v2.01.101 SDLD101 - Oscillateur simple sous excitation aléatoire#
Résumé:
Un oscillateur simple, constitué d’une masse reliée à un support par un ressort et un amortisseur, est soumis à une excitation aléatoire transmise par le support, de type accélération imposée.
Ce test utilise les fonctionnalités de l’analyse stochastique et calcule la densité spectrale de puissance (DSP) du mouvement de la masse à partir de l’excitation de type bruit blanc donnée par sa DSP également.
Le mouvement est calculé selon différentes options : mouvement relatif, absolu, différentiel.
On calcule ensuite les propriétés statistiques de la réponse en passant dans toutes les options du post‑traitement dynamique aléatoire.
Solution de référence#
Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
La solution de référence est analytique [bib1]. La pulsation propre de l’oscillateur est \(\sqrt{\frac{k}{m}}\) ,
soit \({\omega}_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}}=100\mathit{rad}/s\) , et \({f}_{o}=15,9155\mathit{Hz}\) .
En mouvement absolu, la DSP de la réponse en accélération notée \({G}_{\ddot{R}\ddot{R}}(\omega )\) est reliée à la DSP de l’excitation \({G}_{\ddot{E}\ddot{E}}\) en accélération également par :
\({G}_{\ddot{R}\ddot{R}}(\omega )=\frac{{\omega}_{0}^{4}+4{\xi}_{0}^{2}{\omega}_{0}^{2}{\omega}^{2}}{{({\omega}_{0}^{2}-{\omega}^{2})}^{2}+4{\xi}_{0}^{2}{\omega}_{0}^{2}{\omega}^{2}}{G}_{\ddot{E}\ddot{E}}(\omega )\)
En mouvement relatif, on a:
\({G}_{\ddot{R}\ddot{R}}(\omega )={∣(\frac{{\omega}^{2}}{{\omega}_{0}^{2}-{\omega}^{2}+2j{\xi}_{0}{\omega}_{0}\omega })∣}^{2}{G}_{\ddot{E}\ddot{E}}(\omega )\)
En mouvement différentiel, on a:
\({G}_{\ddot{R}\ddot{R}}(\omega )={G}_{\ddot{E}\ddot{E}}(\omega )\)
Résultats de référence#
On teste la DSP de la réponse pour \(0,5,10,15,20\mathit{Hz}\) dans les trois cas de mouvement : absolu, relatif et différentiel.
Incertitude sur la solution#
Solution analytique.
Références bibliographiques#
DUVAL « Réponse dynamique sous excitation aléatoire dans le Code_Aster : principes théoriques et exemples d’utilisation » - Note HP-61/92.148
Modélisation A#
Caractéristiques de la modélisation#
Elément discret en translation de type DIS_T
Caractéristiques des éléments :
Aux nœuds \(\mathit{P1}\) et \(\mathit{P2}\) : matrices de masses de type M_T_D_N avec \(m=100\mathit{kg}\) .
Entre \(\mathit{P1}\) et \(\mathit{P2}\) : une matrice de rigidité de type K_T_D_L avec \({K}_{x}={10}^{6}N/m\)
Conditions aux limites :
Tous les degrés de liberté sont bloqués sauf le degré de liberté \(\mathit{DX}\) du nœud \(\mathit{P2}\) .
Caractéristiques du maillage#
Nombre de nœuds: 2
Nombre de mailles et types : 1 SEG2, 2 POI1
Grandeurs testées et résultats#
Réponse dynamique aléatoire
Identification |
Référence |
ABSOLU : \(F=5.\mathit{Hz}\) |
1.2307 |
ABSOLU : \(F=10.\mathit{Hz}\) |
2.7116 |
ABSOLU : \(F=15.\mathit{Hz}\) |
47.2154 |
ABSOLU : \(F=20.\mathit{Hz}\) |
2.8924 |
ABSOLU : \(F=25.\mathit{Hz}\) |
0.47047 |
RELATIF : \(F=5.\mathit{Hz}\) |
0.01197 |
RELATIF : \(F=10.\mathit{Hz}\) |
0.04209 |
RELATIF : \(F=15.\mathit{Hz}\) |
36.9225 |
RELATIF : \(F=20.\mathit{Hz}\) |
7.1006 |
RELATIF : \(F=25.\mathit{Hz}\) |
2.7953 |
DIFFERENTIEL : \(F=5.\mathit{Hz}\) |
1.0 |
DIFFERENTIEL : \(F=10.\mathit{Hz}\) |
1.0 |
DIFFERENTIEL : \(F=15.\mathit{Hz}\) |
1.0 |
DIFFERENTIEL : \(F=20.\mathit{Hz}\) |
1.0 |
DIFFERENTIEL : \(F=25.\mathit{Hz}\) |
1.0 |
Post-traitement sur la réponse en déplacement absolu : moments spectraux et paramètres statistiques
Identification |
Référence |
% Tolérance |
Moment spectral n°0 |
505.70832 |
0.1% |
Moment spectral n°1 |
49047.8 104 |
0.1% |
Moment spectral n°2 |
5.025066 106 |
0.1% |
Moment spectral n°3 |
5.52943 108 |
0.1% |
Moment spectral n°4 |
7.2059956 1010 |
0.1% |
Ecart-type |
22.49 |
0.1% |
Facteur d’irrégularité |
0.8324 |
0.1% |
Fréquence apparente (\(\mathrm{Hz}\) ) |
15.86 |
0.1% |
Nombre moyen de passages par zéro par seconde |
31.73 |
0.1% |
Moment spectral n°6 |
4.186992 1015 |
0.1% |
Moment spectral n°7 |
1.7826555 1018 |
0.1% |
Moment spectral n°10 |
2.468734 1026 |
0.1% |
Synthèse des résultats#
Il n’est pas étonnant que les résultats attendus pour la réponse dynamique aléatoire soient obtenus avec une précision de \(\text{0\%}\) . En effet les DSP des réponses ne résultent pas d’un processus itératif de résolution, mais d’une expression analytique mettant en jeu les fonctions de transfert modales. Cette expression analytique coïncide avec la solution de référence pour ce problème.
Pour le post-traitement, il n’y a pas de solution de référence.