v2.02.153 SDLL153 - Modes propres d’un tuyau élastique mince sous différentes conditions aux limites#

Résumé:

Ce test représente un calcul des modes propres d’un tuyau cylindrique mince élastique sous différentes conditions aux limites.

Il permet de valider la modélisation éléments finis :

  • COQUE_3D avec les mailles TRIA7 et QUAD9.

  • DKT avec les mailles TRIA3 et QUAD4.

Les modes propres obtenus sont comparés à une solution de référence numérique.

Solution de référence#

Méthode de calcul et résultats de référence#

Pour les vibrations libres d’un tuyau cylindrique mince, la solution de référence retenue est celle obtenue en [bib1] par Haar wavelet discretization method (HWDM). La théorie des coques de Goldenveizer-Novozhilov est adaptée pour formuler ce problème. Théoriquement la solution se compose de termes infinis en séries de Haar wavelet. Cependant, des termes finis sont pratiquement considérés dans le calcul actuel et la convergence des résultats est montré en [bib7] avec J=7 (niveau maximal de résolution).

Pour le cas décrit dans le paragraphe précédent., les fréquences de référence pour des modes propres sont données en [bib1] via un paramètre de fréquence, \(\lambda ` , comme suivants(:math:`m\) et \(n\) sont les nombres d’ondes dans les directions axiale et circonférentielle, résultats numériques sont notés dans les colonnes HWDM) :

../../../../_images/1000020100000200000001247D449B30DC795E9D.png ../../../../_images/1000020100000204000000FC72C6B12442DD1656.png

Fig. 2. Résultats de référence dans [bib1]

Ce paramètre de fréquence :math:`lambda ` est défini par:

\(\lambda =\omega R\sqrt{\rho (1-{\mu}^{2})/E}\)

où :math:`omega ` est la fréquence propre (unité: rad/s).

Par conséquent, on peut obtenir un tableau de fréquence en Hz (:math:`f=2pi omega ` ) avec la géométrie et les propriétés de matériaux pour notre cas :

Tab. 1. Fréquences des modes propres de référence d’après [bib1]

m=1

FF (Hz)

SF (Hz)

SS (Hz)

CS (Hz)

CC (Hz)

n=1

598,846

415,756

272,118

391,746

559,562

n=2

654,216

657,308

663,543

671,113

687,249

n=3

1850,287

1851,807

1855,440

1856,454

1858,296

n=4

3547,660

3549,113

3552,948

3553,286

3553,911

n=5

5737,228

5738,698

5742,737

5742,872

5743,210

n=6

8416,323

8417,793

8421,966

8422,000

8422,237

Pour compléter les solutions analytiques de ce problème, on cite [bib2] qui compare une dizaine de théories de coque. Il met également en évidence les formes des modes propres en fonction des valeurs \(m\) et \(n\) (Fig. 3). Pour le cas de la condition limite SS, on trouve une cohérence des résultats (\(\lambda ` ) lors de :math:`n\) =1,2,3 et \(m\) =1 (marqué en tache noire sur la courbe 2 dans Fig. 4, \(l/\mathit{mR}\) =20 correspondant à notre cas).

../../../../_images/10000201000001C90000030F73338ACC4E9B460E.png

Fig. 3. Schéma des modes propres en fonction de \(m\) et \(n\) dans [bib2]

../../../../_images/100002010000029B000003A942EFF0897502F924.png

Fig. 4. Comparaison de l’évolution \(\lambda ` de en fonction de :math:`l/\mathit{mR}\) entre différentes théories des coques pour le cas SS dans [bib2]: courbe 2 pour la théorie de Goldenveizer-Novozhilov

Références bibliographiques#

    1. XIE, G. JIN, Z. LIU: Free vibration analysis of cylindrical shells using the haar wavelet method, International Journal of Mechanical Sciences 77 (2013)47-56.

    1. LEISSA: Vibration of shells. Ohio State University, 1973.

Modélisation A#

Caractéristiques de la modélisation#

Modélisation DKT (QUAD4)

Caractéristiques du maillage#

Nombre de nœuds: 3030

Nombre de mailles et types : 3000 QUAD4

(Le cercle est coupé en 30 segments)

Grandeurs testées et résultats#

Tab. 2. Résultats de la modélisation A

m=1

FF

SF

SS

Aster

Ref

% diff

Aster

Ref

% diff

Aster

Ref

% diff

n=2

657,335

654,216

0,48

657,938

657,308

0,10

667,023

663,543

0,52

n=3

1858,85

1850,29

0,46

1859,73

1851,81

0,43

1865,40

1855,44

0,54

n=4

3564,70

3547,66

0,48

3565,61

3549,113

0,46

3572,44

3552,95

0,55

n=5

5767,42

5737,23

0,53

5768,30

5738,70

0,52

5775,67

5742,74

0,57

n=6

8466,42

8416,32

0,60

8467,30

8417,79

0,59

8474,04

8421,97

0,62

m=1

SC

CC

Aster

Ref

% diff

Aster

Ref

% diff

n=2

675,59

671,113

0,67

690,073

687,249

0,41

n=3

1866,57

1856,45

0,54

1868,14

1858,30

0,53

n=4

3572,85

3553,29

0,55

3573,32

3553,91

0,55

n=5

5775,87

5742,87

0,57

5776,09

5743,21

0,57

n=6

8474,16

8422,00

0,62

8474,27

8422,24

0,62

Remarques#

On n’a pas trouvé le mode propre pour \(n=1\) et \(m=1\) .

Grâce à la symétrie de la structure du tuyau, on observe que les modes propres de \(n=2-6\) et \(m=1\) apparaissent toujours en couple.

Modélisation B#

Caractéristiques de la modélisation#

Modélisation COQUE_3D (QUAD9)

Caractéristiques du maillage#

Nombre de nœuds: 5400

Nombre de mailles et types : 1340 QUAD9

(Le cercle est coupé en 20 segments)

Grandeurs testées et résultats#

Tab. 3. Résultats de la modélisation B

m=1

FF

SF

SS

Aster

Ref

% diff

Aster

Ref

% diff

Aster

Ref

% diff

n=2

660,729

654,216

1,00

661,256

657,308

0,6

670,323

663,543

1,02

n=3

1865,28

1850,29

0,81

1866,01

1851,81

0,77

1872,62

1855,44

0,93

n=4

3573,33

3547,66

0,72

3573,86

3549,113

0,70

3584,50

3552,95

0,89

n=5

5786,88

5737,23

0,87

5787,12

5738,70

0,84

5804,33

5742,74

1,07

n=6

8562,17

8416,32

1,73

8532,92

8417,79

1,37

8558,68

8421,97

1,62

m=1

SC

CC

Aster

Ref

% diff

Aster

Ref

% diff

n=2

678,72

671,113

1,13

692,930

687,249

0,83

n=3

1873,76

1856,45

0,93

1875,31

1858,30

0,92

n=4

3584,91

3553,29

0,89

3585,38

3553,91

0,89

n=5

5804,53

5742,87

1,07

5804,76

5743,21

1,07

n=6

8558,81

8422,00

1,62

8558,95

8422,24

1,62

Remarques#

On n’a pas trouvé le mode propre pour \(n=1\) et \(m=1\) .

Grâce à la symétrie de la structure du tuyau, on observe que les modes propres de \(n=2-6\) et \(m=1\) apparaissent toujours en couple.

En comparant avec la modélisation A, on observe des résultats moins précis en COQUE_3D (maillage avec 3030 nœuds, 30 points sur le cercle) que ceux en DKT (maillage avec 5400 nœuds, 40 points sur le cercle).

Modélisation C#

Caractéristiques de la modélisation#

Modélisation DKT (TRIA3)

Caractéristiques du maillage#

Nombre de nœuds: 6030

Nombre de mailles et types : 12000 TRIA3

(Le cercle est coupé en 30 segments)

Grandeurs testées et résultats#

Tab. 4. Résultats de la modélisation C

m=1

FF

SF

SS

Aster

Ref

% diff

Aster

Ref

% diff

Aster

Ref

% diff

n=2

656,432

654,216

0,34

657,048

657,308

0,04

666,260

663,543

0,41

n=3

1853,03

1850,29

0,15

1853,95

1851,81

0,12

1860,07

1855,44

0,25

n=4

3544,79

3547,66

0,08

3545,74

3549,113

0,10

3553,92

3552,95

0,03

n=5

5717,42

5737,23

0,35

5718,28

5738,70

0,36

5728,62

5742,74

0,25

n=6

8362,13

8416,32

0,64

8362,94

8417,79

0,65

8374,69

8421,97

0,56

m=1

SC

CC

Aster

Ref

% diff

Aster

Ref

% diff

n=2

674,87

671,113

0,56

689,418

687,249

0, 32

n=3

1861,27

1856,45

0,26

1862,87

1858,30

0,25

n=4

3554,36

3553,29

0,03

3554,85

3553,91

0,03

n=5

5728,83

5742,87

0,24

5729,07

5743,21

0,25

n=6

8374,82

8422,00

0,56

8374,96

8422,24

0,56

Remarques#

On n’a pas trouvé le mode propre pour \(n=1\) et \(m=1\) .

Grâce à la symétrie de la structure du tuyau, on observe que les modes propres de \(n=2-6\) et \(m=1\) apparaissent toujours en couple.

Attention : lors de l’utilisation des maillages en triangles, les résultats sont très sensibles à la qualité de maillage. Par exemple, lors de l’utilisation du maillage dans la Fig. 5(b), on observe toujours une torsion dans les modes propres et également une différence de fréquence entre les couples des modes symétries.

Bien que cette erreur diminue avec un maillage plus fin, on recommande des maillages avec des éléments bien répartis dans la structure, comme dans Fig. 5(a).

../../../../_images/10000201000004300000023826E366EA3CB9AB6D.png ../../../../_images/100002010000043E000002361B89A174B1AC67FA.png

Fig. 5. Exemples des maillages en triangle

Modélisation D#

Caractéristiques de la modélisation#

Modélisation COQUE_3D (TRIA7)

Caractéristiques du maillage#

Nombre de nœuds: 16120

Nombre de mailles et types : 5360 TRIA7

(Le cercle est coupé en 20 segments)

Grandeurs testées et résultats#

Tab. 5. Résultats de la modélisation D

m=1

FF

SF

SS

Aster

Ref

% diff

Aster

Ref

% diff

Aster

Ref

% diff

n=2

663,440

654,216

1,41

663,950

657,308

1,01

672,797

663,543

1,39

n=3

1881,30

1850,29

1,68

1882,05

1851,81

1,63

1888,12

1855,44

1,76

n=4

3621,85

3547,66

2,09

3622,55

3549,113

2,07

3631,32

3552,95

2,21

n=5

5889,97

5737,23

2,66

5890,50

5738,70

2,65

5902,73

5742,74

2,79

n=6

8701,24

8416,32

3,39

8701,61

8417,79

3,37

8717,54

8421,97

3,51

m=1

SC

CC

Aster

Ref

% diff

Aster

Ref

% diff

n=2

681,14

671,113

1,49

695,289

687,249

1,17

n=3

1889,25

1856,45

1,77

1890,77

1858,30

1,75

n=4

3631,73

3553,29

2,21

3632,19

3553,91

2,20

n=5

5902,93

5742,87

2,79

5903,15

5743,21

2,78

n=6

8717,66

8422,00

3,51

8717,79

8422,24

3,51

Remarques#

On n’a pas trouvé le mode propre pour \(n=1\) et \(m=1\) .

Grâce à la symétrie de la structure du tuyau, on observe que les modes propres de \(n=2-6\) et \(m=1\) apparaissent toujours en couple.

On observe le même comportement dans la modélisation B. Les résultats en COQUE_3D sont moins précis que ceux en DKT bien qu’il y a plus de points dans le maillage.

On constate la même sensibilité des résultats à la qualité du maillage avec des triangles.

Synthèse des résultats#

En comparant les simulations entre COQUE_3D et DKT, on constate que DKT donne des résultats plus précis que COQUE_3D.

Que ce soit avec COQUE_3D ou DKT, on observe dans ce cas test que les résultats sont très sensibles à la qualité du maillage en triangle (TRIA3/7)

Remarque:

On ne trouve toujours pas le premier mode (\(n\) =1 et \(m\) =1) quelles que soient les conditions aux limites.