v2.01.110 SDLD110 –Système dynamique raide à 2 degrés de liberté#
Résumé:
Le problème considéré est un système dynamique à 2 degrés de liberté, souvent utilisé dans la littérature pour illustrer la notion de problème raide.
Il s’agit de 3 masses unitaires reliées par des ressorts de rigidité très différentes (plusieurs ordres de grandeur) dont une extrémité est excité par un déplacement sinusoïdale.
Le test rassemble plusieurs modélisations, sur base physique et sur base modale avec différents schémas d’intégration temporelle.
Solution de référence#
Méthode de calcul#
Le problème peut se mettre sous la forme matricielle suivante:
\(\left[\begin{array}{cc}{m}_{2}& 0\\ 0& {m}_{3}\end{array}\right]\left\lbrace \begin{array}{c}{\dot{u}}_{2}\\ {\dot{u}}_{3}\end{array}\right\rbrace +\left[\begin{array}{cc}{k}_{1}{+k}_{2}& -{k}_{2}\\ -{k}_{2}& {k}_{2}\end{array}\right]\left\lbrace \begin{array}{c}{u}_{2}\\ {u}_{3}\end{array}\right\rbrace =\left\lbrace \begin{array}{c}{k}_{1}\sin({\omega}_{p}t)\\ 0\end{array}\right\rbrace\)
Ce problème admet une solution analytique [bib2]:
\(\lbrace \begin{array}{c}{u}_{2}=\sin({\omega}_{p}t)\\ {u}_{3}=\frac{1}{3}\left({\omega}_{p}\sin\left(t\right)-\sin({\omega}_{p}t)\right)\end{array}\)
Incertitude sur la solution#
Aucune (solution analytique).
Référence bibliographique#
«On A Composite Implicit Time Integration Procedure For Nonlinear Dynamics» K. J. BATHE, M. M. I. BAIG, Computers and Structures, 83 (2005) 2513–2524
«An efficient backward Euler time-integration method for nonlinear dynamic analysis of structures» T. LIU, C. ZHAO, Q. LI, L. ZHANG, Computers and Structures 106–107 (2012) 20–28
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Discrétisation des deux poutres par deux mailles SEG2 (1 chacune) et des éléments finis de type 2D_DIS_T.
La résolution est faite en temporel à l’aide de la commande DYNA_VIBRA sur base physique avec le schéma de NEWMARK.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 3
Nombre de mailles et types : 2SEG2
Grandeurs testées et résultats#
On évalue la norme infinie de l’écart entre la solution analytique et la solution calculée au niveau de la masse n°3. On fait cette comparaison pour le déplacement, la vitesse et l’accélération.
Identification |
Valeur de référence |
Type de référence |
Norme infinie écart déplacement masse 3 |
0 |
“ANALYTIQUE” |
Norme infinie écart vitesse masse 3 |
0 |
“ANALYTIQUE” |
Norme infinie écart accélération masse 3 |
0 |
“ANALYTIQUE” |
Modélisation B#
Caractéristiques de la modélisation#
Discrétisation des deux poutres par une maille SEG2 et des éléments finis de type 2D_DIS_T.
La résolution est faite en temporel à l’aide de la commande DYNA_VIBRA sur base modaleavec le schéma de TRBDF2.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 2
Nombre de mailles et types : 1SEG2
Grandeurs testées et résultats#
On évalue la norme infinie de l’écart entre la solution analytique et la solution calculée au niveau de la masse n°3. On fait cette comparaison pour le déplacement, la vitesse et l’accélération.
Identification |
Valeur de référence |
Type de référence |
Norme infinie écart déplacement masse 3 |
0 |
“ANALYTIQUE” |
Norme infinie écart vitesse masse 3 |
0 |
“ANALYTIQUE” |
Norme infinie écart accélération masse 3 |
0 |
“ANALYTIQUE” |
Modélisation C#
Caractéristiques de la modélisation#
Discrétisation des deux poutres par deux mailles SEG2 (1 chacune) et des éléments finis de type 2D_DIS_T.
La résolution est faite à l’aide du schéma HHT complet (SCHEMA='HHT' avec MODI_EQUI='NON') de l’opérateur DYNA_NON_LINE.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 3
Nombre de mailles et types : 2SEG2
Grandeurs testées et résultats#
On évalue la norme infinie de l’écart entre la solution analytique et la solution calculée au niveau de la masse n°3. On fait cette comparaison pour le déplacement, la vitesse et l’accélération.
Identification |
Valeur de référence |
Type de référence |
Norme infinie écart déplacement masse 3 |
0 |
“ANALYTIQUE” |
Norme infinie écart vitesse masse 3 |
0 |
“ANALYTIQUE” |
Norme infinie écart accélération masse 3 |
0 |
“ANALYTIQUE” |
Modélisation D#
Caractéristiques de la modélisation#
Discrétisation des deux poutres par deux mailles SEG2 (1 chacune) et des éléments finis de type 2D_DIS_T.
La résolution est faite à l’aide du schéma HHT sans overshooting (SCHEMA='NOHHT') de l’opérateur DYNA_NON_LINE.
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 3
Nombre de mailles et types : 2SEG2
Grandeurs testées et résultats#
On évalue la norme infinie de l’écart entre la solution analytique et la solution calculée au niveau de la masse n°3. On fait cette comparaison pour le déplacement, la vitesse et l’accélération.
Identification |
Valeur de référence |
Type de référence |
Norme infinie écart déplacement masse 3 |
0 |
“ANALYTIQUE” |
Norme infinie écart vitesse masse 3 |
0 |
“ANALYTIQUE” |
Norme infinie écart accélération masse 3 |
0 |
“ANALYTIQUE” |
Synthèse des résultats#
Les résultats calculés sont conformes à la solution analytique pour les 2 schémas utilisés.
On note une meilleure qualité des résultats obtenus avec le schéma TRBDF2 du fait de ses meilleures propriétés de stabilité.