v4.22.002 TTNL02 - Transitoire thermique avec changement de phase#
Résumé:
Ce test élémentaire permet de traiter un problème unidirectionnel en thermique transitoire non-linéaire et de vérifier la prise en compte d’un changement de phase liquide/solide par Code_Aster en introduisant par l’intermédiaire de l’enthalpie volumique la chaleur latente de fusion. La solution est analytique et fait intervenir les fonctions d’erreur \(\mathrm{erf}\) et \(\mathrm{erfc}\) . Le problème est traité dans les cas plan et volumique.
Pour les modélisations présentées ici, les écarts des résultats obtenus par Code_Aster se situent entre 1 et 4% de la référence calculée analytiquement.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
On dispose d’une solution semi-analytique faisant intervenir les fonctions d’erreurs :
\(\mathit{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}{\int}_{0}^{x}{e}^{-{t}^{2}}\mathit{dt}\) et \(\mathrm{erfc}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}{\int}_{x}^{+\infty }{e}^{-{t}^{2}}\mathrm{dt}\)
Cette solution est valide pour un milieu semi-infini, elle ne pourra donc être utilisée que dans un domaine de variation limité de la variable de temps.
Soit
la position de l’interface solide/liquide. Soient \({s}_{t}=\frac{L}{\sqrt{{t}_{\mathrm{total}}}}\) et \(\lambda =\frac{{s}_{t}}{2\sqrt{{d}_{s}}}\) où \({d}_{s}\) et \({d}_{l}\) désignent la diffusivité des milieux solide et liquide \(({d}_{s}=\frac{{k}_{s}}{{c}_{s}},{d}_{l}=\frac{{k}_{l}}{{c}_{l}})\) . La solution de l’équation de la chaleur est de la forme :
\({T}_{s}(x,t)={T}_{0}+\frac{{T}_{m}-{T}_{0}}{\mathrm{erf}(\lambda )}\mathrm{erf}(\frac{x}{2\sqrt{{d}_{s}t}})\) si \(x\le {x}_{t}\)
\({T}_{l}(x,t)={T}_{i}+\frac{{T}_{m}-{T}_{i}}{\mathrm{erfc}(\lambda \sqrt{\frac{{d}_{s}}{{d}_{l}}})}\mathrm{erfc}(\frac{x}{2\sqrt{{d}_{l}t}})\) si \(x\ge {x}_{t}\)
La donnée de \({t}_{\mathrm{total}}\) suffit à définir la solution, on fixe donc \({t}_{\mathrm{total}}=420.\)
Résultats de référence#
TEMPS : Abscisse |
0.5 |
1.0 |
1.5 |
2.0 |
2.5 |
3.0 |
.000 |
||||||
.005 |
682.43 |
661.33 |
647.50 |
638.74 |
632.69 |
628.20 |
.010 |
726.05 |
705.75 |
692.06 |
682.43 |
675.24 |
669.63 |
.015 |
738.11 |
728.70 |
718.44 |
709.60 |
702.23 |
696.06 |
.020 |
739.86 |
737.22 |
731.99 |
726.05 |
720.27 |
714.94 |
.025 |
739.50 |
737.56 |
734.47 |
730.81 |
727.00 |
|
.030 |
739.93 |
739.39 |
738.11 |
736.20 |
733.88 |
|
.035 |
739.99 |
739.88 |
739.45 |
738.61 |
737.40 |
|
.040 |
739.98 |
739.86 |
739.55 |
739.00 |
||
.045 |
739.97 |
739.87 |
739.65 |
|||
.050 |
739.97 |
739.89 |
||||
.055 |
739.97 |
|||||
.060 |
||||||
.065 |
||||||
.070 |
||||||
.075 |
||||||
.080 |
||||||
.085 |
||||||
.090 |
||||||
.095 |
||||||
.100 |
TEMPS : Abscisse |
3.5 |
4.0 |
4.5 |
5.0 |
5.5 |
6.0 |
.000 |
||||||
.005 |
624.68 |
621.84 |
619.48 |
617.48 |
615.25 |
614.25 |
.010 |
665.09 |
661.33 |
657.43 |
653.65 |
650.37 |
647.49 |
.015 |
690.83 |
686.33 |
682.43 |
678.99 |
675.95 |
673.22 |
.020 |
710.11 |
705.75 |
701.81 |
698.25 |
709.92 |
692.06 |
.025 |
723.23 |
719.60 |
716.17 |
712.95 |
720.89 |
707.09 |
.030 |
731.34 |
728.70 |
726.05 |
723.43 |
728.48 |
718.44 |
.035 |
735.89 |
734.18 |
732.34 |
730.43 |
733.42 |
726.53 |
.040 |
738.21 |
737.22 |
736.07 |
734.79 |
736.44 |
731.99 |
.045 |
739.29 |
738.77 |
738.11 |
737.33 |
738.18 |
735.47 |
.050 |
739.74 |
739.50 |
739.15 |
738.71 |
739.12 |
737.56 |
.055 |
739.91 |
739.81 |
739.65 |
739.42 |
739.60 |
738.75 |
.060 |
739.97 |
739.93 |
739.86 |
739.75 |
739.83 |
739.39 |
.065 |
739.99 |
739.98 |
739.95 |
739.90 |
739.93 |
739.72 |
.070 |
739.99 |
739.98 |
739.96 |
739.97 |
739.88 |
|
.075 |
739.99 |
739.99 |
739.95 |
|||
.080 |
739.98 |
|||||
.085 |
739.99 |
|||||
.090 |
||||||
.095 |
||||||
.100 |
(En \(°C\) , en fonction de l’abscisse en mètre et du temps en secondes).
Remarque :
On se limite aux variations pendant les 6 premières secondes, au-delà de 10 secondes la condition au limite à l’extrémité \(x=1\) n’est plus assurée.
Incertitude sur la solution#
Inconnue, due à l’évaluation des fonctions d’erreur.
Références bibliographiques#
Necati Özisik - Heat Conduction - Chapter 10 : Phase-change problems example 10-3 - John Wiley & Sons.
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Modélisation 2D :
Caractéristiques du maillage#
20 QUAD8
Remarque#
La chaleur latente de fusion est fournie par l’intermédiaire de l’enthalpie sur un intervalle de \(0.01°C\) .
Valeurs testées#
Les nœuds observés ont pour coordonnée \(y=0.0\)
Identification température |
Référence |
t = 0.5 s N6 (x = 0.005) |
682.43 |
t = 1.0 s N6 (x = 0.005) |
661.33 |
t = 3.0 s N6 (x = 0.005) |
628.20 |
t = 6.0 s N6 (x = 0.005) |
614.25 |
t = 0.5 s N11 (x = 0.010) |
726.05 |
t = 1.0 s N11 (x = 0.010) |
705.75 |
t = 3.0 s N11 (x = 0.010) |
669.63 |
t = 6.0 s N11 (x = 0.010) |
647.49 |
t = 0.5 s N16 (x = 0.015) |
738.11 |
t = 1.0 s N16 (x = 0.015) |
728.70 |
t = 3.0 s N16 (x = 0.015) |
696.06 |
t = 6.0 s N16 (x = 0.015) |
673.22 |
t = 0.5 s N21 (x = 0.020) |
739.86 |
t = 1.0 s N21 (x = 0.020) |
737.22 |
t = 3.0 s N21 (x = 0.020) |
714.94 |
t = 6.0 s N21 (x = 0.020) |
692.06 |
Le calcul par éléments finis nécessite une discrétisation en temps de \(\Delta t=5.{10}^{-4}s\) au moins pour les premiers pas. La condition au limite imposée à l’origine faisant passer brusquement la température de \(740.°C\) à \(580.°C\) . On observe au niveau des premiers pas de temps quelques oscillations qui se stabilisent ensuite assez rapidement, malgré tout la température maximum est dépassée, il n’y a pas respect du maximum discret. Ce phénomène est observé lors des chocs thermiques, seul un traitement numérique particulier au niveau de la matrice de masse peut remédier à ce dernier.
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
Modélisation 3D :
Caractéristiques du maillage#
20 HEXA20
Valeurs testées#
Les nœuds observés ont pour coordonnées : \(x=y=0.005\)
Identification Température |
Référence |
t = 0.5 s No324 (z = 0.005) |
682.43 |
t = 1.0 s No324 (z = 0.005) |
661.33 |
t = 3.0 s No324 (z = 0.005) |
628.20 |
t = 6.0 s No324 (z = 0.005) |
614.25 |
t = 0.5 s No312 (z = 0.010) |
726.05 |
t = 1.0 s No312 (z = 0.010) |
705.75 |
t = 3.0 s No312 (z = 0.010) |
669.63 |
t = 6.0 s No312 (z = 0.010) |
647.49 |
t = 0.5 s No300 (z = 0.015) |
738.11 |
t = 1.0 s No300 (z = 0.015) |
728.70 |
t = 3.0 s No300 (z = 0.015) |
696.06 |
t = 6.0 s No300 (z = 0.015) |
673.22 |
t = 0.5 s No277 (z = 0.020) |
739.86 |
t = 1.0 s No277 (z = 0.020) |
737.22 |
t = 3.0 s No277 (z = 0.020) |
714.94 |
t = 6.0 s No277 (z = 0.020) |
692.06 |
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation#
Modélisation PLAN_DIAG :
Caractéristiques du maillage#
20 QUAD8
Remarque#
La chaleur latente de fusion est fournie par l’intermédiaire de l’enthalpie sur un intervalle de \(0.01°C\) .
La matrice de masse est diagonalisée pour limiter les oscillations
Valeurs testées#
Les nœuds observés ont pour coordonnée \(y=0.0\)
Identification température |
Référence |
t = 0.5 s N6 (x = 0.005) |
682.43 |
t = 1.0 s N6 (x = 0.005) |
661.33 |
t = 3.0 s N6 (x = 0.005) |
628.20 |
t = 6.0 s N6 (x = 0.005) |
614.25 |
t = 0.5 s N11 (x = 0.010) |
726.05 |
t = 1.0 s N11 (x = 0.010) |
705.75 |
t = 3.0 s N11 (x = 0.010) |
669.63 |
t = 6.0 s N11 (x = 0.010) |
647.49 |
t = 0.5 s N16 (x = 0.015) |
738.11 |
t = 1.0 s N16 (x = 0.015) |
728.70 |
t = 3.0 s N16 (x = 0.015) |
696.06 |
t = 6.0 s N16 (x = 0.015) |
673.22 |
t = 0.5 s N21 (x = 0.020) |
739.86 |
t = 1.0 s N21 (x = 0.020) |
737.22 |
t = 3.0 s N21 (x = 0.020) |
714.94 |
t = 6.0 s N21 (x = 0.020) |
692.06 |
Le calcul par éléments finis nécessite une discrétisation en temps de \(\Delta t=5.{10}^{-4}s\) au moins pour les premiers pas. La condition au limite imposée à l’origine faisant passer brusquement la température de \(740.°C\) à \(580.°C\) . On observe au niveau des premiers pas de temps quelques oscillations qui se stabilisent ensuite assez rapidement, malgré tout la température maximum est dépassée, il n’y a pas respect du maximum discret. Ce phénomène est observé lors des chocs thermiques, seul un traitement numérique particulier au niveau de la matrice de masse peut remédier à ce dernier.
Modélisation D#
Caractéristiques de la modélisation#
Modélisation D_PLAN_HHO linéaire :
Caractéristiques du maillage#
20 QUAD8
Valeurs testées#
Les nœuds observés ont pour coordonnées : \(x=y=0.005\)
Identification température |
Référence |
t = 0.5 s N6 (x = 0.005) |
682.43 |
t = 1.0 s N6 (x = 0.005) |
661.33 |
t = 3.0 s N6 (x = 0.005) |
628.20 |
t = 6.0 s N6 (x = 0.005) |
614.25 |
t = 0.5 s N11 (x = 0.010) |
726.05 |
t = 1.0 s N11 (x = 0.010) |
705.75 |
t = 3.0 s N11 (x = 0.010) |
669.63 |
t = 6.0 s N11 (x = 0.010) |
647.49 |
t = 0.5 s N16 (x = 0.015) |
738.11 |
t = 1.0 s N16 (x = 0.015) |
728.70 |
t = 3.0 s N16 (x = 0.015) |
696.06 |
t = 6.0 s N16 (x = 0.015) |
673.22 |
t = 0.5 s N21 (x = 0.020) |
739.86 |
t = 1.0 s N21 (x = 0.020) |
737.22 |
t = 3.0 s N21 (x = 0.020) |
714.94 |
t = 6.0 s N21 (x = 0.020) |
692.06 |
Le calcul par éléments finis nécessite une discrétisation en temps de \(\Delta t=5.{10}^{-4}s\) au moins pour les premiers pas. La condition au limite imposée à l’origine faisant passer brusquement la température de \(740.°C\) à \(580.°C\).
Modélisation E#
Caractéristiques de la modélisation#
Modélisation 3D_HHO linéaire :
Caractéristiques du maillage#
20 HEXA20
Valeurs testées#
Les nœuds observés ont pour coordonnées : \(x=y=0.005\)
Identification Température |
Référence |
t = 0.5 s No324 (z = 0.005) |
682.43 |
t = 1.0 s No324 (z = 0.005) |
661.33 |
t = 3.0 s No324 (z = 0.005) |
628.20 |
t = 6.0 s No324 (z = 0.005) |
614.25 |
t = 0.5 s No312 (z = 0.010) |
726.05 |
t = 1.0 s No312 (z = 0.010) |
705.75 |
t = 3.0 s No312 (z = 0.010) |
669.63 |
t = 6.0 s No312 (z = 0.010) |
647.49 |
t = 0.5 s No300 (z = 0.015) |
738.11 |
t = 1.0 s No300 (z = 0.015) |
728.70 |
t = 3.0 s No300 (z = 0.015) |
696.06 |
t = 6.0 s No300 (z = 0.015) |
673.22 |
t = 0.5 s No277 (z = 0.020) |
739.86 |
t = 1.0 s No277 (z = 0.020) |
737.22 |
t = 3.0 s No277 (z = 0.020) |
714.94 |
t = 6.0 s No277 (z = 0.020) |
692.06 |
Modélisation F#
Caractéristiques de la modélisation#
Modélisation 3D_HHO constante :
Caractéristiques du maillage#
20 HEXA20
Valeurs testées#
Les nœuds observés ont pour coordonnées : \(x=y=0.005\)
Identification Température |
Référence |
t = 0.5 s No324 (z = 0.005) |
682.43 |
t = 1.0 s No324 (z = 0.005) |
661.33 |
t = 3.0 s No324 (z = 0.005) |
628.20 |
t = 6.0 s No324 (z = 0.005) |
614.25 |
t = 0.5 s No312 (z = 0.010) |
726.05 |
t = 1.0 s No312 (z = 0.010) |
705.75 |
t = 3.0 s No312 (z = 0.010) |
669.63 |
t = 6.0 s No312 (z = 0.010) |
647.49 |
t = 0.5 s No300 (z = 0.015) |
738.11 |
t = 1.0 s No300 (z = 0.015) |
728.70 |
t = 3.0 s No300 (z = 0.015) |
696.06 |
t = 6.0 s No300 (z = 0.015) |
673.22 |
t = 0.5 s No277 (z = 0.020) |
739.86 |
t = 1.0 s No277 (z = 0.020) |
737.22 |
t = 3.0 s No277 (z = 0.020) |
714.94 |
t = 6.0 s No277 (z = 0.020) |
692.06 |
Modélisation G#
Caractéristiques de la modélisation#
Modélisation D_PLAN_HHO constante :
Caractéristiques du maillage#
20 QUAD8
Valeurs testées#
Les nœuds observés ont pour coordonnées : \(x=y=0.005\)
Identification température |
Référence |
t = 0.5 s N6 (x = 0.005) |
682.43 |
t = 1.0 s N6 (x = 0.005) |
661.33 |
t = 3.0 s N6 (x = 0.005) |
628.20 |
t = 6.0 s N6 (x = 0.005) |
614.25 |
t = 0.5 s N11 (x = 0.010) |
726.05 |
t = 1.0 s N11 (x = 0.010) |
705.75 |
t = 3.0 s N11 (x = 0.010) |
669.63 |
t = 6.0 s N11 (x = 0.010) |
647.49 |
t = 0.5 s N16 (x = 0.015) |
738.11 |
t = 1.0 s N16 (x = 0.015) |
728.70 |
t = 3.0 s N16 (x = 0.015) |
696.06 |
t = 6.0 s N16 (x = 0.015) |
673.22 |
t = 0.5 s N21 (x = 0.020) |
739.86 |
t = 1.0 s N21 (x = 0.020) |
737.22 |
t = 3.0 s N21 (x = 0.020) |
714.94 |
t = 6.0 s N21 (x = 0.020) |
692.06 |
Le calcul par éléments finis nécessite une discrétisation en temps de \(\Delta t=5.{10}^{-4}s\) au moins pour les premiers pas. La condition au limite imposée à l’origine faisant passer brusquement la température de \(740.°C\) à \(580.°C\).
Synthèses des résultats#
L’erreur obtenue par rapport à la solution analytique reste raisonnable pour les points d’observation listés dans les tableaux. Signalons toutefois que le choc thermique imposé au début du transitoire provoque des oscillations (lorsqu’on observe la variation de la température en un point au cours du temps) qui s’amortissent rapidement et qui ont disparues au temps \(t=0.5s\) .