\(l\) \(l\)

v6.05.114 SSNS114 – Dégradation d’une plaque en béton armé sous sollicitations variées avec la loi BETON_REGLE_PR

Résumé:

Ce test valide la loi de comportement non-linéaire du béton BETON_REGLE_PR (voir [R7.01.27]) pour des chargements cycliques variés: traction/compression, flexion alternée, cisaillement dans le plan et leurs combinaisons. On utilise une modélisation multicouche, dans laquelle on représente les aciers des nappes d’armatures par des GRILLE_EXCENTRE. Les analyses sont faites en statique (STAT_NON_LINE). Les résultats sont comparés avec ceux d’une modélisation avec le modèle de comportement ENDO_ISOT_BETON (voir [R7.01.04]).

La modélisation H teste la thermomécanique. Dans cette modélisation, on vérifie que les deux chargements de dilatation thermique (température homogène dans l’épaisseur et gradient de température constant dans l’épaisseur) conduisent au même état de contrainte que deux chargements mécaniques simples: extension selon Ox et flexion autour de Oy.

Les modélisations E à G correspondent aux modélisations A à C pour des niveaux de sollicitations plus élevés.

Solution de référence

La solution de référence est obtenue avec l’utilisation de la loi de comportement ENDO_ISOT_BETON.

Modèles

La modélisation est identique à celle du modèle multicouche avec la loi BETON_REGLE_PRprésenté précédemment.

Propriétés des matériaux

Les propriétés du béton sont identiques à celle de la loi BETON_REGLE_PR

Béton (modèle ENDO_ISOT_BETON) :

Module de Young: \({E}_{b}=32308.0\mathit{MPa}\)

Coefficient de Poisson: \({\nu}_{b}=0.20\)

Seuil d’endommagement en traction simple \({\sigma}_{y,\mathit{EIB}}^{t}\) : \(3.4\mathit{MPa}\)

Pente adoucissante: \(-0.2{E}_{b}\) .

Les propriétés de l’acier sont identiques à celle utilisé pour le modèle avec la loi BETON_REGLE_PR.

Modélisation A

Caractéristiques de la modélisation

Le chargement est de type traction – compression – traction pure.

\(\mathrm{A6}\)

Figure 3.1-a : maillage et conditions aux limites.

Modélisation: DKT

Conditions aux limites:

• Encastrement en \({A}_{1}\) ;

• \(\mathrm{DX}=0.0\) sur l’arête \({A}_{1}-{A}_{3}\) ;

• \(\mathrm{DX}={U}_{0}\times f(t)\) sur l’arête \({A}_{2}-{A}_{4}\) ;

où \({U}_{0}=2.0\times {10}^{-4}m\) et \(f(t)\) représentent l’amplitude du chargement cyclique en fonction du paramètre (de pseudo-temps) \(t\) . Pour bien vérifier le modèle, on considère deux fonctions de chargement comme suit:

Figure 3.1-b : f onctions de chargement f1 (gauche) et f2 (droite).

Note: la déformation extrémale est: \(2.0\times {10}^{-4}\) , soit bien en-deçà du passage en plasticité des aciers. Pas de tempsd’intégration: \(0.05\) .

Caractéristiques du maillage

Nombre de nœuds: 9. Nombre de mailles: 8 TRIA3; 8 SEG2.

Grandeurs testées et résultats pour la fonction de chargement f1

On compare la somme des forces de réactions selon l’axe \(\mathrm{Ox}\) en \(\mathit{A1}-\mathit{A3}\) et les déplacements selon l’axe \(\mathrm{Oy}\) en \(\mathit{A4}\) (effet Poisson) obtenus par la modélisation multicouche avec la loi ENDO_ISOT_BETON et par celle reposant sur la loi BETON_REGLE_PR, en termes de différences relatives ; la tolérance est prise en valeur absolue sur ces différences relatives:

Identification	Type de référence	Valeur de référence	Tolérance
TRAC. - PHASE CHAR. ELAS. \(t=0,25\)
Différence relative des efforts \({N}_{xx}\)	AUTRE_ASTER	0	1 10-2
Différence relative des déplacements \(\mathrm{DY}\)	NON-REGRESSION		1 10-6
TRAC. - PHASE CHAR. ENDO. \(t=1,0\)
Différence relative des efforts \({N}_{xx}\)	AUTRE_ASTER	0	1 10-2
TRAC. - PHASE DECHAR. ELAS. \(t=1,5\)
Différence relative des efforts \({N}_{xx}\)	AUTRE_ASTER	0	1.1
COMPR. - PHASE CHAR. ELAS. \(t=3,0\)
Différence relative des efforts \({N}_{xx}\)	AUTRE_ASTER	0	1 10-2
COMPR. - PHASE DECHAR. ELAS \(t=3,5\)
Différence relative des efforts \({N}_{xx}\)	AUTRE_ASTER	0	3 10-2

Diagrammes comparés efforts \({N}_{xx}\) – déplacement \(\mathrm{DX}\) en traction/compression pour le chargement \(\mathrm{f1}\) :

Diagrammes comparés déplacement \(\mathrm{DY}\) (dû à l’effet de Poisson) en fonction du temps:

Grandeurs testées et résultats pour la fonction de chargement f2

On compare les forces de réaction selon l’axe \(\mathrm{Ox}\) et les déplacements selon l’axe \(\mathrm{Oy}\) en \(\mathit{A4}\) obtenus par la modélisation multicouche avec la loi ENDO_ISOT_BETON et par celle reposant sur la loi BETON_REGLE_PR, en termes de différences relatives; la tolérance est prise en valeur absolue sur ces différences relatives :

Identification	Type de référence	Valeur de référence	tolérance
COMPR. - PHASE CHAR. ELAS. \(t=0,25\)
Différence relative des efforts \({N}_{xx}\)	AUTRE_ASTER	0	3 10-2
COMPR. - PHASE CHAR. ENDO. \(t=1,0\)
Différence relative des efforts \({N}_{xx}\)	AUTRE_ASTER	0	5 10-2
COMPR. - PHASE DECHAR. ELAS. \(t=1,5\)
Différence relative des efforts \({N}_{xx}\)	AUTRE_ASTER	0	3 10-2
COMPR. - PHASE DECHAR. ELAS. \(t=2,25\)
Différence relative des efforts \({N}_{xx}\)	AUTRE_ASTER	0	1 10-2
TRAC. - PHASE CHAR. ELAS. \(t=3,0\)
Différence relative des efforts \({N}_{xx}\)	AUTRE_ASTER	0	1 10-1
TRAC. - PHASE DECHAR. ELAS. \(t=3,5\)
Différence relative des efforts \({N}_{xx}\)	AUTRE_ASTER	0	1.1

Diagrammes comparés \({N}_{xx}\) – déplacement \(\mathrm{DX}\) en traction/compression pour le chargement \(\mathrm{f2}\) :

Remarques

D’après les courbes précédentes, on constate que le modèle multicouche avec la loi BETON_REGLE_PR représente le comportement global du béton armé en traction – compression pure d’une manière satisfaisante en charge. Cependant en décharge, la loi BETON_REGLE_PR suit la même courbe que la charge à la différence de la loi ENDO_ISOT_BETON.

L’effet de Poisson n’est pas modélisé par la loi BETON_REGLE_PR, on obtient donc un déplacement nul dans la direction transverse DY.

On observe une symétrie de la réponse selon le sens choisi de charge compression-traction ou inverse, selon le chargement \(\mathit{f1}\) ou \(\mathit{f2}\) pour la loi BETON_REGLE_PR.

Modélisation B

Caractéristiques de la modélisation

Le chargement est de type flexion pure alternée.

Figure 4.1-a : maillage et conditions aux limites

Modélisation: DKT

Conditions aux limites:

• \(\mathrm{DRY}=0.0\) sur l’arête \({A}_{1}-{A}_{3}\)

• \(\mathrm{DRY}={R}_{0}\times f(t)\) sur l’arête \({A}_{2}-{A}_{4}\) ,

où \({R}_{0}=6\times {10}^{-3}\) et \(f(t)\) est l’amplitude du chargement cyclique en fonction du paramètre (de pseudo-temps) \(t\) , Pour bien vérifier le modèle, on considère trois fonctions de chargements comme:

Figure 4.1-b : f lexion négative, puis flexion positive

Figure 4.1-c : f lexion positive, puis flexion négative

Figure 4.1-d : d eux cycles de flexion alternée

Note: la déformation extrémale des aciers est: \(2.4\times {10}^{-3}\) , soit en-deçà du passage en plasticité des aciers. Incrément d’intégration: \(0.05s\) .

Caractéristiques du maillage

Nombre de nœuds: 9. Nombre de mailles: 8 TRIA3.

Grandeurs testées et résultats pour la fonction de chargement f1

On compare la somme des moments selon l’axe \(\mathrm{Oy}\) en \(\mathit{A1}-\mathit{A3}\) et les rotations selon l’axe \(\mathrm{Ox}\) en \(\mathit{A4}\) obtenus par la modélisation multicouche avec la loi ENDO_ISOT_BETON et par celle reposant sur la loi BETON_REGLE_PR, en termes de différences relatives ; la tolérance est prise en valeur absolue sur ces différences relatives.

Identification	Type de référence	Valeur de référence	Tolérance
FLEXION NEG - PHASE CHAR. ELAS. \(t=0,25\)
Différence relative des moments \({M}_{yy}\)	AUTRE_ASTER	0	3 10-2
Différence relative des rotations \(\mathrm{DRX}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
FLEXION NEG - PHASE CHAR. ENDO. \(t=1,0\)
Différence relative des moments \({M}_{yy}\)	AUTRE_ASTER	0	1 10-2
Différence relative des rotations \(\mathrm{DRX}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
FLEXION NEG - PHASE DECHAR. ELAS. \(t=1,5\)
Différence relative des moments \({M}_{yy}\)	AUTRE_ASTER	0	6 10-1
Différence relative des rotations DRX	NON_REGRESSION		1 10-6
FLEXION POS. - PHASE CHAR. ELAS. \(t=2,25\)
Différence relative des moments \({M}_{yy}\)	AUTRE_ASTER	0	3 10-2
Différence relative des rotations \(\mathrm{DRX}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
FLEXION POS. - PHASE CHAR. ENDO. \(t=3,0\)
Différence relative des moments \({M}_{yy}\)	AUTRE_ASTER	0	2 10-2
Différence relative des rotations \(\mathrm{DRX}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
FLEXION POS. - PHASE DECHAR. ELAS. \(t=3,5\)
Différence relative des moments \({M}_{yy}\)	AUTRE_ASTER	0	6 10-1
Différence relative des rotations \(\mathrm{DRX}\)	NON_REGRESSION		1 10-6

Diagrammes comparés moment/rotation en flexion cyclique pour le chargement \(\mathrm{f1}\) :

recharge

(flexion opposée)

Diagrammes comparés rotation \(\mathrm{DRX}\) (due à l’effet de Poisson) en fonction du tempspour le chargement \(\mathrm{f1}\) :

Grandeurs testées et résultats pour la fonction de chargement f2

On compare les moments selon l’axe \(\mathrm{Oy}\) en \(\mathit{A1}-\mathit{A3}\) et les rotations selon l’axe \(\mathrm{Ox}\) en \(\mathit{A4}\) obtenus par la modélisation multicouche avec la loi ENDO_ISOT_BETON et par celle reposant sur la loi BETON_REGLE_PR, en termes de différences relatives; certaines tolérances sont prises en valeur absolue:

Identification	Type de référence	Valeur de référence	Tolérance
FLEXION NEG. - PHASE CHAR. ELAS. \(t=0,25\)
Différence relative des moments \({M}_{yy}\)	AUTRE_ASTER	0	3 10-2
Différence relative des rotations \(\mathrm{DRX}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
FLEXION NEG. - PHASE CHAR. ENDO. \(t=1,0\)
Différence relative des moments \({M}_{yy}\)	AUTRE_ASTER	0	1 10-2
Différence relative des rotations \(\mathrm{DRX}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
FLEXION NEG. - PHASE DECHAR. ELAS. \(t=1,5\)
Différence relative des moments \({M}_{yy}\)	AUTRE_ASTER	0	6 10-1
Différence relative des rotations \(\mathrm{DRX}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
FLEXION POS. - PHASE CHAR. ELAS. \(t=2,25\)
Différence relative des moments \({M}_{yy}\)	AUTRE_ASTER	0	3 10-2
Différence relative des rotations \(\mathrm{DRX}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
FLEXION POS. - PHASE CHAR. ENDO. \(t=3,0\)
Différence relative des moments \({M}_{yy}\)	AUTRE_ASTER	0	2 10-2
Différence relative des rotations \(\mathrm{DRX}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
FLEXION POS. - PHASE DECHAR. ELAS. \(t=3,5\)
Différence relative des moments \({M}_{yy}\)	AUTRE_ASTER	0	6 10-1
Différence relative des rotations \(\mathrm{DRX}\)	NON_REGRESSION		1 10-6

On vérifie bien que ces résultats sont identiques à ceux obtenus avec le chargement \(\mathrm{f1}\) (en sens opposé).

Grandeurs testées et résultats pour la fonction de chargement f3

On compare les moments selon l’axe \(\mathrm{Oy}\) en \(\mathit{A1}-\mathit{A3}\) et les rotations selon l’axe \(\mathrm{Ox}\) en \(\mathit{A4}\) obtenus par la modélisation multicouche avec la loi ENDO_ISOT_BETON et par celle reposant sur la loi BETON_REGLE_PR, en termes de différences relatives:

Identification	Type de référence	Valeur de référence	Tolérance
FLEXION NEG. - PHASE CHAR. ELAS. \(t=4,25\)
Différence relative des moments \({M}_{yy}\)	AUTRE_ASTER	0	7 10-1
Différence relative des rotations \(\mathrm{DRX}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
FLEXION NEG. - PHASE CHAR. ENDO. \(t=5,0\)
Différence relative des moments \({M}_{yy}\)	AUTRE_ASTER	0	3 10-2
Différence relative des rotations \(\mathrm{DRX}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
FLEXION NEG. - PHASE DECHAR. ELAS. \(t=1,5\)
Différence relative des moments \({M}_{yy}\)	AUTRE_ASTER	0	6 10-1
Différence relative des rotations \(\mathrm{DRX}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
FLEXION POS. - PHASE CHAR. ELAS. \(t=2,25\)
Différence relative des moments \({M}_{yy}\)	AUTRE_ASTER	0	3 10-2
Différence relative des rotations \(\mathrm{DRX}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
FLEXION POS. - PHASE CHAR. ENDO. \(t=3,0\)
Différence relative des moments \({M}_{yy}\)	AUTRE_ASTER	0	2 10-2
Différence relative des rotations \(\mathrm{DRX}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
FLEXION POS. - PHASE DECHAR. ELAS. \(t=3,5\)
Différence relative des moments \({M}_{yy}\)	AUTRE_ASTER	0	6 10-1
Différence relative des rotations \(\mathit{DRX}\)	NON_REGRESSION		1 10-6

Diagrammes comparés moment/rotation en flexion cyclique pour le chargement \(\mathit{f3}\) :

Diagrammes comparés rotation \(\mathit{DRX}\) (due à l’effet de Poisson) en fonction du tempspour le chargement \(\mathit{f3}\) :

Remarques

D’après les courbes précédentes, on constate que le modèle multicouche avec la loi BETON_REGLE_PR représente le comportement global du béton armé en flexion –+ d’une manière satisfaisante en charge. Cependant en décharge, la loi BETON_REGLE_PR suit la même courbe que la charge à la différence de la loi ENDO_ISOT_BETON.

L’effet de Poisson n’est pas modélisé par la loi BETON_REGLE_PR, on obtient donc une rotation nulle dans la direction DRX.

On observe une symétrie de la réponse selon le sens choisi de charge flexion – et + ou le cas opposé, selon le chargement \(\mathit{f1}\) ou \(\mathit{f2}\) pour la loi BETON_REGLE_PR.

Modélisation C

Caractéristiques de la modélisation

Le chargement est un couplage traction – compression et flexion.

Figure 5.1-a : m aillage et conditions aux limites

Modélisation: DKT

Conditions aux limites: couplage de Traction – Compression et Flexion:

• \(\mathrm{DX}=0.0\) et \(\mathrm{DRY}=0.0\) sur l’arête \({A}_{1}-{A}_{3}\)

• \(\mathrm{DX}={U}_{0}\times f(t)\) et \(\mathrm{DRY}={R}_{0}\times f(t)\) sur l’arête \({A}_{2}-{A}_{4}\) ,

où \({U}_{0}=1.5\times {10}^{-4}m\) , \({R}_{0}=5.\times {10}^{-3}\mathit{rad}\) et \(f(t)\) est l’amplitude du chargement cyclique en fonction du paramètre (de pseudo-temps) \(t\) . On considère deux types de chargement:

• La même fonction \(\mathrm{f1}\) de chargement pour la membrane et la flexion (cas synchrone):

Figure 5.1-b : fonction de chargement f1

• La fonction \(\mathrm{f2}\) de chargement de membrane deux fois plus rapide que celui de flexion (en pratique les fréquences de membrane d’une dalle sont supérieures à celles de flexion):

  

Figure 5.1-c : fonction de chargement f2

Caractéristiques du maillage

Nombre de nœuds: 9. Nombre de mailles: 8 TRIA3; 8 SEG2.

Grandeurs testées et résultats : premier chargement (même fonction de chargement pour membrane et flexion)

On compare la somme des forces selon l’axe \(\mathit{Ox}\) en \(\mathit{A1}-\mathit{A3}\) , les déplacements selon l’axe \(\mathit{Oy}\) en \(\mathit{A4}\) , les moments selon l’axe \(\mathit{Oy}\) en \(\mathit{A1}-\mathit{A3}\) et les rotations selon l’axe \(\mathit{Ox}\) en \(\mathit{A4}\) obtenus par la modélisation multicouche avec la loi ENDO_ISOT_BETON et par celle reposant sur la loi BETON_REGLE_PR, en termes de différences relatives;les tolérances sont prises en valeur absolue:

Identification	Type de référence	Valeur de référence	Tolérance
PHASE ELASTIQUE \(t=0,25\)
Différence relative des efforts \({N}_{xx}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
Différence relative des déplacements \(\mathrm{DY}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
Différence relative des moments \({M}_{yy}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
Différence relative des rotations \(\mathrm{DRX}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
PHASE ENDOMMAGEMENT \(t=1,0\)
Différence relative des efforts \({N}_{xx}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
Différence relative des déplacements \(\mathrm{DY}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
Différence relative des moments \({M}_{yy}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
Différence relative des rotations \(\mathrm{DRX}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
PHASE DECHARGEMENT \(t=1,5\)
Différence relative des efforts \({N}_{xx}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
Différence relative des déplacements \(\mathrm{DY}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
Différence relative des moments \({M}_{yy}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
Différence relative des rotations \(\mathrm{DRX}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
PHASE ELASTIQUE \(t=2,25\)
Différence relative des moments \({M}_{yy}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
Différence relative des rotations \(\mathrm{DRX}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
PHASE RECHARGEMENT \(t=3,0\)
Différence relative des efforts \({N}_{xx}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
Différence relative des déplacements \(\mathrm{DY}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
Différence relative des moments \({M}_{yy}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
Différence relative des rotations \(\mathrm{DRX}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
PHASE DECHARGEMENT \(t=3,5\)
Différence relative des efforts \({N}_{xx}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
Différence relative des déplacements \(\mathrm{DY}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
Différence relative des moments \({M}_{yy}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
Différence relative des rotations \(\mathrm{DRX}\)	NON_REGRESSION		1 10-6

Diagrammes comparés desefforts \({N}_{xx}\) – en fonction du déplacement \(\mathrm{DX}\) imposépour le chargement \(\mathrm{f1}\) :

Diagrammes comparés du moment \({M}_{yy}\) en fonction de la rotation \(\mathrm{DRY}\) imposéepour le chargement \(\mathrm{f1}\) :

Diagrammes comparés déplacement \(\mathrm{DY}\) (dû à l’effet de Poisson)pour le chargement \(\mathrm{f1}\) :

Diagrammes comparés rotation \(\mathrm{DRX}\) (due à l’effet de Poisson)pour le chargement \(\mathrm{f1}\) :

Grandeurs testées et résultats : deuxième chargement (membrane deux fois plus rapide que flexion)

On compare les forces selon l’axe \(\mathrm{Ox}\) en \(\mathit{A1}-\mathit{A3}\) , les déplacements selon l’axe \(\mathrm{Oy}\) en \(\mathit{A4}\) , les moments selon l’axe \(\mathrm{Oy}\) en \(\mathit{A1}-\mathit{A3}\) et les rotations selon l’axe \(\mathrm{Ox}\) en \(\mathit{A4}\) obtenus par la modélisation multicouche avec la loi ENDO_ISOT_BETON et par celle reposant sur la loi BETON_REGLE_PR, en termes de différences relatives;les tolérances sont prises en valeur absolue:

Identification	Type de référence	Valeur de référence	Tolérance
PHASE ELASTIQUE \(t=0,2\)
Différence relative des efforts \({N}_{xx}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
Différence relative des déplacements \(\mathrm{DY}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
PHASE ELASTIQUE \(t=0,25\)
Différence relative des moments \({M}_{yy}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
Différence relative des rotations \(\mathrm{DRX}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
PHASE ENDOMMAGEMENT \(t=0,5\)
Différence relative des efforts \({N}_{xx}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
Différence relative des déplacements \(\mathrm{DY}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
PHASE ENDOMMAGEMENT \(t=1,0\)
Différence relative des moments \({M}_{yy}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
Différence relative des rotations \(\mathrm{DRX}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
PHASE DECHARGEMENT \(t=1,5\)
Différence relative des efforts \({N}_{xx}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
Différence relative des déplacements \(\mathrm{DY}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
Différence relative des moments \({M}_{yy}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
Différence relative des rotations \(\mathrm{DRX}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
PHASE ELASTIQUE \(t=2,25\)
Différence relative des moments \({M}_{yy}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
Différence relative des rotations \(\mathrm{DRX}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
PHASE ELASTIQUE \(t=2,5\)
Différence relative des efforts \({N}_{xx}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
Différence relative des déplacements \(\mathit{DY}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
PHASE RECHARGEMENT \(t=3,0\)
Différence relative des moments \({M}_{yy}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
Différence relative des rotations \(\mathit{DRX}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
PHASE DECHARGEMENT \(t=3,5\)
Différence relative des efforts \({N}_{xx}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
Différence relative des déplacements \(\mathit{DY}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
Différence relative des moments \({M}_{yy}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
Différence relative des rotations \(\mathit{DRX}\)	NON_REGRESSION		1 10-6

Diagrammes comparés de la force \(\mathrm{FX}\) ( efforts \({N}_{xx}\) ) – en fonction du déplacement \(\mathrm{DX}\) imposé pour le chargement \(\mathrm{f2}\) :

Diagrammes comparés moment \({M}_{yy}\) en fonction de la rotation \(\mathrm{DRY}\) imposéepour le chargement \(\mathrm{f2}\) :

Diagrammes comparés déplacement \(\mathrm{DY}\) (dû à l’effet de Poisson)pour le chargement \(\mathrm{f2}\) :

Diagrammes comparés rotation \(\mathrm{DRX}\) (due à l’effet de Poisson)pour le chargement \(\mathrm{f2}\) :

Remarques

D’après les courbes précédentes, on constate que le modèle multicouche avec la loi BETON_REGLE_PR représente le comportement global du béton armé en flexion et traction d’une manière satisfaisante en charge. Les mêmes seuils d’endommagement sont identifiés. Cependant en décharge, la loi BETON_REGLE_PR suit la même courbe que la charge à la différence de la loi ENDO_ISOT_BETON.

L’effet de Poisson n’est pas modélisé par la loi BETON_REGLE_PR, on obtient donc une rotation nulle dans la direction DRX et un déplacement DY nul.

Pour le second chargement, on observe un comportement similaire pour le couplage de membrane-flexion entre BETON_REGLE_PRet ENDO_ISOT_BETON en charge (réponse élastique, endommagement et compression). Les mêmes seuils d’endommagement sont identifiés.

Modélisation D

Caractéristiques de la modélisation

Le chargement est de type distorsion et cisaillement pur dans le plan.

Figure 6.1-a : m aillage et conditions aux limites

Modélisation: DKT. \(L=1.0m\) .

Conditions aux limites (voir figure ci-dessus à droite) de telle sorte que la plaque soit soumise à une distorsion pure: \({\varepsilon}_{xy}\) doit être constant ou à un cisaillement pur donc on applique des efforts. Par conséquent, on applique le champ de déplacement suivant sur les bords de la plaque pour la distorsion:

\(\lbrace \begin{array}{c}{u}_{x}={D}_{0}\cdot y\\ {u}_{y}={D}_{0}\cdot x\end{array}\mathrm{\Rightarrow }{\varepsilon}_{xy}=\frac{1}{2}({u}_{x,y}+{u}_{y,x})={D}_{0}\)

Donc:

• on impose un encastrement en \({A}_{1}\) ,

• \({u}_{x}={D}_{0}\cdot y,{u}_{y}=0\) sur l’arête \({A}_{1}-{A}_{3}\) , \({u}_{x}=0,{u}_{y}={D}_{0}\cdot x\) sur l’arête \({A}_{1}-{A}_{2}\) ,

• \({u}_{x}={D}_{0}\cdot y,{u}_{y}={D}_{0}\cdot L\) sur l’arête \({A}_{2}-{A}_{4}\) , \({u}_{x}={D}_{0}\cdot L,{u}_{y}={D}_{0}\cdot x\) sur l’arête \({A}_{3}-{A}_{4}\) ,

où \({D}_{0}=3.3{10}^{-4}\) et \(f(t)\) représentent l’amplitude du chargement cyclique en fonction du paramètre (de pseudo-temps) \(t\) , définie comme:

Figure 6.1-b : fonction de chargement

Incrément d’intégration: \(0.05s\) .

Caractéristiques du maillage

Nœuds: 121.

Mailles: 200 TRIA3; 40 SEG2.

Grandeurs testées et résultats

Pour la distorsion, on compare l’effort tranchant \({N}_{xy}\) en \(B\) obtenu par les deux modélisations; les tolérances sont prises en valeur absolue sur ces différences relatives:

Identification	Type de référence	Valeur de référence	Tolérance
DIST. POS. - PHASE CHAR. ELAS. \(t=0,25\)
Différence relative des efforts \({N}_{xy}\)	AUTRE_ASTER	0	2 10-1
DIST. POS. - PHASE CHAR. ENDO. \(t=1,0\)
Différence relative des efforts \({N}_{xy}\)	AUTRE_ASTER	0	1 10-1
DIST. POS. - PHASE DECHAR. ELAS. \(t=1,5\)
Différence relative des efforts \({N}_{xy}\)	AUTRE_ASTER	0	4 10-1
DIST. NEG. - PHASE CHAR. ELAS. \(t=3,0\)
Différence relative des efforts \({N}_{xy}\)	AUTRE_ASTER	0	1 10-1
DIST. NEG. - PHASE DECHAR. ELAS. \(t=3,5\)
Différence relative des efforts \({N}_{xy}\)	AUTRE_ASTER	0	4 10-1

Diagramme effort tranchant \({N}_{xy}\) (dans le plan) en fonction du temps:

Diagramme effort tranchant \({N}_{xy}\) (dans le plan) en fonction de \({D}_{0}\) imposé:

Remarques

On observe un comportement similaire en cisaillement pour les lois BETON_REGLE_PRet ENDO_ISOT_BETON en charge : la raideur en cisaillement est cependant plus élevée pour la loi BETON_REGLE_PR(~15%).

La réponse en décharge n’est pas prise en compte par la loi BETON_REGLE_PR(réponse élastique).

La réponse en cisaillement pour BETON_REGLE_PRest symétrique à la différence de la loi ENDO_BETON_ISOT pour laquelle on conserve la mémoire de la fissuration dans une direction.

Modélisation E

Caractéristiques de la modélisation

Le chargement est de type traction – compression pure.

Figure 7.1-a : maillage et conditions aux limites.

Modélisation: DKTG

Conditions aux limites:

• Encastrement en \({A}_{1}\) ;

• \(\mathrm{DX}=0.0\) sur l’arête \({A}_{1}-{A}_{3}\) ;

• \(\mathrm{DX}={U}_{0}\times f(t)\) sur l’arête \({A}_{2}-{A}_{4}\) ;

où \({U}_{0}=1.0\times {10}^{-3}m\) et \(f(t)\) représentent l’amplitude du chargement cyclique en fonction du paramètre (de pseudo-temps) \(t\) . Pour bien vérifier le modèle, on considère une fonction de chargement comme suit:

Figure 7.1-b : fonction de chargement: traction, puis compression

Note: la déformation extrémale est: \(1.0\times {10}^{-3}\) , soit environ le tiers de la déformation de passage en plasticité des aciers. Pas de tempsd’intégration: \(0.025\) .

Caractéristiques du maillage

Nombre de nœuds: 9.

Nombre de mailles: 8 TRIA3; 8 SEG2.

Grandeurs testées et résultats

On compare les forces de réactions selon l’axe \(\mathit{Ox}\) en \(\mathit{A1}-\mathit{A3}\) et les déplacements selon l’axe \(\mathit{Oy}\) en \(\mathit{A4}\) obtenuspar la modélisation multicouche avec la loi ENDO_ISOT_BETON et par celle reposant sur la loi BETON_REGLE_PR, en termes de différences relatives; les tolérances sont prises en valeur absolue:

Identification	Type de référence	Valeur de référence	Tolérance
TRACTION - ELASTIQUE \(t=0,25\)
Différence relative \(\mathit{FX}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
Différence relative \(\mathrm{DY}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
TRACTION - ENDOMMAGEMENT \(t=1,0\)
Différence relative \(\mathrm{FX}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
TRACTION - DECHARGEMENT \(t=1,5\)
Différence relative \(\mathrm{FX}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
COMPRESSION - CHARGEMENT \(t=2,5\)
Différence relative \(\mathrm{FX}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
COMPRESSION - DECHARGEMENT \(t=3,5\)
Différence relative \(\mathrm{FX}\)	NON_REGRESSION		1 10-6

Diagrammes comparés desefforts \({N}_{xx}\) – déplacement \(\mathrm{DX}\) en traction – compressionpour le chargement \(f\) :

Diagrammes comparés déplacement \(\mathrm{DY}\) (dû à l’effet de Poisson) en fonction du temps:

Remarques

Le cas test effectué ici vise à tester le modèle BETON_REGLE_PRsous des sollicitations assez importantes pour qu’apparaisse effectivement la reprise de raideur des aciers.

Le comportement est similaire en traction pour les lois BETON_REGLE_PRet ENDO_ISOT_BETON en charge : les différences apparaissent pour une compression importante en raison de la réponse parabolique de la loi BETON_REGLE_PR. En traction, après la ruine du béton, on retrouve la raideur correspondant à la reprise des efforts par l’acier.

La réponse en décharge n’est pas prise en compte par la loi BETON_REGLE_PR(réponse élastique)

La déformation due à l’effet poisson n’est pas prise en compte par la loi BETON_REGLE_PR. Pour la loi ENDO_ISOT_BETON, les déplacements DY sont non nuls avant l’apparition de la ruine du béton autour de 0.1 s.

La convergence du modèle avec la loi BETON_REGLE_PRest difficile autour de l’instant 0.6s (reprise de raideur) avec la matrice TANGENTE, on utilise alors la matrice ELASTIQUE.

Modélisation F

Caractéristiques de la modélisation

Le chargement est de type flexion pure alternée.

Figure 8.1-a : maillage et conditions aux limites

Modélisation: DKTG

Conditions aux limites:

• \(\mathrm{DRY}=0.0\) sur l’arête \({A}_{1}-{A}_{3}\)

• \(\mathrm{DRY}={R}_{0}\times f(t)\) sur l’arête \({A}_{2}-{A}_{4}\) ,

où \({R}_{0}=3.0\times {10}^{-2}\) et \(f(t)\) est l’amplitude du chargement cyclique en fonction du paramètre (de pseudo-temps) \(t\) .

Pour vérifier le modèle, on considère la fonction de chargement suivante:

Figure 8.1-b : fonction de chargement

Caractéristiques du maillage

Nombre de nœuds: 9.

Nombre de mailles: 8 TRIA3; 8 SEG2.

Grandeurs testées et résultats

On compare les moments de réactions selon l’axe \(\mathit{Oy}\) en \(\mathit{A1}-\mathit{A3}\) et les rotations selon l’axe \(\mathit{Ox}\) en \(\mathit{A4}\) obtenus par la modélisation multicouche avec la loi ENDO_ISOT_BETON et par celle reposant sur la loi BETON_REGLE_PR, en termes de différences relatives;les tolérances sont prises en valeur absolue:

Identification	Type de référence	Valeur de référence	Tolérance
FLEXION POSITIVE - ELASTIQUE \(t=0,25\)
Différence relative \(\mathit{MY}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
Différence relative \(\mathit{DRX}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
FLEXION POSITIVE - ENDOMMAGEMENT \(t=1,0\)
Différence relative \(\mathit{MY}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
FLEXION POSITIVE - DECHARGEMENT \(t=1,5\)
Différence relative \(\mathit{MY}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
FLEXION NEGATIVE – ELASTIQUE \(t=2,25\)
Différence relative \(\mathit{MY}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
FLEXION NEGATIVE - ENDOMMAGEMENT \(t=3,0\)
Différence relative \(\mathit{MY}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
FLEXION NEGATIVE - DECHARGEMENT \(t=3,5\)
Différence relative \(\mathit{MY}\)	NON_REGRESSION		1 10-6

Diagrammes comparés moment \(\mathrm{MY}\) – rotation \(\mathrm{DRY}\) en flexion alternée pour le chargement \(f\) :

Diagrammes comparés rotation \(\mathit{DRX}\) (dû à l’effet de Poisson) en fonction du temps:

Remarques

Le cas test effectué ici vise à tester le modèle BETON_REGLE_PRsous des sollicitations assez importantes pour qu’apparaisse effectivement la reprise de raideur des aciers.

Le comportement est similaire en flexion pour les lois BETON_REGLE_PRet ENDO_ISOT_BETON en charge: les différences apparaissent pour les chargements importants en raison de la différence de comportement en compression.

La réponse en décharge n’est pas prise en compte par la loi BETON_REGLE_PR(réponse élastique).

On observe une symétrie de la réponse pour la loi BETON_REGLE_PR.

La rotation \(\mathrm{DRX}\) est nulavec la loi BETON_REGLE_PR carl’effet Poisson n’est pas pris en compte.

Modélisation G

Caractéristiques de la modélisation

Le chargement est un couplage traction – compression et flexion.

Figure 9.1-a : maillage et conditions aux limites

Modélisation: DKTG

Conditions aux limites: couplage de Traction – Compression et Flexion:

• \(\mathrm{DX}=0.0\) et \(\mathrm{DRY}=0.0\) sur l’arête \({A}_{1}-{A}_{3}\)

• \(\mathrm{DX}={U}_{0}\times f(t)\) et \(\mathrm{DRY}={R}_{0}\times f(t)\) sur l’arête \({A}_{2}-{A}_{4}\) ,

où \({U}_{0}=1.\times {10}^{-3}m\) , \({R}_{0}=3.\times {10}^{-2}\mathit{rad}\) et \(f(t)\) est l’amplitude du chargement cyclique en fonction du paramètre (de pseudo-temps) \(t\) .

On considère le chargement suivant:

La même fonction \(f\) de chargement pour la membrane et la flexion:

Figure 9.1-b : fonction de chargement

Caractéristiques du maillage

Nombre de nœuds: 9.

Nombre de mailles: 8 TRIA3; 8 SEG2.

Grandeurs testées et résultats

On compare les forces selon l’axe \(\mathrm{Ox}\) en \(\mathit{A1}-\mathit{A3}\) , les déplacements selon l’axe \(\mathrm{Oy}\) en \(\mathit{A4}\) , les moments selon l’axe \(\mathrm{Oy}\) en \(\mathit{A1}-\mathit{A3}\) et les rotations selon l’axe \(\mathrm{Ox}\) en \(\mathit{A4}\) obtenuspar la modélisation multicouche (référence) et par celles reposant sur le modèle ENDO_ISOT_BETON, en termesde différences relatives; la tolérance est prise en valeur absolue sur ces différences relatives:

Identification	Type de référence	Valeur de référence	Tolérance
FLEXION POSITIVE - ELASTIQUE \(t=0,25\)
Différence relative \(\mathit{MY}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
Différence relative \(\mathit{DRX}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
Différence relative \(\mathit{FX}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
Différence relative \(\mathit{DY}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
FLEXION POSITIVE - ENDOMMAGEMENT \(t=1,0\)
Différence relative \(\mathit{MY}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
Différence relative \(\mathit{FX}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
FLEXION POSITIVE - DECHARGEMENT \(t=1,5\)
Différence relative \(\mathit{MY}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
Différence relative \(\mathit{FX}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
FLEXION NEGATIVE – ELASTIQUE \(t=2,25\)
Différence relative \(\mathit{MY}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
Différence relative \(\mathit{FX}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
FLEXION NEGATIVE - ENDOMMAGEMENT \(t=3,0\)
Différence relative \(\mathit{MY}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
Différence relative \(\mathit{FX}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
FLEXION NEGATIVE - DECHARGEMENT \(t=3,5\)
Différence relative \(\mathit{MY}\)	NON_REGRESSION		1 10-6
Différence relative \(\mathit{FX}\)	NON_REGRESSION		1 10-6

Diagrammes comparés force \(\mathrm{FX}\) – déplacement \(\mathrm{DX}\) pour le chargement \(f\) :

Diagrammes comparés moment \(\mathrm{MY}\) – rotation \(\mathrm{DRY}\) pour le chargement \(f\) :

Diagrammes comparés déplacement \(\mathrm{DY}\) (dû à l’effet de Poisson) en fonction du temps:

Diagrammes comparés rotation \(\mathit{DRX}\) (dû à l’effet de Poisson) en fonction du temps:

Remarques

Le cas-test effectué ici vise à tester le modèle BETON_REGLE_PRsous des sollicitations assez importantes pour qu’apparaisse effectivement la reprise de raideur des aciers.

Le comportement est similaire en flexion et traction pour les lois BETON_REGLE_PRet ENDO_ISOT_BETON en charge: les différences apparaissent pour les chargements importants en raison de la différence de comportement en compression.

La réponse en décharge n’est pas prise en compte par la loi BETON_REGLE_PR(réponse élastique).

La rotation \(\mathrm{DRX}\) et le déplacement \(\mathit{DY}\) sont nuls avec la loi BETON_REGLE_PR car l’effet dePoisson n’est pas pris en compte.

Modélisation H

Caractéristiques de la modélisation

Dans cette modélisation, on vérifie que les deux chargements de dilatation thermique (température homogène dans l’épaisseur et gradient de température constant dans l’épaisseur) conduisent au même état de contrainte que deux chargements mécaniques simples: extension selon Ox et flexion autour de Oy.

Remarque: cette vérification est valable quelque soit la relation de comportement.

\(\mathrm{A6}\)

Figure 10.1-a : maillage et conditions aux limites ( c hargement 1)

Modélisation: DKT

Relations de comportement: BETON_REGLE_PR

Conditions aux limites:

• Encastrement en \({A}_{1}\) ;

• \(\mathit{DX}=0.0\) sur l’arête \({A}_{1}-{A}_{3}\) ;

• \(\mathit{DRY}=0.0\) sur l’arête \({A}_{1}-{A}_{3}\)

Chargement 1 (extension):

Le calcul de référence est fait avec le chargement mécanique suivant:

• \(\mathit{DX}=2.e-4\) sur l’arête \({A}_{2}-{A}_{4}\)

Le chargement thermo-mécanique équivalent est:

• \(\mathit{DX}=0.0\) sur l’arête \({A}_{2}-{A}_{4}\)

• Température de référence: \(+{10}^{o}C\)

• Température homogène imposée: \(-{10}^{o}C\)

• Coefficient de dilatation thermique: \(\alpha =1.e-5{/}^{o}C\)

Chargement 2 (flexion, voir modélisation B):

Le calcul de référence est fait avec le chargement mécanique suivant:

• \(\mathit{DRY}=6.e-3\) sur l’arête \({A}_{2}-{A}_{4}\)

Le chargement thermo-mécanique équivalent est:

• \(\mathit{DRY}=0.0\) sur l’arête \({A}_{2}-{A}_{4}\)

• Température de référence: \(+{10}^{o}C\)

• Gradient de température homogène imposé: \({T}_{\inf}=+{40}^{o}C,{T}_{\text{mil}}=+{10}^{o}C,{T}_{\sup}=-{20}^{o}C\)

• Coefficient de dilatation thermique: \(\alpha =1.e-5{/}^{o}C\)

• Rappel: l’épaisseur de la coque est \(0.1m\)

Caractéristiques du maillage

Nombre de nœuds: 9.

Nombre de mailles: 8 TRIA3; 8 SEG2.

Grandeurs testées et résultats pour le chargement 1

Pour les chargements mécanique et thermique équivalents, on vérifie que l’effort (homogène dans la plaque) est le même. La composante significative est ici NXX.

Les résultats sont très bons. Les chargements thermo-mécaniques donnent les mêmes résultats que les chargements mécaniques équivalents pour les relations de comportement GLRC_DM et ENDO_ISOT_BETON (voir cas test ssns106o).

Identification	Type de référence	Valeur de référence	Tolérance
Effort EFGE_ELNO \(\mathit{NXX}\) pour la maille \(\mathit{M8}\) , nœud \(\mathit{N7}\)	AUTRE_ASTER	278768.0	1 10-3

Grandeurs testées et résultats pour le chargement 2

Pour les chargements mécanique et thermique équivalents, on vérifie que l’effort (homogène dans la plaque) est le même. La composante significative est iciMXX.

Les résultats sont très bons. Les chargements thermo-mécaniques donnent les mêmes résultats que les chargements mécaniques équivalents pour les relations de comportement GLRC_DM et ENDO_ISOT_BETON voir cas test ssns106o).

Identification	Type de référence	Valeur de référence	Tolérance
Effort EFGE_ELNO \(\mathit{MXX}\) pour la maille \(\mathit{M8}\) , nœud \(\mathit{N7}\)	AUTRE_ASTER	8366.7994	1 10-3

Synthèse des résultats

Ces tests ayant pour but de valider la loi de comportement du béton BETON_REGLE_PR servent aussi à montrer un certain nombre de ses faiblesses. Les différentes modélisations permettent de tester:

A et E : le comportement en traction/compression

Bet F :le comportement en flexion cyclique

Cet G : le comportement couplant les phénomènes de membrane et de flexion

D :le comportement pour le cisaillement et la distorsion dans le plan

H :un chargement thermique.

Dans la plupart de ces situations, les efforts et moments prédits par le modèle BETON_REGLE_PR sont cohérents avec le modèle ENDO_ISOT_BETON pour la charge. En cas de décharge, le modèle BETON_REGLE_PR, qui est élastique, présente des erreurs importantes en comparaison avec le modèle ENDO_ISOT_BETON. Par ailleurs l’effet de Poisson n’étant pas modélisé par le modèle BETON_REGLE_PR, on mesure des différences importantes dans les déplacements perpendiculaires à la direction de chargement .

Par rapport au cas test ssns106, on ne modélise pas ici le cas de couplage flexion et cisaillement dans le plan (modélisations D et M du cas test ssns106). En effet on constate des difficultés de convergence avec la loi BETON_REGLE_PR pour ces cas.