOURCE_EXTERNE”	-1.132E-3	1E-3
EPVC_NOEU/EPTHER_L Au nœud \(\mathit{NO}1\) à l’instant 64800000	“ANALYTIQUE”	2.0E-4	1E-6
EPFD_NOEU/EPTHER_L Au nœud \(\mathit{NO}1\) à l’instant 64800000	“ANALYTIQUE”	-1.132E-3	1E-6
EPFP_NOEU/EPZZ Au nœud \(\mathit{NO}1\) à l’instant 64800000	“ANALYTIQUE”	-2.5024E-3	2%

On teste les déformations dues au fluage de dessiccation ainsi que les déformations liées aux variables de commandes au premier point de Gauss de la maille \({M}_{1}\) pour le numéro d’ordre 49 du concept résultat:

Identification	Type de référence	Valeur de référence	Tolérance
EPTHER_L	“ANALYTIQUE”	8.3E-6	0.0001%
EPTHER_T	“ANALYTIQUE”	8.3E-6	0.0001%
EPTHER_T	“ANALYTIQUE”	8.3E-6	0.0001%
EPSECH	“ANALYTIQUE”	-2.075E-5	0.0001%
EPHYDR	“ANALYTIQUE”	-6.0E-5	0.0001%
EPXX (Fluage de dessiccation)	“ANALYTIQUE”		0.0001%
EPYY (Fluage de dessiccation)	“ANALYTIQUE”		0.0001%
EPZZ (Fluage de dessiccation)	“ANALYTIQUE”	-4.69811E-5	0.10%

On teste enfin les déformations dues au fluage de dessiccation à 1500 jours:

Identification	Type de référence	Valeur de référence	Tolérance
EPFD_ELNO/EPZZ Au nœud \(\mathit{NO}6\) à l’instant 129600000	“SOURCE_EXTERNE”	-1.132E-3	1E-3

Synthèse des résultats#

Les valeurs obtenues sont en accord avec les valeurs des solution numériques de référence. Les erreurs de l’ordre de 2% sont dues au fait que la loi BETON_BURGER travaille désormais avec une humidité relative calculée en fin de pas de temps alors que les valeurs de références ont été obtenues avec une humidité relative calculée en début de pas de temps.